CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS 1

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introdução
Introdução
CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOCONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO
CONFIABILIDADE DO PROCESSOCONFIABILIDADE DO PROCESSO
Autor: Me. Adriano A.L.C. Gama Fi lho - Dr. Gui lherme Augusto Pianezzer
Revisor : Car los Wi l l ians Paschoal
I N I C I A R
O controle estatístico de processo é uma ferramenta poderosa dentro das análises dos problemas
que atingem a produção de uma empresa. A utilização da estatística possibilita explicação de
diversos acontecimentos e suas causas por meio de uma correlação inteligente e cientí�ca. Toda
medição estatística deve estar pautada sobre dois pilares que sustentam as decisões que iremos
tomar, nesta unidade estudaremos os temas baseados na con�abilidade dos processos, como:
Intervalo de con�ança, amostragem do trabalho e aplicações de intervalo de con�ança.
Bons estudos!
A concorrência aumenta todos os dias, a velocidade do mercado é assustadora e o turbilhão de
informações torna os consumidores críticos, exigentes e cria os verdadeiros líderes do mercado. A
qualidade é tão importante porque qualquer erro ou expectativa não atendida pode ser crucial e
pode prejudicar um posicionamento de mercado que demora anos para ser conquistado.
Desde muitos anos a qualidade é um tema que vem sendo abordado e aprimorado por diversos
gurus como Deming, Ishikawa, Juran, Ford e por aí vai. Esses são alguns dos nomes que foram os
responsáveis pelas maiores evoluções da qualidade e pelo reconhecimento de sua importância.
A verdade é que, quanto mais próximo da perfeição for possível chegar, chegue. Dar-se por
satisfeito ou acomodar-se é fechar os olhos para a concorrência e também para as oportunidades
que surgem a todo o momento. É necessário estar sempre em busca de melhorias no padrão de
qualidade, e quando falamos em padrão sabemos que precisamos de uma boa gestão.
A gestão da qualidade depende diretamente dos pro�ssionais da qualidade, certo? Portanto,
garantir uma gestão e�caz é de sua responsabilidade. Acompanhar os processos, garantir que os
resultados estão saindo conforme o planejado e evitar não conformidades estão dentre suas
principais funções.
Tecnologias como software de gestão da qualidade e automatização de processos, por exemplo,
vêm para ajudar e trazer melhorias na qualidade. Entretanto, se a equipe não estiver preparada e
bem treinada para se adaptar às novas formas de trabalhar, isso pode prejudicar todo o processo.
A todo o momento surgem novas oportunidades. A melhoria deve ser contínua. Até mesmo em
casos de erros e não conformidades existe uma oportunidade de inovar. É preciso ter cautela e
jogo de cintura, mas as coisas devem ocorrer de forma rápida.
Uma equipe comprometida e capacitada é ponto de partida para o alcance de metas. Entretanto,
para isso é necessário um líder em quem todos se inspirem e sintam-se seguros em segui-lo.
Distribuições Estatísticas e Con�abilidadeDistribuições Estatísticas e Con�abilidade
Comunique-se, troque ideias e dê direcionamento para que todos saibam o que, como e quando
devem exercer suas funções. Faça com que cada um se sinta importante para o todo.
Sem bons pro�ssionais da qualidade é impossível alcançar padrões que tornam a organização
competitiva. É por isso que são tão importantes e cada vez mais reconhecidos.
Para que se possam atingir os objetivos e desa�os listados anteriormente este livro irá aprofundar
os conceitos ligados à con�abilidade do processo e do controle estatístico de forma que você possa
realizar re�exões, análise e tomada de decisão nos processos operacionais de maneira geral.
Uma questão vital dentro de muitos domínios produtivos é a operação contínua e prolongada de
um sistema produtivo, seja este de bens ou serviços. Em sistemas de produção, ou transporte,
distribuição de energia, água, falhas súbitas são causadas por fenômenos aleatórios, que devem
ser analisados, e quando possível evitados de forma a evitar prejuízo comercial e social.
As indústrias atualmente caracterizam-se por uma grande unidade de volume de produção, em
geral relacionada a sistemas em cadeia complexos, com grande grau de informatização e
automação. Nesse contexto a necessidade de controlar possíveis falhas é inerente, garantindo que
a variabilidade de um sistema não ultrapasse certo limite, evitando assim grandes prejuízos
econômicos.
