Resumo - tensões no solo, capilaridade e NA

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Faculdade de Engenharia – NuGeo/Núcleo de Geotecnia Prof. M. Marangon 
Mecânica dos Solos II – Edição 2018 
 
TENSÕES NOS SOLOS 
 
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Capítulo 2 - TENSÕES NOS SOLOS 
 
 
O conhecimento das tensões atuantes em um maciço de terra sejam elas advindas 
do peso próprio ou em decorrência de carregamentos em superfície, ou ainda pelo alívio de 
cargas provocado por escavações (Figura 2.1), é de vital importância no entendimento do 
comportamento de praticamente todas as obras de engenharia geotécnica. Há uma 
necessidade de se conhecer a distribuição de tensões (pressões) nas várias profundidades 
abaixo do terreno para a solução dos mais diversos problemas de solos, como de recalques, 
empuxo de terra, capacidade de carga no solo, etc. 
 
 
 σ0 = Tensão devida ao peso próprio 
 ∆σ1 = Alívio de tensão devido à escavação 
 ∆σ2 = Tensão induzida pelo carregamento 
 
Figura 2.1 – Tensões atuantes em um maciço de solo 
 
 
2.1 – Conceito de tensão em um meio particulado 
 
Para o estudo das tensões no solo aplicam-se os conceitos da Mecânica dos Sólidos 
Deformáveis aos solos, para tal deve-se partir do Conceito de Tensões. 
 
O solo é um sistema trifásico constituído por sólidos, água e ar. Parte dos esforços é 
transmitida pelos grãos e, dependendo das condições de saturação, parte é transmitida pela 
água. No caso de solos secos, todos os esforços são transmitidos pelo arcabouço sólido. 
Entretanto, a definição do estado de tensões requer não só a definição dos esforços, mas 
também da área. Neste caso, a área considerada deveria passar pelos pontos de contato 
(Ac), conforme mostra a Figura 2.2. Este tipo de abordagem torna-se inviável face à 
variabilidade de tamanhos de grãos e arranjos estruturais. Em contrapartida, a adoção de 
um plano horizontal (A) acarreta na existência de regiões sólidas e regiões que passam 
pelos vazios. Em qualquer caso, entretanto, a transmissão se faz nos contatos e, 
portanto, em áreas muito reduzidas em relação à área total envolvida. 
 
O somatório da área de contato (Ac) é da ordem de 0,03% da área total (A), o que 
faz com que o valor da tensão, considerando-se exclusivamente a transmissão dos esforços 
pelos contatos, ser significativamente mais alta do que aquela considerada em termos 
médios (Gerscovich, 2008). 
 
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Figura 2.2 – Transmissão de esforços em solos 
 
Apesar do conceito de transmissão através dos contatos entre grãos ser fisicamente 
mais correto, não seria possível desenvolver modelos matemáticos que representassem 
isoladamente as forças transmitidas. Assim sendo, as tensões normal e cisalhante são 
tratadas do ponto de vista macroscópico, considerando a área total (A), definindo-se como: 
 
TENSÃO NORMAL é a somató ria das forças normais ao plano, dividida pela área 
total que abrange as partículas em que estes contatos ocorrem. 
σ = Σ N 
 A 
TENSÃO CISALHANTE é a somatória das forças tangenciais, dividida pela área. 
(componente melhor estudada no Capítulo 04) 
τ = Σ T 
 A 
 
O conceito de tensão definido conduz ao conceito de tensão num meio contínuo. Ao 
se fazer assim, não se está cogitando se esse ponto, no sistema particulado, está 
materialmente ocupado por um grão ou um vazio (PINTO, 2006). 
 
Na Mecânica dos Solos trata-se eventualmente a tensão atuante no solo como 
“pressão”. Entenda-se que, sempre que referirmos para solo a palavra “pressão”, estaremos 
expressando tensão, sem prejuízo da conceituação clássica aqui abordada. 
 
 
2.2 – Tensões verticais devidas ao peso próprio dos solos 
 
Na análise do comportamento dos solos, as tensões devidas ao peso próprio têm 
valores consideráveis, e não podem ser desconsideradas. Neste item, serão estudadas as 
pressões atuantes na massa de solo, nas diversas profundidades de um maciço, quando 
consideramos somente o peso próprio, isto é, apenas sujeito à ação da gravidade, sem 
cargas exteriores atuantes. 
De acordo com a mecânica do contínuo “O estado de tensão em qualquer plano 
passando por um ponto em um meio contínuo é totalmente definido pelas tensões atuantes 
em três planos mutuamente ortogonais, passando no ponto”. A Figura 2.3 ilustra o estado 
de tensões (componentes) geral em um ponto no interior de uma massa de solo qualquer. 
 
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Estado de tensão em qualquer 
plano passando por um ponto 
Representação matricial das 
componentes de tensão 
(definidas por 09 parcelas) 
 
 
 
Figura 2.3 – Estado de tensões em um ponto no interior de uma massa de solo qualquer 
 
No caso de terrapleno com superfície superior inclinada, teremos: 
 
Seja a superfície superior com uma inclinação i (em relação horizontal), de uma 
massa de solo cujo interior se situa o ponto A cotado no plano A (base do prisma) a uma 
profundidade Z, como mostra na Figura 2.4 (a), o prisma corresponde à coluna de solo de 
comprimento unitário, largura b (na horizontal) e profundidade Z. 
 
Considerando a massa de solo homogêneo no espaço semi-infinito, o terreno está 
solicitado só pela ação da gravidade não ocorrendo lençol freático nessa espessura Z. Todo 
o prisma de solo a ser considerado terá o material com peso específico p (valor acima do 
ponto A). 
 
 
(a) 
 
 
 
 
(b) 
Figura 2.4 – (a) Representação do prisma de solo e (b) Representação de uma seção transversal, 
para o cálculo das tensões 
 
Admitindo-se que a massa de solo está em repouso absoluto, como ilustrado para 
uma seção, Figura 2.4 (b), o solo não se desloca pela ocorrência dos esforços nas faces 
laterais do prisma de solo (E1=E‟1) e esforços nas faces frontais do prisma 
(E2=E‟2) considerado, sendo Pv o peso do prisma de solo e PA reação do solo pela 
continuidade abaixo do plano A. 
Estando o prisma em equilíbrio, pode-se calcular a tensão “σv” (“σz”) no ponto A: 
 
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base
V
VA
área
P
 
 
Para o valor do peso Pv, podemos utilizar a sua relação com o valor de peso 
específico do solo, sendo Pv = volume do prisma de solo x peso específico aparente natural 
devido ao peso próprio de todos os materiais existentes acima do ponto, então: 
 
Pv = VP . P sendo VP = comprimento . largura . altura = 1.b.Z = b.Z 
 
 
1.
cos
..
1.
cos i
b
Zb
i
b
P
S
P
área
P PV
A
V
base
V
VA
 
 
Observe que o valor de tensão independe da seção do prisma (“coluna” de solo), 
pois, quanto maior (menor) sua seção, maior (menor) será a área da base. Logo, o 
resultado da divisão será sempre constante. 
 
Caputo (2017) ilustra na Figura 2.5 o problema considerando a inclinação do 
terreno como ( ) e destaca que a resultante de tensão atuante em um plano pode ser 
substituida pelas correspondentes componentes de tensão normal e cisalhante. 
 
 
Figura 2.5 - Componentes de tensão em superfície inclinada (CAPUTO, 2017) 
 
No caso de terrapleno com superfície superior coincidente com a horizontal, teremos: 
 
Quando a superfície do terreno é horizontal se aceita intuitivamente que a tensão 
atuante em num plano horizontal a certa profundidade seja normal a este plano. De fato,as 
componentes das forças tangenciais ocorrentes em cada contato tendem a se contrapor, 
anulando a resultante. Estas pressões são denominadas pressões virgens ou geostáticas. 
 
