Capítulo 2 - Matrizes - Exercícios

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CAPÍTULO 2
Matrizes: Definições et Primeiras
Propriedades
Exerćıcios Resolvidos
1 Preliminar
Para resumir, no Caṕıtulo 2, apresentamos as definições importantes, o vocabulario e as
propriedades gerais das matrizes, isto é,
1. Definição de uma matriz e Matrizes especiais.
2. Adição de matrizes e suas propriedades,
3. Multiplicação de uma matriz por um esclar e suas propriedades.
4. matrizes simétrica e anti-simétricas.
5. Matrizes elementares
Nós demos vários exemplos, onde ilustramos as propriedades e métodos, para;
1. Reconhecer matrizes reais;
2. Identificar matrizes especiais e seus principais elementos;
3. Estabelecer a igualdade entre matrizes;
4. Adicionar matrices;
5. Multiplicar uma matriz por um escalar;
6. Identificar e caracterizar as matrizes simétrica e anti-simétricas.
Vamos usar os precedentes métodos, para discutir e resolver exerćıcios, relacionados
a algumas propriedades das matrizes. Como já aconselhamos, um método de trabalho
básico consiste em:
1
1. Imprimir o texto (se posśıvel),
2. Estudar bem as propriedades e exemplos,
3. Analisar as observações, comentários e dicas,
4. Resolver os exerćıcios da lista.
5. Tirar as dúvidas.
Para maior eficiência, é importante retornar sempre o conteúdo do caṕıtulo (Propriedades,
Exemplo, Observações e Comentários).
2 Exerćıcios Resolvidos
Exerćıcio 2.1. Descreva quem são os elementos da matriz:
A3×2 =

−5 2
π −7
1 11

Solução. Os elementos da matriz A são dados por:
Primeira linha: a11 = −5, a12 = 2,
Segunda linha: a21 = π, a22 = −7,
Terceira linha: a31 = 1, a32 = 11
Exerćıcio 2.2. Quando as duas matrizes a seguir serão iguais? Isto é, para que valores
de x, y, e z as duas matrizes serão iguais?
A3×2 =

−5 2
π −7
−2z − 7 11
 e B3×2 =

3x+ 10 2y − 4
π −7
1 11
 .
Solução. Para que as duas matrizes A e B sejam iguais, temos a verificar as duas
condições da definição de igualdade de duas matrizes.
Primiera condição: As duas matrizes possuem mesmo número de linhas et mesmo
número de colunas.
Segunda condição: Temos a verificar que aij = bij, para 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2. Assim,
para que as duas matrizes sejam iguais temos as equações:
3x+ 10 = −5, 2y − 4 = 2, − 2z − 7 = 1,
Conclusão: As duas matrizes A e B são iguais se x = −5, y = 3 e z = −4.
2
Exerćıcio 2.3. Determine os valores de x, y, z e w tais que:[
x 3
−1 x+ y
]
=
[
4 w − 2z
w + 2z −2
]
Solução. Para que as duas matrizes A e B sejam iguais, temos a verificar as duas
condições da definição de igualdade de duas matrizes.
Primiera condição: As duas matrizes possuindo mesmo número de linhas et mesmo
número de colunas.
Segunda condição: Temos a verificar que aij = bij, para 1 ≤ i ≤ 3 e 1 ≤ j ≤ 2, isto é,
os elementos correspondentes são iguais. Assim, para que as duas matrizes sejam iguais
temos as equações:
x = 4, w − 2z = 3, x+ y = −2ew + 2z = −1.
Logo, temos x = 4, y = −6, w = 1 e z = −1.
Conclusão: As duas matrizes A e B são iguais se x = 4, y = −6, w = 1 e z = −1.
Exerćıcio 2.4. Quais são as matrizes colunas que constituem a tabela:
Nota 1 Nota 2 Nota 3
Aluno 1 7 8 9
Aluno 2 8 6 5
Aluno 3 9 5 8
Aluno 4 7 7.5 8
Solução. As matrizes colunas da tabela são dadas por:
7
8
9
7
 ,

