Apostila prática Statistica

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Planejamento de Experimentos
- Software STATISTICA® -
1
UNIVERSIDADE FEDERAL DO TRIÂNGULO MINEIRO
Departamento de Engenharia Química
DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRONIZADA
Distribuição Normal Padronizada
Distribuição Normal Padronizada
P {Z>1}= 0,1587 
P {Z<-1}= 0,1587 P {|Z|>1}= 0,3174
P {Z>2}= 0,02275 
P {Z<-2}= 0,02275 P {|Z|>2}= 0,0455
Distribuição Normal Padronizada
Ex. 2: P{-0,15<Z<1,60}
P{ Z<- 0,15}=0,4404 (área em vermelho) e 
P{Z>1,60}=0,0548 (área em vermelho)
P{-0,15<Z<1,60}= 1-(0,4404+0,0548)= 0,5048
-0,15 1,6
Distribuição Normal Padronizada
Ex. 3: Sendo y~N (4; (0,3)2), calcular P{y>4,4}=P{Z>Z0}
P{Z>1,33}=0,0918 (tabela)
0
(4,4 4)
1,33
0,3
Z
−
= =
X: valor de referência
Distribuição Normal Padronizada
Ex. 4: Dados: n=7 observações; s=0,3; y0=4,4; η=4; Qual é a P{y>y0}?}
P{t>1,33}=0,1228 (por interpolação na tabela)
0
(4,4 4)
1,33
0,3
t
−
= =
Distribuição t de Student
DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT
Ex. 5: P{-b<t<b}=0,90; grau de liberdade = 9;
a=0,1
b=t α/2 = t0,05
Da Tabela: b=1,833
Distribuição t de Student
90%
TESTE DE HIPÓTESE:
H0=nulidade e H1=hipótese alternativa. 
Para H1:
I: Se η>η0; então Z≥Zα; 
II: Se η<η0; então Z≤-Zα; 
III: Se η≠η0; então |Z|≥Zα/2
Teste de Hipótese
Região vermelha é 
região de 
REJEIÇÃO de H0.
Ex. 6: Uma mistura de concreto leva em média 15 h no processo de
secagem usando um método tradicional de mistura. Uma nova mistura é
considerada superior, ie, reduz o tempo de secagem. Para testar essa
afirmação, a nova mistura é aplicada a 70 construções padronizadas. Seja
η o tempo médio de secagem, considerar α=0.025, para =14,6 h e s=3,0.
Solução: No Statistica®,
Teste de Hipótese
Teste de Hipótese
H0: η≥15 h
H1: η<15 h = η<η0
então Z≤-Zα (unicaudal);
Da tabela,
-Zα =-Z0,025=-1,96
Resposta: Fora da região de rejeição de H0, então H0 é verdadeira.
O método tradicional é melhor.
12,1
70/3,0
156,14
/
 Z 0 −=
−
=
−
=
ns
y
obs

0,1342>0,025 , logo está 
FORA da região de rejeição de 
H0
-1,96 -1,12
RRH0 RAH0
Ex. 7: Verificar se η≠1,9 para α=0,05, para os dados: =1,715 h; n=40;
s=0,475.
Solução:
H0: η=1,9 h
H1: η≠1,9 h
então |Z|≥ Zα , |Z|≥ Z0,025 (bicaudal);
Da tabela,
Zα =Z0,025=1,96
está dentro da região de rejeição de H0. Logo, H1 é verdadeira, η≠η0;
Teste de Hipótese
y
0 1,715 1,9 2,4632
/ 0,475 / 40
 obs
y
Z
s n
− −
= = = −
-1,96 1,96-2,46
RRH0
RAH0
RRH0
Z obs
0,0183<0,05 , logo está 
DENTRO da região de rejeição 
de H0
Teste de Hipótese
Ex. 8: Um departamento de saneamento municipal de uma cidade quer
determinar se a média de bactérias por volume de água de uma praia está
dentro do nível de segurança de 200 bactérias por unidade de volume.
Um engenheiro seleciona aleatoriamente 10 amostras de água e
encontram-se os seguintes resultados:
174 190 215 198 187 207 210 191 196 180
Os dados indicam alguma preocupação? Considerar α=0,01.
Solução:
H0: η≥200
H1: η<200 = η<η0; então t<-tα ;
Da tabela, - tα =-t0,01=-2,821
Conclusão: Fora da região de rejeição de H0, então H0 é verdadeira. Os
dados indicam preocupação. Não liberar a praia.
Teste de Hipótese
251,1
10/14,13
2008,194
/
 t 0 −=
−
=
−
=
ns
y
obs

