Prova: Álgebra linear 2 - Ufam

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P1 - Álgebra Linear 2
21/SET/2021
1. (a) O que significa dizer que um conjunto X gera um espaço vetorial V ? (0,25 pt)
(b) O que significa dizer que um conjunto B de vetores é L.I.? (0,25 pt)
(c) Dê exemplo de um conjunto gerador para o espaço vetorial R3 que não seja L.I. (0,25 pt)
(d) Dê exemplo de um conjunto L.I. que não seja gerador para o espaço vetorial sl2(R). (0,25 pt)
2. (1,0 pt) Seja V o conjunto formado por todas as triplas (x, y, z) de números reais que têm a propriedade
seguinte:
x2 + y2 = 1 e z > 0.1
V é o cilindro representado na imagem abaixo.
Figura 1: Cilindro x2 + y2 = 1, z > 0
Defina em V as seguintes operações
(a, b, c)⊕ (r, s, t) := (ar − bs, as+ br, ct)
λ(a, b, c) := (a, b, cλ), λ ∈ R.
Quais dos axiomas de espaço vetorial são válidos para essas operações?
3. (1,0 pt) Seja V o conjunto de todos os pares (a, b) de números reais tais que a é arbitrário e b > 0. Com as
operações
(a, b)⊕ (s, t) := (a+ s, bt)
λ(a, b) := (λa, bλ), λ ∈ R
1Por exemplo,
(√
2
2
,−
√
2
2
, 3
5
)
∈ V enquanto que p = (0, 1, 0) e q = (1, 1, 3) não pertecem ao conjunto V . Embora na tripla p
tenhamos 02 + 12 = 1, a última entrada não é > 0. Já na tripla q a última entrada é > 0, mas 11 + 12 6= 1.
1
sabemos que V é um R-espaço vetorial. Encontre uma base B1 formada por pontos da parábola y = x2 + 1.
Calcule a matriz de transição da base encontrada para a base B2 = {(2, 2), (5, 5)}
4. Classifique em Verdadeira ou Falsa cada uma das afirmações baixo justificando as verdadeiras e apresentando
exemplos para as falsas. (Respostas sem justificativa serão desconsideradas)
(a) Qualquer conjunto que tenha o mesmo número de vetores que uma base de um espaço vetorial é L.I.
(0,25 pt)
(b) Todo conjunto L.D. é gerador e tem mais vetores do que a dimensão do espaço vetorial. (0,25 pt)
(c) Quaisquer dois subespaços não-nulos de R4, diferentes de R4, têm a mesma dimensão. (0,25 pt)
(d) Todo conjunto gerador está contido em alguma base. (0,25 pt)
5. (1,0 pt) Encontre uma base para o núcleo da matriz
 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2
 .
6. (1,5 pt) Construa, se for posśıvel, uma matriz cujo espaço-coluna contém
 11
1
 ,
 0−2
−2
 e cujo núcleo contém 22
4
.
7. (1,0 pt) Construa uma matriz cujo núcleo é igual ao espaço-coluna.
8. (1,0 pt) Por que não existe nenhuma matriz cujo espaço-linha e o núcleo contenham o vetor
 11
1
?
9. (1,5 pt) Calcule a matriz de transição da base canônica de sl2(R), {X,Y,H}, para a base
B =
{[
1 2
0 −1
]
,
[
0 1
−1 0
]
,
[
4 0
6 −4
]}
2