8
6
5
7.5
 e

9
5
8
8

Exerćıcio 2.5. Quais são as matrizes linhas que constituem a tabela:
Nota 1 Nota 2 Nota 3
Aluno 1 7 8 9
Aluno 2 8 6 5
Aluno 3 9 5 8
Aluno 4 7 7.5 8
3
Solução. As matrizes colunas da tabela são dadas por:[
7 8 9
]
,
[
8 6 5
]
,
[
9 5 8
]
, e
[
7 7.5 8
]
.
Exerćıcio 2.6. Durante um exame, observamos as notas de três disciplinas: Disciplina
1, Disciplina 2 e Disciplina 3, para vários alunos. Estas notas foram colocadas na matriz
A:
A =

6 5 7 8 9 8, 5
5 6, 5 7 7 7, 5 7, 5
9 9, 5 6, 5 6 6, 5 8
 .
1. Dê a ordem da matriz A.
2. Quantos alunos fizeram o exame?
3. Qual é a nota obtida na Disciplina 3 pelo aluno 2?
4. Dê o valor dos elementos a11, a23, a33 e a36.
Solução.
1) A ordem da matriz A é 3× 6, isto é, a matriz A tem 3 linhas e 6 colunas.
2) Como as linhas são relacionadas ás 3 disciplinas, então as colunas são relacionadas aos
alunos. Assim, temos 6 alunos que fizeram o exame.
3) A nota do aluno 2 na disciplina 3 é localizada na terceira linha e na segunda coluna.
Logo, essa nota é 9,5.
4) Temos:
a11 = 6, a23 = 7, a33 = 6, 5 e a36 = 8.
Exerćıcio 2.7. Escreva as matrizes:
1. A = [aij]2×3 tal que aij = i+ j.
2. B = [aij]3×2 tal que aij = i− j.
3. C = [aij]2×2 tal que aij = 2i− j.
Solução.
1) Como aij = i + j, onde 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ j ≤ 3, os elementos das matriz A são dados
por:
a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3 e a13 = 1 + 3 = 4,
a21 = 2 + 1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4 e a23 = 2 + 3 = 5.
4
Logo, a matriz A é dada por:
A =
[
2 3 4
3 4 5
]
.
2) Os elemetos da matriz B são dados pela formula aij = i − j, onde 1 ≤ i ≤ 3 e
1 ≤ j ≤ 2, assim temos::
a11 = 1− 1 = e a12 = 1− 2 = −1,
a21 = 2− 1 = 1 e a22 = 2− 2 = 0,
a31 = 3− 1 = 2 e a32 = 3− 2 = 1,
Logo, a matriz B é dada por:
B =

0 −1
1 0
2 1
 .
3) Os elemetos da matriz C são dados pela formula aij = 2i − j, onde 1 ≤ i ≤ 2 e
1 ≤ j ≤ 2, assim temos::
a11 = 2− 1 = 1 e a12 = 2− 2 = 0,
a21 = 4− 1 = 3 e a22 = 4− 2 = 2,
Logo, a matriz C é dada por:
C =
[
1 0
3 2
]
.
Exerćıcio 2.8. Dê o tipo das seguintes matrizes:
A =

