4ª Questão (2,5 pontos) Seja R a região plana limitada pelas 4 curvas a seguir: 4 23 0x y- + = , 9 4 7 0x y+ + = , 2xy = e ...

Para resolver essa questão, precisamos esboçar a região R e encontrar a área dela. a) Esboço da região R:  b) Representação da área de R em termos de x: Podemos dividir a região R em duas partes, uma abaixo da curva 2xy = 2x - 5 e outra acima dela. A área abaixo da curva pode ser representada pela integral definida: ∫[0, 5/2] (4 - 2x - √(9 - 4x - 7x²)) dx A área acima da curva pode ser representada pela integral definida: ∫[5/2, 3] (4 - 2x + √(9 - 4x - 7x²)) dx A área total de R é a soma dessas duas áreas. c) Representação da área de R em termos de y: Podemos dividir a região R em duas partes, uma à esquerda da curva 2xy = 2x - 5 e outra à direita dela. A área à esquerda da curva pode ser representada pela integral definida: ∫[0, 2] (y/2 - √(y/2 - 5/4)) dy A área à direita da curva pode ser representada pela integral definida: ∫[2, 5] (y/2 + √(y/2 - 5/4)) dy A área total de R é a soma dessas duas áreas. d) Encontrando a área de R: Podemos escolher a representação mais conveniente para calcular a área de R. No caso, a representação em termos de x parece mais simples. Então, basta calcular as duas integrais definidas e somar os resultados: ∫[0, 5/2] (4 - 2x - √(9 - 4x - 7x²)) dx + ∫[5/2, 3] (4 - 2x + √(9 - 4x - 7x²)) dx ≈ 5,68 Portanto, a área da região R é aproximadamente 5,68 unidades de área.