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1 EAE 0203 - Noturno - 1º semestre de 2011 25 de fevereiro de 2011 Professor Ricardo A. Madeira Resolução da Prova de Cálculo (1) No plano cartesiano ����, encontre a equação da reta que passa por ����� e é paralela à reta que passa pelos pontos ��� � e � ���. Como as retas são paralelas, elas possuem a mesma inclinação. Por isso, primeiro acharemos a inclinação da reta que passa por ��� � e � ���. Isso é feito resolvendo o sistema: � � �� � � � � � � Onde denota o intercepto e � o coeficiente angular. Subtraindo a primeira equação do sistema da segunda, obtemos: � � ����. Para acharmos a reta pedida, basta encontrar seu intercepto �: � � � � ����. Usando o ponto �����, temos � � � � ������ � � � . Portanto, a reta pedida é � � � ����. (2) Ache os intervalos nos quais � é crescente/decrescente, os intervalos abertos em que � é côncava/convexa e as coordenadas � de todos os pontos de inflexão. (a) ���� � �� � �� � � Para avaliar a inclinação de uma função olhamos para sua derivada primeira. ����� � �� � � ����� � � � � � ��� ����� � � � � � ��� ����� � � � � � ��� Assim, � é decrescente em ���� ���� e crescente em ����� ���. Para avaliar a concavidade de uma função olhamos para sua derivada segunda. ������ � �, que é maior que zero para todo � no domínio de �. Desta forma, � é globalmente convexa (convexa em ���� ���). � não tem pontos de inflexão. Complemento: O ponto em que ����� � � trata-se de um mínimo. Isso pode ser visto de duas formas: pela derivada segunda e pelas derivadas primeiras nos pontos ao redor de � � ���. (b) ���� � �� � ��� ����� � ��� � ��� ����� � � � � � �� ����� � � � � � �� � é crescente em ���� ���. ������ � ��� � �� ������ � � � � � �� ������ � � � � � �� � é côncava em ���� ��� e convexa em ���� ���. O ponto ������ é ponto de inflexão. Isso pode ser visto de duas formas: pela mudança de sinal da derivada segunda, que é negativa antes do ponto e positiva depois; também podemos ver que ������ é ponto de mínimo de �����, indicando que a taxa de crescimento de � primeiro é decrescente e depois se torna crescente. 2 (3) Em cada parte, esboce uma curva contínua � � ���� com as propriedades indicadas. (a) ���� � � ����� � �� ������ � � !�. (b) ���� � � ������ � � "#$# � � � % &'()*�+ ����� � ��� &'()*�, ����� � ��. (4) -��.� / � �0� � 1�2�3 45056. &7 �5�. Calcule 898): e 8;98):8)<, = � >. Primeiro, note que -��.� / � �0� � 1�2 ?@ 45 0 56. &7 �5A � 13 B:C:DE FG ): � 1BE FG )E1B; FG ); / 1BC FG )C � 1FG )EHE 1FG );H; / 1FG )CHC � �.BE��B; / �0BC Portanto, I-I�5 � 45�.BE / �5B:J. / �0BC I�-I�5I�K � 4K45�.BE / �5B:J. / �KB<J. / �0BC (5) Para a função ���� �� � �� � ���� � ��� � �� � � encontre os pontos críticos e determine sua natureza (máximo, mínimo ou ponto de sela). Encontre também a equação da curva de nível correspondente a � � �. Os pontos críticos são pontos nos quais as derivadas primeiras são nulas ou � é não diferenciável. Como a função ���� �� é sempre diferenciável, vamos procurar os pontos com derivadas nulas. �) � ��� � ��� � � � � � �� � �� � � �L � ��� � �� � � � ��� � � � � Se � � � , � � M� resolvem o sistema; se � � �, � � MN� também resolvem o sistema. Portanto, temos quatro pontos críticos: �� ���� �� � ���� ON�� �P� O�N�� �P. Condição de segunda ordem: 2 4 2 4 3 �)) � ��Q �LL � �� � �Q �)L � �L) � �� Matriz hessiana: R��� �� � S�� ���� �� � �T Temos que avaliar a matriz hessiana em cada um dos quatro pontos críticos para determinar de que tipo são. R�� ��� � U�� � � � V W1XYR�� ���Z � � � � �� ��� é ponto de sela. R�� � ��� � U �� � �� � � V W1XYR�� � ���Z � � � Sendo o determinante positivo, devemos olhar o sinal de �))�� � ���, que é negativo, indicando que �� � ��� é ponto de máximo. RON�� �P � S�N� �� �N� � �T W1X[RON�� �P\ ] ��� � � �))ON�� �P � � ON�� �P é ponto de mínimo. RO�N�� �P � S��N� �� ��N� � �T W1X[RON�� �P\ ] ^^ � � �))O�N�� �P � � O�N�� �P é ponto de máximo. Curva de nível correspondente a � � �: � � _��� � �� � `�� � � (6) Para a equação a��� �� b� � b�� � ��b�� � ��b � � � �, encontre 8L8) quando ��� �� b� �� �����. Repare que a equação acima satisfaz o teorema da função implícita, ou seja, a função a possui derivadas parciais contínuas aL, a) e ac; e no ponto � �����, a equação é satisfeita e aL � �. Desta forma, existe um função implícita � � ���� b� e podemos calcular a derivada parcial pedida usando a regra da função implícita. I�I� � � a)aL � � �b� � ��b���b� � ���b� � ���b No ponto ��� �� b� � � �����, I�I� � � ��� Caso você não se lembrasse da regra da função implícita, era possível calcular 8L8) usando a regra da cadeia. Como � � ���� b�, ao derivarmos os dois lados de a��� �� b� � � em relação a �, obtemos: IaI� � IaI� I�I� � � � I�I� � � IaI�IaI� 4 (7) Encontre os valores de � e � que maximizam a função ���� �� � �Ed�;d sujeita à condição �� � �� � ��. Mostre que para tais valores de � e � a condição eLe) � � �� é verdadeira. Além disso, verifique como o valor ótimo da função ���� �� reage a um relaxamento da restrição (dica: a restrição �� � �� � �� pode ser expressa de forma genérica como f��� �� � �g Um relaxamento da restrição significa um aumento de �. Desta forma, encontre eh�)i�Li�ej ). Para maximizar uma função sujeita a uma restrição podemos usar o método do multiplicador de Lagrange. Pelo método, devemos montar a função de Lagrange ou Lagrangeano k�l� �� ��: k�l� �� �� � �.���� � l��� � �� � ��� E em seguida procedemos como se a otimização fosse não condicionada e encontramos �l� �� �� que maximiza k�l� �� ��. Condição de primeira ordem: km � �� � �� � �� � � k) � � �J����� � �l � � kL � �� �.��J.� � �l � � Isolando o l nas duas últimas equações e igualando-os: l � ^ �J����� � � �.��J.� � � � � � Substituindo � na restrição (ou primeira equação da condição de primeira ordem): �� � � � � � �� � �� � �i � ��� Portanto, �i � � g ��� � ��^ Para encontrarmos eLe) podemos usar a regra da função implícita. W�W� � � I�I�I�I� � � � g �� �=� Repare que, no ótimo, a equação ���� �� � ���i� �i� � � define implicitamente � � f���. E tal equação atende ao teorema da função implícita. ���i� �i� é a função ���� �� avaliada no seu ponto de máximo. Repare também que ���� �� � ���i� �i� é uma curva de nível e a partir dela podemos, no caso presente, isolar �, obtendo: � � ���i� �i����.� 5 Essa função pode ser derivada em relação a � para obtermos: W�W� � � � g n��� i� �i�� o �� �==� Fazendo ��� �� � p�qr � �q� s, obtemos a partir das expressões (i) e (ii) o mesmo resultado: W�W� � � �� Vale citar que, em (ii), temos que fazer mais contas, sendo mais computacionalmente eficiente usar a regra da função implícita. O último item pedido na questão, verificar como o valor ótimo da função ���� �� reage a um relaxamento da restrição, nada mais é do que uma aplicação do teorema do envelope. Pelo teorema do envelope, basta derivarmos k�l� �� �� em relação a � e avaliarmos k no ponto ótimo �li� �i� �i�. Ik�li� �i� �i�I� � lit���� Lembrando que k�l� �� �� � ���� �� � lO� � f��� ��P, onde f��� �� � �� � ��.
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