Com base nessa necessidade, foi impulsionado o desenvolvimento e re�namento da teoria da
con�abilidade, disciplina que tem como principal objetivo desenvolvimento e aplicação de métodos
que são inseridos em todo o processo produtivo com a intenção de previsão de falhas.
Por exemplo, imaginamos uma estrutura de computadores em rede que tem con�abilidade de
99,995%, isso signi�ca que um computador trabalhando um ano nesse sistema terá 0,005% de
chance de falha, ou seja, a probabilidade deste computador trabalhar sem apresentar defeito
durante um ano é de 99,995.
A Teoria da Con�abilidade visa que o processo funcione durante o maior tempo possível, a plena
carga e sem paradas não previstas. Tem como objetivos:
Estabelecer estatísticas de falhas em sistemas;
Estabelecer métodos que permitam melhorar um sistema produtivo, alterando índices
quantitativos e qualitativos relativos às falhas.
As ferramentas principais da Teoria da Con�abilidade são a estatística, a teoria das probabilidades,
métodos de estimação, distribuições de vida, ferramentas grá�cas, entre outros que serão
abordados neste módulo.
Três conceitos básicos que precisamos compreender a �m do desenvolvimento do curso é o
tempo médio entre falhas reparáveis em sequência, o tempo média até uma falha não reparável e
o tempo médio para a falha. O primeiro é um parâmetro de estimação de média utilizado na
modelagem de algumas distribuições de probabilidade, refere-se ao tempo entre falhas reparáveis
em sequência. O segundo é o tempo até uma falha não reparável que leve ao não funcionamento
ou perda de capacidade de determinado item. O terceiro é o tempo médio para a falha, ou seja, o
valor médio para o tempo de funcionamento de um item, sem contar o tempo de manutenção.
Tipos de Falhas
Uma falha ocorre quando há diminuição total ou parcial da e�cácia de um componente, este em
geral é parte de um sistema. Por exemplo, um rolamento é capaz de trabalhar ainda que sobre
desgaste com menos e�cácia, isso acontece por ter falhas parciais. Um fusível não funciona após a
falha, isso por sofrer uma descarga que leva à sua queima.
Um item que sofra de um tipo de falha especí�co pode evoluir até uma falha catastró�ca ou
gradual, no caso, quando há uma falha elétrica em uma linha de trem, falamos de uma falha
catastró�ca, diferente de um problema no monitor do computador que pode evoluir de forma
gradual.
Quanto à duração da falha, podemos ter em uma indústria:
1. Falhas temporárias (curto circuito, que pode ser reparado);
2. Falhas intermitentes (mau contato em relé);
3. Falhas permanentes (fusível queimado ou lâmpada fundida).
Há ferramentas especí�cas dentro da Estatística para modelar a variável aleatória tempo, no que
se refere à falha, essas ferramentas serão estudadas no próximo tópico.
Distribuições Estatísticas de Vida
Na análise de dados todas as considerações são baseadas em estimativas: estimamos a
con�abilidade de um sistema, justamente por não conhecermos a sua con�abilidade real. Isso
porque a con�abilidade real só seria conhecida se todas as falhas possíveis ocorressem, caso em
que teríamos o parâmetro populacional para comparação.
Como não é possível chegar a esse número utilizamos algumas distribuições de probabilidade que
são adequadas ao estudo de falhas, como a distribuição exponencial, utilizada na função de
con�abilidade e a distribuição Weibull.
Função de Con�iabilidade
A função de con�abilidade determina a probabilidade de funcionamento sem falhas durante um
tempo t. Sua função é de�nida como:
a qual é obtida a partir da distribuição exponencial:
P(t) = R(t) = e−λt
P(T > t) = λ dt = − =∫
∞
t
e−λt e−λt|∞t e
−t
cuja representação grá�ca pode ser observadana Figura 1.1.
Para a função de con�abilidade, representa a taxa média de falhas. Essa função pode ser
adaptada para a determinação do número de componentes falhados em um tempo como ,
dado uma população inicial .
Note que nos dá a probabilidade para uma falha após um tempo . Essa probabilidade
multiplicada pelo número de componentes nos dá uma estimativa do número de componentes
que podem falhar em um determinado sistema.      
