Problemas de Geometria Plana

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MA141 - Prof. Stefano De Leo
[Problemas pag. 1]
1. Dados dois vértices consecutivos de um quadrado, (3,−7) e (−1, 4), calcular sua área.
2. Dados dois vértices opostos de um quadrado, (3, 5) e (1,−4), calcular sua área.
3. Calcular a área de um triângulo equilátero sabendo que dois vertices são (−3, 2) e (1, 6).
4. Dados três vertices de um paralelogramo ABCD [A=(3,−7), B=(5,−7), C=(−2, 5)] com D oposto a
B, calcular o comprimento das diagonais.
5. O lado de um losango é 5
√
10, dois vertices opostos são (4, 9) e (−2, 1). Calcular a área desse losango.
6. Demonstrar que os pontos (3,−5), (−2,−2) e (18, 1) se acham sobre uma mesma reta.
7. Demonstrar que o tirângilo de vertices (1, 1), (2, 3) e (5,−1) é retângulo.
8. Os pontos (5, 0), (0, 1) e (3, 3) são os vértices de um triângulo. Calcular os ângulos internos.
9. Os pontos (−
√
3, 1), (0, 2) e (−2
√
3, 2) são os vertices de um triângulo. Calcular o ângulo externo do
primeiro vértice.
10. Achar um ponto sobre o eixo das abscissas de tal forma que sua distância do ponto (2,−3) seja igual
a 5.
11. Achar um ponto sobre o eixo das ordenadas de tal forma que sua distância do ponto (−8, 13) seja
igual a 17.
12. Dados dois pontos A=(2, 2) C=(5,−2), achar sobre o eixo das abscissas um ponto B tal que o ângulo
ABC seja reto.
13. Dados dois értices opostos de um quadrado, (3, 0) e (−4, 1), achar os dois outros vértices.
14. Dados dois vértices consecutivos de um quadrado, (2,−1) e (−1, 3), achar os dois outros vértices.
15. Dados os vértices de um triângulo, (−3, 6), (9,−10) e (−5, 4), determinar o centro C e o raio R do
círculo circunscrito a esse triângulo.
16. Calcular a área dos triângulos cujos vértices são os pontos:
1) (2,−3), (3, 2) e (−2, 5), 2) (−3, 2), (5,−2) e (1, 3), 3) (3,−4), (−2, 3) e (4, 5).
17. Os vértices de um triângulo são os ponto (3, 6), (−1, 3) e (2,−1). Calcular o comprimento da altura
traçada do vértice C.
18. Calcular a área de um paralelegramo em que três de seus vertices são os pontos (3, 7), (2,−3) e
(−1, 4).
19. Dados os vértices (2, 1), (5, 3), (−1, 7) e (−7, 5) de uma placa homogênea quadrilátera, achar as
coordenadas de seu centro de gravidade.
20. Sejam (2, 3), (0, 6), (−1, 5), (0, 1) e (1, 1) os vértices de uma placa homogênea pentagonal. Achar as
coordenadas do seu centro de gravidade.
[Problemas pag. 2]
21. A área de um triângulo é 3, dois de seus vértices são os ponto (3, 1) e (1,−3). O terceiro encontra-se
no eixo Oy. Achar as coordenadas do terceiro vértice.
22. A área de um triângulo é 4, dois de seus vértices são os ponto (2, 1) e (3,−2). O terceiro encontra-se
no eixo Ox. Achar as coordenadas do terceiro vértice.
23. A área de um triângulo é 3, dois de seus vértices são os ponto (3, 1) e (1,−3). O centro de gravidade
do triângulo encontra-se no eixo Ox. Achar as coordenadas do terceiro vértice.
24. A área de um paralelogramo é 12, dois de seus vértices são os pontos (−1, 3), (2, 4). Sabendo que
o ponto de intersecção das diaghonais encontra-se sobre o eixo das abscissas, achar os dois outros vértices.
25. A área de um paralelogramo é 17, dois dos vértices coincidem com os pontos (2, 1) e (5,−3). Sabendo
que o ponto de intersecção das diagonais encontra-se sobre o eixo das ordenadas, achar os dois outros
vértices.
26. Determinar o tipo de curvas definidas pelas equações seguintes,
x− y = 0 , y = |x + 2| , xy = 0 , y2 + 5 y + 4 = 0 , x2 + 2(y − 1)2 = 1 , x2 + (y − 1)2 − 1 = 0 .
27. Achar os pontos de intersecção das curva:
1) x2+y2 = 8 e x = y, 2) x2+y2−16 x+4 y+18 = 0 e x+y = 0, 3) x2+y2−8x+10 y+40 = 0 e x2+y2 = 4.
28. Os lados de um triângulo pertencem às retas x + 5y = 7, 3x− 2y = 4 e 7x + y + 19 = 0. Calcular a
área desse triêngulo.
29. A área de um triângulo é 3/2, dois de seus vértices são os pontos (2,−3) e 3,−2), o centro de
gravidade desse triângulo pertence à reta 3x − y = 8. Achar as coordenadas do terceiro vértice.
30. Achar as equações das retas que passam pelos vértices (5,−4), (−1, 3) (−3,−2) de um triângulo e
que são paralelas aos lados opostos.
31. Dados os vértices (2, 1), (−1,−1) e (3, 2) de um triângulo achar as equções das alturas.
32. Achar a equação de uma reta que passa pelo ponto (3, 5) e que é equidistante dos pontos (−7, 3) e
(11,−15).
