Questões resolvidas de Geometria Plana

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
 
Geometria Plana – EP01 – Gabarito 
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Prezado(a) aluno(a), 
 
você leu a Introdução que está no arquivo EP01_GP_Questões? Se não, leia, pois há informações 
importantes. 
Atenção: 
- E importante desenvolver a visão geométrica. Procure criar o hábito de representar suas próprias 
figuras antes de verificar a resposta. 
- Faça um resumo do conteúdo abordado por aula. 
- Observe como deve ser a justificativa na solução do Gabarito. Preencher somente os valores na 
figura não é justificativa. 
- Utilize a Sala de Tutoria para postar suas dúvidas ou procure seu tutor presencial no polo. 
- O Gabarito estará disponível sempre na semana seguinte, para consulta e conferência. 
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ERRATA - em Aula 1: 
- página 17 - Gabarito do Exercício Proposto 1 - Resposta correta é 21. 
- página 27 - Enunciado do Exercício Proposto 3. Qual é a medida de um ângulo que 
excede o seu complemento em 69°? 
 
Definição: Retas paralelas (Símbolo: //) 
Duas retas são paralelas se, e somente se, são coincidentes ou são coplanares e não tem ponto em 
comum. 
 
Na semana 1, você deve ter : 
1) Feito a leitura das páginas 11 a 27, Aula 1. 
2) Após leitura, sem olhar no material didático, ser capaz de exemplificar as palavras 
relacionadas com o conteúdo da disciplina na semana. Por exemplo: retas, ângulos, 
perímetro, bissetriz, etc. 
3) Retornado ao texto e conferido com a sua lista, acrescentando as demais palavras. Relembre 
e anote suas definições e exemplos. 
4) Anotado e observado as notações para retas, semirretas, plano, segmento, ângulo, etc. 
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Geometria Plana – EP01 Gabarito 2 
 
Exercício 1: 
Quantos ângulos existem na figura? 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
Os ângulos são: 𝐷�̂�𝐸, 𝐸�̂�𝐹, 𝐹�̂�𝐴, 𝐴�̂�𝐵, 𝐵�̂�𝐶, 𝐶�̂�𝐷, 𝐷�̂�𝐹, 𝐷�̂�𝐴, 𝐷�̂�𝐵, 𝐸�̂�𝐴, 𝐸�̂�𝐵, 𝐸�̂�𝐶, 
 
 
𝐹�̂�𝐵, 𝐹�̂�𝐶, 𝐹�̂�𝐷, 𝐴�̂�𝐶, 𝐴�̂�𝐷, 𝐴�̂�𝐸, 𝐵�̂�𝐷, 𝐵�̂�𝐸, 𝐴�̂�𝐹, 𝐶�̂�𝐸, 𝐶�̂�𝐹, 𝐶�̂�𝐴. 
 
Logo, 6+9 = 15 ângulos. 
 
Outra solução, usando combinação simples: 𝐶6
2 =
6!
(6−2)! 2!
=
6 ∙ 5 ∙ 4!
4! 2!
=
6∙ 5
2
= 3 ∙ 5 = 15 
 
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Exercício 2: Na figura, três retas se interceptam no mesmo 
ponto. 
Dados 
 𝑎 = 85° e 𝑒 = 30° , 
 
determine as medidas dos ângulos 𝑏, 𝑐, 𝑑 e 𝑓. 
 
Solução: 
Denote por 𝑟, 𝑠 e 𝑡 a três retas da figura. 
Do enunciado temos que 𝑎 = 85° e 𝑒 = 30°. 
 
Da reta s, temos que 𝑎 + 𝑓 + 𝑒 = 180°, ângulo raso, logo, 
𝑓 = 180° – 𝑎 – 𝑒 = 180° – 85°– 30° = 180° – 115° = 65°. 
Como ângulos opostos pelo vértice são congruentes, temos que: 
 𝑎 = 𝑑 , 𝑏 = 𝑒 e 𝑐 = 𝑓. 
Logo, 𝑎 = 𝑑 = 85°, 𝑏 = 𝑒 = 30° e 𝑐 = 𝑓 = 65° 
 
 
 
 
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Geometria Plana – EP01 Gabarito 3 
 
