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Microeconomia II
Resolução da Lista de Exercícios 4
Sérgio André Castelani, Lígia Lopes Gomes,
Fernando Parmagnani e Maximiliano Barbosa da Silva
Universidade de São Paulo
28 de Setembro de 2011
Questão 1: Suponha que haja apenas dois indivíduos na sociedade. A curva
de demanda do indivíduo A por controle de mosquitos é dada por:
qA = 100− P.
Já para o indivíduo B a curva de demanda por controle de mosquitos é dada
por:
qB = 200− P.
(a) Suponha que o controle de mosquitos é um bem público puro; isto é, uma
vez produzido, todo mundo pode usufrui-se dele. Qual seria o nível ótimo dessa
atividade se ela pudesse ser produzida a um custo marginal constante e igual a
$120 por unidade?
Um bem público é provisionado quando a quantia total que os indivíduos da
sociedade estão dispostos a pagar para sua aquisição é maior ou igual ao custo
que será incorrido. A curva de demanda de cada indivíduo nos informa qual
é o valor máximo que cada indivíduo está disposto a pagar pelo bem público.
Também podemos interpretar a curva de demanda como uma função do preço
de reserva do indíviduo em relação a quantidade provisionada do bem público,
ou seja, qual o valor atribuido pelo agente à provisão de determinada quantidade
de controle de mosquitos.
Note que como o controle de mosquitos é um bem público ambos os individ-
uos usufruem de qa e qb igualmente, dessa forma é possível reescrever as funções
de demanda como:
Q = 100− PA, para o indivíduo A
e
Q = 200− PB , para o indivíduo B.
1
Portanto PA (Q)é quanto o indivíduo A estaria disposto a contribuir para a
aquisição de Q (que neste exercício pode ser interpretado a intensidade do con-
trole de mosquitos) e PB (Q) quanto o indivíduo B estaria disposto a contribuir
para a aquisição de Q. Então:
P = PA (Q) + PB (Q)
= 100−Q+ 200−Q
= 300− 2Q,
será a curva de demanda da sociedade por controle de mosquitos. Como o custo
marginal é constante e igual a 120, temos que:
120 = 300− 2Q∗ ⇔ Q∗ = 90
(b) Se o controle de mosquitos fosse deixado para o mercado privado, qual seria
a produção? Sua resposta depende do que cada pessoa assume que a outra irá
fazer?
No mercado competitivo os indivíduos agem individualmente e dessa forma
não consideram o que o outro indivíduo irá fazer para tomar suas decisões,
observam portanto, apenas sua curva de demanda individual. Como o mercado
é competitivo o preço é dado: p = CMg = 120, temos assim:
qA = 100− P ;
qB = 200− P ;
P = 120.
Chegamos então que a produção não seria eficiente pois o indivíduo A não
demandaria quantidade alguma enquanto o indivíduo B demandaria qB = 80.O
controle de mosquitos seria menor do que o ótimo encontrado no item (a).
(c) Se o governo fosse responsável pela produção da quantidade ótima de con-
trole de mosquitos, qual seria esse custo? Qual deveria ser o imposto cobrado
de cada indivíduo de forma a repassar o custo do controle de mosquitos levando
em consideração a participação de cada indivíduo no benefício gerado?
Para que a provisão de bem público pelo governo seja eficiente Q = 90, como
visto no item (a). Como o custo marginal do controle de mosquitos é constante
e igual a 120, o governo deve impor um imposto total tal que T = tA+tB = 120.
Para determinar qual o imposto a ser cobrado o governo leva em consideração
qual o preço de reserva de cada indivíduo.
Quando Q = 90, o preço de reserva de A é 10 (pA = 100 − 90) e portanto
tA = 10 e o preço de reserva de B é 110 (pB = 200− 90) e portanto tB = 110.
Questão 2: Tragédia dos Comuns. O lago Ec pode ser livremente utilizado
por pescadores. O custo de mandar um barco para o lago é dado por r > 0.
Quando b barcos são mandados para o lago, f (b) peixes são pescados no total
2
(de modo que cada barco pesca f (b) /b peixes), onde f ′ (b) > 0 e f ′′ (b) < 0
para todo b ≥ 0. O preço do peixe é p > 0, que não é afetado pela quantidade
de peixes pescados no lago Ec.
(a) Caracterize o número de equilíbrio de barcos que são mandados ao lago.
