ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS - Aula 1

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ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
ARA0420
Aula 1
Apresentação da disciplina
Tipos de elementos estruturais
19/Agosto/2020
Prof. Paulo Cesar (Pecê)
ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
A disciplina Análise de Estruturas Isostáticas está no Eixo Básico de
Formação do Engenheiro Civil, devendo ser ministrada no sexto período
quando o aluno já possuir conhecimentos em elasticidade, e mecânica.
Esse conhecimento foi construído com conteúdos das disciplinas de Física
Teórica, Física Experimental, Resistência dos Materiais e Mecânica dos Sólidos.
A disciplina concentra-se principalmente na determinação de reações de
apoio e da distribuição de esforços em estruturas isostáticas submetidas a
forcas e carregamentos externos, sendo consideradas estruturas reticuladas
em duas e três dimensões.
Além disso, conhecimentos que foram conferidos nas disciplinas de Cálculo
Integral e Diferencial I, II e III, com aplicações em problemas de equilíbrio de
tensões em volumes elementares, cálculo de áreas sob curvas, máximos e
mínimos de funções e outros são recomendados..
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
 ALMEIDA, M. C. F. Estruturas
isostáticas I ed. São Paulo: Oficina
de Textos, 2009
Disponível em: 
https://plataforma.bvirtual.com.br/
Acervo/Publicacao/162905
 KASSIMALI, Aslam. Análise estrutural. 5 ed.. 
São Paulo: Cengage Learning, 2015.
Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/b
ooks/9788522124985/cfi/0!/4/2@100:0.00
Disponível no Teams (em inglês)
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
 HIBBELER, Russel Charles. Análise das 
estruturas. 8ª Ed.. São Paulo: Person
Education do Brasil, 2013.
Disponível em: 
https://plataforma.bvirtual.com.br/Acer
vo/Publicacao/3819
Disponível no Teams (em inglês)
 LEET, Kenneth M.; UANG, Chia-Ming; 
GILBERT, Anne M. Fundamentos da 
análise estrutural. 3. ed.. Porto Alegre: 
AMGH, 2010.
Disponível em: 
https://integrada.minhabiblioteca.com.b
r/#/books/9788563308344/recent
Disponível no Teams (em português)
SOFTWARE INDICADO
Ftool. Disponível em: <https://www.ftool.com.br/Ftool/>
Cronograma das aulas pela plataforma Teams
Semana Data Atividade
01 19/AGO Aula 1 – APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA – TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS
02 26/AGO Aula 2 – VINCULAÇÕES E DETERMINAÇÃO DO GRAU DE INDETERMINAÇÃO
03 02/SET* Aula 3 – CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO EM ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS
04 09/SET SEMANA ACADÊMICA DAS ENGENHARIAS
05 16/SET Aula 4 – ESFORÇOS INTERNOS E RELAÇÃO ENTRE CARGA
06 23/SET Aula 5 – DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS EM VIGAS SIMPLES
07 30/SET Aula 6 – DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS EM VIGAS GERBER
08 07/OUT AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV1
09 14/OUT Aula 7 – CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO EM PÓRTICOS PLANOS
10 21/OUT Aula 8 – DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS EM PÓRTICOS PLANOS SIMPLES
11 28/OUT Aula 9 – DETERMINAÇÃO DE ESFORÇOS INTERNOS EM PÓRTICOS PLANOS COMPOSTOS
12 04/NOV Aula 10 – LINHAS DE INFLUÊNCIA DE ESTRUTURAS BIDIMENSIONAIS
13 11/NOV Aula 11 – LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA VIGAS
14 18/NOV AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV2
15 25/NOV Devolutiva e Resolução AV2
16 02/DEZ AVALIAÇÃO PRESENCIAL AV3
17 09/DEZ Devolutiva e Resolução AV3
18 16/DEZ Fim do semestre letivo
Aula 12 – LINHAS DE INFLUÊNCIA PARA TRELIÇA
CD Aula 13 – PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS E DEFORMAÇÕES EM ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
CD Aula 14 – DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS RETICULADAS BIDIMENSIONAIS
CD Aula 15 – CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM VIGAS
CD Aula 16 – CÁLCULO DE DESLOCAMENTOS EM PÓRTICOS PLANOS
Disponível no Teams
O PLANO DE ENSINO DA ANÁLISE DE ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS
Bloco 1 – Estruturas isostáticas
Bloco 2 – Análise de vigas isostáticas
Bloco 3 – Análise de pórticos isostáticos planos
Bloco 4 – Linhas de influência em vigas isostáticas
Bloco 5 – Deformações por carregamentos externos em estruturas
isostáticas (Crédito digital)
Avaliações
AV1:
AV2:
AV3:
AVD:
07/Out
18/Nov
02/Dez
11/Nov a 24/Nov
AVDS: 02/Dez a 08/Dez
0,0 a 7,0 + 0,0 a 3,0 (Atividade)
0,0 a 10,0 (PNI)
0,0 a 10,0 (PNI)
0,0 a 10,0 (Digital)
0,0 a 10,0 (Digital)
Qualquer avaliação somente
será considerada, para o
cálculo da média, se a nota
de qualquer prova for maior
ou igual a 4,0.