Distribuição Weibull
A família de distribuições Weibull foi apresentada pelo físico Suco Waloddi Weibull, em 1939. Suas
aplicações foram discutidas em um artigo de 1951 intitulado “A statical distribution of wide
aplicability”. Seu modelo é descrito pela função:
Quando esse modelo matemático se aplica ele é útil para determinarmos a taxa de falha, também
chamada de taxa de risco, a qual permite identi�car o desgaste ou a deterioração de um
componente.
Nota: As constantes α e β são chamadas respectivamente de parâmetro de forma e escala da
distribuição Weibull. As Figuras 1.2 e 1.3 mostram exemplos de sua representação grá�ca quando
se alteram esses parâmetros:
Figura 1.1 - Representação grá�ca da função con�abilidade 
Fonte: Elaborada pelo autor.
λ
t N(t)
N0
N(t) = N0e
−λt
e−λt t
F(x,α, β) = {αβ ,   x > 0x
−β−1e(−αx)
0,   caso contr rioá
A taxa de falha da distribuição Weibull é dada por:
sendo a taxa de falha, a qual quanti�ca a taxa de mudança. Nesse caso, o modelo considera a
probabilidade que o componente possa durar um tempo adicional. Nessa análise os pontos
cruciais são:
Se β = 1, a taxa de falha,  é igual a α, ou seja, é uma função constante. Esse é um
caso especial em que a distribuição Weibull se transforma na distribuição exponencial,
que tem como principal característica a falta de memória, ou seja, dado que se passe um
tempo adicional à probabilidade de falha de um equipamento modelado por essa
função, não se altera.
Se β > 1, é uma função crescente. Isso indica que o componente se desgasta com o
tempo.
Se β < 1, é uma função decrescente, e nesse caso o componente se fortalece com o
tempo.
Z(t) = αβ ,   t > 0tβ−1
Z(t)
Z(t)
t
Z(t)
Z(t)
Distribuição Lognormal
A distribuição lognormal também pode ser utilizada para modelar o tempo de vida de um
equipamento, assim como a distribuição Weibull. Sua diferença fundamental é a produção de taxas
médias menores nos tempos iniciais do modelo. A função que a descreve é de�nida por:
sendo que os parâmetros µ e σ representam a média e o desvio-padrão da variável .
Atividade Comentada 1 - Aplicando Distribuições de Vida
A Distribuição Weibull pode ser utilizada para modelar emissões de poluentes de vários modelos de
motores. Assumindo como o valor de emissão de NO (g/gal) a partir de certo tipo de motor de
quatro tempos selecionado aleatoriamente e supondo que possua uma distribuição Weibull com 
 e . Sua curva de densidade pode ser gerada a partir do software minitab, como
representado na Figura 1.4:
f(x,μ, σ) =
⎧
⎩⎨
⎪
⎪
,  x ≥ 01
2πσx√
e
−
[In(x)−μ]2
(2σ)2
0,  x < 0
In (x)
X
α = 2 β = 10
Uma observação: Sobre modelos de distribuição é comum utilizarmos a distribuição acumulada
para cálculos quando um software de estatística não é acessível, se �zermos a integração dada por:
a partir da qual obtemos:
Atividade Comentada 2 - Aplicando Distribuições de Vida
A distribuição lognormal já foi indicada como a melhor opção para descrever dados da distribuição
da profundidade máxima do ponto de corrosão das tubulações de ferro fundido no solo. É
sugerido que uma distribuição lognormal com e é apropriada para a
profundidade máxima do ponto de corrosão (mm) dos canos enterrados. Qual seria a
probabilidade de a profundidade máxima do ponto de corrosão estar entre 1 e 2 mm?
A probabilidade solicitada é , que pode ser obtida por meio da calculadora de
probabilidades do software livre Minitab, como representado na Figura 1.5.
Métodos para Estimação de Parâmetros
A inferência estatística tem como objetivo obter informações sobre um ou mais parâmetros, de
forma a descrever uma população com base em dados obtidos por uma amostragem. Nesse
cenário, podemos entender que uma média amostral é um estimador do parâmetro média
populacional, assim como a variância amostral é um estimador de uma variância populacional.
A con�abilidade desses estimadores é foco da inferência, ou seja, temos interesse em saber qual a
margem de erro para uma determinada a�rmação, lembrando que as observações para isso são
f (x,α, β) dx∫
0
x
F (x,α, β) = { 1 − , x ≥ 0e
−( )x
β
α
0, x < 0
μ = 0, 353 σ  =  0, 754
0, 3542
Figura 1.5 - Tela do minitab, software de estatística do processo 
Fonte: Elaborada pelo autor.
variáveis aleatórias, e, portanto, ela terá uma distribuição de probabilidades, chamada de
distribuição amostral.
