mat 1 - aula 16

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Apostila de Matemática 1 - Extensivo
Aula 16 – Matrizes:
1. Conceito de uma Matriz:
A matriz é uma maneira de encararmos uma tabela, que possui i linhas (horizontais) e j colunas (verticais). Assim, como o número de linhas e de colunas varia de uma tabela para outra, o mesmo acontecerá com as matrizes.
Ex.: A = ; B= 
Observe que a primeira matriz tem 2 linhas e 3 colunas. Por isso, dizemos que a matriz A tem ordem 2x3 (matriz A2x3). Já a segunda matriz tem 3 linhas e 2 colunas. Da mesma forma, podemos dizer que a matriz B tem ordem 3x2 (matriz B3x2).
 A ordem da matriz identifica o número de linhas e o número de colunas que cada matriz tem, exatamente nessa ordem.
 Para descobrir quantos termos uma matriz possui sem ter de contar, basta multiplicar o número de linhas pelo número de colunas.
2. Formação de uma matriz a partir de uma expressão dada:
Nem sempre teremos a matriz já representada nas questões. Em alguns casos, nós deveremos utilizar uma lei de formação (dada na questão) para escrevê-la. Vejamos alguns exemplos:
Ex1.: A= (aij)2x3 tal que aij= 2i + j
Encontraremos cada um dos termos envolvidos nessa matriz. Vamos lá:
a11= 2.(1) + 1 = 2 + 1 = 3
a12= 2.(1) + 2 = 2 + 2 = 4
a13= 2.(1) + 3 = 2 + 3 = 5
a21= 2.(2) + 1 = 4 + 1 = 5
a22= 2.(2) + 2 = 4 + 2 = 6
a23= 2.(2) + 3 = 4 + 3 = 7
Assim, a matriz pedida será A = .
Ex2.: Ex1.: B= (bij)2x3 tal que bij=
Repare que para encontrarmos alguns termos dessa matriz, utilizaremos a expressão de cima. Para encontrarmos outros, utilizaremos a expressão de baixo. A expressão de cima será usada quando i=j, ou seja, nos casos dos elementos b11 e b22. Para os demais, utilizaremos a expressão de baixo.
b11= 1 + 1 = 2
b12= 2.(1) – 2 = 2 – 2 = 0
b21= 2.(2) – 1 = 4 – 1 = 3
b22= 2 + 2 = 4
b31= 2.(3) – 1 = 6 – 1 = 5
b32= 2.(3) – 2 = 6 – 2 = 4
Assim, a matriz pedida será B = .
3. Matrizes Idênticas:
Para que duas matrizes sejam idênticas, ambas devem ter a mesma ordem e os elementos de mesma posição devem ser exatamente iguais, ou seja, o elemento da primeira coluna e primeira linha da primeira matriz deve ser igual ao elemento da primeira linha e primeira coluna da segunda matriz, fato esse que deve acontecer com todos os demais elementos envolvidos. 
Ex.: Se , temos que a=x; b=y; c=z e d=w.
4. Operações entre matrizes:
4.1) Soma e Subtração.
São operações que só acontecem entre matrizes de mesma ordem. Para resolvê-las basta fazer a operação que está sendo pedida entre os termos correspondentes, ou seja, aqueles que ocupam a mesma posição nas matrizes envolvidas. Veja os exemplos:
Ex1.: + = = 
Ex2.: = = 
4.2) Multiplicação de um número real por uma Matriz.
Quando multiplicamos um número real por uma matriz, todos os seus elementos ficam multiplicados por esse número real.
Ex.: 5. = = .