De particular interesse, são as tensões nos planos verticais. Nestes também não 
ocorrem tensões de cisalhamento, devido à simetria (Figura 2.6). A tensão normal no plano 
vertical depende da constituição do solo e do histórico de tensões a que esteve submetido 
anteriormente. Normalmente ela e referida à tensão vertical, sendo a relação entre tensão 
PVA iZ .cos.
 
 
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horizontal e tensão vertical denominada “coeficiente de empuxo em repouso”, indicada 
pelo símbolo “k0”. Este assunto melhor será abordado neste curso no Capítulo 06 – 
Empuxos de Terra. 
Então, tem-se: Tensão Vertical 
PV Z.
 (nesse caso, i = 0) 
 Tensão Horizontal 
Vh K .0
 
 
Estado de tensão em 
qualquer plano passando por 
um ponto 
Consideração da superfície do 
solo horizontal (τ = 0) 
 
Consideração das 
propriedades do solo não 
variando, ou variando pouco, 
na horizontal 
 
 
 
 
 
Figura 2.6 – Estado de tensões em um ponto em massa de solo com superfície horizontal 
 
Gerscovich (2008) resalta que a condição geostática horizontal se caracteriza por: 
- superfície do terreno ser horizontal 
- camadas estarem alinhadas na horizontal (espessura constante) 
- não existirem tensões cisalhantes atuando nos planos vertical e horizontal 
 
Colocando-se em um sistema cartesiano, teremos o diagrama representativo de 
todos os valores de tensão vertical (ou horizontal), ao longo da espessura Z, como mostra a 
Figura 2.7. Nota-se tratar de uma “função” linear, dependente apenas de Z, já que é 
constante para cada solo homogêneo – tipo y = a.x 
 
 
Figura 2.7 – Diagrama representativo da distribuição de tensões vertical na espessura Z 
 
No caso de uma seqüência de camadas aproximadamente horizontais, de solos 
homogêneos diferentes, considerado o terrapleno horizontal, a tensão vertical resulta do 
somatório do efeito das diversas camadas (Figura 2.8). 
Isto é, a pressão vertical total da camada 1 se transmite integralmente sobre a 
camada 2 e na espessura dessa segunda camada haverá o acréscimo de diagrama devido a 
pressão gerada nessa espessura. 
 
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No caso de n camadas de peso específico pi e espessuras Zi, teremos a expressão: 
 
n
1
iP i Z.
 
 
 
 
 
 
Figura 2.8 – Exemplo de distribuição de tensões para uma seqüência de camadas de solos 
 
Análise sobre os materiais ocorrentes nas camadas 
 
Para cada camada homogênea, de espessura Z (h) pode-se considerar que ocorrem 
partículas sólidas e água, em diversas situações de peso específico, a saber: 
 
1. Só água = lâmina d’água = P = a ( w) - adotado usualmente igual a 10kN/m
3
; 
2. Só partículas = solo seco = p = s - não ocorre na prática, pode ser utilizado 
para correlacinar parâmetros; 
3. Partículas com todos os vazios cheios de água, S=100%: 
3.a. Solo saturado = quando a água dos vazios não está sujeita a ação da 
gravidade (partículas envolvidas pela água); 
3.b. Solo submerso = quando a água dos vazios está sujeita à ação da gravidade, 
assim, as partículas sólidas estão imersas na água, portanto, as partículas estão 
sujeitas ao empuxo que atua sobre as mesmas (Figura 2.9). 
 
 
Figura 2.9 – Esquemas para exemplificação de solo submerso e saturado 
 
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4 - Partículas com água ocupando parcialmente os vazios - Solo pacialmente 
 saturado. 
O cálculo do peso específico para qualquer uma das situações poderá ser obtido 
a partir da relação de outros índices físicos, obtendo-se o peso específico 
aparente natural do solo, pela expressão geral deduzida como segue, função do 
peso específico do solo seco e da água (γs, γa) da porosidade (n) e do seu grau de 
saturação (S). 
 
t
t
V
P
= peso específico aparente natural do solo. 
t
a
s
t
a
t
s
t
as
t
t
V
P
V
P
V
P
V
PP
V
P
 
P
V
a
a
 Pa = a x Va 
Substituindo temos: 
s
V
V
a a
t
 
Dividindo por Vv, numerador e denominador, não altera a fração: 
s a
V
V
V
V
s a
S
n
s Sn a
a
v
t
v
1
 
Logo, pode-se escrever: 
aSP nS.
 
 
A Figura 2.10 apresenta um perfil de solo onde se analisa as faixas de ocorrências 
de espessuras homogêneas os seus respectivos valores de peso específicos. 
 
 
Camada 1 
 
Acima da franja capilar até o NT: 
PA = S1 + S1.n1. a 
 
Franja capilar: faixa de saturação onde 
ocorre a umidade capilar: 
PB = S1 + n1. a = sat1 
 
Faixa de submersão (1) onde ocorre o 
lençol freático formado com água livre: 
PC = S1 + n1. a = sat1 = sub1 + a 
 
Camada 2 
 
Faixa de submersão (2) onde ocorre o 
lençol freático formado com água livre: 
PD = S2 + n2. a = sat2 = sub2 + a 
Figura 2.10 – Perfil com dois horizontes de solo e diferentes pesos específicos 
 
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2.3 – Princípio das tensões efetivas 
 
A importância das forças transmitidas através do esqueleto do solo de uma partícula 
para outra foi descoberta em 1923 quando Terzaghi apresentou o principio da tensão 
efetiva, uma relação intuitiva baseada em dados experimentais. O princípio se aplica 
apenas a solos completamente saturados e relaciona as três tensões a seguir: 
1. a tensão normal total (σ) em um plano dentro da massa de solo, que é a força por 
unidade de área transmitida na direção normal através do plano, imaginando que o solo 
seja um material sólido (fase única); 
2. a pressão da água nos poros (u), também chamada de poropressão ou pressão neutra, 
que é a pressão da água que preenche os espaços vazios entre as partículas sólidas; 
3. a tensão normal efetiva (σ‟ ou σ) no plano, representando a tensão transmitida apenas 
através do esqueleto do solo. 
 
A relação é: σ = σ‟ + u 
 
Segundo Craig (2012), o princípio pode ser representado pelo seguinte modelo 
físico. Considere um „plano‟ XX em um solo completamente saturado que passa apenas 
por pontos de contato entre partículas, conforme mostra a Figura 2.11. Na realidade, o 
plano ondulado XX não pode ser distinguido de um plano verdadeiro em termos da massa 
de solo devido ao tamanho relativamente pequeno das partículas de solo em si. Uma força 
normal P aplicada em uma área A pode ser suportada parcialmente pelas forças entre as 
partículas e parcialmente pela pressão da água nos poros. As forças entre as partículas são 
muito aleatórias, tanto em magnitude como em direção, ao longo de toda a massa de solo, 
mas em todo ponto de contato do plano ondulado elas podem ser decompostas em uma 
componente normal e uma componente tangencial à direção do plano verdadeiro ao qual 
XX se assemelha; as componentes normal e tangencial são N’ e T’, respectivamente. 
 