-2,821
-1,251
RRH0
RAH0
Solução: No Statistica®,
Teste de Hipótese
0,1208>0,01 , logo está FORA 
da região de rejeição de H0. 
Logo, aceita H0 (ƞ≥200) e não 
deve liberar a praia
INTERVALO DE CONFIANÇA
Ex. 9: Construir um intervalo de confiança de 95 %.
Ex. 10: Uma nova liga metálica é planejada para ser utilizada na
indústria aeronáutica. As medidas de durabilidade são feitas em 15 peças
da liga metálica A com média amostral de 39,3 e desvio padrão de 2,6.
Construir um intervalo de confiança de 90%.
Com a=0,10, logo, procura-se t0,05 (=1,761 da tabela)
Substituindo, temos: 
Temos confiança de 90% de que a durabilidade encontra-se entre 38,12 e 
40,48.
Intervalo de Confiança
0,025 1,96 1,96
/ / /
2 2 0,025
-Z Z -Z Z - 
y y y
n n n
a a
     − − −
   =    =        
       






+ ,961y ,961-y
nn









=
n
s
tIC 2%90 y a
( )48,40;12,38%90 =IC
Ex. 11: Calcular intervalo de confiança para os dados:
15 14 13 17 15,5 14,5 16,7 18 12,9 13
Intervalo de Confiança
Digitar os dados no Statistica
Intervalo de Confiança
1º
2º
3º
Teste de Hipóteses entre duas amostras
Ex. 1: Um engenheiro civil quer comparar os índices de resistência de
dois tipos diferentes de madeira usadas na construção civil. Para isso, ele
seleciona duas a.a. com 100 corpos de prova de cada tipo de madeira e
mede suas resistências. A média amostral e o desvio padrão de cada
grupo é dado abaixo. Há diferença entre as resistências?
IC. 95%: {0,52; 3,88} – Atenção, o zero não faz parte desse intervalo. Isso
significa que não há possibilidade de serem iguais
Solução:
O teste de Hipóteses:
H0: ηA - ηB = 0 
H1: ηA - ηB ≠ 0 (É diferente?)
Teste de Hipóteses entre duas amostras
A B
Média amostral 20,7 18,5
Desvio padrão 6,3 5,8
Tamanho da amostra 100 100
Madeira
Na sala de aula:
Para a=0,05, temos Z0,025=1,96 (tabela)
No Statistica:
Conclusão: Existe diferença de resistências entre as amostras de madeira.
Teste de Hipóteses entre duas amostras
2 2 2 2
1 2
1 2
( ) 20,7 18,5 0
2,569
6,3 5,8
100 100
A Bx yZ
s s
n n
− − − − −
= = =
++
 
-1,96 1,96 2,569
RRH0
RAH0
RRH0
DENTRO da região de rejeição 
de H0
(p=0,0109)<(a=0,05)→DENTRO da RRH0
Ex. 2: Um experimento é conduzido num laboratório para verificar se 2
métodos diferentes de tratamento de madeiras produzem índices de
resistência diferentes. Para isso, 25 corpos de prova tirados de uma
mesma tora são divididos aleatoriamente para receber os dois
tratamentos e os índices de resistência são calculados após 3 semanas de
tratamento. Obter um IC de 95% para a diferença das médias.
Solução:
Tratamento 1: ; ; n1=13 ;
Tratamento 2: ; ; n2=12 ;
;
t0,025=2,069 (tabela: GL=23)
IC 95% p/ƞ1 –ƞ2 ={2,90 6,92}={-4,024;9,82}
Teste de Hipóteses entre duas amostras
Tratamento 1 44 44 56 46 47 38 58 53 49 35 46 30 41
Tratamento 2 35 47 55 19 40 39 32 41 42 57 51 39
Índice de Resistência
45,15x =
2
1 63,97s =
13
2
1
( ) 767,69i
i
x x
=
− =
42,25y = 21 76,39s =
12
2
1
( ) 840,2i
i
y y
=
− =
13 12
2 2
2 1 1
1 2
( ) ( )
767,69 840,25
69,9
2 23
i i
i i
p
x x y y
s
n n
= =
− + −
+
= = =
+ −
 
