Matrizes: Tipos, Determinantes e Multiplicação

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Tipos de Matrizes 
Uma matriz recebe certo tipo de nome dependendo da quantidade de 
elementos em suas linhas e colunas ou apenas por características específicas. 
 
►Matriz linhas: Recebe o nome de Matriz linha toda matriz que possui apenas 
uma linha. O número de colunas é independente. Por exemplo: 
 
1 x 3 
 
►Matriz coluna:Recebe o nome de Matriz coluna toda matriz que possuir 
apenas uma coluna. O número de linhas é independente. Por exemplo: 
 
5 x 1 
 
►Matriz nula:Recebe o nome de Matriz nula toda matriz que 
independentemente do número de linhas e colunas todos os seus elementos 
são iguais a zero. Por exemplo: 
 
 
 
Podendo ser representada por 03 x 2. 
 
►Matriz quadrada:Matriz quadrada é toda matriz que o número de colunas é 
o mesmo do número de linhas. Por exemplo: 
 
 
 
 
Quando a matriz é quadrada nela podemos perceber a presença de uma 
diagonal secundária e uma diagonal principal. 
 
 
 
 
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►Matriz diagonal:Será uma matriz diagonal, toda matriz quadrada que os 
elementos que não pertencem à diagonal principal sejam iguais a zero. 
Sendo que os elementos da diagonal principal podem ser iguais a zero ou não. 
Por exemplo: 
 
 
 
►Matriz identidade:Para que uma matriz seja matriz identidade ela tem que 
ser quadrada e os elementos que pertencerem à diagonal principal devem ser 
iguais a 1 e o restante dos elementos iguais a zero. Veja o exemplo: 
 
 
 
 
 
►Matriz oposta:Dada uma matriz B, a matriz oposta a ela é - B. Se tivermos 
uma matriz: 
 
 A matriz oposta a ela é: 
 
Concluímos que, para encontrar a matriz oposta de uma matriz qualquer basta 
trocar os sinais dos elementos. 
 
►Matrizes iguais ou igualdade de matrizes:Dada uma matriz A e uma matriz 
B, as duas poderão ser iguais se somente seus elementos correspondentes 
forem iguais. 
 
 
 
As matrizes A e B são iguais, pois seus elementos correspondentes são iguais. 
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MATRIZES E DETERMINANTES 
 
 
Para encontrar o determinante da matriz indicada, vamos aplicar a regra de 
Sarrus. Para isso, iremos repetir as duas primeiras colunas e multiplicar as 
diagonais, conforme esquema abaixo: 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Qual o valor do x para que o determinante da matriz abaixo seja igual a 
zero?(Resposta: x=2) 
 
 
 
2) Calcule o determinante as matriz abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES 
 
3) Multiplicação de número real por matriz 
Dada uma matriz A = (aij)mxn e um número real k, denomina-se matriz produto do 
numero real K por A, a matriz obtida multiplicando-se cada um dos seus 
elementos por k. 
 
Observe como exemplo a determinação da matriz 3ª, a partir de 
 
 
 
 
Multiplicação de matrizes 
Sendo A uma matriz do tipo mxn e B uma matriz do tipo nxp, define-se produto 
da matriz A pela matriz B a matriz C, do tipo mxp, tal que cada elemento de C 
(cij) satisfaz: 
 
Em outras palavras, cada elemento de C é calculado multiplicando-se 
ordenadamente os elementos da linha i da matriz A pelos elementos 
correspondentes da coluna j da matriz B e , a seguir, somando-se os produtos 
obtidos. Veja abaixo: 
 IMPORTANTE: O produto entre duas matrizes A e B é definido se 
, e somente se, o número de colunas da matriz A for igual ao numero de 
linhas da matriz B. Assim: 
 
 
https://www.infoescola.com/matematica/numeros-reais/
https://www.infoescola.com/matematica/matrizes/
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Exemplo : 
 
 
O elemento neutro da multiplicação de matrizes é a matriz identidade (I). 
 
 
Exercícios 
1) Qual é o resultado do produto abaixo? 
 
 
 
 
 
2) Quais são os valores de a e b na seguinte igualdade? 
 
a) 1 e 2 
b) 2 e 3 
c) 3 e 4 
d) 1 e 3 
e) 2 e 4 
 
https://www.infoescola.com/matematica/matriz-identidade/
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3) (IFPE/2015) Uma matriz A de ordem 3x4 multiplica uma matriz B de ordem 
4x2. O resultado dessa multiplicação é uma matriz C, ou seja, A x B = C. É 
certo dizer que a matriz C tem 
a) 16 elementos. 
b) 12 elementos. 
c) 10 elementos. 
d) 8 elementos. 
e) 6 elementos. 
 