Neste problema, como o Lago é um recurso comum, há uma externalidade
negativa no seu uso, já que os indivíduos não internalizam, ao decidir o quanto
irão pescar, o custo social que cada um gera ao reduzir a quantidade de peixes
disponíveis para os outros indivíduos no lago (é o mesmo caso de uma rodovia
congestionada: cada individuo, ao decidir utilizar a rodovia, não leva em conta
que seu carro aumenta o trânsito no local). No caso do equilíbiro competitivo,
os indivíduos irão pescar até esgotar toda a possibilidade de lucros positivos que
o lago oferece, e portanto o equilíbrio se dará no ponto em que o lucro é zero.
O Lucro Total desta economia é dado por:
pi = pf (b)− rb.
Note que a Receita total é dada pela receita total da venda dos f (b) peixes
produzidos pelos b barcos, e o custo total de b barcos pescando é de rb. Igualando
o Lucro a zero, temos que o equilíbrio competitivo é tal que
f (b∗)
b∗
=
r
p
.
(b) Caracterize o número ótimo de barcos que deveriam ser mandados ao lago.
Compare a resposta com a do item (a)
O número ótimo de barcos é tal que maximiza o Lucro da produção de peixes
(note que isto é diferente de esgotar todo o lucro, como no item (a)):
max
b
pf (b)− rb.
A condição de primeira ordem é: pf ′ (bo) = r, ou f ′ (bo) = rp . Juntando
os resultados de (a) e (b), temos que
f(b∗)
b∗ =
r
p = f
′ (bo). Temos agora que
comparar b∗e bo. Como f ′ (b) é decrescente (pois f ′′ (b) < 0), então f (b) /b
também tem que ser decrescente (para notar isto, lembre-se, que pela própria
definição de Produto Marginal, quando o Produto Marginal é decrescente, o
Produto médio também deve ser decrescente). Além disso, para um mesmo
valor de b > 0, temos que ter f ′ (b) < f (b) /b . Para verificar isto, note que, em
primeiro lugar:
f (b+ 1)
b+ 1
=
f (b) + f ′ (b)
b+ 1
. (1)
E em segundo lugar, se f (b) /b é decrescente:
f (b+ 1)
b+ 1
<
f (b)
b
. (2)
3
Substituindo (1) em (2), temos que:
f (b) + f ′ (b) <
f (b) b
b
+
f (b)
b
⇒ f ′ (b) < f (b)
b
.
Deste modo, a situação em que ocorre
f(b∗)
b∗ =
r
p = f
′ (bo), graficamente
representada, fica:
E como podemos ver neste gráfico, teremos que b∗ > bo.
(c) Qual taxa de pesca �por barco� restauraria o equilíbrio ao nível eficiente?
O nível eficiente de barcos é bo. A função de Lucro quando é cobrado uma
taxa t por barco é:
pi = pf (b)− (r + t) b.
Esgotando o lucro todo, teremos que a produção de equilíbrio com a taxa
t deverá ser tal que
f(b)
b =
r+t
p . Para que a taxa seja tal que a quantidade de
barcos seja ótima, temos que ter então que:
f (bo)
bo
=
r + t
p
. (3)
em que boé tal que rp = f
′ (bo) , conforme encontramos no item (b). Manip-
ulando (3), chegamos em:
f (bo) p
bo
− r = t,
onde boé tal que rp = f
′ (bo) .
(d) Suponha agora que o lago é de propriedade de um único indivíduo, que pode
escolher quantos barcos mandar para pescar. Qual será o número de barcos que
este proprietário vai escolher?
4
Se apenas um único indivíduo é o proprietário do lago, ele age como um mo-
nopolista e é maximizador de Lucro. Se ele maximiza lucro, resolve exatamente
o mesmo problema do item (b), e portanto, a solução deste item é exatamente
a do item (b). Note que este resultado é o Teorema de Coase: quando o direito
de propriedade é bem definido, e os custos de transação (negociação) são nulos
(que é o caso aqui, em que não há disputa entre os indivíduos para ver quem
será o beneficiado em ser o dono do lago), a externalidade é internalizada e a
produção de equilíbrio torna-se eficiente.
Questão 3: Suponha que existam dois agentes decidindo a qual velocidade eles
dirigirão seus respectivos carros. O agente i ∈ {1, 2} escolhe a velocidade xi e
tem utilidade vi (xi, ci) = ui (xi) − ci, onde ui (xi) é estritamente côncava. Os
agentes podem colidir com probabilidade p (x1, x2) e, neste caso, ci > 0; caso
contrário, ci = 0. Assuma que u
′ (xi) > 0 e que
∂p(x1,x2)
∂xi
> 0.
(a) Encontre a condição de primeira ordem de cada agente, que define a veloci-
dade escolhdida por cada um deles.
