Apostila Calculo Zero

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CÁLCULO ZERO
Jerônimo Flors
2CÁLCULO ZERO
SUMÁRIO
CENTRO UNIVERSITÁRIO UNIFTEC
Rua Gustavo Ramos Sehbe n.º 107. 
Caxias do Sul/ RS 
REITOR
Claudino José Meneguzzi Júnior
PRÓ-REITORA ACADÊMICA
Débora Frizzo
PRÓ-REITOR ADMINISTRATIVO
Altair Ruzzarin
DIRETORA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA (NEAD)
Lígia Futterleib
Desenvolvido pelo Núcleo de Educação a 
Distância (NEAD)
Designer Instrucional 
Sabrina Maciel
Diagramação, Ilustração e Alteração de Imagem
Igor Zattera, Gabriel Castilhos
Revisora
Ana Clara Garcia
Introdução 3
Introdução à matemática básica 4
Conjuntos numéricos 5
Representação dos números reais 6
Ordem na reta e a notação de intervalo 6
Operações com números reais 7
Produtos notáveis 13
Fatoração 14
Simplificação de polinômios fracionários 15
Pré-Cálculo 19
Equações 20
Generalidades sobre funções 23
Funções do primeiro e segundo graus 24
Funções exponenciais e logarítmicas 26
Funções trigonométricas 28
INTRODUÇÃO
Neste livro estudaremos assuntos introdutórios para o seu 
sucesso nas distintas disciplinas da área de ciências exatas
4CÁLCULO ZERO
A matemática estudada no Ensino Superior, como em cursos de engenharias, 
por exemplo, está ancorada em tópicos de matemática básica que são vistas no 
Ensino Fundamental e Médio. Porém, muitas vezes, não estamos lembrados 
desses conteúdos e isto acaba inviabilizando o nosso sucesso acadêmico
INTRODUÇÃO À 
MATEMÁTICA 
BÁSICA
Realizar operações matemáticas básicas, 
utilizar calculadoras e softwares, são 
competências esperadas para um estudante 
de engenharia.
Podemos entender a matemática como uma construção 
histórica do homem na sua relação com o mundo. As civiliza-
ções antigas valiam-se dessa ciência para edificações, trans-
portes, agricultura e astronomia, por exemplo. Atualmente, 
não é possível elencar todas as suas aplicações, uma vez que 
ela está presente em praticamente todas as áreas do conhe-
cimento. Nesta disciplina, veremos alguns fundamentos que 
irão fornecer subsídios para o Cálculo Diferencial e Integral, 
ou simplesmente, para o Cálculo, um dos mais importantes 
ramos da matemática.
5CÁLCULO ZERO
Conjuntos numéricos
Na Matemática, entendemos con-
junto como uma coleção ou classe de 
elementos definidos. Existem conjuntos 
de números, animais, pessoas, objetos, 
estrelas, etc. Um conjunto geralmente é 
representado por uma letra maiúscula e 
os elementos são escritos dentro de chaves 
(BIANCHINI, PACCOLA, 1998).
Conjunto unitário e conjunto vazio 
BIANCHINI e PACCOLA (1998) 
argumentam que o próprio nome sugere a 
ideia de conjunto unitário e vazio, sendo 
o unitário aquele que possui um único 
elemento e vazio aquele que não tem ele-
mentos.
Exemplos:
Conjunto dos números primos pares 
é um conjunto unitátio: {2}
Conjunto dos números primos entre 
8 e10, é um conjunto vazio que pode ser 
representado por { } ou . 
Conjunto universo 
 “Um conjunto que tenha todos os 
elementos com os quais se deseja trabalhar 
chama-se conjunto universo, e é geralmen-
te representado pela letra U” (BIANCHI-
NI e PACCOLA, 1998, p. 3) . 
Subconjuntos
Podemos dizer que um conjunto A 
é subconjunto de um conjunto B, quando 
todo elemento de A é também elemento 
de B. Dizemos, então, que A B ( lemos 
A está contido em B).
Operações com conjuntos 
Diferença entre conjuntos
 Sejam os conjuntos A ={2,4,6,8,10} 
e B= {2,5,7,10}. Para fazer A-B considera-
mos os elementos de A e retiramos aque-
les que são comuns ao conjunto B. Logo 
A-B={4,6,8} e chamamos de diferença 
entre A e B. 
Figura 1: conjuntos. Fonte: do autor.
6CÁLCULO ZERO
Intersecção de conjuntos 
Sejam os conjuntos A ={2,4,6,8,10} 
e B= {2,5,7,10}. A intersecção entre os 
conjuntos consiste nos elementos que per-
tencem a ambos conjuntos. Logo A B 
= {2,10}. 