Exercício 3: Considere a figura ao lado. Complete 
a) 𝑚(𝑆�̂�𝑅) + 𝑚(𝑄�̂�𝑂) = 𝑚(. . . . . . ) 
b) 𝑚(𝑅�̂�𝑄) + 𝑚(. . . . . . ) = 𝑚(𝑅�̂�𝑃) 
c) 𝑚(𝑃𝑂𝑄) + 𝑚(𝑃𝑂𝑆) = 𝑚(. . . . . . ) 
d) 𝑚(𝑆�̂�𝑄) − 𝑚(𝑆�̂�𝑂) = 𝑚(. . . . . . ) 
e) 𝑚(𝑅𝑂𝑄) = 180 ° − 𝑚(. . . . . ) 
f) 𝑚(𝑆𝑂) + 𝑚(𝑂𝑄) = 𝑚(. . . . . ) 
 
 
 
Solução: 
Nos itens a) a e) temos a medidas de ângulos e no item f) a medida de um segmento. 
a) 𝑚(𝑆�̂�𝑅) + 𝑚(𝑄�̂�𝑂) = 𝑚(𝑆�̂�𝑄) pois 𝑚(𝑄�̂�𝑂) = 𝑚(𝑄�̂�𝑅) = 𝑚(𝑅�̂�𝑄) 
b) 𝑚(𝑅�̂�𝑄) + 𝑚(𝑄�̂�𝑃) = 𝑚(𝑅�̂�𝑃) 
c) 𝑚(𝑃𝑂𝑄) + 𝑚(𝑃𝑂𝑆) = 𝑚(𝑆𝑂𝑄) = 180° 
d) 𝑚(𝑆�̂�𝑄) − 𝑚(𝑆�̂�𝑂) = 𝑚(𝑂�̂�𝑄) 
e) Duas possíveis soluções são: 
 𝑚(𝑅𝑂𝑄) = 180° − 𝑚(𝑆𝑂𝑅) ou 𝑚(𝑅𝑂𝑄) = 180° − 𝑚(𝑃𝑂𝑄) 
f) 𝑚(𝑆𝑂) + 𝑚(𝑂𝑄) = 𝑚(𝑆𝑄) 
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Exercício 4: Qual a medida de um ângulo sabendo-se que a medida do seu suplemento é 39° a mais 
que o dobro da medida do seu complemento? 
Solução: 
Seja 𝑥 a medida do ângulo. Temos que seu suplemento é 180° – 𝑥 e seu complemento é 90° – 𝑥 . 
Do enunciado temos: 
 180°– 𝑥 = 39° + 2(90°– 𝑥) ⇒ 180°– 𝑥 = 39° + 180°– 2𝑥 
 ⇒ 2𝑥 – 𝑥 = 39° ⇒ 𝑥 = 39° 
 ⇒ 2𝑥 – 𝑥 = 39° ⇒ 𝑥 = 39° 
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Exercício 5: O dobro da medida de um ângulo é 30° a menos que cinco vezes a medida do seu 
suplemento. Qual a medida do ângulo? 
 
Solução: Seja 𝑥 a medida do ângulo. Temos que seu suplemento é 180° – 𝑥. 
Do enunciado temos: 2𝑥 = 5(180° – 𝑥) – 30° ⇒ 2𝑥 = 900° – 5𝑥 – 30° ⇒ 7𝑥 = 870° 
Então, 𝑥 = 
870°
7
 ≈ 124° 17′ 8 ′′. 
Observação: 
870°
7
=
7∙124°+2°
7
 ; 
2°
7
=
120′
7
=
7 ∙ 17′+1′
7
 e 
1′
7
=
60′′
7
=
7 ∙ 8′′+4′′
7
 
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Geometria Plana – EP01 Gabarito 4 
 
Exercício 6: Se em um plano a medida do ângulo 𝐵�̂�𝐷 é 65° e a medida do ângulo 𝐷�̂�𝐶 é 32°, qual o valor 
da medida do ângulo 𝐶�̂�𝐵. 
Solução: Considere em um plano 𝑚(𝐵�̂�𝐷) = 65° e 𝑚(𝐷�̂�𝐶) = 32°. Note que temos duas situações 
para o ângulo 𝐷�̂�𝐶 , conforme as figuras: 
 
 
Logo, 𝑚(𝐶�̂�𝐵) = 65° + 32° = 97° ou 𝑚(𝐶�̂�𝐵) = 65° − 32° = 33° 
Obs: Ângulos consecutivos ou adjacentes. O que difere a definição deles? 
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Exercício 7: No desenho DA é a bissetriz do ângulo 𝐶�̂�𝐵. 
Determine o valor da medida do ângulo 𝐷�̂�𝐸 sabendo 
que 𝐶�̂�𝐵 + 𝐸�̂�𝐵 = 120° e 𝐶�̂�𝐵 − 𝐸�̂�𝐵 = 80°. 
 