O problemado indivíduo 1 é:
max
x1
p (x1, x2) (u1 (x1)− c1) + (1− p (x1, x2))u1 (x1)
max
x1
u1 (x1)− p (x1, x2) c1,
sendo que x2 é a velocidade que o indivíduo 1 supõe que o indivíduo 2 irá
escolher.
A condição de primeira ordem do agente 1 é portanto:
∂u1 (x1)
∂x1
− ∂p (x1, x2)
∂x1
c1 = 0⇔
∂u1(x1)
∂x1
∂p(x1,x2)
∂x1
= c1.
O problema do indivíduo 2 é análoga ao do indivíduo 1:
max
x2
u2 (x2)− p (x2, x1) c2.
A condição de primeira ordem é:
∂u2 (x2)
∂x2
− ∂p (x2, x1)
∂x2
c2 = 0⇔
∂u2(x2)
∂x2
∂p(x¯1,x2)
∂x2
= c2.
(b) Suponha uma função de bem-estar social seja W = v1 + v2. Encontre as
condições de primeira ordem, que definem as velocidades socialmente desejadas.
Compare-as com as obtidas no item (a).
Para encontrar as velocidades socialmente ótimas devemos resolver o seguinte
problema:
max
x1,x2
u1 (x1)− p (x1, x2) c1 + u2 (x2)− p (x1, x2) c2
5
As condições de primeira ordem são portanto:
∂u1 (x1)
∂x1
− ∂p (x1, x2)
∂x1
(c1 + c2) = 0;
∂u2 (x2)
∂x2
− ∂p (x1, x2)
∂x2
(c1 + c2) = 0.
Chegamos a:
∂u2(x2)
∂x2
∂p(x1,x2)
∂x2
= c2 + c1;
∂u1(x1)
∂x1
∂p(x1,x2)
∂x1
= c2 + c1.
No item (a), o indivíduo i ignora que ao andar em velocidade mais alta além
de aumentar o seu custo esperado devido a uma colisão, aumenta também o
custo esperado do indivíduo j. Isso acontece porque o motorista ao dirigir mais
rápido deixa o transito mais perigoso, pois aumenta a probabilidade de coalisão,
gerando uma externalidade negativa para o outro motorista. No item (b), a
maximização da função de bem estar social faz com que a externalidade que os
motoristas geram um sobre o outro seja internalizada e portanto que a solução
seja socialmente ótima. Além disso como a função de utilidade é estritamente
côncava, as velocidades socialmente ótimas de ambos motorisas serão menores
que as encontradas no item (a).
(c) Se o agente i é multado em uma quantidade ti no caso de um acidente acon-
tecer, qual deve ser o valor desta multa tal que a externalidade seja internalizada
pelo agente.
max
xi
ui (x1)− p (xi, xj) (ci + ti)
A condição de primeira ordem do problema acima é:
∂ui (xi)
∂xi
− ∂p (xi, xj)
∂xi
(ci + ti) = 0⇔
∂ui(xi)
∂xi
∂p(xi,xj)
∂xi
= ci + ti
Para que a externalidade seja internalizada pelo agente i,
∂ui(xi)
∂xi
∂p(xi,xj)
∂xi
deve ser
igual a c1 + c2. Para que isso ocorra a multa ti deve ser definida de forma que:
c1 + t1 = c1 + c2;
c2 + t2 = c1 + c2.
6
O valor da multa que internaliza a externalidade portanto: t1∗ = c2 e t2∗ =
c1.
Questão 4: Existem dois bens, X e Y , e dois indivíduos, 1 e 2. As funções
utilidade são as seguintes: U1 = ln (x1)+ln (y1)+ln (x2) e U2 = ln (x2)+ln (y2).
As dotações iniciais são exi = 0 para todo i, e
y
1 = 4 e e
y
2 = 2. O bem X pode
ser produzido a partir de Y por firmas competitivas de acordo com a seguinte
função de produção: x = z, em que z é a quantidade de y utilizada na produção.
(a) Encontre o equilíbrio competitivo.
Fixe o preço do bem X em px = 1 e denote o preço do bem Y por py. O
problema do indivíduo 1 é:
max
x1,y1≥0
ln (x1) + ln (y1) + ln (x2)
sujeito a:
x1 + pyy1 ≤ 4py.
Como esta função utilidade é do tipo Cobb-Douglas, sabe-se que a resolução
deste problema gera as seguinte funções demanda marshallianas:
x1 =
1
2
4py
= 2py; (4)
y1 =
1
2
4py
py
= 2. (5)
Note que, para o cálculo das demandas do indivíduo 1, pelo fato de x2 ser
decidido pelo indivíduo 2, trata-se ln (x2) como uma constante no problema do
indivíduo 1. O problema do indivíduo 2 é:
max
x2,y2≥0
ln (x2) + ln (y2)
sujeito a:
x2 + pyy2 ≤ 2py.