 Reunião de conjuntos (União de 
conjuntos) 
Sejam os conjuntos A ={2,4,6,8,10} 
e B= {2,5,7,10}. A união entre os conjuntos 
consiste na totalidade dos elementos per-
tencentes aos dois conjuntos. Não devemos 
escrever elementos repetidos. Logo A B 
= {2,4,5,6,7,8,10}
Representação dos números reais 
Número real é todo aquele que pode 
ser escrito na forma decimal. Assim como 
os objetos com alguma similaridade entre 
si podem ser reunidos numa coleção, os 
números com características semelhan-
tes também são agrupados em conjuntos 
(DEMANA et al., 2013). O conjunto dos 
números reais apresenta vários subconjun-
tos, como veremos a seguir: 
Conjunto dos números naturais: N 
= { 0 , 1 , 2 , 3 , ... }
Conjunto dos números inteiros: Z 
= { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }
Conjunto dos números racionais: são 
aqueles que podem ser expressos na forma 
a/b, em que a e b são inteiros quaisquer, 
com b diferente de 0. 
Conjunto dos números irracionais: 
são aqueles que não podem ser expressos 
na forma a/b, com a e b inteiros e b dife-
rente de 0. Dessa forma, são compostos 
por dízimas infinitas não periódicas. 
Assim, podemos concluir que o 
conjunto dos números reais é a reunião 
do conjunto dos números irracionais com 
o dos racionais. Destacamos que raízes 
de índice não pertencem ao conjunto dos 
números reais.
Ordem na reta e a notação de 
intervalo
Demana et al. (2013) justificam que 
o conjunto dos números reais é ordenado, 
o que significa dizer que existe a possi-
bilidade de comparação entre os números 
reais utilizando-se desigualdades.
Símbolo Definição Leitura
a > b
 a- b é 
positivo
 a é maior que 
b
a < b
 a-b é 
negativo
 a é menor 
que b
a ≥ b a-b é positivo 
ou zero
 a é maior ou 
igual a b
a ≤ b a-b é 
negativo ou zero
 a é menor ou 
igual a b
Quadro 1: desigualdades. Fonte: Demana et al. (2013).
7CÁLCULO ZERO
Alguns termos comumente uti-
lizados 
Denominador: a parte “de baixo” 
de uma fração. 
Equação: é uma sentença aberta 
matemática, onde existe uma igualdade 
entre duas expressões algébricas. 
Fração: parcela, parte de um todo. 
Função: relação entre dois conjuntos 
numéricos. 
Numerador: a parte de “cima” de 
uma fração.
Número primo: todo número que 
apresenta apenas dois divisores sendo um 
e ele mesmo.
Racionalização de denominadores: 
processo que consiste em tornar um deno-
minador irracional em racional sem alterar 
o valor numérico de uma fração. 
Operações com números reais
Generalidades sobre frações 
Fração é uma forma de represen-
tação de uma quantidade, a partir de um 
valor que foi dividido em partes. Sodré 
(2010) pondera que cerca de 3.000 anos 
antes de Cristo os antigos egípcios já re-
alizavam a marcação e a divisão de suas 
terras às margens do Rio Nilo com o uso 
de frações. Graças ao fato das porções de 
terras raramente serem exatas, aquela ci-
vilização sentiu a necessidade de utilizar 
recursos para a divisão em partes. 
Exemplos:
I) Um engenheiro deve trabalhar 
30 horas semanais. Em função do acú-
mulo e tarefas ele precisou fazer 12 horas 
extras nesta semana. Qual é a fração que 
representa o que ele trabalhou a mais do 
previsto? 
12/30 é a fração, sendo que o total 
deve ser representado na parte de bai-
xo (denominador) e a parcela na parte de 
cima (numerador). Entretanto, podemos 
simplificar a fração conforme segue:
Logo, podemos concluir que o en-
genheiro trabalhou 2/5 além do previsto. 
II) A empresa “Teste 123 imple-
mentos” realizou um processo seletivo com 
180 candidatos para a vaga de vendedor, 
sendo relevante o fato do candidato falar 
outro idioma. O setor de RH observou que 
como segunda língua, 2/5 falam inglês, 
2/9 falam francês, falam 1/3 espanhol e 
o restante alemão. Qual é o número de 
candidatos que fala alemão?
8CÁLCULO ZERO
Operações com frações 
Soma e subtração 
Exemplo:
O primeiro passo consiste em con-
verter todas as frações ao mesmo denomi-
nador. Para isso, devemos efetuar o míni-
mo múltiplo comum dos denominadores, 
que no nosso exemplo será m.m.c. (3, 5, 
13): 195. Portanto, todas as frações terão 
o denominador comum 195.
Na sequência, devemos calcular o 
“novo” numerador de cada fração. Paraisso, dividimos 195 pelo seu denominador 
atual e após multiplicamos o resultado 
encontrado pelo numerador original:
Para 1/3 temos que: 195: 3. 1 = 65, 
logo: 1/3 = 65/195
Para 2/5 temos que: 195: 5. 2 = 78, 
logo: 2/5 = 78/195
Para 3/13 temos que: 195: 13. 3 = 
45, logo: 3/13 = 45/195
Desse modo, encontramos três 
frações equivalentes às frações originais, 
sendo que todas com o mesmo denomi-
nador. Agora, basta efetuar o cálculo do 
numerador e simplificar o resultado, caso 
seja possível:
Multiplicação 
Para realizarmos a multiplicação ou 
produto de frações, devemos multiplicar os 
numeradores entre si, fazendo-se o mesmo 
em relação aos seus denominadores e sim-
plificando o resultado quando for possível.