O símbolo geral escolhido para representar o parâmetro de interesse será o , que pode
representar a média, a variância, ou qualquer outro parâmetro de interesse.
O estimador pontual, de algum parâmetro de uma população é um único valor numérico 
de uma estatística . é uma variável aleatória, porque ela é uma função de variáveis aleatórias.
Ao escolher entre diversos estimadores, devemos nos atentar à escolha de um não viciado, ou seja,
quando para todos os valores possíveis de .
A diferença entre a esperança matemática, , e o valor pontual do estimador, é chamado de
vício, que é representado pela �gura 1.6, a qual leva a um deslocamento da função sobre o eixo.
Por via de regra, quando temos dois estimadores não viciados devemos escolher aquele de
mínima variância, já que embora a distribuição observada nos dois estimadores esteja centrada
em um mesmo ponto, pode haver dispersões diferentes em torno desse ponto.
Nesse caso o que tiver menos dispersão em relação aos dados terá uma distribuição mais
homogênea e por consequência um erro menor.
Quando relatamos o valor de uma estimativa pontual, também devemos relatar sua precisão, ou
seja, identi�car qual é o erro em relação à medida. Para isso utilizamos o desvio-padrão do
estimador, também chamado de erro padrão e de�nido como:
Atividade Comentada 3 - Aplicando Distribuição Normal
Vamos presumir que a tensão de rompimento tenha uma distribuição normal. é o melhor
estimador de , obtido em 20 amostras. Sabendo que o valor de , o erro padrão de é 
. Caso o valor do desvio-padrão populacional seja
desconhecido, calculamos a estimativa (desvio-padrão amostral) e procedemos do mesmo modo
para obter o erro padrão.
θ
Θ̂ θ Θ̂
Θ̂ Θ̂
E( ) = θΘ̂ θ
E (X)
=σ
Θ̂
V ( )Θ̂
− −−−−
√
μ = X  
μ σ  =  2, 1 X 
= σ/ = 2, 1/ = 0, 4696σx̄ n
−−√ 20
−−√
s
Métodos dos Momentos
Quando de�nimos a ausência de vício em estimadores não indicamos como os mesmos podem ser
deduzidos. Para a dedução iremos utilizar dois métodos, o método dos momentos e o método da
máxima verossimilhança.
O método dos momentos se resume em igualar certas características da amostra, como a média,
aos valores esperados da população. As resoluções dessas equações de parâmetros
desconhecidos geram os estimadores.
O primeiro momento populacional é , enquanto o primeiro momento amostral é 
. O segundo momento populacional e amostral são ,
respectivamente.
Exemplo: Sendo uma amostra aleatória do tempo de espera para um serviço
de clientes em que a distribuição de probabilidade que modela os dados é exponencial com
parâmetro . Note que há apenas um parâmetro a ser estimado. Como esse parâmetro é uma
taxa média, utilizaremos e . Em uma distribuição exponencial temos que .
Logo concluímos que o estimador pelo método dos momentos é e .
Método da Máxima Verossimilhança
Esse método foi desenvolvido na década de 1920 por R. A. Fisher, ele é mais recomendado do que
o método dos momentos quando tratamos de grandes amostras.
Nesse método nos baseamos nos dados obtidos pela amostra, e devemos determinar qual a
distribuição de probabilidade que melhor se encaixa aos dados, ou seja, que tem mais
possibilidade de ser geradora da amostra. Se por exemplo, uma distribuiçãode tempo de falha
indica que o melhor modelo é o de Weibull, para cada combinação temos uma distribuição
diferente. O método da máxima verossimilhança escolhe aquele par que melhor se aplicará à
amostra observada.