Como esta função utilidade é do tipo Cobb-Douglas, sabe-se que a resolução
deste problema gera as seguinte funções demanda marshallianas:
x2 =
1
2
2py
= py; (6)
y2 =
1
2
2py
py
= 1. (7)
7
O bem X é produzido por firmas competitivas que possuem uma função de
produção com retornos contantes de escala e, portanto, elas devem ter lucro
zero, ou seja:
pi = xs∗ − p∗yz∗ = 0. (8)
Logo:
xs∗ = p∗yz
∗. (9)
Como existem 6 unidades do bem Y e os agentes demandam 3 unidades, pelas
equações (5) e (7), sabe-se que z∗ = 3 será a quantidade deste vem empregada
na produção do bem X. Pela função de produção, conclui-se que x∗ = 3. Pela
condição de market clearing no mercado do bem X, encontra-se que:
2p∗y + p
∗
y = 3⇔ p∗y = 1. (10)
Portanto, pelas equações (4) e (6), obtém-se que x∗1 = 2 e x
∗
1 = 1.
(b) Mostre que as condições para eficiência de Pareto não envolvem a igualdade
usual entre as taxas marginais de substituição entre X e Y dos dois indivívuos.
Uma forma de encontrar as condições de eficiência consiste em resolver o
seguinte problema de Pareto:
max
x1,x2,y1,y2,z≥0
λ1 [ln (x1) + ln (y1) + ln (x2)] + λ2 [ln (x2) + ln (y2)]
sujeito a:
x1 + x2 ≤ z; (11)
z + y1 + y2 ≤ 6. (12)
Como a função objetivo é estritamente crescente, as restrições (11) e (12)
valem com igualdade. Além disto, é claro que x1, x2, y1, y2, z > 0. Sendo assim,
substituindo as restrições na função objetivo, o problema pode ser expresso da
seguinte maneira:
max
x2,y1,y2≥0
λ1
ln(6− y1 − y2 − x2︸ ︷︷ ︸
)
=x1
+ ln (y1) + ln (x2)
+ λ2 [ln (x2) + ln (y2)] .
As condições de primeira ordem estabelecem que:
−λ1
x1
+
λ1
x2
+
λ2
x2
= 0; (13)
−λ1
x1
+
λ1
y1
= 0; (14)
−λ1
x1
+
λ2
y2
= 0. (15)
8
Pela equação (14), encontra-se que:
TMgS1 = − y1
x1
= −1. (16)
Pelas equações (14) e (15):
λ1 =
λ2y1
y2
. (17)
Pelas equações (13) e (15):
λ1 + λ2 =
λ2x2
y2
. (18)
Substituindo (16) e (17) em (18) e usando TMgS2 = − y2x2 :
−x1
x2
TMgS1 − TMgS2 = 1. (19)
(c) Quais modificações, de mercado ou não, você sugere para melhorar as pro-
priedades de eficiência da alocação obtida no item (a)? Discuta.
Para melhorar a eficiência da alocação obtida no item (a), uma possibilidade
consiste em o indivíduo 1 subsidiar o consumo do bem X do indivíduo 2. Seja
s o valor do subsídio que o indivíduo 1 paga ao indivíduo 2 por quantidade de
X que este último consome. Então o problema do indivíduo 1 é:
max
x1,y1,x2≥0
ln (x1) + ln (y1) + ln (x2)
sujeito a:
x1 + pyy1 + sx2 ≤ 4py.
Como esta função utilidade é do tipo Cobb-Douglas, sabe-se que a resolução
deste problema gera as seguinte funções demanda marshallianas:
x1 =
1
3
4py
=
4
3
py; (20)
y1 =
1
3
4py
py
=
4
3
; (21)
x2 =
1
3
4py
s
=
4
3
py
s
. (22)
9
Já o problema do indivíduo 2 torna-se:
max
x2,y2≥0
ln (x2) + ln (y2)
sujeito a:
(1− s)x2 + pyy2 ≤ 2py.
Como esta função utilidade é do tipo Cobb-Douglas, sabe-se que a resolução
deste problema gera as seguinte funções demanda marshallianas:
x2 =
1
2
2py
1− s
=
py
1− s ; (23)
y2 =
1
2
2py
py
= 1. (24)
Pela equação (9), sabe-se que xs∗ = p∗yz
∗
. Como existem 6 unidades do bem
Y e os agentes demandam 73 unidades, pelas equações (21) e (24), sabe-se que
z∗ = 113 será a quantidade do bem Y empregada na produção do bem X. Pela
função de produção, conclui-se que x∗ = 113 . A condição de eficiência (19) diz
que y∗1 + y
∗
2 = x
∗
2. Logo: x
∗
2 =
7
3 e, consequentemente, x
∗
1 =
4
3 . Portanto, pela
equação (20), p∗y = 1 e, por fim, pela equação (23) s
∗ = 47 .
