P1 2016 - EDO

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Instituto Tecnológico de Aeronáutica
MAT-32 -Equações Diferenciais Ordinárias
1a Prova - 1o Semestre 2016
Nome: Turma: /19
Questão 1: Questão 2: Questão 3: Questão 4: Questão 5: Total: .
Instruções para a Prova:
1. Sem consulta;
2. Duração de 2h30min;
3. Fazer uma prova limpa e organizada;
4. A interpretação faz parte da questão;
5. DC;
6. Proibido uso de celular e calculadora;
7. Respostas sem justi�cativas não serão consideradas;
8. Em cada folha de almaço, coloque seu nome e organize as respostas da seguinte forma:
• Folha de almaço 1 ⇒ Questões 1 e 2
• Folha de almaço 2 ⇒ Questões 3 e 4
• Folha de almaço 3 ⇒ Questão 5
Questão 1. (2pts) Considere a EDO dada por M(t, y) +N(t, y)y′ = 0.
a) Se r(y) =
Nt −My
M
depende apenas de y, mostre que a EDO acima admite µ(y) = e
∫
r(y)dy como fator integrante.
b) Encontre a solução geral da EDO dt+
(
t
y
− seny
)
dy = 0.
Questão 2. (1pt) João, ao resolver a EDO linear de 2a ordem
d2y
dt2
+ p(t)
dy
dt
+ q(t)y = 0 com p e q funções contínuas
em todo R, encontrou como solução geral y(t) = C1sen t + C2t. Para provar que sent e t são soluções linearmente
independentes, João calculou o Wronskiano W (sent, t). Após o cálculo do Wronskiano, João concluiu que errou nas
contas para encontrar a solução geral.
Explique o porquê do João ter chegado a esta conclusão.
Questão 3. (2.5pts) Encontra a solução geral das EDO's abaixo.
a)
dy
dt
=
t
2y
+
3y
2t
b)
d2y
dt2
+
1
t
dy
dt
− 2 = 0
Questão 4. (2pts) Suponha que as oscilações da asa de um avião sejam descritas pela equação my′′ + ky = F (t),
onde y é o deslocamento vertical da asa com relação à posição de equilíbrio e F (t) representa pertubações externas
devido ao vento e vibrações do motor.
a) Ache a solução geral da EDO para m = 4, k = 1 e F (t) = cos
(
t
2
)
b) Prove que a solução do item a) é a geral.
c) Explique o que ocorre com a asa quando t→∞.
Questão 5. (2.5pts) Sobre redução de ordem, faça o que se pede.
a) (1pt) Considere a EDO (*) y′′ + p(t)y′ + q(t)y = 0 com p, q contínuas no intervalo I. Seja y1(t) uma solução da
EDO acima com y1(t) 6= 0 para todo t em I. Mostre que y2(t) = y1(t)
∫
e−
∫
p(t)dt
[y1(t)]2
dt é uma solução da EDO (*) e
que y1 e y2 são LI em I.
b) (1pt) Sabendo que y1 = t
3 é solução da EDO t2y′′ − 6y = 0 em (0,+∞), encontre a solução geral desta EDO em
(0,+∞)
c) (0.5pt) Resolva o PVI do item (b) com y(1) = 0 e y′(1) = 1.
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