 
Figura 2.11 - Interpretação da tensão efetiva (CRAIG, 2012) 
 
Então, a tensão efetiva é interpretada como a soma de todas as componentes N‟ 
dentroda área A, dividida pela área A, obtendo-se: 
 
A tensão total é dada por: 
 
 
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Se for admitido que o contato entre as partículas ocorre em pontos, a pressão da 
água nos poros agirá no plano que engloba toda a área A. Então, para o equilíbrio na 
direção normal a XX, tem-se: 
 
Ou 
 
Isto é: 
 
 
A Pressão de água nos poros que age igualmente em todas as direções agirá em toda 
a superfície de qualquer partícula, mas admite-se que o volume da partícula não se 
modifica; além disso, a pressão da água nos poros não faz com que as partículas sejam 
pressionadas umas contra as outras. O erro inserido ao admitir que o contato entre as 
partículas ocorre pontualmente é insignificante em solos, uma vez que a área de contato 
normalmente significa algo entre 1 e 3% da área da seção transversal A. Deve-se entender 
que σ‟ não representa a tensão verdadeira de contato entre duas partículas, que seria uma 
tensão aleatória, porém muito mais alta N’/a, onde a é a área total de contato entre as 
partículas (CRAIG, 2012). 
 
2.3.1 – Tensão vertical total 
 
Sendo a estrutura formada de um esqueleto de grãos sólidos (estrutural) e vazios 
deixados entre as partículas, podemos dizer de forma genérica para a expressão da tensão 
vertical total: 
 = ‟ + u 
 
 = pressão vertical total devido ao peso próprio dos solos 
‟ = parcela da pressão total que se desenvolve no esqueleto granular 
pressão efetiva ou pressão grão a grão 
u = parcela da pressão total que se desenvolve na água ocorrente nos 
vazios pressão neutra ou poropressão. 
Ocorre quando a água que enche todos os vazios está sob a ação da 
gravidade (ocorrência de água livre - solos submersos) ou está sob pressão 
externa que pode ser pressão de percolação ou de adensamento. 
 
Considerando-se agora, a situação de todos os vazios estarem cheios de água, mas a 
água não está sujeita a ação da gravidade (e nem está submetida às cargas exteriores), a 
pressão vertical total devida ao peso próprio dos solos será: 
 = ‟ nesse caso, u = 0 
 
2.3.2 – Pressão neutra ou poropressão (u) 
 
Como referido, a ocorrência de pressão neutra ocorre basicamente em três situações 
distintas, a saber: a) na condição de submersão dos solos, em que a água preenche todos os 
vazios do solo e está sob ação da gravidade, b) a água está em movimento, em regime de 
percolação ou c) a água está sob ação de pressões exteriores de adensamento. 
 
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Observe que neste curso, as três situações para a ocorrência de pressão neutra ou 
porropressão estão sendo estudadas, como segue: 
* na condição de fluxo ou percolação dos solos, no Capítulo 01 
* na condição de submersão dos solos (peso próprio), no Capítulo 02 
* na condição de pressões exteriores de adensamento dos solos, no Capítulo 03 
(assunto a ser abordado) 
 
a) Condição de Submersão (devida ao peso próprio) 
 
Considerando o maciço submerso, a água que se encontra nos vazios está sujeita a 
ação da gravidade e por consequência irá desenvolver pressão. 
 
Experiência 
O conceito de pressão neutra ou poropressão pode ser compreendido a partir da 
verificação do comportamento dessa pressão, realizada em laboratório com o seguinte 
ensaio, como ilustrado na Figura 2.12. 
 
Tomemos um recipiente cuja base é ligada a um piezômetro que nos indicará, no 
tubo graduado, as alturas piezométricas ou alturas hidrostáticas (cotas dos NAs) 
ocorrentes na estrutura durante a experiência de laboratório. 
O recipiente tem a parede graduada com condição de medição precisa de H 
(espessura da camada de solo permeável) representada por areia pura colocada no fundo 
do recipiente e acomodada para medição inicial após se situar o primeiro nível d'água 
NA1. Nessa altura H o solo se encontra com o índice de vazios “e”. 
 
 
NA2 = Segundo nível de água, controlada pelo ladrão 
do recipiente, tendo como decorrência uma 
nova leitura piezométrica h2. 
 
NA1 = Nível inicial da água. Corresponde à leitura 
piezométrica h1, lida no piezômetro. 
 
H = Altura inicial da camada de areia, indicando 
uma arrumação inicial das partículas quando o 
nível d‟água é NA1. 
Figura 2.12 – Ensaio para verificação do comportamento do solo sob “∆u” 
 
A pressão neutra no ponto A (fundo do recipiente) correspondente à situação 
inicial de NA1, será: u1 = a x h1 
Levantado o nível d'água para cota NA2 com a colocação cuidadosa de água no 
recipiente de maneira que não haja a mínima condição de turbulência no fluido, capaz, de 
perturbar a arrumação estrutural da areia, a pressão neutra no ponto A correspondente a 
essa segunda situação de NA2, será: u2 = a x h2 
 
Houve um aumento da altura da coluna d'água, logo houve um acréscimo no valor 
da pressão neutra, a saber: u2 – u1 = u = a . (h2 – h1) u = a . h 
 
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Constata-se que após esse acréscimo de pressão neutra, H permaneceu constante, 
isto é, não há qualquer variação na arrumação estrutural da areia. O índice de vazios 
permaneceu o mesmo o que indica que a estrutura não sofreu nenhuma ação mecânica. 
 
A água, sendo um fluido, transmite aos grãos do esqueleto estrutural, pressões em 
todas as direções, dando sobre cada partícula uma resultante nula. Daí chamar-se pressão 
neutra, ou seja, aquela que não ocasiona deslocamento de grãos. 
Essa resultante nula atuando em cada grão considerado separadamente, não terá 
como decorrência possível mudança de posição dos grãos, que poderia afetar sua 
arrumação, isto é, alterar o seu índice de vazios. 
 
2.3.2.1 – A ação capilar da água – pressão negativa (“sucção”) 
 
Uma das características da água é o fato dela apresentar um comportamento 
diferenciado na superfície em contato com o ar, em virtude da orientação das moléculas 
que nela se posicionam, ao contrário do que ocorre no interior da massa, onde as moléculas 
estão envoltas por outras moléculas de água em todas as direções. Em consequência, a água 
apresenta uma tensão superficial, que é associada, por analogia, a uma tensão de 
membrana, pois os seus efeitos são semelhantes (PINTO, 2006). 
Um bom exemplo deste efeito abordado é o comportamento da água em tubos 
capilares. Quando um tubo é colocado em contato com a superfície livre da água, esta sobe 
pelo tubo até atingir uma posição de equilíbrio. A subida da água é resultante do contato 
vidro-água-ar e da tensão superficial da água (Figura 2.13). 
 
 
Figura 2.13 – Altura de ascensão e pressão da água em um tubo capilar 
(CAPUTO, 2016 e PINTO, 2006) 
 
Para a altura de ascensão da água em um tubo capilar tem-se: 
 
 
A altura de ascensão capilar é, portanto, inversamente proporcional ao raio do tubo. 
A tensão superficial da água, a 20°C, é de 0,073 N/m². Pela equação acima, 
conclui-se que, em tubos com 1 mm de diâmetro, a altura de ascensão é de 3 cm. Para 0,1 
mm, 30 cm; para 0,01 mm, 3 metros, etc. 
Da mesma forma que nos tubos capilares, a água nos vazios do solo, na faixa acima 
do lençol freático, mas com ele comunicada, está sob uma pressão abaixo da pressão 
atmosférica. A pressão neutra é negativa, referida como efeito ou pressão de “sucção”. 
 
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b) Condição de Percolação de Água 
 
Como visto no Capítulo 01, para o caso de haver fluxo permanente ou estacionário 
da água em solos, há desenvolvimento de pressão neutra, desenvolvida no interior da massa 
de solo em função da diferença de carga total entre dois pontos, o que implica em concluir 
que há nesta situação gradiente hidráulico (i) diferente de zero, que motiva o fluxo. 
Para o cálculo final da pressão neutra (u) torna-se extremamente conveniente o 
traçado da rede de fluxo (linhas de fluxo e linhas equipotenciais), com o maior número de 
pontos possíveis (cruzamento das linhas), para facilidade de identificação e cálculo dos 
valores nos mais diversos pontos de interesse, como ilustrado na Figura 2.14. 
 
