Lista 9 (Integrais)

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Ca´lculo 1: Exerc´ıcios 9, umas soluc¸o˜es
1. Se f(x) = ln(x) − 1 , 1 6 x 6 4, calcule a soma de Riemann com n = 6,
tomando como pontos amostrais as extremidades esquerdas. Fac¸a um
diagrama da situac¸ao˜. O valor e´ um subestimativa ou superestimativa da
integral
∫ 4
1
ln(x)− 1?
R: Quando o intervalo [1, 4] e´ dividido em 6 partes, temos ∆x = 1/2. A
soma de Riemann (com x∗i sendo o ponto mais pra esquerda do subinter-
valos) e´
6∑
i=1
f(x∗i ) ·∆x = ∆x
(
6∑
i=1
f(x∗i )
)
=
1
2
· (ln(1) + ln(1.5) + ln(2) + ln(2.5) + ln(3) + ln(3.5)− 6)
≈ 1
2
· (0 + 0, 405 + 0, 693 + 0, 916 + 1, 099 + 1, 253− 6)
=
−1.634
2
= −0.817.
o diagrama e´:
1
4
Olhando pro diagrama, vimos que esse valor da´ uma subestimativa do
valor exato. De fato,
∫ 4
1
ln(x)− 1 ≈ −0, 455.
2. Use a definic¸a˜o da integral definida como limite para calcular as seguintes
integrais definidas:
(a)
∫ 5
−1(1 + 3x) dx,
(b)
∫ 2
0
(2− x2) dx.
1
R: Vamos usar os pontos mais pra direita dos subintervalos.
(a) 5− (−1) = 6, enta˜o∫ 5
−1
(1 + 3x) dx = lim
n→∞
n∑
i=1
(6/n) · f(−1 + (6/n)i)
= lim
n→∞(6/n)
n∑
i=1
(1 + 3(−1 + 6i/n))
= lim
n→∞(6/n)
n∑
i=1
(
−2 + 18
n
i
)
= lim
n→∞
(
−12 + 108
n2
n∑
i=1
i
)
= lim
n→∞
(
−12 + 108
n2
· n(n+ 1)
2
)
= −12 + 54 lim
n→∞
n+ 1
n
= −12 + 54
= 42.
(b) Similar, omitida.
3. Use o TFC1 para calcular a derivada das seguintes func¸oes
(a) g(x) =
∫ x
1
1
t3+1 dt,
(b) g(x) =
∫ x
1
ln(t) dt,
(c) g(y) =
∫ y
2
t2sen(t) dt,
(d) G(x) =
∫ 1
x
cos(
√
x) dx (cuidado, x esta´ em baixo!)
(e) y =
∫ 1
1−3x
u3
1+u2 du.
R:
(a) A func¸a˜o f(x) = 1x3+1 e´ cont´ınua para todo x no domı´nio dela, enta˜o
pelo TFC1, temos
g′(x) =
1
x3 + 1
.
(b) Similar. g′(x) = ln(x).
(c) Similar. g′(y) = y2sen(y).
(d) Essa questa˜o tem erro. Deve ser G(x) =
∫ 1
x
cos(
√
t) dt. Agora∫ 1
x
cos(
√
t) dt = −
∫ x
1
cos(
√
t) dt =
∫ x
1
−cos(√t) dt,
logo G′(x) = −cos(√t).
2
(e) Precisamos de um truque aqui. Primeiro, seja v = 1− 3x. Logo
y(v) =
∫ 1
v
u3
1 + u2
=
∫ v
1
− u
3
1 + u2
.
Segue do TFC1 que
y′(v) =
v3
1 + u2
.
Mas queremos y′(x). Pela regra da cadeia:
y′(x) = y′(v) · v′(x) = v
3
1 + v2
· (−3) = −3v
3
1 + v2
=
−3(1− 3x)3
1 + (1− 3x)2 .
4. Calcule as seguintes integrais:
(a)
∫ 2
−1(x
3 − 2x) dx,
(b)
∫ 5
−2 6 dx,
(c)
∫ 4
0
√
x dx,
(d)
∫ 2pi
pi
cos(θ) dθ,
(e)
∫ 2
1
(1 + 2y)2 dy.
(f)
∫
(x3 + 6x+ 1) dx
(g)
∫
(1− t)(2 + t2) dt
(h)
∫
v(v2 + 2)2 dv
(i)
∫ 4
1
√
t(1 + t) dt
R:
(a) ∫ 2
−1
(x3 − 2x) dx = [x4/4− �2x2/�2]2−1
= (16/4− 4)− (1/4− 1)
= 3/4.
(b) ∫ 5
−2
6 dx = [6x]
5
−2
= 6 · 5− 6 · (−2)
= 42.
(c) ∫ 4
0
x1/2 dx =
[
(2/3) · x3/2
]4
0
= 16/3− 0
= 16/3.
3
(d) ∫ 2pi
pi
cos(θ) dθ = [sen(θ)]
2pi
pi
= 0− 0
= 0.
(e) ∫ 2
1
(1 + 2y)2 dy =
∫ 2
1
1 + 4y + 4y2 dy
=
[
y + 2y2 + 4y3/3
]2
1
= 49/3.