4.3) Multiplicação entre Matrizes:
Para essa operação acontecer, existe uma restrição. Em um produto A.B, o número de colunas da primeira matriz (no caso, a matriz A) deve ser igual ao número de linhas da segunda matriz envolvida nessa multiplicação (no caso, a matriz B). Assim, o número de linhas da primeira matriz e o número de colunas da segunda matriz indicarão a ordem da matriz resultante. Em outras palavras:
(Amxn).(Bnxp) = (A.B)mxp
Para resolver na prática essa multiplicação, devemos levar em conta a multiplicação de CADA LINHA POR CADA COLUNA. Veja o exemplo:
Ex.: Dadas as matrizes A= e B=, encontre, se possível:
a) A.B=
A operação pedida é: (A3x2).(B2x2). Como o número de colunas da primeira matriz é igual ao número de linhas da segunda matriz, essa operação é viável. Faremos então a multiplicação de cada linha da primeira matriz por cada coluna da segunda matriz. É importante frisar que ao multiplicar a linha 1 pela coluna 1, encontraremos o elemento c11 do resultado e assim faremos o mesmo para encontrar os demais. Assim:
c11= (1).(0) + (2).(1) = 0 + 2 = 2
c12= (1).(2) + (2).(3) = 2 + 6 = 8
c21= (-1).(0) + (2).(1) = 0 + 2 = 2
c22= (-1).(2) + (2).(3) = -2 + 6 = 4
c31= (0).(0) + (3).(1) = 0 + 3 = 3
c32= (0).(2) + (3).(3) = 0 + 9 = 9
Portanto, o produto A.B resulta na matriz A.B= .
5. Matrizes Importantes
5.1) Matriz Nula: É aquela onde todos os elementos são iguais a zero.
Ex.: A = é uma matriz nula de ordem 3x1
5.2) Matriz Linha: É aquela formada por apenas uma linha.
Ex.: B = é uma matriz linha de ordem 1x3.
5.3) Matriz Coluna: É aquela formada por apenas uma coluna.
Ex.: C = é uma matriz coluna de ordem 3x1.
5.4) Matriz Quadrada: É aquela que possui o mesmo número de linhas e de colunas.
Ex.: D = é uma matriz quadrada de ordem 2x2 ou uma matriz identidade de ordem 2.
Apenas nas matrizes quadradas, temos diagonais. Denominamos a diagonal principal aquela onde os elementos possuem o número da linha igual ao número da coluna. Assim, no exemplo dado, a diagonal principal é formada pelos elementos 2 e -2. A outra diagonal é chamada de diagonal secundária. No nosso exemplo, os elementos da diagonal secundária são -1 e 3.
5.5) Matriz Triangular: É aquela onde todos os elementos acima ou todos elementos abaixo da diagonal principal são iguais a zero. Lembrando que para possuir diagonais, a matiz deve ser quadrada. Assim, qualquer matriz triangular é quadrada.
Ex1.: E = é uma matriz triangular de ordem 2x2.
Ex2.: F = é uma matriz triangular de ordem 3x3.
5.6) Matriz Diagonal: É aquela onde todos os elementos que estão fora da diagonal principal são iguais a zero. Novamente lembramos que par se ter diagonal, uma matriz precisa ser quadrada. Ou seja, toda matriz diagonal é quadrada.
Ex.: G = é uma matriz diagonal de ordem 3x3.
5.7) Matriz Identidade: É uma matriz diagonal (todos os elementos fora da diagonal principal são nulos) onde todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1. Também é obrigatoriamente uma matriz quadrada.
Ex1.: I2 = é a matriz identidade de ordem 2. 
Ex2.: I3 = é a matriz identidade de ordem 3.
5.8) Matriz Transposta: Para encontrarmos uma matriz transposta a uma dada, precisamos trocar a ideia entre linhas e colunas. Ou seja, as linhas da matriz A tornar-se-ão colunas da matriz transposta à matriz A. Da mesma forma, as colunas da matriz A tornar-se-ão linhas da matriz transposta à matriz A. Veja o exemplo.
Ex.: Dada a matriz J = , encontre a sua matriz transposta.
A matriz A dada tem ordem 3x2. Logo, sua transposta terá ordem 2x3. Para formá-la, perceba que a primeira linha da matriz A é formada pelos elementos 1 e 0, que passarão a formar a primeira coluna da matriz transposta. A segunda linha da matriz A, que é formada por -1 e 2 passará a ser a segunda coluna da matriz transposta. Finalmente, a terceira linha da matriz A, que é formada pelos elementos 3 e 5, passará a ser a terceira coluna da matriz transposta. Assim:
Jt = 
5.9) Matriz Simétrica: É aquela que é idêntica a sua transposta. Veja o exemplo abaixo:
Ex.: L = . Sua transposta é: Lt = . Observe que L = Lt.