33. Um raio luminoso parte do ponto (−2, 3) sob um ângulo θ com o eixo Ox. Sabe-se que tan θ = 3.
Atingindo o eixo Ox, o raio é refletido (o ângulo de incidência é igual ao âgulo de reflexão). Achar as
equações das retas que representam os raios incidente e refletido.
34. Um raio luminoso se desloca segundo a reta x−2y+5 = 0. Após ter alcançado a reta 3x−2y+7 = 0
o raio é refletido. Achar a equação da reta que representa o raio refletido.
35. Determinar os valores de m e n para que a reta (2m−n + 5)x + (m + 3n− 2) y + 2m + 7n + 19 = 0
seja paralela ao eixo das ordenadas e determine sobre o eixo das abscissas um segmento um segmento
de grandeza 5 partindo da origem das coordenadas.
36. Demonstrar que se podem fazer passar duas retas pelo ponto (2, 5) de maneira que suas distâncias
ao ponto (5, 1) seja igual a 3. Dar a equação dessas retas.
37. Demonstrar que se podem fazer passar unicamente uma reta pelo ponto (7,−2) de maneira que sua
distância ao ponto (4, 6) seja igual a 5. Dar a equação dessa reta.
[Problemas pag. 3]
38. Achar a equação do diâmetro do círculo x2 +y2 +4x−6y = 17 perpendicular à reta 5x+2y−13 = 0.
39. Determinar o valor (ou valores) do coeficinete angular a pelo qual a reta y = ax, intercepta o círculo
x2 + y2 − 10x + 16 = 0, é tangente a esse círculo, não intercepta o círculo.
40. Calcular a distância do centro do círculo x2 + y2 = 2x à reta que passa pelo pontos de interseção
dos dois círculos x2 + y2 + 5x − 8y + 1 = 0 e x2 + y2 − 3x + 7y − 25 = 0.
41. Fazem-se passar pelo ponto (1, 6) as tangentes ao círculo x2 + y2 + 2x − 19 = 0. Achar as equações
das retas.
42. Fazem-se passar pelo ponto (4, 2) as tangentes ao círculo x2 + y2 = 10. Calcular o ângulo entre as
tangentes.
43. Fazem-se passar pelo ponto (2,−3) as tangentes ao círculo (x− 1)2 + (y + 5)2 = 4. Achar a equação
da corda que passa pelos pontos de tangência.
44. Achar as equações das tangentes ao círculo x2 +y2 +10x−2y+6 = 0 paralelas à reta 2x+y−7 = 0.
45. Achar as equações das tangentes ao círculo x2+y2−2x+4y = 0 perpendiculares à reta x−2y+9 = 0.
46. Achar a equação de uma elipse, conhecendo-se a excentricidade ε = 23 , um dos focos (2, 1) e a
equação da diretriz correspondente a esse foco x = 5.
47. O ponto (−3,−5) acha-se sobre a elipse de foco (−1,−4) e a diretriz correspondente a esse foco tem
por equação x = 2 . Achar a equação da elipse.
48. Achar os pontos de interseção da reta 3x + 10y − 25 = 0 e da elipse x
2
25
+
y2
4
= 1.
49. Achar os valores de m pelos quais a reta y = −x + m :
1) corta a elipse
x2
20
+
y2
5
= 1, 2) é tangente a ela; 3) é externa em relação a ela.
50. Escrevr a equação da tangente à elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 no ponto de contato (x1,y1).
51. Achar as equações das tangentes à elipse
x2
10
+
2y2
5
= 1 paralelas à reta 3x + 2y + 7 = 0.
52. Escrever as equações das tangentes à elipse x2 + 4y2 = 20 perpendiculares à reta 2x − 2y − 13 = 0.
53. Achar as tangentes à elipse
x2
30
+
y2
24
= 1 paralelas à reta 4x − 2y + 23 = 0, e calcular a distância
entre elas.
54. Pelo ponto
(
10
3
,
5
3
)
passam as tangentes à elipse
x2
20
+
y2
5
= 1. Achar suas equações.
55. Pelo ponto (10,−8) passam as tangentes à elipse x
2
25
+
y2
16
= 1 Achar a equação da corda que passa
pelos pontos de tangência.
56. Pelo ponto (−16, 9) passam as tangentes à elipse x
2
4
+
y2
3
= 1. Calcular a distância do ponto dado
à corda da elipse que passa pelos pontos de tangência.
[Problemas pag. 4]
57. Uma elipse passa pelo ponto (4,−1) e é tangente à reta x + 4y − 10 = 0. Achar a equação da elipse
de maneira que seus eixos coincidam com os eixos de coordenadas.
58. Achar a equação de uma elipse tangente às duas retas 3x−2y−20 = 0 e x+6y−20 = 0, de maneira
que seus eixos coincidam com os eixosde coordenadas.
59. Um raio luminoso, partido do foco da elipse x2/45+y2/20 = 1 que se encontra sobre o eixo negativos
dos x, forma com o eixo Ox um ângulo obtuso α. Sabendo-se que tanα = −2, e refletindo-se o raio ao
atingir a elipse, achar a equação da reta que segue a trajetória do raio refletido.
60. Após verificar que as elipses n2x2 +m2y2 −m2n2 = 0, m2x2 +n2y2 −m2n2 = 0 (m 6= n) se cortam
em quatro pontos de um círculo que tem por centro a origem das coordenadas, determinar o raio R
desse círculo.
MA141 Stefano De Leo