 
 
4) (UFG) Um modelo matemático usado para ampliação de uma imagem 
consiste em considerar uma transformação linear dada pela multiplicação de 
uma matriz escala Es por uma matriz coluna A, composta pelas coordenadas 
do ponto P, que forma a imagem que será ampliada. Considerando as 
matrizes A e Es dadas por 
 
em que Ex e Ey são fatores multiplicativos que indicam a mudança da escala, 
então a matriz Q que indica as novas coordenadas do ponto P, obtidas pela 
multiplicação das matrizes Es e A, é: (Resposta:A) 
 
 
 
 
 
 
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MATRIZ TRANSPOSTA 
 
Define-se como matriz transposta uma matriz qualquer resultante da troca 
ordenada das linhas pelas colunas de uma matriz chamada de original. 
Matematicamente, uma transposta de uma matriz é representada por: A = At. 
 
 
Matriz Transposta: características e propriedades 
 
Considera-se A e B matrizes com elementos pertencentes aos números reais, 
sejam as características: 
--> (A+B)t = At + Bt: a matriz transposta da soma das matrizes A e B é igual a 
soma da transposta de A com a transposta de B. 
 
--> (a.A)t = a . At: a transposta da multiplicação de um número real qualquer pela 
matriz A é igual ao produto de a pela transposta de A. 
 
--> (At)t = A: a transposta da transposta de A tem como resultado a própria 
matriz A, chamada de matriz original. 
 
--> (A.B)t = Bt . At: no caso da multiplicação de matrizes, a transposta da 
multiplicação da matriz A pela matriz B é igual ao resultado fornecido da 
transposta de B pela transposta de A. 
 
--> det(A) = det (At): o determinante da original é igual ao determinante da 
transposta. 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/numeros-reais
https://www.educamaisbrasil.com.br/enem/matematica/multiplicacao-de-matrizes
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EXERCÍCIOS DE MATRIZ TRANSPOSTA 
 
 
1- Sendo A = e B = , determine: 
a) 2A + At 
b) 3Bt 
c) (At)t 
 
 
2) - Dada a Matriz A = , sendo At sua transposta, o determinante 
da matriz A.At é: 
a) 1 b) 7 c) 14 d) 49 
 
 
MATRIZ INVERSA 
 
Conhecemos como matriz inversa de A a matriz A-1, tal que, quando 
multiplicamos as matrizes A e A-1, temos como produto a matriz identidade In, ou 
seja, A × A-1 = In. Para sabermos se uma matriz admite sua inversa, o 
determinante da matriz tem que ser ≠ de 0 ( zero) 
Matriz identidade 
Antes de entender o que é uma matriz inversa, é essencial compreender o que 
é a matriz identidade. Trata-se de uma matriz quadrada cujos elementos da 
diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos são iguais a 0. 
 
 
 
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A matriz identidade é o elemento neutro da multiplicação de matrizes, ou 
seja, seja A uma matriz quadrada de ordem n, então A · In = A. 
Como calcular a matriz inversa 
Quando estudamos os números reais, sabemos que o inverso de um número n é 
o número n-1, tal que o produto entre os dois é igual a 1, ou seja, o elemento 
neutro da multiplicação. Esse conceito se relaciona diretamente com o de matriz 
inversa. 
A matriz inversa de A é a matriz A-1, tal que o produto entre a matriz e sua 
inversa seja igual a In. Para encontrar a matriz inversa de A, vamos montar a 
matriz com incógnitas, tal que: A·A-1 = In. 
Exemplo 1: 
Encontre a matriz inversa de A. 
 
Para encontrar a matriz inversa de A, temos que: 
 
Então, pela definição de matriz inversa, chegamos a: 
 
Realizando a multiplicação: 
 
Realizando a igualdade matricial, sabemos que duas matrizes são iguais quando 
cada um dos seus termos são iguais. Sendo assim, é possível dividir essa 
situação em dois sistemas de equações. Analisando a primeira coluna, temos 
que: 
 
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistema-equacao.htm
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Agora basta resolver o sistema de equações, isolando a segunda equação e 
substituindo na primeira: 
 
Como encontramoso valor de c=3/2, agora é possível encontrar o valor de a, 
substituindo na primeira equação: 
 
Analisando a segunda coluna das duas matrizes, vamos encontrar o valor de b 
e d com o segundo sistema: 
 
Na primeira equação, temos que: 
b + 2d = 0 
b = -2d 
Substituindo na segunda equação: 
 
Para encontrar o valor de b, substituiremos o valor de d na primeira equação: 
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Agora que conhecemos o valor de cada uma das incógnitas, é possível 
representar a matriz A-1. 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Caso exista, encontre a inversa da matriz . 
 
 
 
2) 
 
OBS: Quando temos o produto de uma matriz por sua inversa obtemos a 
matriz identidade como resultado. 
 
 
 
3)