𝐌é𝐝𝐢𝐚 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥 =
𝐀𝐕𝒊 + 𝐀𝐕𝒋 + 𝐀𝐕𝐃
𝟑
≥ 𝟔, 𝟎
Tipos de elementos estruturais
Unidimensional
Bidimensional
Tridimensional
Vigas
Barras
Cabos
Escoras
Tirantes
Lajes
Paredes de fechamento
Blocos
Sapatas de fundação
Tipos de estruturas reticulares
Força e Momento de uma força
Força
As forças são grandezas vetoriais, caracterizadas por uma direção, um sentido 
e uma intensidade. 
Uma força sempre estará associada a dois corpos.
Ԧ𝐹
A direção da força é 
a direção da reta 
que passa pelo 
vetor.
O sentido da força é 
indicado pela seta 
na extremidade do 
segmento de reta.
O intensidade (ou módulo) da força é proporcional 
ao comprimento do segmento de reta.
F = | Ԧ𝐹|
No Sistema Internacional de Unidades (SI), força é medida em newton (N).
Momento de uma força
O momento de uma força é uma grandeza vetorial, caracterizada por uma 
direção, um sentido e uma intensidade (ou módulo). 
Considere o corpo abaixo sujeito à força F.
F
O
d
Direção: Perpendicular ao plano definido por Ԧ𝐹 e O. 
Sentido: Dado pela regra da mão direita. 
Módulo: MF = ±F · d
d é o braço da força.
No SI, o momento de uma força é 
medido em newton·metro (N·m).
Condições de equilíbrio do ponto material e do corpo extenso
Para que um ponto material permaneça em equilíbrio, deve-se impor que:
ou0321

=++++ nF...FFF
Isso garante que o ponto material não sofrerá translação.
Equilíbrio do ponto material
Σ Ԧ𝐹 = 0
Para garantir o equilíbrio de um corpo extenso rígido, devemos impor duas 
condições.
F1
F3F4
F2
A 1ª condição de equilíbrio visa impedir 
que o corpo sofra uma translação.
A 2ª condição de equilíbrio visa impedir 
que o corpo sofra uma rotação.
Equilíbrio do corpo extenso e rígido
1ª condição de equilíbrio: ou0321

=++++ nF...FFF
2ª condição de equilíbrio: 0
321

=++++
nFFFF
M...MMM ou
Σ Ԧ𝐹 = 0
Σ𝑀 = 0
Aparelhos de apoio
Os aparelhos de apoio visam restringir os graus de liberdade da estrutura,
de modo a evitar toda e qualquer tendência de movimento da estrutura.
No espaço, utilizando um sistema de
eixos referenciais, os vetores
deslocamentos lineares (translações
𝐷) e os vetores dos deslocamentos
angulares (rotações Ԧ𝜃) são expressos
por suas componentes nos 3 eixos
ortogonais x, y e z, as quais são
denominadas graus de liberdade.
Os apoios serão classificados em função do número de graus de liberdade
permitidos (ou do número de movimentos impedidos).
No caso das estruturas planas carregadas no próprio plano, que será o mais
frequente na Teoria das Estruturas I, existem 3 graus de liberdade a
restringir.
