p1 - 2016 - Algebra Linear

Prévia do material em texto

ITA - MAT-27 - Álgebra Linear
1a Prova - 2o Semestre 2016 - 21/09/2016. Duração: 3 horas
Nome: Turma:
Q1: Q2: Q3: Q4: Q5: Total: /70
• Proibido o uso de celular, calculadora, e qualquer equipamento eletrônico.
• Resolva cada questão na página da respectiva questão. Os rascunhos não serão considerados.
• Respostas sem justificativas não serão consideradas.
Questão 1. Sejam V um K-espaço vetorial de dimensão finita n ≥ 1 e B = {v1, . . . , vn} uma base de
V .
(a) (4 pontos) Dado v ∈ V , defina coordenadas de v em relação a base B.
(b) (6 pontos) Considere n = 4 e u1, u2, u3, u4 ∈ V . Seja A a matriz cuja i-ésima linha é formada
por [ui]B, i = 1, 2, 3, 4. Suponha que A está na forma escalonada e não tem linha nula. Prove
que {u1, u2, u3, u4} é L.I.
Questão 2. Sejam V = M2×2(R) e S ∈ V \ {0} uma matriz fixa. Considere T : V → V definida por
T (A) = tr(A)S, onde tr(A) é o traço da matriz A.
(a) (4 pontos) Mostre que T é uma transformação linear.
(b) (6 pontos) Determine uma base do núcleo de T .
(c) (4 pontos) Determine uma base da imagem de T .
Questão 3. Sejam V = P2(R) e C = {1, x, x2} a base canônica de V .
(a) (5 pontos) Sabendo que
 1 0 21 −1 3
0 2 −1
 é a matriz de mudança de base de C para uma base B,
determine a base B.
(b) (5 pontos) Se p = (x− 2)2 + (x+ 1)2, determine [p]B.
Questão 4. Considere V = P3(R) com produto interno
⟨p, q⟩ = p(−1)q(−1) + p(0)q(0) + p(1)q(1) + p(4)q(4).
(a) (6 pontos) Calcule projP1(R)(x
2 + x).
(b) (6 pontos) Determine uma base de (P1(R))⊥.
Questão 5. (4 pontos cada item) Considere as afirmações a seguir. Assinale com (V) as VERDA-
DEIRAS e com (F) as FALSAS. Justifique suas respostas.
(a) ( ) Se V é um espaço vetorial e {u, v, w} ⊆ V é L.I., então {u− v, v − w,w − u} é L.I.
(b) ( ) Sejam V = P2(R), U = [1+x, 2−x2], W = [−1+x+x2]. Então U ∪W é subespaço vetorial
de V .
(c) ( ) Sejam V um espaço vetorial de dimensão n e W um subespaço de V de dimensão m, onde
1 ≤ m < n. Então dada uma base qualquer B de V , sempre é possível remover n −m vetores
de B para obter uma base de W .
(d) ( ) Sejam U, V,W subespaços de um mesmo espaço vetorial. Se U +V = U +W , então V = W .
(e) ( ) Seja T : U → V uma transformação linear. Se {u1, . . . , un} ⊆ U é tal que {T (u1), . . . , T (un)}
é L.D., então {u1, . . . , un} é L.D.
(f) ( ) Sejam V um espaço vetorial de dimensão finita e T : V → V uma transformação linear. Se
B = {u1, . . . , um} é base de kerT e C = {v1, . . . , vn} é base de Im T , então B ∪ C é base de V .