8,36ps =
O teste de hipóteses (p/ a=0,05)
H0: η1- η2 = 0 
H1: η1- η2 ≠ 0 (É diferente?)
No Statistica: 
Conclusão: As amostras têm índices de resistências iguais.
Teste de Hipóteses entre duas amostras
-2,069 2,0690,867
RRH0
RAH0
RRH0
1 2
1 2
( ) ( ) 45,15 42,25
0,867
1 1 1 1
8,36
13 12
p
x y
t
s
n n
− − − −
= = =
+ +
 
FORA da região de rejeição de H0
(p=0,3952)>(a=0,05)→FORA da RRH0
Ex. 3: Dos dados de produção industrial da Tabela 1 da apostila,
assumindo a mesma variância populacional para os dois processos de
fabricação A e B, realizar um teste de hipótese a fim de verificar se B é
melhor que A.
Solução: 
Na sala de aula:
O teste de hipótese (para a=0,05)
H0: ƞB ≤ ƞA → ƞB - ƞA ≤ 0
H1: ƞB > ƞA → ƞB - ƞA > 0
;
t0,05=1,734 (tabela: GL=18)
Teste de Hipóteses entre duas amostras
13 12
2 2
2 1 1
( ) ( )
75,784 119,9
10,87
2 18
A A B B
i i
p
A B
x x y y
s
n n
= =
− + −
+
= = =
+ −
 
3,297ps =
1 2
1 2
( ) ( ) 85,54 84,24
0,88
1 1 1 1
3,297
10 10
obs
p
x y
t
s
n n
− − − −
= = =
+ +
 