 
 
 
Solução: Como DA é a bissetriz do ângulo 𝐶�̂�𝐵, então 𝐶�̂�𝐷 = 𝐷�̂�𝐵. 
Do enunciado: {
 𝐶�̂�𝐵 + 𝐸�̂�𝐵 = 120° (1)
𝐶�̂�𝐵 − 𝐸�̂�𝐵 = 80° (2)
 ⇒ 2 ∙ 𝐶�̂�𝐵 = 200° ⇒ 𝐶�̂�𝐵 = 100° 
Então, 𝐶�̂�𝐷 = 𝐷�̂�𝐵 = 
𝐶�̂�𝐵 
2
=
100
2
= 50. 
Usando (1) 𝐸�̂�𝐵 = 120° − 𝐶�̂�𝐵 = 120° − 100° = 20° 
Logo, 𝐷�̂�𝐸 = 𝐷�̂�𝐵 − 𝐸�̂�𝐵 = 50° − 𝐸�̂�𝐵 = 50° − 20° = 30° 
 
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Geometria Plana – EP01 Gabarito 5 
 
Exercício 8: Considere duas retas 𝐴𝐵 ⃡ e 𝐶𝐷 ⃡ que e interceptam no ponto O conforme a figura. 
 
Mostre que os ângulos opostos 𝐴�̂�𝐶 e 𝐷�̂�𝐵 são 
congruentes. 
 
 
 
Nota: O mesmo é válido para os ângulos 𝐴�̂�𝐷 e 𝐶�̂�𝐵. 
Solução: Veja a prova completa na página 22 do material didático. 
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Exercício 9: Efetue as operações: 
a) 38° 27’ 25” + 123°30’ 50’’ = 
b) 90° – 31°20’40’’ = 
c) 3 × (71°30’40”) = 
d) 78°10’20” ÷ 4 = 
Solução: 
a) 38° 27’ 25” + 123°30’ 50’’ = 161°57′75′′ = 161°58′15′′, pois 75′′ = 60′′ + 15′′ =
1′15′′. 
b) 90° – 31°20’40’’ = 89°59′75′′ − 31°20′40′′ = 58°39′20′′ , pois 1° = 60′ e 1′ = 60′′. 
c) 3 × (71°30’40”) = 213°90’120” = 214°32’ pois 90′ = 60′ + 30′ e 120′′ = 2 ∙ 60′′ = 2′. 
d) 78°10’20” ÷ 4 = 19°32’35”, pois 78° ÷ 4 = 19,5° = 19°30′ e 10′ ÷ 4 = 2,5′ = 2′30′′. 
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Exercício 10: 𝐴�̂�𝐷 é um ângulo raso. As semirretas 𝑂𝐵 e 𝑂𝐶 decompõem esse ângulo em três outros 
tais que 𝑚(𝐵�̂�𝐶) = 𝑚(𝐶�̂�𝐷) e 𝑚(𝐴�̂�𝐵) = 
𝑚(𝐵�̂�𝐶)
3
. Encontre um valor aproximado para 𝑚(𝐴�̂�𝐵). 
Solução:Seja 𝐴�̂�𝐷 é um ângulo raso e as semirretas 𝑂𝐵 e 𝑂𝐶 que decompõem esse ângulo em três outros tais 
que 𝑚(𝐵�̂�𝐶) = 𝑚(𝐶�̂�𝐷) e 𝑚(𝐴�̂�𝐵) = 
𝑚(𝐵�̂�𝐶)
3
. 
Denote 𝑚(𝐵�̂�𝐶) = 𝑥. Então 𝑚(𝐴�̂�𝐵) = 
𝑥
3
 . 
Temos que 𝑥 + 𝑥 +
𝑥
3
= 180°, então 
7𝑥
3
= 180° ⇒ 𝑥 =
3 ∙ 180°
7
 e 𝑚(𝐴�̂�𝐵) = 
𝑥
3
=
180°
7
 
Usando a aproximação para 
180°
7
, 𝑚(𝐴�̂�𝐵) = 25°42’51”. 
Geometria Plana – EP01 Gabarito 6 
 
Uma figura que representa dos dados do enunciado. 
 
 
 
 
 
 
 
Você pode resolver usando 𝑚(𝐴�̂�𝐵) = 180° − 2x = 
𝑚(𝐵�̂�𝐶)
3
 
180
7
=
175
7
+
5
7
= 25 +
5
7
 
60 ∙ 5
7
=
294
7
+
6
7
= 42 +
6
7
 
60 ∙ 6
7
=
357
7
+
3
7
= 51 +
3
7
 
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