Exemplo: 
Perceba que, independentemente, 
de os denominadores serem todos iguais 
ou não, iremos simplesmente realizar a 
multiplicação:
Divisão 
Devemos efetuar a inversão das fra-
ções divisoras, trocando-se o seu nume-
rador pelo seu denominador e realizando 
a multiplicação das novas frações.
Exemplo:
9CÁLCULO ZERO
Potenciação 
É uma multiplicação em série de 
um número por si mesmo. 
Exemplos: 
I) 2=2.2.2.2.2=32
II) Como exigência para prevenção 
de incêndios, a empresa “JBF plásticos” 
construiu um reservatório de água no for-
mato de um cubo, com 4 metros de aresta. 
Qual é o volume do reservatório?
Volume: 4³=4.4.4=64 m³
 Vale a pena lembrar que 1 m³ cor-
responde a 1.000 litros de água, ou seja, no 
reservatório cabem 64.000 litros de água. 
Obs. Esta relação só é válida para a água, 
outros líquidos se comportam de outra 
maneira em função de suas propriedades, 
especialmente a densidade. 
Propriedades das potenciações 
A seguir veremos algumas proprie-
dades da potenciação. 
Base 1: quando a potência tiver base 
1, o resultado será igual a 1. 
Exemplos:
1=1
1=1
Potência 1: potências de expoente 
1 tem resultado igual à base. 
Exemplos: 
6¹=6
8¹=8
 x¹=x 
Potência de bases iguais: 
Multiplicação de base igual: con-
servamos a base e somamos o expoente. 
Exemplos: 
3².3= 3
5².5=5
Divisão de base igual: conservamos 
a base e diminuímos o expoente. 
Exemplos: 
2³:2¹=2²
6¹³:6=6¹
5
5
5
7
9 12
Figura 2: cubo. Fonte: do autor.
6
10
-2
10CÁLCULO ZERO
Potência de expoentes iguais: mul-
tiplicamos as bases e conservamos o ex-
poente comum.
Exemplos: 
3³.2³=(3.2)³=6³=216
Expoente de base zero: Quando a 
base de nosso expoente é zero o resultado 
será sempre zero, assim será para qualquer 
valor que seja colocado no expoente com 
exceção do zero. 
Exemplos:
0³=0
0³²=0
0 =indefinido
0=indeterminado
Base negativa: devemos observar 
o expoente. O expoente par produz um 
resultado positivo, um expoente ímpar um 
resultado negativo.
Exemplos: 
 I) (-12)³=+144
 II) (-3)³=-27
Expoente negativo: devemos trocar 
o numerador pelo denominador da fração 
e resolver o cálculo. 
Exemplos: 
Radiciação 
Na perspectiva de Demana et al. 
(2013), se b²=a, então b é a raiz quadrada 
de a. Assim, -3 e 3 são raízes quadradas 
de 9, uma vez que (-3) ²=(3) ²=9. Do mes-
mo modo, se b³=a, então b é a raiz cúbica 
de a. Destarte, 3 é a raiz cúbica de 27, 
pois 3³=27. O autor ainda enfatiza que seja 
√(n&a), se n for ímpar qualquer número 
apresenta uma única raiz enésima. Se n for 
par os números reais positivos apresentam 
duas raízes enésima. 
Operações com radicais 
Expoente fracionário 
Temos a possibilidade de converter 
o radical em um expoente fracionário e 
vice-versa. 
Exemplos: 
Raiz de um produto 
A raiz de um produto é dada pelo 
produto das raízes. Para fazer o produto de 
radicais é preciso que eles tenham o mesmo 
índice no radical ou o mesmo radicando. 
Exemplo: 
-1
0
11CÁLCULO ZERO
Raiz do quociente 
A raiz de um quociente é dada pelo 
quociente das raízes. Assim, para fazer o 
quociente de radicais é preciso que eles 
tenham o mesmo índice no radical ou o 
mesmo radicando
Exemplo:
Adição e subtração
A adição e subtração de radicais só 
é possível quando são semelhantes. Logo, 
devemos colocar os radicais em evidência 
e somar apenas a parte racional. 
Exemplos: 
Racionalização de denominadores 
É um recurso matemático com o 
intuito de transformar o número irracional 
do denominador de uma fração em um 
número racional, sem alterar o seu valor 
numérico. 
Exemplos: 
Perceba que o processo matemático 
consistiu em multiplicar o numerador e o 
denominador da fração por √5.
Observe que multiplicamos numera-
dor e denominador por , com a intenção 
que o próximo passo produzisse , 
possibilitando, assim, a extração do radical 
do denominador.
Note que multiplicamos numera-
dor e denominador pelo mesmo termo, 
porém com o sinal do meio trocado. Isso 
possibilita uma simplificação que extrai 
o radical do denominador.