Questão 5: Uma cidade tem 1000 habitantes, os quais consomem apenas um
bem privado: sorvete. Será construído nesta cidade um bem público: uma
praça. Suponha que todos os habitantes tenham a mesma função utilidade
u (xi, G) = xi − 10G , em que xi é a quantidade de sorvete consumida por cada
habitante e G =
∑1000
i=1 gi é o tamaho da praça em m
2
. Suponha que o preço
do sorvete seja R$1,00 por unidade e o preço do metro quadrado construído
da praça seja R$100,00. Qual é a quantidade Pareto eficiente do bem público
ofertada nesta economia?
O nível de provisão eficiente do bem público é dado por:
CMg (G∗) =
1000∑
i=1
[−TMgSi (G∗, xi)] .
Aplicando esta fórmula aos dados do exercício, tem-se que CMg (G) = 100.
Além disto:
−TMgSi (G, xi) = 10
G2
.
Portanto:
100 = 1000
10
G∗2
⇔ G∗ = 10.
10
Questão 6: Suponha uma ilha habitada por dois náufragos, indexados por i ∈
{1, 2}. Estes indivíduos consomem apenas cocos, que são usados de duasformas:
tanto para alimentarem-se quanto para fazerem sinais de fumaça (de maneira
a chamar a atenção de alguma embaracação que os resgatem), queimando co-
cos. Cada indivíduo tem uma dotação inicial de cocos wi > 0. Seja xi ≥ 0
a quantidade de cocos que o naufrágo i usa em sua alimentação e gi ≥ 0 a
sua contribuição para a fogueira de cocos. O número total de cocos usado
na fogueira é G = g1 + g2. A função utilidade do indvíduo 1 é dada por
u1 (x1, G) = x1 + a1 lnG, onde a1 > 0. Já a função utilidade do indivíduo
2 é dada por u2 (x2, G) = a2x2 + lnx2, onde a2 > 0.
(a) Qual será a quantidade de equilíbrio do bem-público?
Cada morador da ilha deve decidir qual a quantia de cocos com que deve con-
tribuir para fazer sinais de fumaça. Para decidir sua contribuição cada náufrago
faz suposições em relação com quantos cocos o outro náufrago vai contribuir.
Então a quantidade de equilíbrio de bem público será definida levando em conta
que cada morador escolhe sua contribuição ótima dado o comportamento do
outro. Portanto o morador se depara com o seguinte problema de otimização:
max
x1,g1
x1 + a1 ln (g1 + g2)
sujeito a:
x1 + g1 ≤ w1;
g1 ≥ 0,
sendo que g2é a contribuição que o náufrago 1 supõe que o náufrago 2 irá fazer.
Substituindo a restrição em x1temos:
max
g1
w1 − g1 + a1 ln (g1 + g2) .
A condição de primeira ordem diz que:
g1 : −1 + a1
g1 + g¯2
.
Então: g1 + g¯2=a1, como G = g1 +g2, a provisão de bem público ótima para
o náufrago 1 é G = a1.
O problema de otimização do náufrago 2 é:
max
x2,g2
a2x2 + ln (g1 + g2)
sujeito a:
x2 + g2 ≤ w2;
g2 ≥ 0.
11
Substituindo a restrição em x1temos:
max
g2
a2 (w2 − g2) + ln (g1 + g2) .
Condição de primeira ordem:
g2 : −a2 + 1
g1 + g2
= 0.
Resolvendo a igualdade acima temos que g2 +g1 =
1
a2
e, portanto, a provisão
ótima de bem público para o náufrago 2 é G = 1a2 .
Após o náufrago ter dado os cocos para sinalização, ele não pode voltar atrás
e reduzir sua contribuição já que as restrições g1 ≥ 0 e g2 ≥ 0 foram impostas.
Nesse problema há a possibilidade de carona.
Primeiro suponha que a1 >
1
a2
.Neste caso o morador 1 demanda uma pro-
visão superior de bem público (sinalização) que 2. Se o morador 2 resolver não
contribuir (g¯2 = 0), o morador 1 contribuirá com g1 = a1 = G, que é uma quan-
tidade de sinalização superior a ótima para 2 (G = 1a2 ). Dessa forma 2 pode
pegar carona na sinalização gerada por 1 e ainda consumir toda sua dotação de
cocos em alimentação.