Supondo que tenha uma função densidade de probabilidade ou uma função
densidade de probabilidade conjunta do tipo:
em que os parâmetros possuem valores desconhecidos. Quando os valores das varáveis aleatórias
são observados na amostra e é considerada uma função de certo parâmetro, essa função é
chamada de função de máxima verossimilhança. As estimativas de máxima verossimilhança são
os valores para o estimador pontual do parâmetro que maximizam essa função de modo que:
Exemplo: Uma amostra de 10 skates fabricados por certa empresa é obtida, sendo que em teste
descobre-se que o primeiro, o quarto e o décimo estão com defeito. Seja a proporção de todos
E (X) =  μ
(∑Xi)/n =  X̄ E ( )  e ∑X /nX2 i2
,   ,   … ,  X1 X2 Xn 
n
λ
E (X)    X̄ = 1/λX̄
λ  = 1/λ̂ X̄
, , … ,X1 X2 Xn
f ( , , … , , , … , )x1 x2 xn θ1 θn
f ( , , … , , , … , ) ≥ f ( , , … , , , … , )x1 x2 xn Θ̂1 Θ̂n x1 x2 xn θ1 θn
p
os skates que apresentam defeito, iremos de�nir as variáveis aleatórias de Bernoulli, considerando
1 para o skate defeituoso e 0 para o capacete sem defeitos.
Considerando a amostra obtida temos: , enquanto 
. A função de probabilidade de é 
.
Supondo a condição de que cada skate seja independente entre si, temos que a função de
probabilidade conjunta é o produto de suas funções individuais, logo:
Supondo a probabilidade de observar a amostra que tivemos é de . Supondo 
 sua probabilidade passa a ser .
Para que valor de a amostra observada é mais possível de ter ocorrido? Para qual valor de a
função de probabilidade combinada tem o melhor estimador não viciado de mínima variância?
Para determinarmos isso utilizamos o logaritmo natural, visto que precisamos determinar o valor
de que maximiza , ou seja, encontrar para maximizar . Temos que:
Dessa forma, o minimizamos a partir do teste da derivada primeira, dado por:
Quando igualamos essa derivada a zero, obtemos , em que . Ou seja, nossa
estimativa pontual para é e esse é o valor que maximiza a verossimilhança.
Esse método tem uma precisão mais forte do que o método dos momentos abordado
anteriormente, mas como podemos notar é mais difícil de calcular. Hoje há alguns softwares no
mercado que fazem verossimilhança como o já citado Minitab 17.
Intervalos de Con�iança
A teoria da inferência estatística consiste nos métodos pelos quais realizamos inferências ou
generalizações sobre uma população. O método clássico consiste na estimação de um parâmetro
populacional, por meio do qual inferências são baseadas estritamente nas informações obtidas de
uma amostra aleatória selecionada da população.
Para iniciarmos o trabalho iremos supor, primeiro, que a distribuição da população seja normal, e
que o desvio-padrão populacional seja conhecido.
Queremos determinar valores em uma distribuição normal padrão de forma que a probabilidade
entre dois termos seja conhecida. Nesse caso nosso estimador será uma média amostral, e temos
= = = 1X1 X2 X10
= = = = = = = 0X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 Xi
px(1 − p)1−x
f ( , … , , p) = p (1 − p) p… p =x1 xn p
3(1 − p)7
p = 0, 25 0, 002086
p = 0, 5 0, 000977
p p
μ g (μ) μ ln (μ)
ln[f ( , … , , p)] = ln[ ] = 3 ln(p) + 7ln (1 − p)x1 xn p3(1 − p)7
ln[f ( , … , , p)] = [3 ln(p) + 7 ln(1 − p)] = + (−1)
d
dp
x1 xn
d
dp
3
p
7
1 − p
3 (1  p) = 7p p =  0, 3
p 0, 3
interesse em determinar um intervalo de con�ança para um nível de con�ança conhecido.
Onde
Assim,
Multiplicando cada termo da igualdade por   e depois subtraindo de cada termo e
multiplicando por (revertendo o sentido das desigualdades), obtemos:
Para pequenas amostras selecionadas de populações não normais, não podemos esperar que
nosso grau de con�ança seja exato. Entretanto, para amostras de tamanho com a forma
das distribuições não muito assimétricas, a teoria da amostragem garante bons resultados.
Teoremas importantes:
Se é usado como uma estimativa de , podemos estar con�antes que o erro não
excederá .
Se é usado como uma estimativa de , podemos estar con�antes de
que o erro não excederá um valor especí�co quando o tamanho da amostra for 
.
α
P (− < Z < ) = 1 − αZ α
2
Z α
2
Z =
− μX̄
σ n−−√
P (− < < ) = 1 − αZ α
2
− μX̄
σ n−−√
Z α
2
σX̄
n√
X̄
1
P ( − < μ < + ) = 1 − αX̄ Z α
2
σ
n−−√
X̄
σZ α
2
n−−√
N ≥  30
X̄ μ
Z α
2
σ
n√
X̄ μ 100 ∗ (1 − α) %
n = ( )
σZ α
2
e
2
Nem sempre queremos determinar dois limites de con�ança. Há algumas situações nas quais só é
de interesse determinar o limite superior ou inferior. A diferença no cálculo é que não utilizamos 
 e sim .