Polinômios
Cálculos envolvendo polinômios 
serão utilizadas em diversas situações no 
decorrer do seu curso de engenharia. Por 
isso, é importante termos clareza de suas 
propriedades e operações. 
12CÁLCULO ZERO
Segundo Demana et al. (2013) um 
polinômio é uma sequência de monômios, 
que são termos algébricos compostos por 
um coeficiente numérico e uma parte lite-
ral. O grau de um polinômio é dado pelo 
maior expoente que a expressão possuir. 
Polinômios com dois termos são chamados 
de binômios e com três trinômios.
Soma e subtração 
Basta eliminar os parênteses ob-
servando-se o sinal da frente e podemos 
pensar que o sinal de menos faz com que 
todos os termos tenham o seu sinal inver-
tido, enquanto o sinal de mais faz com que 
todos os sinais permaneçam como estão. 
Exemplo:
(5x²-2x+3) - (3x²-7x+5) =
5x²-2x+3-3x²+7x-5
5x²-3x²-2x+7x+3-5
2x²+5x-2
Multiplicação
Devemos aplicar a propriedade dis-
tributiva, fazendo com que todos os termos 
sejam multiplicados entre si. Além disso, 
é necessário observarmos as regras de si-
nais da multiplicação, considerando que 
quando multiplicamos variáveis iguais, 
conservamos a base e somamos o expoente, 
e quando multiplicamos variáveis diferen-
tes, basta escrever uma ao lado da outra. 
Exemplos: 
 (-3x³ ).(-7x² )= +21x
 (-8a).(+7b)= -56 ab
 3x.(x²-2x+3)=3x³-6x²+9x
 (2x-1).(3x²+4x)=
6x³+8x²-3x²-4x=
6x³+5x²-4x=
5
Muito cuidado com as propriedades das potenciações, já 
vistas anteriormente.
13CÁLCULO ZERO
Produtos notáveis 
Quadrado da soma de dois termos 
O quadrado da soma de dois termos, 
também chamado de quadrado perfeito (a 
+ b )², é igual ao quadrado do primeiro 
termo (a²) , mais duas vezes o produto 
do primeiro termo pelo segundo ( +2ab), 
mais o quadrado do segundo termo (+b²).
Ou seja, 
(a+b)²=a²+2ab+b²
Exemplo: 
(2x+y)²
4x^2+4xy+y²
Também podemos efetuar o cálculo 
com a multiplicação de polinômios:
(2x+y)^2=(2x+y).(2x+y)
4x^2+2xy+2xy+y²
4x^2+4xy+y²
Quadrado da diferença de dois termos
Segue a mesma lógica do quadrado 
da soma de dois termos, entretanto, existe 
um sinal de menos entre os dois termos. 
Exemplo:
(x-3)^2=
x^2-6x+9=
Também podemos realizar o cálculo 
com a multiplicação de polinômios:
(x-3)²=(x-3).(x-3)
x²-3x-3x+9
x²-6x+9
Produto da soma pela diferença 
O produto da soma pela diferen-
ça de dois termos (a+b) . (a-b) é igual ao 
quadrado do primeiro termo (a²) menos o 
quadrado do segundo termo (-b²).
Exemplo:
(x-3)(x+3)=
x^2-9=
14CÁLCULO ZERO
Fatoração
Demana et al. (2013) esclarecem 
que fatorar um polinômio consiste em es-
crevê-lo na forma de dois ou mais fatores 
polinomiais. Os autores ainda comentam 
que um polinômio que não pode ser fato-
rado com o uso de coeficientes inteiros é 
chamado de irredutível. A fatoração está 
completa quando o polinômio estiver es-
crito com um produto de seus fatores ir-
redutíveis.
Fatorar polinômios, adequadamente, 
será indispensável para o seu sucesso nas 
disciplinas de Cálculo I e II. 
Principais casos de fatoração 
Fator comum e evidência 
Consiste em colocar em evidência 
os fatores que são comuns a cada um dos 
termos. 
Exemplos: 
 2x³+2x²-6x=2x(x²+x-3)
 u³ v+uv³=uv(u²+v²)
Diferença de dois quadrados 
Éutilizada quando temos uma di-
ferença entre dois termos que conhecemos 
suas raízes quadradas. 
Exemplos:
 25x²-36=(5x-6).(5x+6)
 4x²-81=(2x-9).(2x+9)
Trinômio do quadrado perfeito 
É um trinômio cujo produto das ra-
ízes dos termos dos extremos corresponde 
à metade do módulo do termo do meio. 
Exemplo: 
 x²-10x+25=
Perceba que:
Logo, (x-5)² é a fatoração do po-
linômio.
15CÁLCULO ZERO
Agrupamento 
 Para Demana et al. (2013, p. 28) 
quando um polinômio de quatro termos 
é o produto de dois binômios, temos a 
possibilidade de agrupar os termos para 
fatorar, colocando o termo comum em 
evidência duas vezes. 