−5 2 π 17
π −7
√
5 8
1 11 21 −3
1 −4 12 9
 , B =

−5 2 π
2 −7
√
5
π
√
5 21
 , C =

−5 2
2 −7
−7 23
 ,
D =

1 0 b
0 1 0
a 0 1
 , E =

1 7 11
0 −5 0
a 0 −4
 , F =

1 a b
0 −5 c
0 0 −4
 ,
Solução. Os diferentes tipos de matrizes A, B, C, D, E, F são descritos a seguir:
1. A matrize A é uma matriz quadrada
2. A matriz B é quadrada e simétrica
5
3. A matriz C é uma matriz de ordem 3x2
4. Para a matriz D temos:
(a) Se a = b = 0 a matriz D é a matriz identidade quadrada 3x3
(b) Se a = b com a ou b diferente de 0, então a matriz D é uma mattriz simétrica
3× 3.
(c) Se a e b são diferentes, então a matriz D é uma matriz quadrada 3× 3.
5. Para a matriz E temos:
(a) Se a = 0 a matriz quadrada E é triangular superior
(b) Se a é diferente de 0 a matriz E é uma matriz quadrada
6. Para a matriz F temos:
(a) Se a = b = c = 0 a matriz F é uma matriz diagonal
(b) Se a ou b ou c é diferente de 0 a matriz F é uma matriz triangular superior.
Exerćıcio 2.9. Para as seguintes afirmações, responda com Verdadeiro ou Falso,
justificando a resposta:
1. A matriz
A =
[
7 0 0
0 0 −7
]
.
é uma matriz diagonal.
2. A matriz
B =

7 0 5 8
0 −3 11 π
0 0 1 0
 ,
é uma matriz triangular superior.
Solução. As duas respostas são falsas, por que as duas matrizes não são quadradas. Isto
é, temos que:
1. A matriz A é de ordem 2× 3,
2. A matriz B é de ordem 3× 4.
6
Exerćıcio 2.10. Consideramos as matrizes A e B dadas por:
A =
[
−7 a b
5 1 π
]
, B =
[
4 2a −b
3 2
√
π
]
Determine as seguintes matrizes:
4.A− 3.B e − 2.A + 3.B.
Solução.
1) Para a matriz 4.A− 3.B temos:
4.A− 3.B = 4
[
−7 a b
5 1 π
]
− 3
[
4 2a −b
3 2
√
π
]
=
[
−28− 12 4a− 6a 4b+ 3b
20− 9 4− 6 4π − 3
√
π
]
,
logo, temos,
4.A− 3.B =
[
−40 −2a 7b
11 −2 4π − 3
√
π
]
.
2) Para a matriz −2.A + 3.B temos:
−2.A + 3.B = −2.
[
−7 a b
5 1 π
]
+ 3
[
4 2a −b
3 2
√
π
]
=
[
26 4a −5b
−1 4 −2π + 3
√
π
]
.
Exerćıcio 2.11.
1) São dadas as matrizes A = [aij] e B = [bij], quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j
e bij = −4i− 3j. Considerando C = A+B, determine a matriz C.
2) Os elementos de uma matriz M quadrada de ordem 3× 3 são dados por aij, onde:
aij =
{
i+ j, para i 6= j
0, para i = j.
a) Escrever a matriz M ,
b) Determine M +M .
Solução.
1) Pas as matriz quadrada A = [aij] de ordem 2, temos:
a11 = 3× 1 + 4 = 7; a12 = 3 + 4 = 11;
a21 = 3 + 4 = 10; a22 = 3 + 4 = 14.
Logo, temos:
A =
[
7 11
10 14
]7
Pas as matriz quadrada B = [bij] de ordem 2, temos:
b11 = −4× 1− 3× 1 = −7; b12 = −4× 1− 3× 2 = −10;
b21 = −4× 2− 3v1 = −11; b22 = −4× 2− 3× 2 = −14
Logo, a matriz B é dada por:
B =
[
−7 −10
−11 −14
]
Assim podemos deduzir que:
C = A+B =
[
0 1
−1 0
]
.
2) De maneira semelhante, a matriz M é dada por:
M =

0 3 4
3 0 5
4 5 0
 .
Assim, temos que:
M +M = 2.M =

0 6 8
6 0 10
8 10 0
 .
Podemos observar que as duas matrizes M e 2M são simétricas.
Exerćıcio 2.12. Sejam as matrizes:
A =
[
−7 a b
5 1 π
]
, B =
[
x 7 23
y −5
√
3
]
, C =