 
Figura 2.14 – Exemplo de rede de fluxo que permite o cálculo da pressão “u” 
nos cruzamentos de linhas 
 
c) Condição de Adensamento de Camadas Argilosas 
 
O fluxo transiente da água nos solos, induzido a partir do acréscimo de pressão 
neutra (u) no maciço (caso de solos argilosos), proveniente de um carregamento prévio 
aplicado sobre esta camada, implicará também na variação de seu índice de vazios – 
decréscimo de volume (“recalque”). Neste caso, ocorre o fenômeno do adensamento, que 
será estudado no Capítulo 03, deste curso. 
 
2.3.3 – Tensão efetiva ( ’) 
 
A pressão efetiva ou pressão intergranular corresponde à pressão que se desenvolve 
no esqueleto estrutural dos solos pelo “contato grão a grão”. 
 
Experiência 
O conceito de tensão efetiva pode ser compreendido a partir da verificação do 
comportamento dessa pressão, realizada em laboratório com o seguinte ensaio, como 
ilustrado na Figura 2.15. 
 
Da mesma maneira que para a pressão neutra, podemos, com o mesmo ensaio, 
comprovar o comportamento e efeitos decorrentes de acréscimo de carga sobre a estrutura 
de areia. 
Tomemos o mesmo recipiente com a camada de areia anterior (H = altura inicial), 
mantendo-se “u” constante (portanto NA=constante) com entrada de água 
continuadamente, mas sem ocasionar turbulência. Com o sistema garantido, introduzimos 
um tubo cheio de esferas de chumbo (chumbo de caça) de maneira que se possa, 
acionando um fio de nylon, por um gatilho, fazer depositar na superfície da areia as 
esferas que serão sobrecargas diretamente sobre os grãos de areia. 
 
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NA = 
 
 
 
 
H = 
 
 
 
H1 = 
 
Nível de água controlada pelo ladrão 
do recipiente, e mantido constante, 
tendo como decorrência uma leitura 
piezométrica h. 
 
Altura inicial da camada de areia, 
indicando uma arrumação inicial das 
partículas. 
 
Altura final da camada de areia, 
indicando uma modificação da 
arrumação inicial das partículas, 
mantido constante o nível do NA. 
 
Figura 2.15 – Ensaio para verificação do comportamento do solo sob ∆σ‟
 
 
Em síntese fizemos um acréscimo de tensão (proveniente do peso das esferas) - ’ 
sobre a areia, mantendo u=cte, acréscimo esse sem queda, mas, depositando as esferinhas 
de chumbo sobre os grãos de areia. 
Após esse acréscimo verificamos que a altura da areia original H cai para H1, o 
que comprova a alteração das características mecânicas da camada ou a acomodação dos 
grãos de areia – redução do índice de vazios sem a influência da pressão na água. 
 
 Sua variação acarreta alterações nas características mecânicas dos solos (Figura 
2.16), portanto é a parcela da tensão vertical total que nos interessa para análise do 
comportamento dos maciços granulares porosos, estudado na Mecânica dos Solos. 
 
 
 
Figura 2.16 – Deformação no solo como consequência de deslocamento de partículas 
(PINTO, 2006) 
 
Determinação da tensão efetiva 
 
Sendo essa uma tensão de “contato grão a grão”, seu cálculo seria efetivado através 
do somatório dos pesos de todos os grãos da estrutura dividido pelo somatório de todas as 
áreas de contato entre os grãos. Esse cálculo se torna difícil, mesmo por estimativa, já que 
o contato intergranular é de difícil avaliação uma vez que depende de vários fatores. 
Para resolver o problema, objetivamente, e dentro dos problemas práticos na 
Engenharia de Solos, nos basearemos no cálculo da tensão total e no cálculo da pressão 
neutra, facilmente calculável, assim, teremos para a tensão efetiva: 
 
‟ = - u 
∆H 
 
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 43 
Assim, para sistematização de seu cálculo sugere-se: 
 Calculam-se os valores das tensões verticais totais em cada plano (horizonte) 
considerado o p, na condição de ocorrência do material “in situ”; 
 Verifica-se a ocorrência de pressão neutra no enquadramento em um dos três casos 
possíveis, ou seja, submersão, percolação e adensamento e de acordo com o caso 
calcula-se seu valor; 
 Calculam-se os valores das da tensão efetiva aplicando-se o conceito: ’ = - u 
(princípio das tensões efetivas de Terzaghi); 
 Traçam-se, sucessivamente, em cada plano, os diagramas correspondentes (total, 
efetiva e neutra) a essas cotas. 
 
Observe-se que, para a condição de solo submerso (e consequentemente saturado), 
a tensão vertical total a uma profundidade z é igual ao peso de todo material (sólidos + 
água) por unidade de área acima daquela profundidade, isto é, a tensão será, como visto: 
σv = γsat z 
A pressão da água nos poros a qualquer profundidade será hidrostática: 
u = γw z 
Assim sendo, a tensão efetiva vertical na profundidade z será: 
σv’ = σv – u = (γsat – γw) z = γ’ z 
 
Sendo γ’ é o peso específico submerso do solo. 
 
2.3.3.1 – Tensão efetiva sob efeito de água capilar 
 
Para a condição de capilaridade, em que a água ocupa os vazios do solo na faixa 
acima do lençol freático, e com ela está comunicada, tem-se uma pressão abaixo da 
pressão atmosférica. A pressão neutra é negativa, referida como efeito de “sucção”. 
 
Recordando-se o conceito de tensão efetiva, nota-se que sendo u negativo, a tensão 
efetiva é maior do que a tensão total (Figura 2.17). O fenômeno é associado à tensão 
superficial, adsorção de água pelas partículas do solo e capilaridade. Enquanto no solo 
saturado a tensão superficial provoca pressão positiva na região não saturada (Figura 2.18, 
a), a ação da água adsorvida age como uma "cola”, o que resulta em pressão negativa 
(Figura 2.18, b) causando o que se denomina de coesão aparente. A pressão neutra negativa 
provoca uma maior força nos contatos dos grãos, aumentando a tensão efetiva que reflete 
estas forças (PINTO, 2006). 
 
 
Figura 2.17 – Tensões no subsolo, considerando as tensões capilares (PINTO, 2006) 
 
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 44 
 
 
 
 
Figura 2.18 – Distribuição da poropressão e tensão efetiva no solo, em função da profundidade 
Adaptado de Lambe & Withman (1979) e Gerscovich (2008) 
 
 
2.3.3.2 – Tensão efetiva sob efeito de percolação 
 
Adicionalmente ao que foi visto no estudo de pressões neutras para a condição de 
fluxo, analisa-se as tensões efetivas desenvolvidas em problemas em que há fluxo 
ascendente ou descendente em solos, de especial interesse para a área de barragens, como 
melhor será abordado na disciplina de “Obras de Terra”. 
Para a açãodo fluxo ascendente, como ilustrado na Figura 2.19 (a), ou fluxo 
descendente, na Figura 2.19 (b), obtem-se os valores para as tensões totais e neutras ao 
longo da profundidade, como indicadas. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2.19 – Tensões total e neutra em um solo num permeâmetro com fluxo 
(a) ascendente e (b) descendente (PINTO, 2006) 
 
A tensão efetiva varia linearmente com a profundidade e pode escrita como segue: 
 