Exemplo: 
 3x³+x²-6x-2=
(3x³+x² )-(6x+2)=
x² (3x+1)-2(3x+1)=
(3x+1)(x²-2)=
Fatoração de trinômios como produto de 
binômios
Quando o termo a do trinômio for 
igual a 1, uma alternativa para este modelo 
de fatoração é resolver a equação e aplicar 
a fórmula (x-r).(x-r), em que r são as raízes 
da equação. 
Exemplo: 
x²-7x+10=
Resolvendo a equação encontramos 
5 e 2 como raízes. Logo, 
(x-5).(x-2)=
Simplificação de polinômios 
fracionários 
Demana et al. (2013, p.34) argu-
menta que “para simplificar uma expressão 
racional (ou número racional), eliminamos 
todos os fatores comuns do numerador e 
denominador até que a expressão fique na 
forma mais simples”. Assim, as fatorações 
vistas anteriormente podem ser úteis para 
o processo de simplificação de polinômios. 
Exemplos: 
(x²-3x)/(x²-9)=
Perceba que no numerador utili-
zamos a fatoração por termo comum e 
evidência, já no denominador a diferença 
de dois quadrados. Os termos que apare-
cerem idênticos foram eliminados.
Também, observe que no numera-
dor utilizamos a fatoração por diferença 
de dois quadrados, bem como no deno-
minador trinômio do quadrado perfeito. 
Os termos que estiverem idênticos foram 
eliminados.
16CÁLCULO ZERO
Exercícios
1) Calcule as frações:
a)
b)
c)
d)
e)
2) Encontre os resultados:
a)
b)
c)
d)
3) Racionalize o denominador:
a)
b) 
c)
17CÁLCULO ZERO
d)
4) Fatore as expressões a seguir:
a)
b)
c)
 d)
e) 
5) Escreva na forma reduzida:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Gabarito 
1) a) 26/21 
 b) -7/12 
 c) -17/30
 d) -1/4 
 e) -10/9 
2) a) 1/49 
 b) 121/36 
 c) -512
 d) 49/144
3) a) √5/5
 b) (5√7)/21
 c) √6/21
 d) (15+5√2)/7
4) a) 5(x-3)
 b) (5x-6) (5x+6) 
 c) (z-7)(z+7)
 d) (x+3)² 
 e) (x-7)(x-2)
5) a) (y+1)/3y
 b) x -7 
 c) c/a
 d) 5/(x-2)
 e) (x-2)/(x+2)
 f) a+b
19CÁLCULO ZERO
PRÉ-CÁLCULO 
O cálculo divide-se em duas grandes áreas: o 
cálculo diferencial e o cálculo integral. Neste 
capítulo, iremos estudar fundamentos para 
sustentar a sua evolução neste relevante 
ramo da matemática 
Mesmo que limites, continuidades, derivadas e integrais sejam as 
pautas principais de um curso de Cálculo, o conhecimento de assuntos 
mais básicos como, por exemplo, funções e trigonometria fazem-se 
cruciais para o bom entendimento e o sucesso na disciplina. Nesse 
contexto, não basta apenas saber realizar operações matemáticas, mas 
compreender o contexto e as aplicações, de modo que, seja possível 
a visualização desses conteúdos, tanto em situações práticas, quanto 
em situações abstratas que exijam imaginação.
Muitos dos cálculos mais complexos da matemática estão ancorados 
em conteúdos relativamente simples, que não podem ser esquecidos 
pelo estudante de engenharia.
20CÁLCULO ZERO
Equações
Demana et al. (2013) argumenta 
que a equação é uma sentença matemática 
em que temos uma igualdade entre duas 
expressões. Resolver uma equação significa 
encontrar o valor da incógnita, que é um 
termo desconhecido.
O grau de uma equação é dado pelo 
maior expoente das suas incógnitas. As-
sim:
2x-16=8 é uma equação do primeiro grau
x²-7x+10=0 é uma equação do segundo 
grau
x -2x²+3x-16=0 é uma equação do quarto 
grau
Equações do primeiro grau 
Uma equação do primeiro grau é 
composta por dois termos: o primeiro e 
o segundo termo. O sinal de igual é res-
ponsável por fazer a separação entre eles. 
Em uma equação, devemos separar os ele-
mentos variáveis dos elementos constantes. 
Exemplos: 
 2x+7=-3x+12
2x+3x=12-7
5x=5
x=5/5=1
Uma casa com três quartos tem uma 
área total construída de 260m². Sabemos 
que os três quartos possuem a mesma área 
e que o restante da casa ocupa 140 m². 
Qual é a área de cada quarto? 
Considere x como a área dos quartos 
(pode ser outra letra). 
3x+140=260
3x=260-140
3x=120
x=120=40 m²
 2(2x-3)+3(x+1)=5x+2
4x-6+3x+3=5x+2
4x+3x-5x=2-3+6
2x=5
x=5
 (5x-2)=2+x
(5x-2=16+2x)
5x-2x=16+2
3x=18
x=18=6
4
4
2
8
8
8
3
21CÁLCULO ZERO
Equações do segundo grau 
Uma equação do segundo grau 
é aquela que está descrita na forma: 
ax^2+bx+c=0, em que a, b e c são números 
reais e a ≠0. Quando b ou c forem iguais a 
zero, dizemos que a equação do segundo 
grau é incompleta. 