5.10) Matriz Antissimétrica: É aquela onde sua transposta é igual a inicial multiplicada pelo número -1. Em outras palavras: se multiplicarmos essa matriz por -1, encontramos a sua transposta. Observe o exemplo.
Ex.: M = . Sua transposta é: Mt = 
Observe que: (-1). = , ou seja M = -Mt.
5.11) Matriz Inversa: É aquela pela qual se multiplica a matriz A para se encontrar a matriz identidade. Assim, se uma questão pergunta a um aluno qual a matriz inversa de uma matriz A dada, ele deve descobrir por qual matriz devemos multiplicar a matriz A para encontrar a matriz identidade. Cautelosamente, veja o exemplo abaixo:
Ex.: Encontre a matriz inversa a matriz A=.
Por qual matriz devemos multiplicar a matriz A para encontrarmos a matriz identidade. Vamos montar, com muito cuidado uma equação, respeitando à ordem de cada matriz envolvida. Se a matriz A possui duas colunas, a sua inversa terá duas linhas (restrição para a ocorrência da multiplicação). Como a matriz A tem duas linhas, a identidade (que é quadrada sempre) terá duas linhas e consequentemente duas colunas. Assim, a matriz inversa à matriz A também terá duas colunas. Portanto:
A.A-1 = I
. = 
 =Criaremos dois sistemas. Vamos resolver o primeiro:
Da segunda equação, temos que c = 3a. Substituindo tal relação na primeira equação, teremos:
a + 6a = 1 7a = 1 a=1/7; c=3/7
Vamos resolver o segundo sistema:
Da primeira equação, temos que b = -2d. Substituindo tal relação na segunda equação, teremos:
-6d – d = 1 -7d = 1 d=-1/7; b=2/7.
Portanto, a temos que A-1 = .
Vale frisar que há um modo mais simples de encontrar a matriz inversa, utilizando o cálculo do determinante, matéria na nossa próxima aula. Nela, veremos inclusive que existem matrizes que não possuem matriz inversa. Por enquanto, utilizaremos esse raciocínio apresentado.
Exercícios:
01) (UFV) Sejam as matrizes A = e M = , onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto x y é: 
a) 3/2		b) 2/3		c) 1/2		d) 3/4		e) 4
02) (IBMEC-RJ) Considere os pontos P1, P2 e P3 e a matriz:
onde cada aij é o valor da distância entre o ponto Pi e o ponto Pj.
No triângulo formado por esses pontos, a mediana relativa a P2 mede:
a 6		b) 8		c) 10		d) 12		e) 1
03) (IBMEC) Considere as matrizes:
A = e B = 
A soma dos elementos da segunda linha de AB é igual a:
a) -5		b) -2		c) -1		d) 1		e) 2
04) (MACKENZIE) Dadas as matrizes A = e B = , se A.B = B.A, então:
a) x.y = 10 	b) x/y=3	c) logyx = 2 	d) x + y = 8 	e) x = y/2
05) (MACKENZIE) Se o produto de matrizes .. é a matriz nula, x + y é igual a: 
a) 0 		b) 1 		c) -1 		d) 2 		e) -2
06) (VUNESP) Considere as matrizes A = , B = e C = , com x, y, z números reais. Se AB = C, a soma dos elementos da matriz A é: 
a) 9		b) 40		c) 41		d) 50		e) 81
07) (FUVEST) Se uma matriz quadrada A é tal que A t = -A, ela é chamada matriz antissimétrica. Sabe-se que M é antissimétrica e é quadrada de ordem 3. 