Fluxo Ascendente 
Na face inferior (posição de uma peneira) ela vale: 
 
′ = ( . w + . sat) - ( . w + L . w + h . w) 
′ = . ( sat – w) - h . w 
′ = . ( sat – w) - L . h . w 
 L 
′ = . ’ - L . i . w 
′ = . ( ’ - j) 
 
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 45 
Sendo: ’ Peso específico submerso 
 w Peso específico da água 
i Gradiente hidráulico 
 j Força de percolação 
 
Fluxo Descendente 
Na face inferior (posição de uma peneira) ela vale: 
 
′ = ( . w + . sat) - ( . w + L . w - h . w) 
′ = . ( sat – w) + h . w 
′ = . ( sat – w) + L . h . w 
 L 
′ = . ’ + L . i . w 
′ = . ( ’ + j) 
 
Como sabido, a tensão efetiva pode ser calculada pelo produto da altura (L) pelo peso 
específico submerso ( ‟), como se observa nas expressões obtidas, exceto pelo fato de que: 
* deve-se descontar a força de percolação no caso de haver fluxo ascendente - ′ = 
 . ( ‟ - j), tensão efetiva é aliviada da força de percolação, que tende a arrastar as 
partículas do solo para cima, ou, 
* deve-se somar a força de percolação no caso de haver fluxo descendente - ′ = 
. ( ‟ + j), tensão efetiva aumenta com a percolação. 
 
Gradiente Hidráulico Crítico 
Deste estudo, possibilita-se definir o se entende como “Gradiente Hidráulico Crítico”. 
Considere para o caso de fluxo ascendente (Figura 2.19, a) que a carga total agora 
aumente progressivamente ... 
A tensão efetiva ao longo de toda a espessura irá diminuindo até o momento em 
que se torne nula. Nesta situação as forças transmitidas de grão para grão são nulas. Os 
grãos permanecem na mesma posição, mas não transmitem forças através dos pontos de 
contato. 
A ação do peso dos grãos se contrapõe à ação de arrastre por atrito da água que 
percola para cima (força de percolação). Como a resistência das areias é proporcional à 
tensão efetiva, quando esta se anula, a areia perde completamente sua resistência. A areia 
fica em um estado como areia movediça – valor da ordem de “1” (PINTO, 2006). 
′ = . ( ′ - ) 
′ = . ( ′ - . w) = 0 
′ - . w = 0, então: crit = ′ 
 w 
 
Conclusão a cerca de tensão efetiva ... 
“A tensão efetiva é responsável pelo comportamento mecânico do solo, e só 
mediante uma análise através de tensões efetivas se consegue estudar cientificamente os 
fenômenos de resistência e deformação dos solos”. 
O princípio da tensão efetiva é provavelmente o mais importante na Engenharia 
Geotécnica. Para fins práticos, solos granulares, siltes e argilas de baixa plasticidade se 
aplicam satisfatoriamente. Em geral, é uma ótima aproximação para o problema. 
 
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 46 
2.4 – Variações do nível d'água 
 
Nesse item verificaremos as variações dos valores das pressões verticais devidas ao 
peso próprio dos solos quando, por necessidade de construção ou decorrência dos mesmos, 
temos que rebaixar ou elevar o nível estático do lençol freático. Por necessidades 
construtivas, às vezes, rebaixamos o lençol freático trazendo o NA a uma cota h abaixo 
do normal ou, como no caso de reservatórios de água em hidroelétricas, teremos a elevação 
da água numa cota muito acima dos níveis normais dos cursos d‟água. 
Essas oscilações do NA trarão reflexos acentuados na estrutura, pois, a faixa de 
submersão vai variar e, nessa faixa as partículas sólidas têm seus pesos aliviados pelo 
empuxo ocorrente em suas condições de imersão. Logo, se seus pesos vão oscilar para 
mais ou para menos, sua contribuição para a tensão efetiva também irá variar. Portanto, 
comportamento da estrutura como um todo sofrerá transformações. 
 
i - Rebaixamento do lençol freático 
 
A ocorrência de oscilação mais comum é o rebaixamento do NA que poderá se dar 
por drenagens (sistema de drenagem por gravidade) como obras definitivas ou por 
bombeamento do lençol para casos provisórios no período de construção. 
 
Para melhor ilustração considere um rebaixamento num terreno permeável para 
permitir uma escavação de construção de uma galeria de águas pluviais, ou de esgoto ou de 
metrô. Como consequência, faz-se necessário saber os reflexos futuros nas fundações dos 
prédios já existentes. 
 
Seja o perfil da Figura 2.20 de uma camada permeável, com o NA1 em 
determinada cota “ha” em relação ao NT (nível do terreno), sobrejacente ao plano A, que 
pode estar sujeito a variações de tensões por conta desta variação de nível da água, a ser 
aqui investigada. 
 
 
 
Considere que por questão construtiva 
temos necessidade, em um determinado 
período de obra, de rebaixar NA1 para a 
cota NA2. 
 
Pergunta-se: Qual serão as variações das 
pressões verticais devidas ao peso próprio 
dos solos no plano A, quando o 
rebaixamento ocorrer ? 
 
 Plano A 
Figura 2.20 – Perfil de solo para rebaixamento do nível d‟água 
 
Para melhor facilidade de cálculo indicaremos os valores diretamente no plano A, 
sem considerar planos intermediários e sem traçar os diagramas uma vez que o perfil é 
muito simples e as fórmulas são autoexplicativas. 
 
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Para simplificar ainda mais, consideraremos que, ao se efetuar o rebaixamento, na 
espessura h a estrutura ficará nas mesmas condições originárias e em nenhuma das 
situações haverá formação de franja capilar. 
 
Tensão vertical total 
– Para o nível NA1: 1A = P1 . ha + P2 . h 
 1A = ( S + S.n. a) . ha + ( S + n. a) . h 
 1A = S.ha + S.n. a. ha + S.h + n. a.h 
– Para o nível NA2: 2A = P1 . (ha + h) + P2 . (h – h) 
 2A = ( S + S.n. a) . (ha + h) + ( S + n. a) . (h – h) 
 2A = S.ha + S.n. a. ha + S. h + S.n. a. h + S.h + n. a.h – 
n. a. h – s. h 
– Variação da tensão: A = 2A – 1A 
 A = + S.n. a. h – n. a. h 
 A = (S – 1).n. a. h mas, S – 1 = – A (aeração) 
 
A = - A .n . a. h 
 
Pela expressão, temos que a tensão vertical total diminui de um valor igual à 
contribuição da pressão devido a água que enchia os vazios na espessura h (e saiu devido 
a ocorrência do rebaixamento). Nota-se que restou alguma água nos vazios, como é natural 
de ocorrer, correspondente à aeração A (Grau de Aeração) que limita a condição de não ter 
escoado toda a água. 
 
Pressão neutra 
– Para o nível NA1: u1A = a . h 
– Para o nível NA2: u2A = a . (h – h) 
 u2A = a.h – a. h 
– Variação da pressão: uA = u2A – u1A 
 uA = a.h – a. h – a.h 
 
uA = – a . h 
 
A pressão neutra diminui de um valor correspondente a eliminação da condição de 
submersão na faixa h (deixou de ocorrer). 
 
Tensão efetiva 
Como temos as variações ocorrentes nas duas parcelas de cálculo dessa tensão, 
efetuaremos seu cálculo a partir desses valores, a saber: 
 ‟A = A – uA 
 ‟A = – A.n. A. h + A. h 
’A = (1 – A.n) . a . h 
 
A pressão efetiva aumentoude um valor correspondente ao empuxo que deixou de 
agir sobre as partículas (aliviando seus pesos na faixa h), transformando-se em sobrecarga 
pelo maior peso desses grãos. 
 
