Integrais de funcoes trigonometricas

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Integrais de funções trigonométricas 
"Existem integrais de funções trigonométricas, como por exemplo 
 
que não podem ser escritas em termos de funções elementares. 
Com a substituição universal, integrais de funções da forma R(sen(x),cos(x)), onde R 
indica uma função racional, são transformadas em integrais de funções racionais. Em 
alguns casos, outras substituições podem tornar o cálculo dessas integrais bem mais 
simples" 
1o Caso: 
Exemplo 1.1 
 
 
t = sen(x) Þ dx = cos(x)dx 
 
 Exemplo 1.2 
 
 
t = cos(x) Þ dx = - sen(x)dx 
 
 
Observação 1: De modo geral, na integral 
 
onde m e n são inteiros e pelo menos um deles é ímpar, digamos m ímpar, tomamos m = 2p 
+1 e 
 
com a substituição 
t = cos(x) Þ dx = - sen(x)dx 
Obtemos uma integral de função racional. em t. 
 
Exemplo 1.3 
 
t = sen(x) Þ dx = cos(x)dx 
 
Decompondo em frações parciais 
 
Continue! 
 2o Caso: 
Exemplo 2.1 
 
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) = cos2(x) - (1- cos2(x)) 
 
(I) 
 
 Exemplo 2.2 
 
cos(2x) = cos2(x) - sen2(x) =(1 - sen2(x)) - sen2(x) 
 
(II) 
 
 
Observação 2: De modo geral, na integral 
 
onde m e n são inteiros não negativos e ambos pares usamos as fórmulas (I) e (II). 
 3o Caso: 
Observação 3.1: Usaremos a notação R(sen(x),cos(x)) para indicar uma função racional 
de sen(x) e cos(x). 
 
Exemplo 3.1 
 
 Observação 3.2: Se na função R(sen(x),cos(x)), sen(x) e cos(x) apresentam-se apenas 
com potências pares, com a mudança de variável t = tg(x), reescrevemos a integral 
 
como uma integral de função racional em t. 
Neste caso usaremos as fórmulas (III), (IV) e (V), 
 
(III) 
 
 
 
(IV) 
 
 
 
(V) 
 
É claro que os exemplos do Caso 2 são também exemplos que se enquadram no Caso 3. 
Mas a aplicação do Caso 2 geralmente resulta em cálculos menos trabalhosos. 
 
Exemplo 3.2 
 
Substituindo tg(x) = t ... 
 
Função racional própria. 
Decompondo em frações parciais 
 
\ A = C = 0 , B = -1, D = 2 
 
 
 
4o Caso 
Observação 4.1: Como no caso anterior, uma integral do tipo 
 
pode ser reduzida a uma integral de função racional em t com a substituição t = tg(x) 
 Exemplo 4.1 
 
 
 
\ A = 1/2, B = -1/2, C = ½ 
 
 
 
5o Caso – Substituição Universal 
Esta técnica é chamada Substituição Universal por servir para resolver qualquer integral 
de função racional de sen(x) e cos(x). Portanto pode ser aplicada a qual quer um dos 
casos vistos anteriormente, apesar de sua aplicação geralmente, resultar em cálculos mais 
trabalhosos. 
Observação 5.1: Dada a integral 
 
com a substituição t = tg(x/2) obtemos uma intergral de função racional em t. 
Neste caso usamos as fórmulas (VI), (VII) e (VIII) a seguir 
 
(VI) 
 
 
 
(VII) 
 
 
 
(VIII) 
 
Exemplo 5.1 
 
 
 
Decompondo em frações parciais 
 
.... A = C = 0, B = -1/2, D = 1/2. 
 
 
 
6o Caso 
Observação 6.1: Nas integrais dos tipos 
 
 
 
com m e n Î R usamos diretamente as fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de 
dois arcos, com ilustraremos no exemplo seguinte. 
 
Exemplo 6.1 
 
sen(2x + 3x) = sen(2x)cos(3x) + sen(3x)cos(2x) (a) 
sen(2x - 3x) = sen(2x)cos(3x) - sen(3x)cos(2x) (b) 
De (a) + (b) temos 
sen(2x + 3x) + sen(2x - 3x) =2.sen(2x)cos(3x) Þ 
Þ sen(2x)cos(3x) = [sen(5x) + sen(-x)]/2 = [sen(5x) - sen(x)]/2 
 
 
Observação 6.2: Outra forma de calcular as integrais 1) 2) e 3) é usando as fórmulas que 
deduziremos a seguir a partir das fórmulas da soma e subtração de seno e cosseno de dois 
arcos. 
sen(mx + nx) = sen(mx)cos(nx) + sen(mx)cos(nx) (a) 
sen(mx - nx) = sen(mx)cos(nx) - sen(mx)cos(nx) (b) 
De (a) + (b) temos 
sen(mx + nx) + sen(mx - nx) =2.sen(mx)cos(nx) 
\ sen(mx)cos(nx) = [sen((m + n)x) + sen((m – n)x)]/2 
 
cos(mx + nx) = cos(mx)cos(nx) - sen(mx)sen(nx) (a) 
cos(mx - nx) = cos(mx)cos(nx) + sen(mx)sen(nx) (b) 
De (a) + (b) temos 
cos(mx + nx) + cos(mx - nx) = 2. cos(mx)cos(nx) 
\ cos(mx)cos(nx) = [cos((m + n)x) + cos((m– n)x)]/2 
Ainda de (b) - (a) temos 
cos(mx - nx) - cos(mx + nx) = 2. sen(mx)sen(nx) 
\ sen(mx)sen(nx) = [cos((m - n)x) - cos((m + n)x)]/2 
Exemplo 6.2