Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Questão 1/10 - Análise Matemática Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real: Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. I. ( ) XX é um conjunto aberto. II. ( ) XX é um conjunto limitado. III. ( ) XX é um conjunto compacto. IV. ( ) XX é um conjunto fechado. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta. Nota: 10.0 A V-V-F-F Você acertou! A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91). B V-V-V-F C F-F-V-V D F-V-F-F E V-F-V-F Questão 2/10 - Análise Matemática Atente para a seguinte informação sobre topologia: “Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre os conceitos topológicos, assinale a alternativa que melhor define, de maneira informal, ponto de acumulação de um conjunto. Nota: 0.0 A É um ponto de um conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. B É um ponto do conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem a ele. C É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. D É um ponto que é limite de uma sequência de elementos do conjunto. E É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. Definição de ponto de acumulação (livro-base, p. 89). Questão 3/10 - Análise Matemática Considere o trecho de texto a seguir: "Sejam f:X→Rf:X→R e a∈Xa∈X. O quociente q(x)=f(x)−f(a)x−aq(x)=f(x)−f(a)x−a tem sentido para x≠ax≠a, logo define uma função q:X−{a}→Rq:X−{a}→R, cujo valor q(x)q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os pontos (a,f(a))(a,f(a)) e (x,f(x))(x,f(x)) no gráfico de ff em relação ao eixo xx." Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 88.} Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas. I. ( ) Dizemos que uma função X→RX→R é derivável em XX quando é derivável em todos os pontos de xx pertencentes a XX. II. ( ) Sejam X⊂RX⊂R, f:X→Rf:X→R e x0x0 um ponto de acumulação de XX pertencente ao conjunto XX. Assim a função ff é derivável no ponto x0x0 quando existe o limite a seguir: f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0f′(x)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0 III. ( ) Informalmente podemos dizer que a noção geométrica da derivada f′(x0)f′(x0) é a inclinação da reta tangente à função ff no ponto x0x0. Agora marque a sequência correta: Nota: 0.0 A F – F – F B F – V – V C V – V – F D F – V – F E V – V – V A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência da definição(p.111). A afirmativa II é correta pois expressa a definição de derivada em um ponto (p.111) e a afirmativa III é correta porque corresponde à interpretação geométrica da derivada(livro base - p.111 e 112). Questão 4/10 - Análise Matemática Considere a seguinte imagem: Fonte: imagem elaborada pelo autor da questão. Considerando o gráfico fornecido e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre Teoria da Integral, assinale a alternativa que contém a área da região compreendida entre o eixo xx e o gráfico da função f(x)=x+2f(x)=x+2 no intervalo limitado por x=0x=0 e x=2x=2. Nota: 0.0 A 2 B 3232 C 4 D 1414 E 6 A área da região é dada por: A(D)=∫20(x+2)dx=(x22+2x)∣∣∣20=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6A(D)=∫02(x+2)dx=(x22+2x)|02=(222+2⋅2)−(022+2⋅0)=[(2+4)−0]=6. (livro-base, p. 156). Questão 5/10 - Análise Matemática “O conceito de relação de equivalência é relevante para todos os ramos da Matemática. Em linhas gerais, tal conceito surge como uma forma de generalizar a relação de igualdade, no sentido de que, elementos de um dado conjunto, mesmo distintos, cumprem papel equivalente”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VIEIRA, V. L. Álgebra Abstrata para Licenciatura. Campina Grande: EDUEPB, 2013. p. 18. Considere o conjunto A={1,2,3,4}A={1,2,3,4} De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática referentes à relações entre conjunto assinale a única alternativa que contém uma relação de equivalência do conjunto dado: Nota: 0.0 A R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}.R={(1,2),(2,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}. Essa relação é reflexiva, pois (x,x)∈R,∀x∈A(x,x)∈R,∀x∈A. É simétrica pois para cada par (x,y)(x,y) que pertence à RR o seu simétrico (y,x)(y,x) também pertence à RR. E essa relação é transitiva pois se os pares (x,y)(x,y) e (y,z)(y,z), então, o par (x,z)(x,z) também pertence à RR (livro-base, capítulo 1). B R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,3),(4,1),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} C R={(2,1),(3,1)}R={(2,1),(3,1)} D R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(2,1),(2,3),(2,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} E R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} Questão 6/10 - Análise Matemática Observe a seguinte informação: Seja f:R→Rf:R→R uma função dada por:f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1f(x)={ 2x+1,x≠1kx=1 Considerando a informação dada e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre limite e continuidade, assinale a única alternativa correta. Nota: 0.0 A Se k=2k=2, então a função f(x)f(x) é contínua em x=1x=1. B O limite lateral de f(x)f(x) quando xx tende a 1 pela direita é igual a 22. C limx→1f(x)=5limx→1f(x)=5 D Se tivermos k=3k=3 então f(x)f(x) será contínua em x=1x=1. Temos que limx→1+f(x)=3limx→1+f(x)=3 e limx→1−f(x)=3limx→1−f(x)=3. Logo, limx→1f(x)=3limx→1f(x)=3. Portanto, se k=3k=3, f(x)f(x) será contínua em x=1x=1. (livro-base, p. 96). E Se k=0k=0, então, f(x)f(x) é contínua em x=1x=1. Questão 7/10 - Análise Matemática Observe o gráfico da função f(x)=⎧⎪⎨⎪⎩x+1,x<10,x=13−x,x>1f(x)={x+1,x<10,x=13−x,x>1 Com base na imagem dada e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre Limite a continuidade, analise as afirmações a seguir e marque V para as afirmações verdadeiras e F para as afirmações falsas. I. ( ) limx→1+f(x)=2limx→1+f(x)=2 II. ( ) limx→1f(x)=f(1)limx→1f(x)=f(1) III. ( ) ∄limx→1f(x)∄limx→1f(x) IV. ( ) limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2 V. ( ) f(1)=0f(1)=0 Agora assinale a alternativa que contém a sequência correta: Nota: 0.0 A F – F – V – F – V B F – V – V – V – F C V – F – F – F – V D V – F – F – V – V A alternativa que contém a sequência correta é a letra d. A afirmativa I é verdadeira porque limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2limx→1+f(x)=limx→1+3−x=3−1=2. A afirmativa II é falsa porque limx→1+f(x)=2≠0=f(1)limx→1+f(x)=2≠0=f(1). A afirmativa III é falsa porque limx→1f(x)=2limx→1f(x)=2. A afirmativa IV é verdadeira porque os limites laterais de ff quando xx tende a 1 são iguais a 2. A afirmativa V é verdadeira pela definição da função.(livro-base, p. 90-97). E V – V – F – F – F Questão 8/10 - Análise Matemática Leia o fragmento de texto a seguir. “(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada. Nota: 10.0 A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) Você acertou! h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4). D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 Questão 9/10 - Análise Matemática Considere o seguinte excerto de texto: “Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidade de funções”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 161. Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática os conjuntos podem ser classificados de acordo com algumas propriedades. Enumere, na ordem sequencial, as propriedades que se relacionam a cada um dos conjuntos a seguir: 1. Conjunto aberto 2. Conjunto fechado 3. Conjunto compacto 4. Conjunto enumerável 5. Conjunto completo ( ) Conjunto finito ou infinito que possui uma bijeção com o conjunto dos números naturais. ( ) Conjunto XX que satisfaz X=¯¯¯¯¯XX=X¯, onde ¯¯¯¯¯XX¯ é o conjunto dos pontos aderentes de XX. ( ) Conjunto XX que satisfaz X=X∘X=X∘, onde X∘X∘ é o conjunto dos pontos interiores de XX. ( ) Conjunto XX tal que todo subconjunto não-vazio de XX que é limitado superiormente e possui supremo. ( ) Conjunto que é fechado e limitado. Agora, marque a sequência correta: Nota: 0.0 A 3-1-2-4-5 B 5-4-1-3-2 C 4-1-2-5-3 D 5-2-1-3-4 E 4-2-1-5-3 A sequência correta é 4 – 2 – 1 – 5 – 3. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – quando todos seus pontos são pontos interiores, isto é, X=X∘X=X∘. 2. Conjunto fechado – quando todos os pontos aderentes pertencem ao conjunto, ou seja, verifica-se a igualdade X=¯¯¯¯¯XX=X¯. 3. Conjunto compacto – todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 4. Conjunto enumerável – todo conjunto finito ou infinito que possui bijeção com os naturais. 5. Conjunto completo – quando todo subconjunto não-vazio e limitado superiormente possui supremo” (livro-base, p.22-33 e p.87-89). Questão 10/10 - Análise Matemática “Em vários problemas da Matemática e das duas aplicações busca-se uma função que cumpra certas condições dadas. É frequente, nestes casos, obter-se uma sequência de funções cada uma das quais cumpre as condições exigidas apenas aproximadamente, porém com aproximações cada vez melhores.” Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Análise Real. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 151. De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta. Nota: 0.0 A Na convergência simples o valor de NN encontrado não depende de nenhum valor atribuído. B A sequência de Cauchy está relacionada é um exemplo de convergência simples. C Na convergência uniforme o valor de NN a ser encontrado deve depender apenas do valor de εε. Consequência da definição da convergência uniforme em contraposição à convergência simples onde NN depende dos valores dados para εε e xx. (livro-base p.167-168) D Geometricamente qualquer sequência de funções fnfn converge de forma simples para outras funções sendo dependente de εε e xx. E Seja (fn)(fn) uma sequência de funções com fn:[a,b]→Rfn:[a,b]→R que converge uniformemente para uma função f:[a,b]→Rf:[a,b]→R. Se cada função fnfn é integrável então ff não tem primitiva.
Compartilhar