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 48 
ii - Levantamento do lençol freático 
 
No caso do NA oscilar em sentido inverso, isto é, de NA2 para NA1, logicamente as 
variações terão seus sinais trocados, isto é: 
 
 Aumentará a pressão total A = + A.n. a. h 
 Aumentará a pressão neutra uA = + a. h 
 Diminuirá a pressão efetiva ’A = – (1 – A.n). a. h 
 
Isso pode ocorrer com a subida do NA na “época das águas” (período de chuvas) 
em relação ao seu nível mais baixo no período de seca. Normalmente essa variação, na 
natureza, por conta de chuvas, não é expressiva para causar reflexos no seu comportamento 
mecânico. Já quando ocorre forçado pela execução de algum tipo de empreendimento ou 
obra é expressiva, podendo causar consequências em seu comportamento. 
 
Análise das variações do NA 
 
Nos casos de rebaixamento do lençol freático são esperadas deformações na massa 
de solo (“recalques”), para a região de acréscimo de tensão efetiva e para o caso de 
levantamento do lençol freático são esperadas rupturas na massa de solo, para a região de 
decréscimo de tensão efetiva. 
 
 
2.5 – Exercícios de Aplicação 
 
1 – Para o perfil de subsolo apresentado na Figura 2.21 (a), pede-se calcular as tensões 
totais, pressões neutras ou poropressões e as tensões efetivas, ao longo do perfil. Trace os 
diagramas das tensões calculadas. 
 
 
(a) 
 
(b) 
Figura 2.21 – Perfil geotécnico de subsolo 
 
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Resolução: 
Cálculo das tensões: 
Por se tratar de cálculo de tensões em subsolo, recomenda-se determinar os valores para 
todo o perfil, particularmente os seus valores na base de cada horizonte ou camada. 
 
As tensões totais são: 
σ1,50 = 17 x 1,50 = 25,5 kN/m² 
σ4,50 = 58,5 + 30,0 = 88,5 kN/m² 
σ8,10 = 94,5 + 66,0 = 160,5 kN/m² 
 
As pressões neutras são: 
u4,50 = 10 x 3,00 = 30,00 kN/m² 
u8,10 = 10 x 6,60 = 66,00 kN/m² 
 
As tensões efetivas são (calculadas aqui diretamente, pelo γ’): 
σ’1,50 = 17 x 1,50 = 25,5 kN/m² 
σ’4,50 = 25,5 + 11 x 3,00 = 58,5 kN/m² 
σ’8,10 = 58,5 + 10 x 3,60 = 94,5 kN/m² 
 
Diagramas de tensões: 
O diagrama de tensões totais, pressões neutras ou poropressões e as tensões efetivas estão 
apresentadas na Figura 2.21 (b). 
 
2 – Calcular as pressões verticais devidas ao peso próprio dos solos (horizontes I, II e III) 
para o perfil da Figura 2.22 (as cotas do perfil são referenciadas a um RN). 
a) Nas condições atuais; 
b) Após uma drenagem permanente que rebaixará a cota do NA até – 4 m e escavação da 
argila orgânica e lançamento de um aterro de extensão infinita até a cota + 3 m com 
um material de peso específico aparente natural de 1,8 t/m
3
 (no aterro). 
 
 
 
 
 
Horizonte I 
I = 1,3 g/cm
3
 
 
Horizonte II 
eII = 0,75 
hII = 28 % 
II = 2,67 
 
Horizonte III 
SIII = 1,1 g/cm
3
 
hIII = 45% 
Figura 2.22 – Perfil de solo 
 
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 50 
Um trabalho inicial diz respeito ao cálculo dos pesos específicos dos solos, nos três 
horizontes, uma vez que os seus valores não foram fornecidos diretamente e sim, foram 
fornecidos alguns índices físicos (relações entre índices vistos com ênfase em “Solos I”). 
 
Cálculo prévio dos valores de 
1) Argila orgânica: I = sat I = 1,3 g/cm
3
 = 1,3 t/m
3
 
2) Areia fina: 
%6,99996,0
75,0
67,2.28,0
e
.h
S
II
IIII
II
(podemos considerar 100%) 
II = SII + SII.nII. a, sendo: 
43,0
75,1
75,0
e1
e
n
II
II
II
 
53,1
75,1
1.67,2
1
.
II
aII
SII
e
 
Substituindo os valores chega-se que: II = 1,53+1.0,43.1 = 1,96 t/m
3
 
3) Argila siltosa: 
III
III
SIII
h1
 
45,01.1,1h1. IIISIIIIII
 C = 1,59 t/m
3 
 
Cálculo das pressões: 
a) Nas condições atuais: 
– No plano A: A = IA . HI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m
2 
 uA = a . HI = 4,0 t/m
2
 
 ‟A = A – uA = 1,2 t/m
2
 
– No plano B: B = A + IIB . HII = 5,2 + 1,96 . 4,0 = 13,04 t/m
2 
 uB = uA + a . HII = 4,0 + 4,0 = 8,0 t/m
2
 
 ‟B = B – uB = 13,04 – 8,0 = 5,04 t/m
2
 
– No plano C: C = B + IIIC . HIII = 13,04 + 1,59 . 6,0 = 22,58 t/m
2 
 uC = uB + a . HIII = 8,0 + 6,0 = 14,0 t/m
2
 
 ‟C = C – uC = 22,58 – 14,0 = 8,58 t/m
2
 
 
Diagramas (t/m
2
) 
 
 
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 51 
b) Após a drenagem (rebaixamento do NA até a cota – 4m), remoção da argila e 
lançamento do aterro (Figura 2.23): 
 
 
Admitindo-se a areia fina acima do NA 
com S = 80% (consideração pela falta de 
informação) 
 
Na faixa de 1,0 m teremos: 
 
225,0
67,2
75,0.8,0.
II
ÍIII
II
eS
h
=22,5% 
a
g
II
e
e
S
e
.
1
.
1
 
 
II = 1,53 + 0,8.0,43.1 
 
II = 1,87 t/m
3 
Figura 2.23 – Perfil de solo com rebaixamento do nível d‟água 
 
– No plano A: A = 6,0 . 1,8 = 10,8 t/m
2 
 uA = 0 
 ‟A = A – uA = 10,8 t/m
2
 
– No plano B: B = 10,8 + 1,87 . 1,0 = 12,67 t/m
2 
 uB = 0 
 ‟B = 12,67 t/m
2
 
– No plano C: C = B + 1,96 . 3,0 = 18,55 t/m
2 
 uC = 1,0 . 3,0 = 3,0 t/m
2
 
 ‟C = 15,55 t/m
2
 
– No plano D: D = C + 1,59 . 6,0 = 28,09 t/m
2 
 uD = uC + 1,0 . 6,0 = 9,0 t/m
2
 
 ‟C = 19,09 t/m
2
 
 
Avaliação de Rebaixamento do Lençol Freático 
 
Calcula-se, a partir do perfil inicial, qual a variação da pressão vertical quando 
efetuarmos o rebaixamento inicialmente até a cota – 3m, que possibilite a escavação da 
argila orgânica para fazer o aterro. Inicialmente faz-se necessário determinar o γ para a 
camada de argila orgânica na condição rebaixada o NA. 
Como o problema não dá maiores detalhes, vamos admitir, para o plano A uma 
porosidade de 45% e um grau de saturação após o rebaixamento de 80%. 
I = 1,3 g/cm
3
 I = SI + SI.nI. a na condição inicial 
nI = 0,45 1,3 = SI + 1.0,45.1 SI = 0,85 g/cm
3 
 