O grau de uma equação é dado pelo 
grau do polinômio que a compõe. 
Resolução de equações do segundo 
grau incompletas
Situação 1: Quando b=0 
Exemplos: 
 x²-9=0
x²=9
x=±√9
x=±3
S={-3,+3}
ii) Uma tela retangular tem uma 
área de 9.600 cm². Sabemos que o com-
primento corresponde a uma vez e meia 
a sua altura. Então, quais são as medidas 
do comprimento e largura da tela?
Seja x a medida das dimensões da 
tela. Então 1,5x será o comprimento e x 
a altura. Vamos lembrar que área de um 
retângulo é dada pelo produto da base 
pela altura. Logo: 
Como estamos falando de medidas, 
vamos considerar apenas o valor positivo. 
Assim, o comprimento vale 80 cm e a 
largura 120 cm. 
Situação 2: Quando c = 0 
Exemplos: 
 x²-6x=0
x(x-6)=0
x1=0
x-6=0
x2=6
S={0,6}
22CÁLCULO ZERO
Resolução de equações do segundo 
grau completas
Uma equação do segundo grau com-
pleta é aquela que possui os termos a, b e 
c diferentes de zero. 
Dessa forma, utilizamos a fórmula 
de Bháskara:
Exemplos:
1) 2)
3) Um senhor tem um terreno retan-
gular que mede 26m de comprimento por 
16m de largura. Ele deseja aumentar a área 
de seu terreno para 816m², acrescentando 
duas faixas de terra com a mesma largura 
em um dos lados e nos fundos. Qual deve 
ser a largura dessas faixas?
Como estamos falando de medidas, 
vamos considerar apenas o valor positivo, 
logo as faixas devem ter 8m de largura. 
23CÁLCULO ZERO
Generalidades sobre funções
Demana et al. (2013) definem fun-
ções como uma regra de formação que 
associa todo elemento de um conjunto A 
a um único elemento de B. Já Thomás 
et al. (2012) argumentam que diversos 
fenômenos cotidianos podem ser mode-
lados por funções como, por exemplo, a 
temperatura de algum material, os juros 
recebidos em algum investimento, o custo 
na produção de algo, etc. 
Desse modo, podemos chamar o 
conjunto A de domínio da função e o con-
junto B de contradomínio. Considera-se 
o domínio como os valores de entrada e a 
imagem como os valores de saída (THO-
MÁS et al., 2012, p. 1). Observe a figura a 
seguir, a qual representa o diagrama sagital 
de uma função:
Podemos considerar:
Domínio: A = {0,1,3,5}
Contradomínio: B = {2,4,6,8,10}
Imagem: Im= {2,4,6,8}
Determinando o domínio de uma função
O domínio de uma função é o con-
junto formado por todos os números reais 
que a variável arbitrária x pode assumir, 
de modo que as operações indicadas em 
f(x) possam ser efetuadas no conjunto dos 
números reais. 
Exemplos: 
A variável x não pode assumir va-
lores que anulem o denominador. Então 
devemos ter:
I) Seja f(x)= 5
 x-3 ≠0
 x ≠3
Logo, D={x∈ R/ x≠3 }
 II) f(x)= √2x+8
Este é um dos conteúdos mais 
relevantes para o seu sucesso no 
Cálculo
Figura 3: diagrama sagital. Fonte: do autor.
x-3
24CÁLCULO ZERO
A variável x não pode assumir va-
lores que tornem o radicando 2x -8 um 
número negativo. Então devemos ter: 
2x+8≥0
2x≥-8
x≥-4
Logo, D={ x∈ R /x≥-4}
III) Seja f(x)=7x
A variável x pode assumir qualquer 
valor real, pois 7x é um número real qual-
quer que seja x. Logo: D= R
Funções do primeiro e segundo 
graus
Funções do primeiro grau 
Pense na seguinte situação:Um taxista cobra R$ 2,50 por uma 
corrida de taxi mais R$ 5,00 para cada 
quilômetro rodado. 
Perceba que existe uma relação 
matemática entre dois conjuntos (A e B), 
ou seja, entre os quilômetros rodados e 
o preço a ser cobrado. Essa relação pode 
ser expressa matematicamente, em que P 
é o preço a ser pago e x os quilômetros 
rodados:
P(x)=2,50+5x
Agora pense no seguinte:
 Quanto vou gastar para rodar 2km?
P(2)=2,50+5.2
P(2)=2,50+10=12,50
 Disponho de apenas R$ 10,00, 
quanto posso rodar, no máximo?
2,50+5x=10
5x=10-2,50
x=7,50/5=1,5 km
Observações: 
O gráfico de uma função do primeiro 
grau é uma reta.
O conjunto imagem da função do 
primeiro grau é o conjunto dos reais.
A função do primeiro grau com b=o é 
chamada linear. 