1,7340,88
RAH0
RRH0
FORA da 
região de 
rejeição 
de H0
No Statistica:
Teste de Hipóteses entre duas amostras
0,050,1948
RAH0
RRH0
(p=0,1948)>(a=0,05) → 
FORA da RRH0. Logo, H0 é 
verdadeira, ou seja, B não é 
melhor que A.
EXERCÍCIO DA LISTA 1
Ex. 2: Uma reação química foi estudada considerando 10 ensaios com um
novo método (B) e 10 ensaios com o método tradicional (A).Os dados
obtidos são:
Teste deHipóteses entre duas amostras
Método A
Ordem 
Temporal A
Método B
Ordem 
Temporal B
1 54,6 16 1 74,9 12
2 51,5 18 2 66,5 7
3 45,8 10 3 78,3 19
4 50,7 9 4 73,5 4
5 57,4 11 5 80,4 14
6 64,5 15 6 81,0 17
7 40,1 2 7 58,7 6
8 52,6 1 8 73,7 13
9 56,3 20 9 68,1 8
10 48,6 5 10 64,7 3
Teste de Hipóteses entre duas amostras
O que dizer desses dados?
Comparação de mais de dois Tratamentos
Ex. 2- 2ª LISTA: Uma amostra aleatória de 48 unidades foi selecionada
de um depósito. Esta amostra foi por sua vez dividida aleatoriamente em
3 amostras (A, B, C) de tamanho 16. Cada uma dessas amostras recebeu
um tratamento diferente: A – nada foi feito. B – submersa em água. C –
lançada a uma dada altura. Todas as amostras foram testadas, obtendo
os seguintes resultados:
One-way: tratamento
Faça uma análise estatística.
Existe algum efeito de tratamento?
Comparação de mais de dois Tratamentos
0,38 0,26 0,41 0,33 0,33 0,37 0,54 0,76
0,51 0,55 0,53 0,41 0,47 0,49 0,42 0,34
0,53 0,35 0,38 0,45 1,09 0,46 0,57 0,47
0,39 0,74 0,32 0,74 0,48 0,37 0,52 0,44
0,51 0,63 0,46 0,47 0,42 0,45 0,41 0,39
0,35 0,41 0,49 0,4 0,58 0,46 0,38 0,48
A
B
C
QUADRO DE ANOVA: 1º- Digitar a tabela seguinte:
Clica 2 vezes
Comparação de mais de dois Tratamentos
Quadro de ANOVA no Statistica:
Comparação de mais de dois Tratamentos
1º
2º
3º
4º
Comparação de mais de dois Tratamentos
Quadro de ANOVA no Statistica:
1º 2º
3º
Comparação de mais de dois Tratamentos
Quadro de ANOVA no Statistica:
Gera o quadro 
de ANOVA
p>0,05 fora da região de rejeição de 
H0 (ƞA=ƞB=ƞC), logo os tratamentos 
são estatisticamente iguais
SQ QM Razão QM
Interação entre variáveis
Interação entre variáveis
Ex. 5 (Lista 2): Os dados a seguir representam os números de unidades
padronizadas por dia por operadores diferentes em máquinas diferentes.
Cada operador usou cada máquina em 2 dias diferentes. Analisar estes
dados. Foram necessários 84 dias para obter esses dados. Os números
entre parênteses se referem aos dias em que os resultados foram obtidos.
Por exemplo, no 1º dia o operador A produziu 17 unidades usando a
máquina 2, e no 84º dia o operador A produziu 18 unidades usando a
máquina 5.
Fazer uma análise estatística estabelecendo as suposições
necessárias. Verificar se existe efeito de interações.
Réplica: permite verificar se há interação entre as variáveis
COMO DIGITAR ESSES DADOS?
Interação entre variáveis
QUADRO DE ANOVA: 1º- Digitar a tabela seguinte:
Interação entre variáveis
QUADRO DE ANOVA: 1º- Digitar a tabela seguinte:
1º
2º
3º
4º
Interação entre variáveis
QUADRO DE ANOVA: 1º- Digitar a tabela seguinte:
1º
2º
3º
Interação entre 
as variáveis
Interação entre variáveis
QUADRO DE ANOVA: 1º- Digitar a tabela seguinte:
Gera o quadro 
de ANOVA
p>0,05 fora da região de rejeição de 
H0 (ƞA=ƞB=ƞC), logo as máquinas tem 
produção estatisticamente iguais e 
não tem interação entre os efeitos de 
operador e máquina.
p<0,05 dentro da região de rejeição 
de H0, logo os operadores 
apresentam rendimentos diferentes.
Planejamento Fatorial
Planejamento Fatorial
Construir uma matriz de planejamento fatorial 32 e 23 (Ex. 2 da 3ª lista).
Planejamento 32:
32 = 9 experimentos
Planejamento Fatorial
Planejamento fatorial 32
1º
2º
Conferir
Planejamento Fatorial
23 = 8 experimentos
Planejamento fatorial 23
Planejamento Fatorial
Conferir
1º
2º
Planejamento fatorial 23
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23.
Verificar se há efeito de alguma variável sobre o resultado ou se a
interação entre as variáveis é significativa.
1 - - - 60
2 + - - 72
3 - + - 54
4 + + - 68
5 - - + 52
6 + - + 83
7 - + + 45
8 + + + 80
Experimento
T (C) 
temperatura
C (%) 
concentração
K (A ou B) 
catalisador
y (Produto)
Como digitar esses dados no Statistica?
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
1º
2º
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
1º
2º
3º
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
1º
2º
Conferir
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
Tabela de efeitos
Será que só a variável 1 e a interação 1 e 3 são 
significativas? O que dizer das demais? O que dizer 
da variável 2, com nível tão próximo dos 5%?
Antes de concluirmos é necessário analisar 
um gráfico desses efeitos.
?
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
Tabela de efeitos
1º
2º
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
Gráfico da distribuição normal dos efeitos 
(2)C
2by3
(3)K1by2
1by3
(1)T
-20 -10 0 10 20 30 40 50 60
 - Interactions - Main effects and other effects
Standardized Effects (t-values)
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
E
x
p
e
c
te
d
 N
o
rm
a
l V
a
lu
e
,01
,05
,15
,35
,55
,75
,95
,99Estão próximos de zero, 
o que quer dizer que são 
da mesma ordem de 
medida do erro
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
Tabela de efeitos
1º
2º
3º
4º
5º
6º
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
Nova planilha de efeitos:
Eliminando o efeito de interação 2 com 3, a 
variável 2 (concentração) passa a ser significativa.
Repetir o mesmo procedimento de eliminação dos 
efeitos que não são significativos (variável 3 e 
interação 1 com 2) um a um.
O efeito é o dobro do parâmetro. O valor do efeito é o quanto a
resposta vai variar se a variável “x” sair do nível -1 e ir até o nível +1.
Planejamento Fatorial
Análise de efeitos de um planejamento fatorial 23
Nova planilha de efeitos:
Clicar segurando o ctrl 
para não desmarcar o 
efeito já eliminado
Conclui-se que as variáveis 1 (temperatura), 2 (concentração) e 
a interação da variável 1 com 3 são significativas
Eliminando a variável 3
Eliminando a variável interação 1 com 2
Análise de Regressão
Exemplo: Digitar os dados no Statistica.
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Resultados da regressão:
Note que X2, X4, X5 e X6 possuem desvios padrões maiores que os
próprios parâmetros. X3 pode ser considerado significativo pois seu valor
de p está muito próximo de 0,05 (0,069925).
Quadro de ANOVA:
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Análise de Regressão
Trabalhar com estas ferramentas.
Tratamento dos dados:
