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Solucoes_Provinha01_MicroI_1Sem2011

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1 
 
EAE 0203 - Noturno - 1º semestre de 2011 
25 de fevereiro de 2011 
Professor Ricardo A. Madeira 
 
Resolução da Prova de Cálculo 
 
(1) No plano cartesiano ����, encontre a equação da reta que passa por ����� e é paralela à reta 
que passa pelos pontos ���	� e �
���. 
Como as retas são paralelas, elas possuem a mesma inclinação. Por isso, primeiro acharemos a 
inclinação da reta que passa por ���	� e �
���. Isso é feito resolvendo o sistema: �
 � �� � 	
 � � � � � 
Onde 
 denota o intercepto e � o coeficiente angular. Subtraindo a primeira equação do sistema da 
segunda, obtemos: � � ����. 
Para acharmos a reta pedida, basta encontrar seu intercepto �: � � � � ����. Usando o ponto �����, 
temos � � � � ������ � � � 	. 
Portanto, a reta pedida é � � 	 � ����. 
 
(2) Ache os intervalos nos quais � é crescente/decrescente, os intervalos abertos em que � é 
côncava/convexa e as coordenadas � de todos os pontos de inflexão. 
(a) ���� � �� � �� � � 
Para avaliar a inclinação de uma função olhamos para sua derivada primeira. ����� � �� � � ����� � � � � � ��� ����� � � � � � ��� ����� � � � � � ��� 
Assim, � é decrescente em ���� ���� e crescente em ����� ���. 
Para avaliar a concavidade de uma função olhamos para sua derivada segunda. ������ � �, que é maior que zero para todo � no domínio de �. Desta forma, � é globalmente 
convexa (convexa em ���� ���). � não tem pontos de inflexão. 
Complemento: O ponto em que ����� � � trata-se de um mínimo. Isso pode ser visto de duas 
formas: pela derivada segunda e pelas derivadas primeiras nos pontos ao redor de � � ���. 
 
(b) ���� � �� � ��� ����� � ��� � ��� ����� � � � � � �� ����� � � � � � �� � é crescente em ���� ���. ������ � ��� � �� ������ � � � � � �� ������ � � � � � �� � é côncava em ���� ��� e convexa em ���� ���. 
O ponto ������ é ponto de inflexão. Isso pode ser visto de duas formas: pela mudança de sinal da 
derivada segunda, que é negativa antes do ponto e positiva depois; também podemos ver que ������ é ponto de mínimo de �����, indicando que a taxa de crescimento de � primeiro é 
decrescente e depois se torna crescente. 
 
 
2 
 
(3) Em cada parte, esboce uma curva contínua � � ���� com as propriedades indicadas. 
(a) ���� � 	� ����� � �� ������ � � !�. 
 
 
 
(b) ���� � 	� ������ � � "#$# � � � % &'()*�+ ����� � ��� &'()*�, ����� � ��. 
 
 
(4) -��.� / � �0� � 1�2�3 45056. &7 �5�. Calcule 898): e 8;98):8)<, = � >. 
Primeiro, note que 
-��.� / � �0� � 1�2 ?@ 45
0
56.
&7 �5A � 13 B:C:DE FG ): � 1BE FG )E1B; FG ); / 1BC FG )C
� 1FG )EHE 1FG );H; / 1FG )CHC � �.BE��B; / �0BC 
Portanto, I-I�5 � 45�.BE / �5B:J. / �0BC I�-I�5I�K � 4K45�.BE / �5B:J. / �KB<J. / �0BC 
 
(5) Para a função ���� �� � �� � ���� � ��� � 
�� � � encontre os pontos críticos e 
determine sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela). Encontre também a equação da 
curva de nível correspondente a � � 
�. 
Os pontos críticos são pontos nos quais as derivadas primeiras são nulas ou � é não diferenciável. 
Como a função ���� �� é sempre diferenciável, vamos procurar os pontos com derivadas nulas. �) � ��� � ��� � 
� � � � �� � �� � � �L � ��� � �� � � � ��� � 
� � � 
Se � � �
, � � M� resolvem o sistema; se � � �, � � MN� também resolvem o sistema. Portanto, 
temos quatro pontos críticos: ��
���� ��
� ���� ON�� �P� O�N�� �P. 
Condição de segunda ordem: 
2 
4 
2 
4 
3 
 �)) � ��Q �LL � �� � �Q �)L � �L) � �� 
Matriz hessiana: 
R��� �� � S�� ���� �� � �T 
Temos que avaliar a matriz hessiana em cada um dos quatro pontos críticos para determinar de que 
tipo são. R��
��� � U�� 
�
� � V W1XYR��
���Z � �
		 � � ��
��� é ponto de sela. R��
� ��� � U �� �
��
� � V W1XYR��
� ���Z � 
		 � � 
Sendo o determinante positivo, devemos olhar o sinal de �))��
� ���, que é negativo, indicando 
que ��
� ��� é ponto de máximo. 
RON�� �P � S�N� �� �N� � �T W1X[RON�� �P\ ] ��� � � �))ON�� �P � � ON�� �P é ponto de mínimo. 
RO�N�� �P � S��N� �� ��N� � �T W1X[RON�� �P\ ] ^^ � � �))O�N�� �P � � 
 O�N�� �P é ponto de máximo. 
 