25CÁLCULO ZERO
Coeficientes a e b de uma função 
do primeiro grau
Na função polinomial do primei-
ro grau, o número real a é chamado de 
coeficiente angular e está relacionado à 
inclinação da reta em relação ao eixo Ox. 
Se a > 0 então a função é crescente.
Se a< 0 então a função é decrescente.
Já o termo b, é chamado de coefi-
ciente linear e indica o ponto em que a 
reta corta o eixo Oy.
Funções do segundo grau ou quadrática 
Definição de uma função do se-
gundo grau 
Uma função do segundo grau é 
qualquer função especificada por uma re-
gra da forma f(x) = ax² + bx +c, em que a, 
b e c pertencem ao conjunto dos números 
reais e a ≠0.
Exemplos: 
 f(x)=x²-4x+3
Observe que a função é crescente. 
Neste caso, afirmamos que ela apresenta 
um ponto de mínimo.
 f(x)=-x²+10x-25
Observe que a função é decrescente. 
Neste caso, afirmamos que ela apresenta 
um ponto de máximo.
Vértice da função do segundo grau 
Podemos encontrar o ponto de má-
ximo ou de mínimo de uma função en-
contrando o vértice.
Observações:
O gráfico de uma função do segundo 
grau é uma parábola.
Se a>0, então a função é crescente. Se 
a<0 a função é decrescente. 
 As raízes da função são os pontos onde 
a parábola intercepta o eixo Ox.
O termo c é o ponto onde a parábola 
intercepta o eixo Oy.
Figura 4: gráfico da função do segundo grau. Fonte: do autor.
Figura 5: gráfico da função do segundo grau. Fonte: do autor.
26CÁLCULO ZERO
Funções exponenciais e 
logarítmicas 
Funções exponenciais 
Bianchini e Paccola (1998) definem 
a função exponencial como uma expres-
são matemática em que a variável é uma 
potência e a base é uma constante. 
 Vejamos as principais caracte-
rísticas da função exponencial:
 1. f é contínua, o seu domínio é 
R e o seu contradomínio é ;
 2. f é crescente se b > 1 e é de-
crescente se b < 1;
 3. f (0) = 1 e f (1) = b;
Exemplo:
Considere uma cultura de bactérias 
na qual o número de indivíduo se duplica 
a cada minuto. Para uma população inicial 
de 10 bactérias teremos (BIANCHINI, 
PACCOLA, 1998, p. 109):
Ao final de um minuto = y1=10.2=20 
bactérias
Ao f inal de dois minutos = 
y2=(10.2).2=(10.2)²=40 bactérias
Ao final de três minutos = y3=(10.2² 
).2=10.2³=80 bactérias
Percebemos que a lei da função é 
definida por y=10.2
O gráfico desta função será dado 
por: 
No entanto, perceba que no eixo x 
os valores negativos são apenas represen-
tativos, pois na nossa situação o x inicial 
é igual a zero. 
Função logarítmica
x
Figura 6: gráfico de função exponencial. Fonte: do autor.
27CÁLCULO ZERO
A expressão matemática que define 
a função logarítmica é um logaritmo. No 
logaritmo a base é constante e o valor de 
x é o termo variável. Toda função definida 
pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 
1 e a > 0 é denominada função logarítmica 
de base a. Nesse tipo de função o domínio 
é representado pelo conjunto dos números 
reais maiores que zero e o contradomínio, 
o conjunto dos reais.
Exemplos:
I) f(x) = log2x
II) f(x) = log3x
Gráficos de uma função logarít-
mica 
O gráfico de uma função logarít-
mica apresenta as seguintes caracterís-
ticas: 
O gráfico está totalmente à direita 
do eixo y, pois ela é definida para x > 0.
Intersecta o eixo das abscissas no ponto 
(1,0), então a raiz da função é x = 1.
A imagem corresponde ao conjunto dos 
reais.
É uma função inversa da exponencial.
É uma função contínua e crescente. 
Os logaritmos podem também defi-
nir-se de forma mais “aritmética”, de forma 
a facilitar o seu cálculo. Assim, temos que 
o logaritmo de um número numa base b 
> 1 é o expoente a que se tem de elevar a 
base para obter o número, isto é, 
logbf(x=a←→bª)=x
Algumas propriedades 
1. Logaritmo de um produto:
2. Logaritmo de um quociente:
3. Logaritmo de uma potência:
4. Logaritmo de uma raiz:
5. Mudança de base de logaritmos:
 Figura 7: gráfico da função logarítmica. Fonte: do autor.
28CÁLCULO ZERO
Funções trigonométricas
Medidas de Ângulos
Para medir ângulos e arco de cir-
cunferência, usualmente, utilizamos o 
grau como unidade de medida, porém, 
no cálculo é muito comum o emprego da 
unidade radiano.
Transformando graus em radianos
O comprimento de uma circunfe-
rência em radiano é igual a 2π rad, então 
como o comprimento de uma circunferên-
cia equivale a uma volta completa, que é o 
mesmo que 360º, então, podemos concluir 
que 360º = 2π rad. A partir daí, podemos 
encontrar qualquer ângulo utilizando uma 
regra de três simples: 
Exemplo: 
Qual seria a medida do ângulo 60º 
em radianos?
