TERCEIRO TRABALHO DE CÁLCULO 2

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1º PARTE 
1) Obtenha se houver, os pontos de máximos, mínimos ou sela das superfícies das 
funções IRIRf 2: 
a) 1
4
1
4
1 44  xyyxz 
b) 32 2223  yxxyxz 
c) 223 6
3
16
yxyxxz  
d) 1124822 222  yyxyxz 
e) 43
9
1 2324  xyyxxz 
f) xyyxz 1233  
g) 35 xz  
h) 4333 2223  yxxyxz 
i) 22 62 yxz  
j) sen(x) yz  
k) )cos(),( xyyxf  
l) 
224),( yxyeyxf  
m) )(),( 22 xyeyxf y  
n) )()(),( ysenxsenyxf    x ,   y 
 
 
 
3º TRABALHO DE CÁLCULO 2 
Prof. Fredy Coelho Rodrigues 
Turma: Engenharia Química 
2º PARTE (PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO) 
1) Uma fábrica produz dois tipos de máquinas para serviço pesado em quantidade x 
e y. A função custo-conjunto é dada por xyyxyxf  22 2),( . Para um total 
de 8 máquinas, determinar quantas máquinas de cada tipo devem ser produzidas 
para minimizar o custo. 
 
2) A relação entre as vendas V e as quantias yx e gastas com dois meios de 
propaganda é dada por 
y
y
x
x
yxV




10
100
5
200
),( . O lucro líquido é igual a quinta 
parte das vendas, menos o custo da propaganda que é igual a 25. Determinar 
como tal publicidade deve ser alocada entre os dois meios de divulgação, de 
modo a maximizar o lucro. 
 
3) Uma escola necessita construir um reservatório de água. Foi decidido que o 
reservatório deve ter a base retangular e capacidade de conter 36 
3m . O preço da 
base, devido às fundações, foi orçado em R$ 430,00/
2m , laterais em R$ 
187,50/
2m e tampa em R$ 70,00/ 2m . Pedem-se as dimensões internas do 
reservatório para que o custo seja o mínimo possível. 
 
4) Uma peça é usinada num torno automático. O custo total do serviço depende do 
número x de operações internas e do número y de operações externas 
programadas e é dado por 1641232),( 23  xyyxyxC reais. Quantas 
operações internas e externas devem ser realizadas para minimizar o custo? 
 
5) Determine os pontos da superfície 1xyz que estão mais próximos da origem 
do sitema cartesiano. 
 
6) Uma caixa de papelão, sem tampa, e base retangular, deve ser construida com 
capacidade de 32.000 
3cm . Quais devem ser as dimensões da caixa para que o 
gasto de papelão seja mínimo. 
 
7) A relação yxxyyxyxR 1602002,025,02,0),( 22  traduz a receita 
total, em reais de uma industria, e o custo total 400070100),(  yxyxC ; x é 
o número de peças de alumínio, e y o número de peças de cobre. Determine o 
número de peças alumínio e de cobre que devem ser produzidas e vendidas para 
maximizar o lucro. 
 
8) Um paralelepípedo reto retângulo é inscrito num elipsóide de equação 
360016925 222  zyx . Pede-se: 
a) As dimensões do paralelepípedo de volume máximo, sabendo que 
suas faces são paralelas aos planos coordenados. 
b) O volume máximo. 
9) Deseja-se construir um recipiente reto, de base retangular, sem tampa, com 
chapas de aço de mesma espessura, e capacidade de 108 
3dm . Determine as 
dimensões do recipiente de modo que o material gasto seja mínimo. 
 
10) Uma fábrica produz dois modelos de rodas de liga leve, uma para carros esportes 
e outra para carros de passeio, em quantidades x e y , respectivamente. O custo 
de produção das rodas é dado por xyyxyxC  222),( . Se a produção de um 
dia de trabalho for de 200 rodas, quantas rodas de cada tipo devem ser 
fabricadas para que o custo seja mínimo? 
 
11) Obtenha os valores extremos das superfície IRIRf 2: , definida por 
6),(  yyxf , condicionada a 044222  yxyx . Faça um desenho 
para ilustrar o problema. 
 
12) Encontre os valores extremos de: 
a) 2),( 22  yxyxf restrito à região 1
4
2
2 
y
x 
b) 22 24),( yxyxf  condicionados a 2 yx 
 
 
13) O plano 0 xy intercepta a esfera 4222  zyx . Encontre os valores 
extremos de 2),,( zxyzyxf  cujo domínio pertence a interceção das 
superfícies supracitadas. 
 
14) Uma sonda espacial no formato de um elipsóide 1644 222  zyx penetra na 
atmosfera da terra, e sua superfície começa a se aquecer. Depois de uma hora a 
temperatura no ponto (x,y,z) sobre a superfície da sonda é 
6001648),,( 2  zyzxzyxT . Encontre o ponto mais quente sobre a 
superfície da sonda. 
 
15) Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos da função f 
sujeita a duas restrições: 
 
a) zyxzyxf 32),,(  restrita ao plano 1 zyx e cilindro 122  yx . 
b) yzxyzyxf ),,( restrita a 1xy e cilindro 122  zy . 
c) zyxzyxf ),,( sujeito a 1 yx e 1222  zyx . 
 
16) Um prédio retangular está sendo projetado para minimizar a perda de calor. As 
paredes leste e oeste perdem calor a uma taxa de 10 unidades/
2m por dia, as 
paredes norte e sul, a uma taxa de 8 unidades/
2m por dia, o piso, a uma taxa de 
1 unidade/
2m por dia e o teto a uma taxa de 5 unidades/ 2m por dia. Cada parede 
deve ter pelo menos 30 m de comprimento, a altura deve ser no mínimo 4m, e o 
volume, exatamente 4000
3m . 
 
a) Determine e esboce o domínio da perda de calor como uma função dos 
comprimentos dos lados. 
b) Encontre as dimensões que minimizam a perda de calor. (Analise tanto os 
pontos críticos como os pontos sobre a fronteira do domínio.) 
c) Você poderia projetar um prédio com precisamente menos perda de calor se 
as restrições sobre os comprimentos das paredes fossem removidas? 
 
17) A base de um aquário (paralelepípedo) com volume V é feita de ardosia e os 
lados são de vidro. Se o preço da ardósia (por unidade de área) equivale a 5 
vezes o preço do vidro, determine as dimensões do aquário para minimizar o 
custo do material. 
 
18) Determine os pontos do cone 222 yxz  que estão mais próximos do ponto 
(4,2,0). 
 
19) Determine os valores máximos e mínimos absolutos de f no conjunto D. 
 
a) yyxxyxf 123),( 33  onde D é o quadrilátero cujos vértices são (-2,3) 
,(2,3) , (2,2) e (-2,-2). 
b) yxxyyxf 23),(  onde D é a região triangular fechada de vértices 
(0,0) , (2,0) e (0,3).