Curva de nível correspondente a � � 
�: 
� � _��� � 
�� � `�� � � 
 
(6) Para a equação a��� �� b� � b�� � ��b�� � ��b � 	� � �, encontre 8L8) quando ��� �� b� ��
�����. 
Repare que a equação acima satisfaz o teorema da função implícita, ou seja, a função a possui 
derivadas parciais contínuas aL, a) e ac; e no ponto �
�����, a equação é satisfeita e aL � �. Desta 
forma, existe um função implícita � � ���� b� e podemos calcular a derivada parcial pedida usando 
a regra da função implícita. I�I� � � a)aL � �
�b� � ��b���b� � ���b� � ���b 
No ponto ��� �� b� � �
�����, I�I� � � ���
 
Caso você não se lembrasse da regra da função implícita, era possível calcular 8L8) usando a regra da 
cadeia. Como � � ���� b�, ao derivarmos os dois lados de a��� �� b� � � em relação a �, obtemos: 
IaI� � IaI� I�I� � � � I�I� � �
IaI�IaI�
 
4 
 
 
(7) Encontre os valores de � e � que maximizam a função ���� �� � �Ed�;d sujeita à condição �� � �� � ��. Mostre que para tais valores de � e � a condição eLe) � � �� é verdadeira. 
Além disso, verifique como o valor ótimo da função ���� �� reage a um relaxamento da 
restrição (dica: a restrição �� � �� � �� pode ser expressa de forma genérica como f��� �� � �g Um relaxamento da restrição significa um aumento de �. Desta forma, encontre eh�)i�Li�ej ). 
Para maximizar uma função sujeita a uma restrição podemos usar o método do multiplicador de 
Lagrange. Pelo método, devemos montar a função de Lagrange ou Lagrangeano k�l� �� ��: 
k�l� �� �� � �.���� � l��� � �� � ��� 
E em seguida procedemos como se a otimização fosse não condicionada e encontramos �l� �� �� 
que maximiza k�l� �� ��. 
Condição de primeira ordem: 
km � �� � �� � �� � � 
k) � 
� �J����� � �l � � 
kL � �� �.��J.� � �l � � 
Isolando o l nas duas últimas equações e igualando-os: 
l � 
^ �J����� � 
� �.��J.� � 
� � � � 
Substituindo � na restrição (ou primeira equação da condição de primeira ordem): 
�� � � 
� � � �� � �� � �i � ��� 
Portanto, 
�i � 
� g ��� � ��^ 
Para encontrarmos eLe) podemos usar a regra da função implícita. 
W�W� � �
I�I�I�I�
� � 
� g �� �=� 
Repare que, no ótimo, a equação ���� �� � ���i� �i� � � define implicitamente � � f���. E tal 
equação atende ao teorema da função implícita. ���i� �i� é a função ���� �� avaliada no seu ponto 
de máximo. Repare também que ���� �� � ���i� �i� é uma curva de nível e a partir dela podemos, 
no caso presente, isolar �, obtendo: 
� � ���i� �i����.� 
5 
 
Essa função pode ser derivada em relação a � para obtermos: 
W�W� � � 
� g n���
i� �i�� o
�� �==� 
Fazendo ��� �� � p�qr � �q� s, obtemos a partir das expressões (i) e (ii) o mesmo resultado: W�W� � � �� 
Vale citar que, em (ii), temos que fazer mais contas, sendo mais computacionalmente eficiente usar 
a regra da função implícita. 
O último item pedido na questão, verificar como o valor ótimo da função ���� �� reage a um 
relaxamento da restrição, nada mais é do que uma aplicação do teorema do envelope. Pelo teorema 
do envelope, basta derivarmos k�l� �� �� em relação a � e avaliarmos k no ponto ótimo �li� �i� �i�. 
Ik�li� �i� �i�I� � lit���� 
Lembrando que k�l� �� �� � ���� �� � lO� � f��� ��P, onde f��� �� � �� � ��.

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