Note que se o morador 1 resolvesse não contribuir, a quantidade ótima de
fumaça para sinalização que maximiza a utilidade desse consumidor não seria
obtida, portanto quando a1 >
1
a2
a solução é g1 = a1 = G e g2 = 0.
Seguindo o mesmo raciocínio a1 <
1
a2
, a solução seria g2 =
1
a2
e g1 = 0.
(b) Qual é a quantidade Pareto eficiente do bem-público ofertada nesta econo-
mia? Compare esta solução com a solução obtida no item (a).
maxx1 + a1 lnG
sujeito a:
a2x2 + lnG = u2;
G+ x1 + x2 = w1 + w2.
sabemos que a solução desse problema de maximização é:∣∣∣∣ UmgGUmgx1
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣ UmgGUmgx2
∣∣∣∣ = Cmg (G) .
Portanto:
a1
G
+
1
a2G
= 1.
Assim, a quantidade de pareti do bem público ofertada nessa economia é :
G =
1 + a1a2
a2
= a1 +
1
a2
.
12
A provisão de bem público de pareto é sempre superior a provisão encontrada
no item (a) pois neste caso é excluída a possibilidade de carona.
Questão 7: Considere o problema de provisão eficiente de um bem público
contínuo com dois consumidores, indexados por i ∈ {1, 2}. Seja ui (G, xi) =
lnG + 12xi a utilidade do consumidor i sobre o bem público e o bem privado,
em que G é a quantidade do bem público e xi é a quantidade do bem privado
consumido pelo consumidor i. A produção do bem público depende das con-
tribuições g1 e g2 dos consumidores 1 e 2, respectivamente, e é dada pela função
de produção G = ln (g1 + g2). Cada consumidor possui uma dotação inicial de
2 unidades de bem privado. Calcule a quantidade eficiente de bem público que
deve ser produzida.
O nível eficiente de bem público é dado por:
CMg (G∗) =
I∑
i=1
[−TMgSi (G∗, xi)] .
É fácil ver que CMg (G) = g, onde g = g1 +g2. O problema de minimização
de custo é o seguinte:
min
g≥0
g
sujeito a:
ln (g) ≥ G.
A função lagrangeana correspondente é:
L (G,λ) = g − λ [ln (g)−G] .
A condição de primeira ordem é a seguinte:
1− λ1
g
= 0⇔ λ = g.
Como se sabe, o multiplicador de Lagrange mede o impacto marginal so-
bre a função valor decorrente de uma variação exógena marginal da restrição.
Portanto, λ = g = CMg (G). De fato
G = ln (g)⇔ g = eG.
Logo:
C (G) = eG ⇒ CMg (G) = eG = λ.
Retornando a questão, a taxa marginal de substituição do consumidor i é:
TMgSi (G, xi) = −
1
G
1
2
= − 2
G
.
13
Assim, aplicando a fórmula que define o nível eficiente de provisão do bem
píblico, obtém-se que:
g∗ = 2
2
G∗
=
4
ln (g∗)
∼= 3, 33.
Portanto:
G∗ ∼= ln (3, 33) .
Questão 8 (Prova 1 de 2010): Em uma economia competitiva há 1000
indivíduos, cada um deles com uma dotação de 1 unidade de terra, que pode
ser alocada para a produção de 2 bens, girassol ou milho. As preferências do
indivíduo i são caracterizadas por:
U i = ln
(
xig
)
+ 2 ln
(
xim
)
+ ln
( yg
1000
)
,
sendo xig o consumo de girassol pelo consumidor i, x
i
m o consumo de milho
pelo indivíduo i e yg a produção total de girassol. Note que, dada a beleza
dos campos de girassol, sua produção gera uma externalidade positiva sobre os
indivíduos. No entanto, cada consumidor não tem poder de decisão sobre a
quantidade agregada de girassol produzida, yg. As tecnologias disponíveos para
a produção de girassol e milho são simples, dadas por:
yg = tg
e
ym = tm,
sendo ym a produção total de milho, tm o montante de terra usado na produção
de milho e tg o montante total de terra usado na produção de girassol.
(a) Escreva o problema que determina as alocações eficientes de terra e consumo.
Determine a alocação eficiente simétrica, na qual todos os indivívuos têm o
mesmo consumo (e, portanto, pesos de Pareto iguais).
Para achar a alocação eficiente, vamos montar o problema de Pareto (geral,
imporemos a condição de simetria posteriormente):
max
({xig}1000i=1 , {xim}1000i=1 , tg, tm)
1000∑
i=1
λi
[
ln(xig) + 2 ln(x
i
m) + ln
( yg
1000
)]
sujeito a:
1000∑
i=1
xig = yg = tg;
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1000∑
i=1
xim = ym = tm;
tg + tm = 1000.