Como obter os coeficientes da regressão para o modelo reduzido?
Ou seja, considerando X1 e X3?
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Como obter os coeficientes da regressão para o modelo reduzido?
Ou seja, considerando X1 e X3?
Análise de Regressão
Tratamento dos dados:
Resultados da regressão:
Quadro de ANOVA:
Equação para o modelo reduzido:
Análise de Regressão
*
1 3
ˆ 9,871 0,643 0,211
(7,06) (0,118) (0,134) 
y X X
desvios padrões
= + + + 
Ex. 3 (5ª Lista): Ajustar um modelo adequado para os dados abaixo.
Escrever todas as conclusões que você considera apropriadas (sem
interação). Estabelecer as suposições (testar um modelo reduzido).
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Resultados da regressão:
Quadro de ANOVA:
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Normal Probability Plot of Residuals
-1,2 -1,0 -0,8 -0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4
Residuals
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
E
x
p
e
c
te
d
 N
o
rm
a
l V
a
lu
e
Ex. 3 (5ª Lista):
Análise de Regressão
Ex. 3 (5ª Lista):
Análisede Regressão
Predicted vs. Residual Scores
Dependent variable: y
3 4 5 6 7 8 9 10 11
Predicted Values
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
R
e
s
id
u
a
ls
95% confidence
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Exercício 1:
a) Fazer uma matriz de planejamento 2k, sendo k=2;
b) Fazer uma matriz de planejamento 27, de resolução III (27-4III);
c) Fazer uma matriz de planejamento 32;
d) Fazer uma matriz de planejamento 33;
Exercício 2:
Montar um Planejamento Composto Central (PCC) com três variáveis
independentes e com três réplicas no ponto central. Usar o a de
ortogonalidade.
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Exercício 2:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Exercício 2:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Conferir
Exercício 2:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
1º
Exercício 2:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Exercício 3:
Montar uma superfície de resposta usando os dados abaixo e escrever a
equação do modelo completo:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Exercício 3:
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
1º
2º
3º
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Quadro de ANOVA:
Tratamento dos dados:
Gráfico de Pareto:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Pareto Chart of Standardized Effects; Variable: Y
2 factors, 1 Blocks, 12 Runs; MS Residual=4,014734
DV: Y
,5109828
-1,9533
-2,70664
-3,90611
-4,86605
p=,05
Standardized Effect Estimate (Absolute Value)
(2)X2(L)
(1)X1(L)
X1(Q)
X2(Q)
1Lby2L
Valor de t de 
Student
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Eliminando os efeitos 
não significativos (X2 
Q e X1 L) um a um, 
temos:
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
i) Qual é o procedimento para obter a equação do modelo completo?
ii) Como fazer a superfície de resposta?
1º
2º
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
i) Qual é o procedimento para obter a equação do modelo completo?
2 2
1 2 1 2 1 287,37 1,38 0,36 2,14 3,09 4,88Y X X X X X X= − + − − −
Equação do modelo completo: 
Equação do modelo reduzido: 
2 2
1 2 1 287,37 2,14 3,09 4,88Y X X X X= − − −
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
ii) Como fazer a superfície de resposta?
1º
2º
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Superfície de resposta para o 
modelo completo
2 2
1 2 1 2 1 287,37 1,38 0,36 2,14 3,09 4,88Y X X X X X X= − + − − −
Superfície de resposta para o 
modelo reduzido
2 2
1 2 1 287,37 2,14 3,09 4,88Y X X X X= − − −
Exercício 4:
Montar as superfícies de resposta usando os dados abaixo e escrever a
equação do modelo completo:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Exercício 3:
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
1º
2º
3º
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Quadro de ANOVA:
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Eliminando os efeitos não-significativos um a um:
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
i) Obter a equação do modelo completo.
ii) Fazer as superfícies de resposta.
1º
2º
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
i) Obter a equação do modelo completo.
ii) Fazer as superfícies de resposta.
2 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 310,16 1,10 0,09 1,02 0,76 1,04 1,15 0,35 0,50 0,15Y X X X X X X X X X X X X= − + + − − − − − +
Equação do modelo completo: 
Equação do modelo reduzido: 
2 2 2
1 3 1 2 310,16 1,10 1,02 0,76 1,04 1,15Y X X X X X= − + − − −
Tratamento dos dados:
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Obtenção das superfícies de resposta:
1º
2º
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Obtenção das superfícies de resposta:
2 2
1 2 1 2 1 210,16 1,10 0,09 0,76 1,04 0,35Y X X X X X X= − + − − −
Equação do modelo completo 
para X1 vs X2: 
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Obtenção das superfícies de resposta:
2 3
1 3 1 3 1 310,16 1,10 1,02 0,76 1,15 0,50Y X X X X X X= − + − − −
Equação do modelo completo 
para X1 vs X3: 
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Obtenção das superfícies de resposta:
2 3
2 3 2 3 2 310,16 0,09 1,02 1,04 1,15 0,15Y X X X X X X= + + − − +
Equação do modelo completo 
para X2 vs X3: 
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Para o modelo reduzido (eliminando os efeitos não significativos):
Equação do modelo reduzido 
para X1 vs X2: 
2 2
1 1 210,16 1,10 0,76 1,04Y X X X= − − −
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Equação do modelo reduzido 
para X1 vs X3: 
2 2
1 3 1 310,16 1,10 1,02 0,76 1,15Y X X X X= − + − −
Para o modelo reduzido (eliminando os efeitos não significativos):
Planejamentos Fatoriais e Regressão
Equação do modelo reduzido 
para X2 vs X3: 
2 2
3 2 310,16 1,02 1,04 1,15Y X X X= + − −
Para o modelo reduzido (eliminando os efeitos não significativos):
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Seguem os dados referente a um peneiramento de areia:
Dentre os modelos de distribuição granulométrica disponíveis, qual 
melhor se ajusta aos dados acima?
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Modelos de Distribuição Granulométrica
Os modelos a 2 parâmetros de Gates-Gaudin-Shaumann (GGS), Rosin-
Rammler-Bennet (RRB), Log-Normal (LN) e Sigmóide descrevem
satisfatoriamente a maioria dos casos de interesse tecnológico.
GGS: , k e m são parâmetros
RRB: , D’ e n são parâmetros
m
D
X
k
 