Limite Superior: 
Limite Inferior: 
Exemplo: A concentração média de zinco recuperado de uma amostra de medições desse material
em 36 locações diferentes é 2,6 gramas por mililitro. Determine os intervalos de con�ança de 95%
para a média de concentração de zinco no rio. Assume que o desvio-padrão da população seja 0,3.
Note que o valor para pode ser obtido a partir da tabela de distribuição
normal.
Atividade Comentada 4 - Aplicando Intervalo de Con�iança
Os conteúdos de ácido sulfúrico em sete contêineres similares são 9,8; 10,2; 10,4; 9,8; 10,0; 10,2 e
9,6 litros. Determine um intervalo de con�ança de 95% para a média de todos os contêineres,
assumindo uma distribuição aproximadamente normal.
Intervalos de Con�iança para uma Proporção
α/2 α
+X̄ Zα
σ
n√
−X̄ Zα
σ
n√
2, 6 − (1, 96)( ) < μ < 2, 6 + (1, 96)( )0, 3
36−−√
0, 3
36−−√
2, 50 < μ < 2, 70
= = 1, 96Z α
2
Z0,025
10, 0 − (2, 447)( ) < μ < 10, 0 + (2, 447)( )  0, 283
7
–√
0, 283
7
–√
9, 74 < μ < 10, 26
Uma estimativa pontual de uma proporção em um experimento binomial é dada pela estatística 
, onde representa o número de sucessos em tentativas.  Então, a proporção amostral 
 será usada como estimativa pontual do parâmetro .
Caso contrário, se espera que a proporção desconhecida seja muito próxima de 0 ou 1, podemos
estabelecer um intervalo de con�ança para considerando a distribuição amostral de , sendo 
apenas a média amostral de valores. Então, pelo teorema central do limite, para 
su�cientemente grande, têm distribuição aproximadamente normal com média e desvio
padrão .
De onde escrevemos:
Atividade Comentada 5 - Aplicando Intervalo de Con�iança
Em uma amostra aleatória de famílias que possuem aparelhos de televisão na cidade de
Vancouver, Canadá, descobre-se que assinavam a HBO. Determine um intervalo de
con�ança de 95% para a atual proporção de famílias dessa cidade que assinam HBO.
Intervalo de Con�iança e Con�iabilidade
Por que determinamos um intervalo de con�ança de 95%, se podemos determinar um intervalo
para 99% ou ainda 99,9%?
A resposta está no tamanho do intervalo de con�ança, quando aumentamos nossa con�ança,
naturalmente o intervalo se tornará mais largo, no caso de imaginarmos a amplitude de um
intervalo de con�ança como sua precisão, podemos notar que seu nível de con�ança está
inversamente relacionado à sua precisão, ou seja, quanto maior o nível empregado menor será a
precisão obtida.
Logo, quando optamos por um intervalo de 99% ao de 95% ganhamos em con�abilidade, mas
perdemos a precisão da estimação do parâmetro populacional.
Intervalos de Con�iança para Variância e Desvio-Padrão Amostral
No geral as inferências são feitas para média ou proporção, mas há casos especí�cos onde há a
necessidade de inferir informações a respeito da variância ou do desvio-padrão. Esse
procedimento é realizado com auxílio da distribuição qui-quadrada, com graus de liberdade,
dado que uma amostra aleatória que possua distribuição normal com parâmetros e tem uma
variável aleatória:
p
P = X
n
X n
p  =  x/n p
p
p p p
n n
P p
pq/n
P (P − < p < P + ) = 1 − αz α
2
pq
n
−−−
√ z α
2
pq
n
−−−
√
n = 500
x = 400
0, 8 − 1, 96 < p < 0, 8 + 1, 96   
(0, 8) (0, 2)
500
− −−−−−−−−
√ (0, 8) (0, 2)
500
− −−−−−−−−
√
0, 7649 < p < 0,8351
n  1
μ σ2
que possui distribuição qui-quadrada com graus de liberdade.