A fim de obter a alocação eficiente simétrica, impomos iguais pesos de Pareto
para todos os indivíduos: λi = λ,i = 1, 2, ..., 1000. Além disso, a simetria
também implica que todos os consumidores consomem a mesma quantidade de
cada bem, o que por sua vez significa que
∑1000
i=1 x
i
g = 1000x
i
g. Assim, podemos
escrever o problema de Pareto simétrico como:
max
{xig}1000i=1 , {xim}1000i=1 , tg, tm λ
1000∑
i=1
[
ln
(
xig
)
+ 2 ln
(
xim
)
+ ln
(
1000xig
1000
)]
sujeito a:
1000∑
i=1
xig = yg = tg; (25)
1000∑
i=1
xim = ym = tm; (26)
tg + tm = 1000. (27)
As condições de primeira ordem ficam:
xig : λ
(
1
xig
+
1
xig
)
= µ1; (28)
xim : λ
(
2
xim
)
= µ2; (29)
tg : µ1 = µ3; (30)
tm : µ2 = µ3. (31)
(30)→(28):
λ
(
2
xig
)
= µ3; (32)
(31)→(29):
λ
(
2
xim
)
= µ3. (33)
Logo, igualando (32) e (33), temos que xig = x
i
m →
∑1000
i=1 x
i
m =
∑1000
i=1 x
i
g →
tg = tm. O único modo de termos tg = tmé com tg = tm = 500. Com isso,
temos que xig = 0, 5 e x
i
m = 0, 5.
(b) Determine o equilíbrio competitivo (preços e alocações). Mostre que tal
alocação não é eficiente. Como essa alocação se compara à alocação eficiente?
Dê uma intuição para esta comparação. Dica: Use terra como numerário.
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Para derivar o equilíbrio competitivo, vamos fazer o problema do consumidor
e o problema da firma, com cada consumidor agindo individualmente, e o mesmo
valendo para as firmas.
O problema do consumidor i é:
max
xig,x
i
m
ln
(
xig
)
+ 2 ln
(
xim
)
+ ln
( yg
1000
)
sujeito a:
pgx
i
g + pmx
i
m = 1.
Note que agora ygnão é uma variável de escolha do problema.
A condição de primeira ordem fica:
xig :
1
xig
= λpg; (34)
xim :
2
xim
= λpm. (35)
Fazendo (34)/(35),temos:
xim
2xig
=
pg
pm
⇒ pmxim = 2pgxig. (36)
Substituindo na restrição orçamentária temos:
3pgx
i
g = 1→ xig =
1
3pg
.
Com isto, xim =
2
3pm
.
O problema da firma produtora de Girassol é (note que já substituímos
yg = tg e pt = 1):
max
tg
pgtg − tg.
A condição de primeira ordem resulta em pg = 1. De modo análogo, temos
que pm = 1 também. Assim, x
i
g =
1
3 , x
i
m =
2
3 , para todo i. Além disso,
yg =
1000
3 e ym =
2000
3 . Para comparar com a alocação eficiente, vejamos o nível
de utilidade que esta alocação gera ao consumidor, comparando com o nível de
utilidade do item (a):
U i
(
1
2
,
1
2
, 500
)
= −2, 773 > U i
(
1
3
,
2
3
,
1000
3
)
= −3, 008.
Deste modo, o equilíbrio competitivo gera uma situação pior para todos os
indivíduos, ou seja, o equilíbrio competitivo não é eficiente de Pareto. Isto ocorre
pois no equilíbrio competitivo, o consumidor não internaliza a externalidade
positiva da produção de Girassol.
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(c) Mostre que um subsídio de 100% sobre o valor da produção de girassol,
financiado por um imposto lump-sum para os consumidores, gerará eficiência
em uma alocação competitiva. Qual será o montante de impotto lump-sum pago
por cada um dos indivíduos?
Um imposto de 100% sobre a produção de Girassol faz com que o preço do
Girassol vá para o nível p
′
g = 2pg. Com isso, o problema da firma produtora de
Girassol passa a ser:
max
tg
2pgtg − tg.
A condição de primeira ordem resulta em pg = 0, 5. O problema da firma
produtora de milho não se altera. Do problema do consumidor, tínhamos a
equação (12). Substituindo pg = 0, 5 em (12), temos:
xig = x
i
m → yg = ym = tg = tm = 500
→ xim = xig = 0, 5.