=  
 
'1
n
D
DX e
 
− 
 = −
k
X
1
X
1
D
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Modelos de Distribuição Granulométrica
Log-Normal: , D50 e δ são parâmetros
Onde: e
Obs: A função erro (erf(Z)) é tabelada
Sigmóide: , D50 e p são parâmetros.
  501 ( ) , onde ln
2 2 ln
D
erf Z D
X Z
 
+  = =
  
 
50
1
1
p
X
D
D
=
 
+  
 
X
D
p>1
p<1
84,1 50
50 15,9
D D
D D
 = =
2
0
2
( ) exp( )
Z
erf Z y dy= −


Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Testar qual dos modelos (GGS ou RRB) melhor se ajusta aos dados de
distribuição granulométrica apresentado anteriormente.
Digitar a seguinte tabela no Statistica e plotar o gráfico:
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6
D (mm)
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
X
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
2º
1º: Digitar a 
equação do 
modelo
m
D
X
k
 
=  
 
k
X
1
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
R2
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear n o Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo GGS
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
2º
1º: Digitar a 
equação do 
modelo
'1
n
D
DX e
 
− 
 = −
X
1
D
Regressãonão-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
R2 R2GGS=0,9727786
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Regressão não-linear no Statistica: Modelo RRB
Regressão não-linear (estimação de parâmetros)
Conclusão:
GGS:
RRB:
Da análise feita anteriormente, conclui-se que o modelo RRB se ajusta
melhor aos dados experimentais da distribuição granulométrica.
1,078
2 0,9727786
2,329
D
X r
 
= = 
 
 , 
1,903
1,322 21 0,99860387
D
X e r
 
− 
 = − =,