M = 
Os termos a12, a13 e a23 da matriz M valem, respectivamente: 
a) -4, -2 e 4 	b) 4, 2 e -4 	c) 4, -2 e -4 	d) 2, -4 e 2
08) (SANTANA) Se a matriz é simétrica, então x-y é igual a: 
a) 1/9 		b) 1/8		c) 1 		d) 8 		e) 9
09) (UFRS) Se a matriz for simétrica, então x + y + z é: 
a) 7 		b) 9 		c) 10 		d) 11 		e) 12
10) (MACKENZIE) Sejam as matrizes a seguir:
 Se C = A.B, então c22 vale: 
a) 3 		b) 14 		c) 39 		d) 84 		e) 25
11) (FEI) Considere as matrizes A e B a seguir : A = e B = . Se a inversa da matriz A é a matriz B então: 
a) a = 0 ou b = 0 	b) ab = 1 		c) ab = 1/2 
d) a = 0 e b = 0 		e) a + b = 1/2
12) (FEI) Se as matrizes A= (aij) e B= (bij) estão assim definidas:
A = 
B = 
onde 1 i, j 3, então a matriz A + B é:
a) 		b) 		c) 	
d) 		e) 
13) (MACKENZIE) Considere as matrizes A e B, tais que A = e A.B = . A soma dos elementos da primeira coluna da matriz B é igual a: 
a) 1 		b) 2 		c) 3 		d) 4 		e) 5
14) (UFC) O valor de a para que a igualdade matricial . = seja verdadeira é: 
a) 1 		b) 2 		c) 0 		d) -2 		e) -1
15) (FGV-SP) Seja a matriz A = . A soma dos elementos da matriz A100 é:
a) 102		b) 118		c) 150		d) 175		e) 300
Sugestão: Verifique o padrão dos resultados de A², A³, ...
16) (FATEC) Seja a matriz A = tal que A² = . É verdade que a + b é igual a:
a) 0 		b) 1 		c) 9 		d) -1 		e) -9
17) (ESPM) Considere as matrizes: 
I. A = (aij), 3x6, definida por aij = i-j 
II. B = (bij), 6x8, definida por bij = i 
III. C = (cij), C = A.B 
O elemento c43 é: 
a) -64 		b) -12 		c) -9 		d) 12 		e) Não existe
18) (AFA) Se os elementos da matriz A3x4 são definidos por aij = 2i - j, então, o elemento b23 da matriz B = 2-1A.At é:
a) 1		b) 7		c) 10		d) 13
19) (UECE) Sejam as matrizes M1 e M2 a seguir e considere a operação entre estas matrizes:
M1 = , M2 = e M2.M1 = M1.M2 = 
Nessas condições p + q é igual a: 
a) 5 		b) 6 		c) 7 		d) 8
20) (UNIFESP) Uma indústria farmacêutica produz, diariamente, p unidades do medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, respectivamente. Considere as matrizes M1x2 = ) e N2x1 = .
A matriz produto M.N representa o custo da produção de:
a) 1 dia		b) 2 dias	c) 3 dias	d) 4 dias	e) 5 dias
21) (MACKENZIE) O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos de sua diagonal principal. O traço da matriz A = (aij)3x3, tal que aij= ij , é: 
a) 33		b) 25		c) 52		d) 43		e) 26
22) (UFRS) A matriz A = (aij), de segunda ordem, é definida por aij = 2i - j. Então, A - At é:
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 
23) (UFSE) São dadas as matrizes A = e B = . A matriz X = At + 2B, onde At é a matriz transposta de A, é igual a:	
a) 	b) 	c) 	d) 	e) 
24) (UNIARA) Sobre as sentenças: 
I. O produto de matrizes A4x3.B3x2 é uma matriz 4x3. 
II. A soma de matrizes A2x3+B2x3 é uma matriz 2x3 
III. A soma de matrizes A2x3+B3x2 é uma matriz 2x2 
É verdade que: 
a) somente a II é falsa 		b) somente a I é falsa 		c) I, II e III, são falsas 
d) I e III são falsas 		e) somente a III é falsa
25) (UEL) Sejam as matrizes A e B, respectivamente, 3x4 e pxq. Se a matriz A.B é 3x5, então é verdade que: 
a) p = 5 e q = 5 			b) p = 4 e q = 5 			c) p = 3 e q = 5 
d) p = 3 e q = 4 			e) p = 3 e q = 3
26) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: 
S = e D = 
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz). 
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio ( primeira linha da matriz S). 
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? 
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
27) (UFSCAR) Seja a matriz M = (mij)2x3, tal que mij = j² – i². 
a) Escreva M na forma matricial. 
b) Sendo Mt a matriz transposta de M, calcule o produto M·Mt.
28) (VUNESP) Determine os valores de x, y e z na igualdade a seguir, envolvendo matrizes reais 2x2:
. = + 
29) (FGV-SP) Dadas as matrizes A = e B = para que valores de k e m , a matriz A é a inversa de B?