Como o montante do imposto é de 100% do valor da produção de Girassol,
ou seja, é igual a pgtg, o montante Lump-sum a ser pago por todos os individuos
será:
pgtg =
500(0, 5)
1000
= 0, 25.
Note que a renda dos individuos sera de 0,75 (Substitua os valores na Re-
strição Orçamentária e note isto.
Questão 9 (Prova 1 de 2010): Suponha uma economia com N indivíduos
indexados por i ∈ {1, 2, . . . , N} e dois bens, x e z. O bem x é público e o bem
z é privado. A utilidade do indivíduo i é dada por U i = U i
(
x, zic
)
, onde x e zic
denotam as quantidade de x e z consumidas pelo indivíduo i. Cada indivíduo
i possui uma dotação inicial do bem z dada por z∗i. A função de produção do
bem público x é dada por x = f
(∑N
i=1 z
i
d
)
, onde zid denota a quantidade a
quantidade do bem z empenhada na produção de x pelo indivíduo i.
(a) Explique porque o bem x consumido pelo indivíduo i não é indexado por i.
Pela definição de bem público, o mesmo nível de x deve ser consumido por
todos os indivíduos da sociedade, de modo que não faz sentido indexar o consumo
deste bem por individuo, ao mesmo tempo em que x dve aparecer na função de
utilidade de cada um.
(b) Monte e resolva o problema de Pareto desta economia. Mostre qual é a
condição para haver produção eficiente do bem público.
O problema de Pareto é:
max
({zic}Ni=1,{zid}Ni=1,x)
λ1U
1
(
x, z1c
)
+ λ2U
2
(
x, z2c
)
+ ...+ λNU
N
(
x, zNc
)
sujeito a:
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x = f
(
N∑
i=1
zic
)
;
N∑
i=1
(
zic + z
i
d
)
=
N∑
i=1
zi∗.
Montando o Lagrangeano, temos:
L = λ1U
1
(
x, z1c
)
+ λ2U
2
(
x, z2c
)
+ ...+ λNU
N
(
x, zNc
)
+
+µ
[
f
(
N∑
i=1
zic
)
− x
]
+ γ
[
N∑
i=1
zi∗ −
N∑
i=1
(
zic + z
i
d
)]
.
A condição de primeira ordem fica:
x : λ1
∂U1(x, z1c )
∂x
+ λ2
∂U2(x, z2c )
∂x
+ ...+ λN
∂UN (x, zNc )
∂x
− µ = 0; (37)
zic : λi
∂U i
∂zic
= γ; (38)
zid : µf
′ = γ. (39)
Substituindo (38) e (39) em (37), obtemos:
N∑
i=1
∂Ui
∂x
∂Ui
∂zic
=
1
f ′
.
Ou seja, a produção eficiente de bem privado se dá no ponto em que a soma
da Utilidade marginal relativa (em relação à utilidade marginal do bem privado)
do bem público para todos os individuos (ou seja, o benefício marginal do bem
público medido em termos do benefício marginal do bem privado) é inversamente
proporcional à produtividade da produção do bem público. Isto ocorre porque o
bem privado é usado como insumo para a produção de bem público, e portanto
para se produzir f' unidades adicionais de bem público, deve-se abrir mão de
uma 1 unidade do bem privado, e assim sendo, enquanto o benefício marginal
total (para todos os indivíduos, uma vez que é um bem público) do bem público
for maior do que a soma dos benefícios marginais do bem privado vale a pena
continuar produzindo este bem em detrimento de cada indivíduo consumir o
bem privado.
(c) A curva de demanda agregada para bens privados é obtida através da soma
horizontal (i.e. para um mesmo preço devemos somar as quantidades consum-
idas do bem privado por cada indivíduo). A demanda por um bem público
também pode ser obtida desta forma? Justifique sua resposta.
(ver Nicholson, pág. 682): No caso de bens privados, a curva de demanda
obtida por meio da soma horizontal das demandas individuais reporta de modo
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correto o valor marginal do bem para a sociedade: uma unidade adicional pode-
ria ser consumida por alguém que atribua a ela o valor que corresponde ao
preço de mercado. No caso de bens públicos, o valor de uma unidade adicional
é, na verdade, a soma dos valores que cada indivíduo atribui a tal unidade,
uma vez que todos os individuosirão se beneficiar com esta unidade. Portanto,
nesse caso, as demandas individuais deveriam ser somadas verticalmente: o
preço nessa curva de demanda �vertical� reflete, parta cada nível de produção,
o quanto uma unidade adicional do bem público seria valorizada por todos os
consumidores, conjuntamente. A curva de mercado usual (soma horizontal) não
reflete essa valoração marginal total.
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