O intervalo de con�ança para a variância de uma população normal possui seus limites
indicados a seguir:
Limite inferior:  
Limite superior: 
O intervalo para o desvio-padrão possui limites superior e inferior que são as raízes quadradas
dos limites correspondentes para a variância.
Intervalos de Con�iança para Duas Amostras
Podemos determinar um intervalo de con�ança para duas amostras utilizando a diferença de duas
médias ou a diferença entre duas proporções, obtendo valores críticos no caso do desvio-padrão
conhecido ou na estimação da proporção, ou valores críticos quando amostramos uma média
com desvio-padrão desconhecido.
O conjunto de fórmulas utilizadas forma uma adequação, no caso do desvio-padrão conhecido,
teremos:
E no caso do desvio-padrão desconhecido mas igual, temos:
e
Quando os desvios são desconhecidos e diferentes, ambos os casos utilizam a tabela $t$ com $v$
graus de liberdade. Quando os desvios calculados são diferentes o grau de liberdade da
distribuição é determinado por:
=
(n − 1)S2
σ2
∑( − )Xi X̄
σ2
( )  X2 n  1
σ2
(n−1)s2
X 2
;n−1
α
2
(n−1)s2
X 2
1− ;n−1
α
2
σ
z
t
− − < − < ( − ) +X1¯ ¯¯̄¯̄ X2¯ ¯¯̄¯̄ Z α
2
+
σ21
n1
σ22
n2
− −−−−−−−
√ μ1 μ2 X1
¯ ¯¯̄¯̄
X2
¯ ¯¯̄¯̄
Z α
2
+
σ21
n1
σ22
n2
− −−−−−−−
√
( − ) − < − < ( − ) +X1¯ ¯¯̄¯̄ X2¯ ¯¯̄¯̄ t α
2
+
1
n1
1
n2
− −−−−−−−
√ μ1 μ2 X1
¯ ¯¯̄¯̄
X2
¯ ¯¯̄¯̄
t α
2
+
1
n1
1
n2
− −−−−−−−
√
( − ) − < − < ( − ) +  X1¯ ¯¯̄¯̄ X2¯ ¯¯̄¯̄ t( )α
2
+
s21
n1
s22
n2
− −−−−−−−
√ μ1 μ2 X1
¯ ¯¯̄¯̄
X2
¯ ¯¯̄¯̄ t α
2
+
s21
n1
s22
n2
− −−−−−−−
√
No caso acima, o valor de envolve variáveis aleatórias, logo essa fórmula estima os graus de
liberdade da distribuição, por via de regra há um arredondamento sempre para o número inteiro
mais baixo, a �m de garantir uma melhor con�abilidade.
Atividade Comentada 6 – Intervalo de Con�iança
Um estudo estatístico foi realizado para determinar a presença de ácidos em dois pontos
diferentes de um rio. O ácido é medido em miligramas por litro. A coleta de dados foi feita da
seguinte forma:
15 amostras na estação 1, que geraram uma média de 3,84 mg/L, com desvio-padrão
amostral de 3,07 mg/L.
12 amostras na estação 2, que geraram uma média de 1,49 mg/L, com desvio-padrão
amostral de 0,80 mg/L.
Vamos determinar um intervalo de con�ança de 95% para a diferença de médias reais.
Cálculo de v:
Na tabela de t-student 5% de não con�ança é representado por 2,5% somente para um lado da
distribuição normal, logo ou . Cruzando na tabela 16 com teremos 
 com 16 graus de liberdade. Logo:
Logo estamos 95% con�antes que o intervalo entre 0,6 e 4,1 contém a verdadeira diferença de
médias dos conteúdos de ácido fosfórico, para essas duas localizações em um rio.
v =
( + )s
2
1
n1
s22
n2
2
+
( )
s2
1
n1
2
−1n1
( )
s2
2
n2
2
−1n2
v
v = = 16, 3 ≈ 16
( + )s
2
1
n1
s22
n2
2
+
( )
s2
1
n1
2
−1n1
( )
s2
2
n2
2
−1n2
t = 2, 5 t = 0, 025 0, 025
  =  2, 120t0,025
( − ) − < − < ( − ) +  X1¯ ¯¯̄¯̄ X2¯ ¯¯̄¯̄ t( )α
2
+
s21
n1
s22
n2
− −−−−−−−
√ μ1 μ2 X1
¯ ¯¯̄¯̄
X2
¯ ¯¯̄¯̄
t α
2
+
s21
n1
s22
n2
− −−−−−−−
√
(3, 84 − 1, 49) − 2, 120 < − < (3, 84 − 1, 49) + 2, 120+
3, 072
15
0, 80
12
− −−−−−−−−−−−
√ μ1 μ2 +
3, 072
15
0, 80
12
− −−−−−−−−−−−
√
60 < − < 4, 10μ1 μ2
praticar
Vamos Praticar
Um estudo amostral em uma empresa determinou, para um processo efetuado em duas máquinas do
mesmo setor de produção, os seguintes números: 25 amostras da máquina 1 com média de refugo e 1,2%
e desvio-padrão de 0,4%, 20 amostras da máquina 2 apresenta média de 1,0% e desvio-padrão de 1,0%.