30) (IBMEC-SP) Uma agência de propaganda utiliza nas campanhas publicitárias que elabora para seus clientes três tipos de material para divulgação em papel: 
• impresso tipo PB, em preto e branco no papel simples, 
• impresso tipo CK, colorido no papel simples, 
• impresso tipo CKX, colorido no papel mais grosso. 
Para fazer este tipo de trabalho, a agência contrata normalmente três gráficas, que cobram preços unitários diferentes para cada tipo de impressão conforme tabela abaixo.
	Tipo
	PB
	CK
	CKX
	Gráfica A
	RS 2,00
	R$ 3,00
	R$ 4,00
	Gráfica B
	R$ 3,00
	R$ 3,00
	R$ 4,00
	Gráfica C
	R$ 1,00
	R$ 2,00
	R$ 6,00
a) Determine a gráfica que, para fazer 300 impressões do tipo PB, 150 do tipo CK e 200 do tipo CKX apresentaria o menor custo. 
b) No último ano, a agência fez 25% dos seus impressos com a gráfica A, 45% com a gráfica B e o restante com a gráfica C. Supondo que, em cada campanha deste último ano, a agência sempre fez os três tipos de impressão com a mesma gráfica e que os preços unitários foram os valores dados na tabela, determine o custo unitário médio que a agência teve com cada tipo de impressão.
31) (UERJ) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj , em milhares de reais, ao final de um determinado dia de feira.
B = 
Calcule, para esse dia, o valor, em reais: 
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2.
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
32) (VUNESP) Considere as matrizes reais 2x2 do tipo A(x) = .
a) Calcule o produto A(x).A(x). 
b) Determine todos os valores de x[0, 2] para os quais A(x).A(x)=A(x).
33) (IBMEC-SP) Uma matriz quadrada M é chamada de idempotente se M² = MM = M. 
a) Determine [-, ] para que a matriz, seja idempotente. 
b) Determine ]0, /2[ e ]0, /2[, para que a matriz seja idempotente.
34) (FGV-SP) É dada a matriz A = .
Se B = At – (3/2).A, onde At a matriz transposta deA e B = , determine o número real w, tal que w = |x.y|.
35) (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 2007.
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}. Para fazer uma outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores:
– ouro: 3 pontos; 
– prata: 2 pontos; 
– bronze: 1 ponto.
Esses valores correspondem a matriz a seguir:
V = 
Determine, a partir do cálculo do produto AV, o número de pontos totais obtidos pelos três países separadamente.
36) (FGV-RJ) As meninas 1 = Adriana; B = Bruna e 3 = Carla falam muito ao telefone entre si. A matriz M mostra cada elemento aij representando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro:
M = . 
Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações?
37) (VUNESP) Seja A = [aij] a matriz 2 x 2 real definida por aij = 1 se i ≤ j e aij = -1 se i > j. Calcule A².
38) (UFRJ) Seja a matriz A representada a seguir:
A = 
a) Determine A³ = A.A.A.
b) Se Na denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k tal que Ak² - A5k + A6 = I, onde I é a matriz identidade.
39) (UFES) Considere a matriz mostrada na figura a seguir:
A = 
Determine A1998.
40) (UFBA) Sendo . = , determine x – 5y.
Gabarito:
01) A	02) C	03) A	04) C	05) C	06) B	07) B	08) B	09) C	10) D
11) C	12) D	13) C	14) B	15) A	16) B	17) E	18) D	19) C	20) B
21) B	22) B	23) D	24) D	25) B
26) a) Cláudio		b) 2 chopes
27) a) 		b) 
28) x=2; y=2 e z=4
29) k=1/2 e m=-1/6
30) a) Gráfica C			b) PB: R$ 2,15; CK: R$ 2,70 e CKX: R$ 4,60
31) a) RS 1.200,00		b) R$ 3.400,00
32) a) 	b) x=0 ou x=2π
33) a) = π/2			b) α = π/6; β = π/12 ou β = 5π/12
34) 2
35) EUA: 519; Cuba: 288 e Brasil: 309
36) Bruna e Adriana
37) A² = 
38) A) A³ = 		b) k =2 ou k = 3
39) A = 
40) 7