Supondo uma estrutura situada no plano
x-y, os graus de liberdade a restringir são
as translações nas direções Ox e Oy e a
rotação em torno de um eixo
perpendicular ao plano, no caso a
direção Oz.
São os seguintes os apoios utilizáveis para impedir estes movimentos:
 apoio de 1º gênero
Este tipo de apoio é, basicamente, um suporte sobre o qual se assenta a
estrutura (podendo ou não ter roletes) e que impede o movimento em uma
única direção e nesta direção aparecerá uma reação de apoio R,
perpendicular ao plano de apoio
ou
R R
 apoio de 2º gênero
Este tipo de apoio é, basicamente, uma conexão com pino e que impede o
movimento de translação, mas permite o movimento de rotação em torno do
pino. A força resultante aplicada pelo pino à estrutura pode ser decomposta
em duas componentes ortogonais.
Ay
Ax
 apoio de 3º gênero
Este apoio, denominado engaste, impede o movimento de translação e
também o movimento de rotação. Este apoio aplica à estrutura duas
componentes de força e um momento..
Ay
AxMA
Método das seções
Uma das mais importantes aplicações da estática na análise de problemas de
estruturas é poder determinar a força e o momento resultantes que agem no
interior de um corpo e que são necessários para mantera integridade do
corpo quando submetido a cargas externas.
Se este corpo, como um 
todo, está em equilíbrio.
Esta parte do corpo 
estará em equilíbrio.
Esta parte do corpo 
também estará em 
equilíbrio.
Esforços internos
Para a viga mostrada abaixo, vamos aplicar o método das seções ao ponto B.
N: força normal
V: força cortante
M: momento fletor
Convenção de sinais para os esforços internos
Observação
Para o momento torçor, T, cuja direção coincide com o eixo da viga, o
sentido positivo é aquele em que, quando aplicada a regra da mão direita,
o polegar apontar para fora da seção.
1. Para a viga isostática mostrada na 
figura abaixo determine as reações 
nos apoios A e B.
Ay
Ax
By
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 70
Σ𝑀𝐴 = 0: 𝐵𝑦 ∙ 8 = 30 ∙ 4 + 40 ∙ 6
𝐵𝑦 = 45 kN
𝐴𝑦 = 25 kN
()
𝐴𝑦 + 45 = 70
()
Exemplos de aplicação
2. Para a estrutura mostrada na figura
abaixo determine as reações nos apoios
A e B.
Ay
Ax
By
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 7
Σ𝑀𝐴 = 0: 𝐵𝑦 ∙ 8 = 7 ∙ 2 + 12
𝐵𝑦 = 3,25 kN
𝐴𝑦 = 3,75 kN
()
𝐴𝑦 + 3,25 = 7
()
3. Determine as componentes horizontal
e vertical das reações no ponto A e no
ponto B para a viga mostrada na figura
abaixo.
Ay By
Bx
300 2 N
300 2 N
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐵𝑥 + 300 2 = 0
𝐵𝑥 = −424,3 N ()
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 724,3
Σ𝑀𝐵 = 0:
𝐴𝑦 ∙ 7 + 424,3 ∙ 0,2 = 424,3 ∙ 5 + 100 ∙ 2
𝐴𝑦 = 319,5 N ()
319,5 + 𝐵𝑦 = 724,3
𝐵𝑦 = 404,8 N ()
4. Uma estrutura em arco treliçado é fixa ao
suporte articulado no ponto A, e sobre roletes em B
num plano de 30° com a horizontal. O vão AB mede
20 m. O peso próprio da estrutura é de 100 kN. A
força resultante dos ventos é de 40 kN, e situa-se a
4 m acima de A, horizontalmente, da direita para a
esquerda. Determine as reações dos apoios A e B.
B
Ay
Ax100 kN
B∙sen30°
B∙cos30°
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 + 𝐵 ∙ 0,5 = 40
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵 ∙ 0,866 = 100
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵 ∙ 0,866 ∙ 20 = 100 ∙ 10 + 40 ∙ 4
𝐵 = 67 kN ( )
𝐴𝑥 = 6,5 kN ()
𝐴𝑦 = 42 kN ()
5. A viga da figura abaixo tem peso
1000 N e está submetida à carga
concentrada de 1200 N, como
representado. Determine as reações no
engaste A.