Entre as alternativas que seguem, vamos determinar um intervalo de con�ança de 95% para a diferença de
médias reais.
a) 
b) .
c) .
d) .
e) .
0, 29 < − < 0, 69μ1 μ2
0, 0 < − < 0, 69μ1 μ2
−0, 3 − < 0, 80μ1 μ2
0, 3 < − < 0, 80μ1 μ2
−0, 29 < − < 0, 80μ1 μ2
indicações
Material Complementar
LIVRO
Uma senhora toma chá – Como a estatística
revolucionou a ciência no século XX.
Editora: Zahar, 2009
Autor: David S. Salsburg, José Maurício Gradel
ISBN: 9788537801161
Comentário: O livro apresenta a história de um grupo de professores
estatísticos que se reuniram no �nal do ano de 1920 para tomar chá
em uma tarde de verão. E a discussão sobre o gosto do chá trouxe à
tona uma das mais importantes pesquisas na área de estatística do
último século.
WEB
Why you should love statistics (Porque devemos amar
as estatísticas)
Ano: 2016
Comentário: Nesse documentário, você será capaz de compreender a
importância da estatística para a análise de grandes quantidades de
dados. Isso porque, sem ela, somos limitados em trabalhar com
números. O documentário apresenta uma palestra com Alan Smith,
especialista em visualização de dados.
A C E S S A R
https://www.youtube.com/watch?v=ogeGJS0GEF4
conclusão
Conclusão
Nesta Unidade, você aprendeu os conceitos básicos referentes ao cálculo de con�abilidade.
Aprendeu também como calcular e utilizar as técnicas de utilização das distribuições, passando
pela distribuição normal, Weibull, entre outras teorias que permitirão aprimorar as técnicas
estatísticas.
Foi apresentado também um vídeo de uma aplicação em um software muito utilizado para se
realizar ensaios estatísticos. Este software pode ser baixado na versão gratuita e contém algumas
limitações por conta da gratuidade, porém é indicado para aqueles que tiverem interesse na área
da qualidade. A aprendizagem adquirida nesta unidade permitirá ao aluno analisar, re�etir,
relacionar e aplicar conceito em muitas das atividades do dia a dia.
referências
Referências Bibliográ�cas
CAMPOS, V. F. Qualidade total: padronização de empresas. Belo Horizonte: INDG Tecnologia e
Serviços Ltda, 2004.
CASELLA, G.; BERGER, R. L. Inferência Estatística. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Cengage
Learning, 2014.
LARSON, R.; FARBER, B. Estatística aplicada. 6. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2015. (e-book,
Biblioteca Virtual).
MONTGOMERY, D. C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2016. (e-book, Minha Biblioteca).
OLIVEIRA, G. S.; TURRIONI, J. B. Modelagem da con�abilidade utilizando dados de garantia: uma
alternativa para resolver as limitações ao se trabalhar com dados de campo. Produto & Produção,
v. 17, n. 2, p. 44-52, 2016.
REZENDE, F. O papel dos pro�ssionais da qualidade no cenário atual. 15 mar. 2019. Disponível
em: http://www.gestaoporprocessos.com.br/o-papel-dos-pro�ssionais-da-qualidade-no-cenario-
atual/. Acesso em: 1 nov. 2019.
SANTOS, G. T. Modelo de con�abilidade associando dados de garantia e pós-garantia a três
comportamentos de falhas. Tese (Doutorado) - Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto
Alegre, 2008.
WALPOLE, R. E. et al. Probabilidade e Estatística para engenharia e ciências. São Paulo: Pearson
Prentice Hall, 2009.
http://www.gestaoporprocessos.com.br/o-papel-dos-profissionais-da-qualidade-no-cenario-atual/