6- Lista de rolamento

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1 Rolamento
Rolamento é um movimento resultante da combinação do movimento de rotação com o movimento de
translação, como mostra a figura 1. No movimento de rotação pura todos os pontos da roda se movem com a
mesma velocidade angular ω e todos os pontos da borda se movem com a mesma velocidade linear escalar
vcm. No movimento de translação pura todos os pontos da roda se movem para a direita com a mesma
velocidade linear escalar vcm. Quando combinamos esses dois movimentos, damos origem ao movimento
de rolamento. Para que o rolamento ocorra sem deslizamento vcm = ωr implicando que o ponto P da roda
que está em contato com a superfície deve estar momentaneamente em repouso.
Figura 1: Rolamento de uma roda.
Neste caso, o corpo possui energia cinética de translação + energia cinética de rotação, ou seja:
Ec =
1
2
Mv2cm +
1
2
Icmω
2. (1)
Podemos pensar também que este movimento de rolamento, na verdade é um movimento de rotação pura,
porém agora, em torno de um eixo que passa pelo ponto P, e não pelo centro de massa da roda. Assim, a
energia cinética de rolamento seria:
Ec =
1
2
Ipω
2, (2)
onde Ip é o momento de inércia da roda em relação ao eixo de rotação que passa pelo ponto P e é perpen-
dicular ao plano da roda. Para calcular Ip basta usar o teorema dos eixos paralelos:
Ip = Icm +Md
2, onde d = r, (3)
1
substituindo na equação 2, obtemos a mesma expressão para a energia cinética encontrada na equação 1:
Ec =
1
2
Icmω
2 +
1
2
M(ωr)2, (4)
pois ωr = vcm.
Mas, o que faz o corpo rolar sem deslizar? Geralmente é a força de atrito estático (lembre-se o ponto
P encontra-se momentaneamente em repouso). Essa força se opõe a tendência do deslizamento porém não
realiza trabalho sobre os corpos que rolam, então não há dissipação de energia, isto é, a conservação da
energia mecânica pode ser utilizada para resolver os problemas de rolamento, quando necessário. Além da
conservação da energia mecânica, vamos utilizar a segunda lei de Newton (
∑ ~F = m~a e ∑~τ = Iα para
nos auxiliar na resolução de problemas.
Para ilustrar, vamos ver o exemplo de um corpo rígido que desce uma rampa rolando sem deslizar
(figura 2):
Figura 2: Corpo rígido descendo uma rampa rolando sem deslizar.
Aplicando a segunda lei de Newton para as forças no eixo x, temos:
fs −Mg sin θ =Macm. (5)
2
Escrevendo a segunda lei de Newton na forma angular em relação a um eixo horizontal passando pelo
centro de massa, temos:
Rfs = Icmα (6)
Como o corpo está rolando suavemente, ou seja, sem deslizar, podemos usar acm = αR. Porém,
devemos ter um cuidado pois, considerando os sinais convencionais, acm é negativa (sentido -x) e α é
positiva (sentido anti-horário). Fazendo essa consideração e resolvendo o sistema, obtemos o módulo da
aceleração do centro de massa:
acm =
g sin θ
1 + Icm/MR2
, (7)
que é uma expressão geral para a aceleração do centro de massa de qualquer corpo que rola suavemente em
em plano inclinado cujo ângulo com a horizontal é θ.
Observamos uma situação análoga no movimento de um ioiô, como mostrado na figura 3.
Figura 3: Corpo rígido descendo uma rampa rolando sem deslizar.
Neste caso, a tração faz “o papel” da força de atrito estático. Que tal praticar um pouco e encontrar o
valor do módulo da acm neste caso? A resposta correta é:
acm =
g
1 + Icm/MR20
. (8)
3