Para a faixa que houve rebaixamento do NA temos: 
II = SI + SII.nI. a = 0,85 + 0,8.0,45.1 II = 1,21 t/m
3
 = 1,21 g/cm
3
 
 
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 52 
– Cálculo das pressões para NA1: AI = I . hI = 1,3 . 4,0 = 5,2 t/m
2 
 (já calculadas anteriormente) uAI = a . hI = 1,0 . 4,0 = 4,0 
 ‟AI = 1,2 t/m
2 
– Cálculo das pressões para NA2: AII = II . hI = 1,21 . 4,0 = 4,84 t/m
2 
 uAII = 0 
 ‟AII = 4,84 t/m
2 
– Variação da pressão: ‟ = ‟AII – ‟AI 
 ‟ = 4,84 – 1,2 
 ’ = 3,64 t/m2 
 
Checando as fórmulas anteriormente deduzidas, e aplicando-às diretamente no 
cálculo das variações de pressões ocorridas com o rebaixamento do lençol tem-se: 
 
 ‟A = (1 – A.n). a. h 
A = aeração = 1 – S = 1 – 0,8 = 0,2 
 ‟A = (1 – 0,2.0,45).(1,0).(4,0) ’A = 3,64 t/m
2 
 
3 – O Terminal Portuário de Sergipe (1992) apresenta um cais de atracação conectado ao 
litoral por uma ponte de 2,4 km. O cais é abrigado da ação das ondas por umquebra-mar 
de enrocamento (pedras de grande dimenssão), com 800 m de comprimento (Figura 2.24) e 
15,3 m de altura, em que este autor participou de sua obra, com a realização de leituras de 
piezômetros da sua instrumentação. 
 
Considerando o perfil geotécnico sob o quebra-mar, apresentado na Figura 2.24, pede-se: 
 
a) Determinar as pressões verticais efetivas geostáticas (análise antes da construção do 
quebra-mar) ao longo do perfil e traçar o seu respectivo diagrama. 
b) Com base na observação da instalação de um piezômetro no topo da camada de areia, 
logo abaixo da base da camada de argila, determinar a pressão para esta situação medida 
em campo e explicar o que pode justificar este nível de água não coincidir com o do 
local (mar). 
 
 
 
 
 
Figura 2.24 – Imagem de quebra-mar em Porto de Sergipe e perfil geotécnico do local 
 
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 53 
Resolução: 
a) Cálculo das tensões σ‟: 
Por se tratar de cálculo de tensões em subsolo, recomenda-se determinar os valores para 
todo o perfil, particularmente os seus valores na base de cada horizonte ou camada. 
Optando por calcular σ‟ por subtração das tensões “σ” e “u”, tem-se: 
 
TENSOES TOTAIS 
σA = γ1 . h1 = 10 . 10 = 100 kN/m² 
σB = σA + (γ2 . h2) = 100 + (19 . 4) = 176 kN/m² 
σC = σB + (γ3 . h3) = 176 + (16,5 . 8) = 308 kN/m² 
PRESSÕES NEUTRAS 
uA = (γa . h1) = 10 . 10 = 100 kN/m² 
uB = uA + (γa . h2) = 100 + (10 . 4) = 140 kN/m² 
uC = uB + (γa . h3) = 140 + (10 . 8) = 220 kN/m² 
TENSÕES EFETIVAS 
σA‟ = σA – uA = 100 – 100 = 0 
σB‟ = σB – uB = 176 - 140 = 36 kN/m² 
σC‟ = σC – uC = 308 – 220 = 88 kN/m² 
 
Traçado do diagrama de σ‟ ao longo do perfil geotécnico do subsolo 
 
 
 
b) Calculo da pressão “u” no topo da camada de areia: 
A pressão neutra em ponto de instalação do piezômetro se obtem, a partir da carga 
piezométrica estabelecida no piezômetro: 
upiez = (γa . hpiez) = 10 . 22,40 = 224 kN/m² 
 
Explicação sobre o nível de água não coincidir com o do local (mar): 
 
Por se tratar de pressão neutra, ocorre por efeito de submersão (coincidência de níveis do 
interior e exterior do piezômetro), percolação (fluxo) ou adensamento (gerada por 
acréscimo de sobre carga). Neste caso como não há coincidência de níveis e também não 
há acréscimo de carga sobre o perfil, o que justifica esta carga hidráulica diz respeito a uma 
movimentação de água nesta camada inferior de areia (fluxo de água no solo). 
 
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 54 
2.6 - Tensões devidas a cargas aplicadas 
 
 As cargas aplicadas na superfície de um terreno induzem tensões, com 
conseqüentes deformações, no interior de uma massa de solo. Embora as relações entre 
tensões induzidas e as deformações resultantes sejam essencialmente não lineares, soluções 
baseadas na teoria da elasticidade são comumente adotadas em aplicações práticas, 
respeitando-se as equações de equilíbrio e compatibilidade. 
As tensões produzidas por cargas aplicadas na superfície de um maciço terroso são 
calculadas, ou melhor, avaliadas, na hipótese de um “maciço semi-infinito, elástico, 
isótropo e homogêneo”; conceitos que, a rigor, podem não ser verificados. 
 As cargas transmitidas pelas estruturas se propagam para o interior dos maciços e se 
distribuem nas diferentes profundidades, como ilustrado na Figura 2.25, podendo se 
verificar experimentalmente. 
 
Figura 2.25 – Distribuição de “tensões” de acordo com a profundidade 
 
Denominan-se isóbaras as curvas ou superfícies obtidas ligando-se os pontos de 
mesma tensão vertical (Figura 2.26). Este conjunto de superfícies isóbaras forma o que se 
chama bulbo de “tensões”, como indicado nas figuras abaixo para uma carga concentrada. 
 
 
Figura 2.26 – Bulbo de tensões (linhas de igual valor de “tensão”) 
 
 
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Aplicação da Teoria da Elasticidade: 
 
 Segundo descreve o Prof. Carlos de Souza Pinto (PINTO, 2000), a teoria da 
elasticidade tem sido empregada para a estimativa das tensões atuantes no interior da massa 
de solo em virtude de carregamentos na superfície, e mesmo no interior do terreno. 
 “O emprego de Teoria da elasticidade aos solos é questionável, pois o 
comportamento dos solos não satisfaz aos requisitos de material elástico, principalmente 
no que se refere a reversibilidade das deformações quando as tensões mudam de sentido. 
Entretanto, quando ocorrem somente acréscimos de tensão, justifica-se a aplicação da 
teoria. Por outro lado, até determinado nível de tensões, existe uma certa proporcionalidade 
entre as tensões e as deformações, de forma que se considera um Módulo de Elasticidade 
constante como representativo do material. Mas a maior justificativa para a aplicação da 
Teoria de Elasticidade é o fato de não de dispor ainda de melhor alternativa e, também, 
porque ela tem apresentado uma avaliação satisfatória das tensões atuantes no solo, pelo 
que se depreende da análise de comportamento de obras. 
 
 São apresentados os valores de acréscimo de carga no subsolo para os principais 
tipos de carregamento (carga), segundo diferentes componentes de tensões. 
 
A) Carga concentrada: 
 
Boussinesq (1885) desenvolveu as equações para cálculo dos acréscimos de tensões 
efetivas vertical ( z), radial ( r), tangencial ( t) e de cisalhamento ( rz) (outras 
componentes de tensões ainda não estudadas), causadas pela aplicação de uma carga 
concentrada pontual agindo perpendicularmente na superfície de um terreno (Figura 2.27), 
admitindo constante o módulo de elasticidade do maciço. Por isso, as fórmulas não contêm 
o valor deste módulo. 
 