√
7
−15
x
 , D =

3
π
z
 ,
E =

−7 a b
5 1 π
a 0 1
 , F =

x 7 23
y −5
√
3
a 0 −4
 , G =

√
11
−8
a
 , H = [ 3 π −19 ] ,
Encontre, quando for posśıvel, a soma de duas qualquer matrizes. Justifique sua resposta
adequadamente.
Solução.
1) A matriz A é de ordem 2x× 3, aplicando a regra de adição das matrizes, então a única
matriz que pode ser adiciona à matriz A é a matriz B, por que a essa matriz tem a mesma
ordem 2x× 3, que a matriz A.
8
Pela mesma razão a matriz B tem a ser adicionada somente com a matriz A.
2) As matrizes C, D e G são de mesma ordem 3×1, portanto, aplicando a regra de adição
de matrizes, é posśıvel somá-las, isto é, C+D, C+G e D+G sã posśıveis. Isto é, a matriz
C é de ordem 3× 1, de acordo com a regra de adição das matrizes as únicas matrizes que
podem ser adicionadas a matriz C são: D e G. Em outras palavras a matriz C só pode
com a matriz D e G, porque são matrizes colunas.
3) A matriz E só pode ser somada somente com a matriz F , uma vez que elas tem ordem
3× 3, e reciprocamente.
4) Não tem nenhuma soma possivel para a matriz H, pois não tem nenhuma matriz de
mesma ordem.
Exerćıcio 2.13. Sejam as matrizes:
A =
[
−7 a b
5 1 π
]
, B =
[
x 7 23
y −5
√
3
]
, C =

√
7
−15
x
 ,
D =

3
π
z
 , E =

−7 a b
5 1 π
a 0 1
 , F =

x 7 23
y −5
√
3
a 0 −4
 .
Encontre as matrizes a seguir:
−A, −B, −C, −D,−E, −F.
Deduzir as matrizes a seguir:
A−B, B−A, C−D, D−C, F− E, E− F,
Solução.
1) Para as as matrizes A, B, C, D, E e F , temos
−A =
[
7 −a −b
−5 −1 −π
]
, −B =
[
−x −7 −23
−y 5 −
√
3
]
, C =

−
√
7
15
−x
 ,
−D =

−3
−π
−z
 , E =

7 −a −b
−5 −1 −π
−a 0 −1
 , − F =

−x −7 −23
−y 5 −
√
3
−a 0 4
 .
2) Para as as matrizes A−B, B − A, C −D, D − C, F − E e E − F , temos:
A−B =
[
−7− x a− 7 b− 23
5− y 6 π −
√
3
]
e B−A =
[
7 + x 7− a 23− b
y − 5 −6 −π +
√
3
]
.
9
C−D =