180º ------------------ π 
60º ------------------ x 
Perceba que 180º equivale a π. 
180 x = 60 π 
x = 60π 
 180 
x = π 
 3
Soma dos ângulos internos de um 
triângulo retângulo
Os triângulos possuem uma pro-
priedade particular muito interessante 
relativa à soma de seus ângulos internos. 
Essa propriedade garante que em qualquer 
triângulo, a soma das medidas dos três 
ângulos internos é igual a 180 graus.
29CÁLCULO ZERO
Teorema de Pitágoras
O triângulo retângulo é formado 
por dois catetos e a hipotenusa, que cons-
titui o maior segmento do triângulo e é 
localizada oposta ao ângulo reto. Logo, 
observe:
Catetos: a, b
Hipotenusa: c
O Teorema diz que: “a soma dos 
quadrados dos catetos é igual ao quadrado 
da hipotenusa”. Ou seja:
Exemplo 1
Calcule o valor do segmento desco-
nhecido no triângulo retângulo a seguir.
x² = 9² + 12²
x² = 81 + 144
x² = 225
√x² =√225
x = 15
Razões trigonométricas 
No triângulo retângulo definem-se 
Seno= cateto oposto
Cosseno= cateto adjacente
Tangente= cateto oposto
Exemplos:
Perceba que temos a hipotenusa e o 
cateto oposto, pois ele está em oposição 
ao ângulo. Assim:
Hipotenusa: 8 
Cateto oposto: x
Ângulo: 30 graus 
a² = b² + c² hipotenusa
hipotenusa
cateto adjacente
30CÁLCULO ZERO
Como o triângulo em questão está 
considerando a hipotenusa e o cateto opos-
to, devemos optar por uma fórmula que 
considere esses dois elementos, ou seja, a 
lei de seno. 
Seno:cos
Agora, você precisará pegar a tabela 
das funções trigonométricas, em anexo no 
final do Ebook, ou utilizar uma calcula-
dora científica para encontrar o seno de 
30.o. Dessa forma:
Sen 30∶x
0,5=x
x=4 
II) Um avião levanta voo sob um 
ângulo constante de 20º. Após percorrer 
2 000 metros em linha reta, qual será a 
altura atingida pelo avião, aproximada-
mente? (Utilize: sem 20º = 0,342; cos 20º 
= 0,94 e tg 20º = 0,364).
Em problemas de aplicação sempre 
procure fazer um desenho ou esboço para 
ter clareza da configuração dos elementos 
presentes.
Nesse problema temos: 
Hipotenusa: 2.000 m 
Cateto oposto: x 
Ângulo: 20.o 
Vamos encontrar uma fórmula que 
considere a hipotenusa e o cateto oposto. 
Novamente é a lei de seno. Assim: 
seno 20= x
0,3420= x
x=684 m 
hip
2000
2000
8
8
Nesse exemplo, trabalhamos com 4 
casas depois da vírgula. Quanto mais 
casas forem utilizadas, maior será a 
precisão.
31CÁLCULO ZERO
Exercícios
 
1) Calcule as equações a seguir: 
a) 2x-3=4x-5
b) 4-3x=2(x+4)
c) 4(x-2)=5x
d) x/2+1/3=1 
e) x²-5x+6=0
f) 2x²-7x=15 
g) 10+x(x-2)=2
2) Resolva os problemas envolvendo trigonometria: 
 
a) Um alpinista deseja calcular a altura de uma encosta que 
vai escalar. Para isso, afasta-se, horizontalmente,80 m 
do pé da encosta e visualiza o topo sob um ângulo de 55°. 
Nesse caso, se ele tem 1,75 m, calcule a altura aproximada 
da encosta. (Dados: sem 55° = 0,81, cos 55° = 0,57 e tg 55° = 
1,42). 
b) A pipa de João enroscou no topo de um poste. Se ele está 
a 6 m do poste e o ângulo entre a linha e o solo é de 60º. 
Qual é a altura do poste? 
c) Uma escada de bombeiros está encostada no topo de 
um edifício, tendo seus pés afastados a 50 m da base 
do edifício, formando assim, com o plano horizontal, 
um ângulo de 32. Se cada andar do edifício tem 
aproximadamente 3,47 metros, quantos andares tem o 
edifício?
Gabarito 
1) a) X=1
 b) X= -4/5
 c) X= -8 
 d) X=4/3 
 e) S={2, 3} 
 f) S ={-3/2, 5} 
 g) X não pertence ao conjunto dos números reais 
2. a) R. 115,35
 b) r. 10,39 m 
 c) r. 31,24 m e 9 andares.
Referências 
BIANCHINI, E; PACCOLA, E. Curso de Matemática: volume único. 2 ed. São Paulo: Moderna, 1998. 
DEMANA, F. D. (org.). Pré-cálculo. 2. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2013. 
SODRÉ, U. Matemática essencial – Frações racionais. (2010). Disponível em <http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/
matzoo/fracoes.pdf> Acesso: agosto de 2014.
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