Calculo 3 - lista 6

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Universidade Federal de Lavras
Departamento de Ciências Exatas
Cálculo III - GEX 108
Lista 6
1. Utilize coordenadas cilíndricas e calcule.
(a)
∫∫∫
E
√
x2 + y2 dV, onde E é a região que está dentro do cilindro
x2 + y2 = 16 e entre os planos z = −5 e z = 4.
(b)
∫∫∫
E
(x + y + z) dV , onde E é o sólido do primeiro octante que
está abaixo do paraboloide z = 4− x2 − y2.
(c)
∫∫∫
E
x2 dV, onde E é o sólido que está dentro do cilindro x2+y2 =
1, acima do plano z=0 e abaixo do cone z2 = 4x2 + 4y2.
(d) o volume do sólido que é limitado pelo cone z =
√
x2 + y2 e abaixo
da esfera x2 + y2 + z2 = 2.
(e) o volume da região E limitado pelo paraboloides z = x2 + y2 e
z = 36− 3x2 − 3y2.
(f) o volume do sólido que está entre o paraboloide z = x2 + y2 e a
esfera x2 + y2 + z2 = 2.
(g) o volume do sólido que está tanto dentro do cilindro x2 + y2 = 1
como da esfera x2 + y2 + z2 = 4.
2. Calcule a integral, transformando para coordenadas cilíndricas.
(a)
∫ 2
−2
∫ √4−y2
−
√
4−y2
∫ 2
√
x2+y2
xz dzdxdy
(b)
∫ 3
−3
∫ √9−x2
0
∫ 9−x2−y2
0
√
x2 + y2 dzdydx
RESPOSTAS
1. (a) 384pi
(b) 83pi +
128
15
(c) 2pi/5
(d) 43pi(
√
2− 1)
(e) 162pi
(f) (− 76 + 43
√
2)pi
(g) 4pi3 (8− 3
3
2 )
2. (a) 0 (b) 162pi5
1