(f) ∫
(x3 + 6x+ 1) dx = x4/4 + 3x2 + x+ C.
(g) ∫
(1− t)(2 + t2) dt =
∫
2− 2t+ t2 − t3 dt
= 2t− t2 + t3/3− t4/4 + C.
(h) ∫
v(v2 + 2)2 dv =
∫
v(v4 + 4v2 + 4) dv
=
∫
v5 + 4v3 + 4v dv
= v6/6 + v4 + 2v2 + C.
(i) ∫ 4
1
(t1/2 + t3/2) dt =
[
(2/3)t3/2 + (2/5)t5/2
]4
1
= 256/15.
5. Se vazar o´leo de um tanque a uma taxa de r(t) galo˜es por minuto em um
instante t, o que
∫ 120
0
r(t) dt representa?
R: Seja s(t) quantas galo˜es de o´leo tem no momento t (uma primitiva de
r). Enta˜o s′(t) = r(t). Segue que∫ 120
0
r(t) dt =
∫ 120
0
s′(t) = s(120)− s(0).
Ou seja,
∫ 120
0
r(t) dt representa a quantidade de o´leo que saiu durante o
periodo de 2 minutos (= 120 segundos).
4
6. Se f(x) for a inclinac¸a˜o de uma trilha a uma dista˜ncia de x milhas do
comec¸o dela, o que
∫ 5
3
f(x) dx representa?
R: Seja h(x) a altura da trilha com distaˆncia x milhas do comec¸o. Enta˜o
h′(x) = f(x) e´ a inclinac¸a˜o da trilha no ponto x. Segue que∫ 5
3
f(x) dx =
∫ 5
3
h′(x) dx = h(5)− h(3),
a diferenc¸a entre a altura no ponto 5 e o ponto 3.
7. A func¸a˜o velocidade (em metros por segundo) e´ dada para uma part´ıcula
movendo-se ao longo de uma reta. Encontre o deslocamento e a distaˆncia
percorrida pela part´ıcula durante o intervalo de tempo dado:
(a) v(t) = 3t− 5, 0 6 t 6 3,
(b) v(t) = t2 − 2t− 8, 1 6 t 6 6.
R:
(a) Temos
s(t) =
∫
v(t) dt =
∫
3t− 5 dt = 3t2/2− 5t+ C.
Para calcular o deslocamento e distaˆncia percorrida pela part´ıcula
(usando integrais definidas), podemos supor que C = 0. O desloca-
mento da part´ıcula e´
s(3)− s(0) = 27/2− 15− 0 + 0 = −1, 5m,
ou seja, 1, 5 metros pra esquerda.
A velocidade e´ negativa no intervalo [0, 5/3] e positiva no intervalo
[5/3, 3]. Segue que a distaˆncia percorrida e´∫ 5/3
0
−v(t) dt+
∫ 3
5/3
v(t) dt =
[−3t2/2 + 5t]5/3
0
+
[
3t2/2− 5t]5/3
0
=
25
6
+
8
3
=
41
6
≈ 6, 83m.
(b) Similar.
Deslocamento =− 10/3m ≈ 3, 33m,
v(t) e´ negativa em [1, 4] e positiva em [4, 6]. Enta˜o
Distaˆncia =
∫ 4
1
−(t2 − 2t− 8)dt+
∫ 6
4
t2 − 2t− 8 dt
= 18 + 44/3
= 98/3 ≈ 32, 67m.
5
8. A func¸a˜o acelerac¸a˜o a(t) emm/s2 e a velocidade inicial v(0) sa˜o dadas para
uma part´ıcula movendo-se ao longo de uma reta. Encontre a velocidade
no instante t e a distaˆncia percorrida durante o intervalo de tempo dado
(a) a(t) = t+ 4 , v(0) = 5 , 0 6 t 6 10,
(b) a(t) = 2t+ 3 , v(0) = −4 , 0 6 t 6 3.
R:
(a) Vamos primeiro calcular v(t). Ja´ que a(t) = v′(t), temos que
v(t) =
∫
a(t) dt =
∫
t+ 4 dt = t2/2 + 4t+ C
para algum C ∈ R. Para achar C, usamos o fato dado que v(0) = 5.
Logo
5 = v(0) = 02/2 + 5 · 0 + C =⇒ C = 5.
Enta˜o v(t) = t2/2+4t+5. A func¸a˜o v(t) tem raizes −4±√6 que sa˜o
negativas, enta˜o v(t) e´ sempre positiva no intervalo [0, 10]. Enta˜o
Distaˆncia =
∫ 10
0
v(t) dt
=
∫ 10
0
t2/2 + 4t+ 5 dt
=
[
t3/6 + 2t2 + 5t
]10
0
=
1000
6
+ 200 + 50− 0− 0− 0
=
1250
3
≈ 416, 67m.
(b) Similar.
v(t) = t2 + 3t− 4.
v(t) e´ negativa em [0, 1] e positiva em [1, 3]. Enta˜o
Distaˆncia =
∫ 1
0
−(t2 + 3t− 4) dt+
∫ 3
1
(t2 + 3t− 4) dt
=
13
6
+
38
3
=
89
6
≈ 14, 83m.
6