Geometria Analítica - Lista 1

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UFF - IME - GGM
Disciplinas: GGM 127/125/160
1a Lista de Exerćıcios (2020)
1. Sejam A e B pontos num eixo coordenado. Calcular as posśıveis coordenadas do ponto A sabendo que B tem
coordenada −5 e o comprimento do segmento AB é igual a 2.
2. O segmento de reta limitado pelos pontos A e B, de respectivas coordenadas −2 e 19, é dividido em três partes
iguais. Ache as coordenadas dos pontos de divisão.
3. Sejam a < b < c as respectivas coordenadas dos pontos A, B e C situados sobre um eixo. Sabendo que a = 17,
c = 32 e d(A,B)/d(A,C) = 2/3, qual é o valor de b?
4. Ache y de modo que os pontos A = (3, y), B = (0, 4) e C = (4, 6) sejam vértices de um triângulo retângulo em
A.
5. Qual é o ponto do eixo OX equidistante dos pontos A = (1,−3) e B = (3,−1)?
6. Dados A = (a, 0) e B = (0, a), com a 6= 0, ache x de modo que o ponto C = (x, x) seja o terceiro vértice do
triângulo equilátero ABC.
7. Considere os pontos A = (2, 3) e B = (1, 4). Determine os pontos P ’s tais que d(P,A) = d(P,B) = 5.
8. Determine o centro e o raio do ćırculo C cuja equação é dada por:
(a) C : x2 + y2 + 3x− 4y = 0.
(b) C : x2 + y2 − 4x + 6y − 12 = 0.
9. As coordenadas de um ponto B são (2− k, k − 1). Encontre os valores de k para os quais o ponto B esteja:
(a) no eixo Ox;
(b) no primeiro quadrante;
(c) no quarto quadrante;
(d) na bissetriz {(x, x), x ∈ R} dos quadrantes ı́mpares.
10. Represente graficamente os conjuntos:
(a) {(x, 3)|x ∈ R}
(b) {(1, y)|y ∈ R}
(c) {(x, y)|y > 3}
(d) {(x, y)|x < 1}
(e) {(x, y)|xy = 0}
(f) {(x, y)| | x− 3 |≤ 1 e | y − 2 |≤ 5}
(g) {(x, y)| | x− 3 |≤ 1 ou | y − 2 |≤ 5}
(h) {(x, y)| | x |≥ 2 e | y |≥ 3}.
11. Um dos pontos extremos de um segmento de reta é o ponto (7, 8) e seu ponto médio é (4, 3). Ache o outro
extremo.
12. Um dos extremos de um segmento de reta de comprimento 5 é o ponto (3,−2). Se a abscissa do outro extremo
é 6, calcule suas posśıveis ordenadas.
13. Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5), (4, 2) e (1, 1). Encontre os três vértices do triângulo.
14. Verifique se
−−→
AB =
−−→
CD, onde:
(a) A = (1, 1), B = (2, 0), C = (−1,−1), D = (0,−2).
(b) A = (1, 1), B = (2, 0), C = (1,−1), D = (0, 0).
(c) A = (−2,−1), B = ( 12 , 1), C = (−
1
2 , 1), D = (2, 3).
15. Se −→u = (5, 8), −→v = (−1, 2) e A = (3, 2), calcule:
1
(a) o ponto B tal que
−−→
AB = −→u .
(b) o ponto C tal que −→u +
−→
AC = −→v .
(c) o ponto D tal que
−−→
AD = 12
−→u −−→v .
16. Encontre os pontos médios das diagonais do quadrilátero ABCD cujos vértices são A = (0, 0), B = (0, 4),
C = (3, 5) e D = (3, 1). O quadrilátero ABCD é um paralelogramo?
17. Determine os vértices C e D do paralelogramo ABDC, sabendo que A = (1, 1), B = (3, 2) e as diagonais AD e
BC se cortam no ponto M = (4, 2).
18. Sejam P = (1, 0), Q = (2, 4) e R = (3, 3) pontos do plano. Determine os pontos S do plano de modo que P , Q,
R e S sejam vértices de um paralelogramo.
19. O segmento AB, onde A = (−1, 0) e B = (3, 8), é dividido em quatro segmentos de comprimentos iguais. Ache
as coordenadas dos pontos de divisão.
20. Se A = (a1, b1), B = (a2, b2) e C = (a3, b3) são os vértices de um triângulo, mostre que G = (
a1+a2+a3
3 ,
b1+b2+b3
3 )
é o baricentro (ponto de corte das medianas) do triângulo.
21. Dados os vértices A = (2, 1) e B = (1, 0) do triângulo ABC e o seu baricentro G = (2/3, 0), calcule o vértice C.
22. Determine os vértices B e C do triângulo ABC, sabendo que A = (1, 2),
−−→
BC = (3, 4) e que a origem é o seu
baricentro.
23. Seja ABC um triângulo com medianas AD, BE e CF . Mostre que
−−→
AD +
−−→
BE +
−−→
CF = 0.
2
Resposta:
1. -3, -7.
2. 5, 12.
3. 27.
4. 3 ou 7.
5. (0,0).
6. a±
√
3|a|
2 .
7. (5, 7) ou (−2, 0).
8. (a) Centro, (− 32 , 2), raio
5
2 .
(b) Centro (2,−3), raio 5.
9. (a) k = 1.
(b) 1 < k < 2.
(c) k < 1.
(d) 32 .
(a) {(x, 3)|x ∈ R} (b) {(1, y)|y ∈ R}
(c) {(x, y)|y > 3} (d) {(x, y)|x < 1}
(e) {(x, y)|xy = 0} (f) {(x, y)||x− 3| ≤ 1 e |y − 2| ≤ 5}
(g) {(x, y)||x− 3| ≤ 1 ou |y − 2| ≤ 5} (h) {(x, y)||x| ≥ 2 e |y| ≥ 3}
Figura 1: figs
10.
3
11. (1,−2).
12. 2 ou -6.
13. A = (5, 6), B = (−1, 4), C = (3,−2).
14. (a) Sim.
(b) Não.
(c) Sim.
15. (a) B = (8, 10).
(b) C = (−3,−4).
(c) D = (6 12 , 4).
16. ( 32 ,
5
2 ). O quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
17. C = (7, 3), D = (5, 2).
18. (4, 7) ou (2,−1) ou (0, 1).
19. (0, 2), (1, 4), (2, 6).
20.
21. C = (−1,−1).
22. B = (−2,−3), C = (1, 1).
23.
4