1000 N
Ax
Ay
MA
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 = 1200 + 1000
𝐴𝑦 = 2200 N ()
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝑀𝐴 = 1200 ∙ 2 + 1000 ∙ 3
𝑀𝐴 = 5400 N ∙ m ()
6. Determinar as reações de apoio da 
estrutura apresentada abaixo:
Ay
Ax
By
89,6 kN
7,47 m 3,73 m
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 89,6
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 11,2 = 89,6 ∙ 7,47
𝐵𝑦 = 59, 8 kN ()
𝐴𝑦 = 29,8 kN ()
7. Determinar as reações de apoio da 
estrutura apresentada abaixo:
Ay
Ax
By
73,6 kN
4,6 m
46 kN
9,2/3 m
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 119,6
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 9,2 = 73,6 ∙ 4,6 + 46 ∙
9,2
3
𝐵𝑦 = 52, 13 kN ()
𝐴𝑦 = 67,47 kN ()
8. Determinar as reações de apoio da 
estrutura apresentada abaixo:
Ay
Ax
By
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 0
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 10,4 + 12 = 21
𝐵𝑦 = 0,86 kN ()
𝐴𝑦 = −0,86 kN ()
9. Determinar as reações de apoio da 
estrutura apresentada abaixo:
Ay By
Ax
86,4 kN
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 86,4
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 9,6 + 21 = 86,4 ∙ 4,8 + 33
𝐵𝑦 = 44,45 kN ()
𝐴𝑦 = 41,95 kN ()
10. Determinar as reações de apoio da 
estrutura apresentada abaixo:
Ay
Ax
By
4,05 kN
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 4,05
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 3,6 = 4,05 ∙ 4,2 + 2,25
𝐵𝑦 = 5,35 kN ()
𝐴𝑦 = −1,30 kN ()
11. Obter as reações de apoio para a 
estrutura da figura abaixo.
Ay
Ax
By
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 0
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 8 + 7 = 3 + 8
𝐵𝑦 = 0,50 tf ()
𝐴𝑦 = −0,50 tf ()
12. Calcular as reações de apoio para a 
viga biapoiada da figura abaixo.
Ay
Ax
By
12 tf
9 tf
Σ𝐹𝑥 = 0:
𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0:
𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 21
Σ𝑀𝐴 = 0:
𝐵𝑦 ∙ 6 + 18 = 9 ∙ 2 + 12 ∙ 3
𝐵𝑦 = 6 tf ()
𝐴𝑦 = 15 tf ()
13. Determine a força interna normal, a
força cortante e o momento fletor que
atuam no ponto C da viga mostrada ao
lado.
● Reações dos apoios:
Ay
Ax
By
6 kN 12 kN
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝐴𝑥 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 18
Σ𝑀𝐴 = 0: 𝐵𝑦 ∙ 3 = 6 ∙ 0,75 + 12 ∙ 2,25
𝐵𝑦 = 10,5 kN
𝐴𝑦 = 7,5 kN
● Esforços internos em C:
7,5 kN
NC
VC
MC
6 kN
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝑁𝐶 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝑉𝐶 + 6 − 7,5 = 0
𝑉𝐶 = 1,5 kN
Σ𝑀𝐶 = 0:
𝑀𝐶 + 6 ∙ 0,75 − 7,5 ∙ 1,5 = 0
𝑀𝐶 = 6,75 kN ∙ m
14. Determine as cargas internas
resultantes que agem na seção
transversal em C da viga mostrada
na figura abaixo.
q
270 N/m
9 m
=
𝑞
6 m
𝑞 = 180 N/m
540 N
NC
VC
MC
Σ𝐹𝑥 = 0: 𝑁𝐶 = 0
Σ𝐹𝑦 = 0: 𝑉𝐶 − 540 = 0
𝑉𝐶 = 540 N
Σ𝑀𝐶 = 0: 𝑀𝐶 + 540 ∙ 2 = 0
𝑀𝐶 = −1080 N ∙ m