√
7− 3
−15− π
x− z
 e D−C =

3−
√
7
π − 15
z − x
 .
F− E =

x+ 7 7− a 23− b
y − 5 −6
√
3− π
0 0 −5
 e E− F =

7− x a− 7 b− 23
5− y −6 π −
√
3
0 0 5
 .
Exerćıcio 2.14. Seja A uma matriz quadrada de ordem n × n. Complete as respostas
para as seguintes afirmações, justificando sua resposta:
1. Se A é uma matriz simétrica, então A−At = ..... e A + At = .....
2. Se A é uma matriz anti-simétrica, então A−At = ..... e A + At = .....
3. Se A é uma matriz triangular superior, então a matriz At é uma matriz ........
......................................................
4. Se A é uma matriz triangular inferior, então a matriz At é uma matriz ........
....................................................
5. Se A é uma matriz diagonal, então At = ....
Solução.
1) Se A é uma matriz simétrica, então A − At = Θn×n (a matriz nula), pois uma matriz
simétrica é igual à sua transposta, o que resulta em uma matriz nula e A+ At = 2A (ou
2.At), já que a soma de matrizes com termos iguais retornará uma matriz com o dobro de
cada termo.
2) Se A é uma matriz anti-simétrica, então A−At = 2.A, já que, nesse caso, At = −A, o
que retorna uma matriz com o dobro de cada termo e A + At = Θn×n, pois cada termo
aij da transposta será oposto a todo termo aij da matriz anti-simétrica, o que resulta em
uma matriz nula.
3) Se A é uma matriz triangular superior, então a matriz At é uma matriz triangular
inferior, pois com a tranposição todos os elementos nulos se deslocam acima da diagonal
principal.
4) Se A é uma matriz triangular inferior, então a matriz At é uma matriz triangular
superior, pois com a tranposição todos os elementos nulos se deslocam abaixo da diagonal
principal.
5. A é uma matriz diagonal, então At = A, sendo que a matriz diagonal é simétrica,
10
Exerćıcio 2.15. Seja a matriz quadrada
A =
[
−5 x+ 3
2x2 −7
]
Encontrar o valor (ou os valores) de x para que a matriz A seja simétrica.
Solução. Para que a matriz A seja simétrica, ela deve ser igual a sua matriz transposta,
ou sjea, A = At. Aplicando isso, vemos que a21 = 2x
2 deve ser igual a a12 = x+ 3, assim:
2x2 = x+ 3 equvale a 2x2 − x− 3 = 0.
Como ∆ = b2 − 4ac = 25, a equação de segundo grau 2x2 − x− 3 = 0 possui doia raizes:
x1 =
−b+
√
∆
2a
=
3
2
e x2 =
−b−
√
∆
2a
= −1.
Resolvendo a equação de segundo grau 2x2 − x − 3 = 0, deduzimos que a matriz A será
simétrica se, e somente se, x for igual a 3/2 ou -1.
Exerćıcio 2.16. Seja a matriz quadrada
A =
[
−5 6x− 3
2y + 5 −7
]
Sob qual condição em x e y a matriz A é simétrica?
Solução. Para que a matriz A seja simétrica, ela deve ser igual a sua matriz transposta,
ou sjea, A = At. Aplicando isso, vemos que a12 = 6x − 3 deve ser igual a a21 = 2y + 5,
assim
2y + 5 = 6x− 3 equvale a y = 3x− 4.
Logo, a matriz A será simétrica se, e somente se, y = 3x− 4, para todo x ∈ R.
Exerćıcio 2.17. Seja a matriz quadrada
A =
[
−5 3x− 9
2y + 12 −7
]
Sob qual condição em x e y a matriz A é diagonal?
Solução. A matriz A é de ordem 2 × 2, então ela é diagonal sob a condição a12 = 0 e
a21 = 0, isto é :
a12 = 3x− 9 = 0 e a21 = 2y + 12 = 0.
Como 3x− 9 = 0 implica que x = 3 e 2y + 12 = 0 implica que y = −6, então a matriz A
A é diagonal sob a condição de x = 3 e y = −6.
11
3 Exerćıcios não Resolvidos
Exerćıcio 3.1. Na confecção de três modelos de camisas (A, B e C) são usados botões
grandes (G) e pequenos (p). O número de botões por modelos é dado pela tabela:
Camisa A Camisa B Camisa c
Botões p 3 1 4
Botões G 6 5 5
O número de camisas fabricadas, de cada modelo, nos meses de maio e junho, é dado pela
tabela:
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B 50 100
Camisa C 50 50
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões usados em maio e junho.
Exerćıcio 3.2. Sendo:
A =
[
3 −2 5
4 1 3
]
, B =
[
0 3 −5
5 0 6
]
,
Determine as matrizes:
1) 5.A,
2) −2.A,
3)
1
2
.A,
4) 2.A + B,
1) 5.A− 02×3,
Exerćıcio 3.3. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 × 2 e At sua transposta. De-
termine A, tal que A = 2.At.
Exerćıcio 3.4. Para cada uma das afirmações, diga se é verdadeira ou falsa, justificando
sua resposta:
1. Seja A uma matriz quadrada, então (−A)t = −At.
2. Se A e B são duas matrizes da mesma ordem, então (A + B)t = Bt + At.
Exerćıcio 3.5. Sendo A uma matriz quadrada, classifique em verdadeira ou falsa as duas
afirmações:
1. A+ At é uma matriz simétrica.
2. A− At é uma matriz antissimétrica.
12