 
 
,cossen3
2
,
cos1
cos
cos)21(
2
,
cos1
cos)21(
cossen3
2
,cos
2
3
)(
3
2
4
2
2
3
2
2
32
2
5
22522
3
z
p
z
p
z
p
z
p
zr
zp
rz
t
r
z
 
Figura 2.27 – Carga concentrada aplicada na superfície do terreno: Solução de Boussinesq 
 
Pela fórmula: 
z
p
z
3
2 2
5cos ,
 verifica-se que em cada plano horizontal (Figura 
2.28) há uma distribuição simétrica em forma de sino, com a pressão máxima sob a carga, a 
qual decresce com o quadrado da distância do plano considerado à superficie de aplicação 
da carga. 
 
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Figura 2.28 – Distribuição simétrica em forma de sino devido à carga concentrada 
 
B) Carga distribuída ao longo de uma linha: 
 
A tensão vertical induzida z no ponto (A), por uma carga uniformemente 
distribuída 
p
 ao longo de uma linha na superfície de um semi-espaço foram obtidas por 
Melan (Figura 2.29), adotado uma referência, e é dada pela fórmula: 
 
 
 
 
 
4
Z cos.
z.
p2 
Figura 2.29 – Carga distribuída ao longo de uma linha: Solução de Melan 
 
C) Carga uniformemente distribuída numa faixa: 
 
Em se tratando de uma placa retangular em que uma das dimensões é muito maior 
que a outra, como por exemplo, no caso de sapatas corridas, os esforços introduzidos na 
massa de solo podem ser calculados por meio da formula desenvolvida por Terzaghi e 
Carothers. A Figura 2.30 apresenta o esquemade carregamento e o ponto onde se está 
calculando o acréscimo de tensão. As tensões num ponto (M) situado a uma profudidade 
(Z), com o ângulo em radianos, são dadas pelas fórmulas abaixo. 
 
 
 
z
x
xz
p
p
p
2 2 2
2 2 2
2 2
sen cos
sen cos
sen sen 
Figura 2.30 – Placa retangular de comprimento infinito: Solução de Terzaghi e Carothers 
 
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Como observado foram informadas outras componentes de tensões (ainda não 
estudadas). As tensões principais e a máxima de cisalhamento (a serem estudadas no 
Capítulo 04) são dadas por: 
 
2sen2.
p
1
 , 
2sen2.
p
3
 e 
2sen.
p
máx
 
 
A Figura 2.31 apresenta no mesmo gráfico as curvas de igual tensão normal 
(tensões verticais) e tangencial (particularmente a cisalhante máxima) segundo Jürgenson, 
abaixo de um carregamento retangular. 
 
 
Figura 2.31 – Curvas de igual tensão normal e tangencial: Solução de Jürgenson 
 
D) Carga distribuída sobre uma placa circular: 
 
Para uma superfície flexível e circular de raio R, carregada uniformemente com 
tensão p, o valor da tensão vertical z, abaixo do centro (Figura 2.32) é dado pela fórmula 
de Love. 
 
 
2
3
2
Z
z
r
1
1
1.p
 
Figura 2.32 – Carregamento circular: Solução de Love 
 
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Para o cálculo do acréscimo de carga no subsolo, para qualquer posição que se 
queira, podemos obter para a área carregada uniformemente com tensão p, o valor da 
tensão vertical z fornecida pelo gráfico da figura 2.33. 
 
 
Figura 2.33 – Bulbo de tensões para o carregamento circular 
 
A figura 2. 34 ilustra, como exemplo, o aspecto da distribuição da intensidade das 
tensões verticais que ocorrem no subsolo de um terreno (mostrada a meia seção), 
considerando a aplicação na superfície de um carregamento externo de 100kPa. 
Neste exemplo ilustrativo foi usado um software de análise de tensões, a partir da 
teoria da elasticidade, desenvolvido aplicando a técnica numérica do “Método dos 
Elementos Finitos” (M. E. F.). Na análise foram considerados a profundidade de 20,0m e o 
afastamento do eixo central da carga circular (com 6,0m de diâmetro) em 12,0m. 
Observa-se que os maiores valores ocorrem nas proximidades do carregamento, 
região com maiores deformações. Nesta região, devido o nível elevado de tensões, poderá 
desenvolver tensões cisalhantes elevadas, podendo levar à ruptura do solo, dependendo da 
resistência ao cisalhamento do solo, como será visto nos Capítulos 04 e 05 deste curso. 
 
3 m Footing
100 kPa
 
7
 
 
1
4
 
 2
1 
 
28
 
 3
5 
 
 4
2 
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
E
le
v
a
t
io
n
 (
m
e
t
r
e
s
)
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
 
Figura 2. 34 - Aspecto da distribuição das tensões verticais, sob carregamento circular 
 
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A Figura 2.35 ilustra, em perspectiva, um bulbo de tensões para o carregamento 
quadrado, que se aproxima da solução apresentada para o circular. Na figura está destacado 
em inglês, “Stress bulb” – bulbo de tensões e “Influence depth (ID)=2B” – profundidade de 
influência (ID)=2B, que corresponde aproximadamente a profundidade em que o 
acréscimo de tensões corresponde a 10% da tensão na superfice de aplicação. 
 
 
Figura 2.35 - Bulbo de tensões para o carregamento quadrado, que se aproxima do circular 
 
E) Carga triangular: 
 
Para o caso de um carregamento triangular sobre uma faixa alongada, o bulbo de 
tensões, segundo Jürgenson, é o indicado na Figura 3.36, o qual é de grande utilidade na 
avaliação dos recalques de um aterro. 
 
 
Figura 2.36 – Bulbo de tensões para o carregamento triangular: Solução de Jürgenson 
 
Sobreposição de Efeitos (peso próprio e cargas aplicadas): 
 
Em termos de diagrama final de tensões verticais totais, tem-se a sobreposição dos 
efeitos (soma) das tensões (c), devidas ao peso próprio dos solos (a) e devidas ao 
carregamento aplicado (b), como pode ser visto o seu aspecto na figura 2.37 (considerado 
o carregamento da figura anterior, ao londo do eixo z, em uma única camada). 
 
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 60 
 
Figura 2.37 - Sobreposição dos efeitos (c) das tensões de peso própio (a) e 
carregamento externo (b) 
 
 Como leitura complementar, apresentam-se algumas considerações a respeito de 
tensão efetiva de solos não saturados, assunto de maior complexidade, não comumente 
estudado em cursos de graduação. 
 
 
2.7 – Solos não saturados 
 
No estudo dos solos saturados apenas uma variável, denominada por tensão normal 
efetiva (σ‟) (Terzaghi, 1936), é suficiente para definir o estado de tensão e descrever o 
omportamento mecânico dos mesmos. O princípio das tensões efetivas para solos na 
condição saturada foi discutido e confirmado por diversos autores. Sua equação (σ = σ' + 
uw) mostra a relação entre as tensões atuantes no solo e a variável do estado de tensão para 
solos saturados. 
 
Porém, quando se analisa o solo em seu estado não saturado, tal princípio torna-se 
inválido, principalmente pelo aparecimento de uma pressão negativa nos poros do solo, 
denominada sucção. A não saturação faz com que o estado de tensões seja diferente, 
devendo, então, ser considerada a influência de outras variáveis no comportamento dos 
solos não saturados (Fredlund e Morgenstern, 1977). 
 
A fim de ampliar o uso do conceito de tensão efetiva para a condição não saturada 
dos solos, diversos pesquisadores apresentaram diferentes expressões na busca de uma 
solução única. Uma das equações propostas, para exemplificar, é a de Bishop (1959): 
 
 
Onde: 
ua = pressão de ar 
χ = parâmetro relacionado com o grau de saturação 
Para solos saturados χ = 1 e, para solos secos, χ = 0