AV final (objetiva) Geometria Analítica e Álgebra Vetorial GABARITO

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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial 
Avaliação: Avaliação Final (Objetiva) - Individual Semipresencial 
Prova: 
Nota da Prova: 10,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada 
1. Sistemas lineares é um conjunto de equações lineares, com m equações e n 
incógnitas. A solução de um sistema linear é a solução de todas as equações lineares. 
Existem muitas maneiras de resolver um sistema de equações lineares ou sistemas 
lineares, como quiser chama-los. Desta forma, o mais importante é conhecer suas 
principais características e propriedades. Com base no sistema apresentado, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Impossível, para todo k real diferente de -21. 
( ) Possível e indeterminado, para todo k real diferente de -63. 
( ) Possível e determinado, para todo k real diferente de -21. 
( ) Possível e indeterminado, para todo k real diferente de -3. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - F - V - F. 
 c) F - V - F - F. 
 d) V - F - F - F. 
 
2. A curva apresenta tem como equação a expressão: x² + y² = 25. Assim, a área do 
polígono definido pelos pontos A, B, C e D é expressa pelo número: 
 
 a) 25. 
 b) 50. 
 c) Raiz de 5. 
 d) 5. 
 
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou! 
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3. Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele 
precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não 
chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente 
não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza 
vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que 
ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-
1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: 
 
I- R = (1,10,9). 
II- R = (-1,-10,9). 
III- R = (-5,2,9). 
IV- R = (5,-2,9). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
Parabéns! Você acertou a questão: Parabéns! Você acertou! 
 
4. Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do 
tipo nxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome 
de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, 
temos a resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares ou, ainda, o 
cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas 
as coordenadas dos seus vértices. Baseado nas propriedades dos determinantes, 
analise as sentenças a seguir: 
 
I- Se uma matriz possui duas linhas (ou colunas) proporcionais, então seu 
determinante será nulo. 
II- O determinante de uma matriz quadrada é sempre positivo. 
III- O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua 
transposta AT. 
IV- Se uma matriz não for quadrada seu determinante será igual a zero. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a sentença III está correta. 
 b) As sentenças I e III estão corretas. 
 c) As sentenças I e II estão corretas. 
 d) As sentenças II e IV estão corretas. 
 
5. Joaquim faltou na aula e pegou emprestado o caderno de seu amigo Manoel para 
estudar e copiar a matéria atrasada. No entanto, como este seu amigo não era nada 
caprichoso parte da resolução de uma das questões de multiplicação de matrizes 
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aprendida estava apagada. Sobre a resolução ilegível na matriz apresentada, analise 
as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA: 
 
 a) Somente a matriz I. 
 b) Somente a matriz III. 
 c) Somente a matriz IV. 
 d) Somente a matriz II. 
 
6. A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do 
vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da 
grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (3,4): 
 a) 3. 
 b) 5. 
 c) Raiz de 10. 
 d) Raiz de 5. 
 
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7. No estudo das transformações lineares, o conceito de imagem da transformação 
linear é o conjunto de todos os vetores do contradomínio que são imagens de pelo 
menos um vetor o espaço vetorial de saída. A respeito da base para a imagem da 
transformação T(x,y) = (x+y, x), analise as opções a seguir: 
 
I- [(1,1),(1,0)]. 
II- [(1,1),(0,1)]. 
III- [(0,1),(1,0)]. 
IV- [(1,1)]. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) Somente a opção IV está correta. 
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 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção II está correta. 
 d) Somente a opção III está correta. 
 
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8. Antes de se analisar analiticamente os casos, é importante ter um olhar gráfico das 
situações para assim poder modelar analiticamente o problema com melhor 
qualidade. Nessa concepção, e utilizando essa dica, imagine que um vértice A de um 
triângulo está na origem do sistema de coordenadas, um outro vértice B está no 
ponto (2, 2) e o último vértice C no ponto (2,- 2). Observando qual delas representa a 
equação da reta que passa por A e pelo ponto médio de BC, analise as opções a 
seguir: 
 
I- y = 0. 
II- x = 0. 
III- x + y = 0. 
IV- y = 2. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
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9. No estudo da Geometria Analítica, deparamo-nos com três seções cônicas que são 
oriundas de cortes efetuados em um cone: a hipérbole, a elipse e a parábola. O estudo 
da parábola, em específico, foi fortemente divulgado pelo matemático Pierre de 
Fermat (1601-1655), que estabeleceu que a equação do 2° grau representa uma 
parábola quando seus pontos são aplicados em um plano cartesiano. Com relação à 
parábola de eixo coincidente com a reta y = 0, analise as opções a seguir: 
 
I- y = x² + 1. 
II- x = y² + 1. 
III- y - x² = 0. 
IV- x² - y² = 1. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção IV está correta. 
 d) Somente a opção I está correta. 
 
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10. Ao definir lugar geométrico em matemática, imaginamos que seja uma figura ligada 
a todos os seus pontos que possuem uma determinada propriedade. Conhecemos uma 
diversidade de figuras que podem ser relacionadas com lugares geométricos. 
Baseado nisso, o lugar geométrico dos pontos de coordenadas (x; y), tais que y² + (x 
- 1)² = 4, é: 
 a) Duas retas concorrentes. 
 b) Uma hipérbole. 
 c) Um ponto que não é a origem. 
 d) Uma circunferência. 
 
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11. (ENADE, 2005) A transposição do rio São Francisco é um assunto que desperta 
grande interesse. Questionam-se, entre outros aspectos, os efeitos no meio ambiente, 
o elevado custo do empreendimento relativamente à população beneficiada e a 
quantidade de água a 
ser retirada, o que poderia prejudicar a vazão do rio, que hoje é de 1.850 m3/s. 
 
Visando promover em sala de aula um debate acerca desse assunto, um professor de 
matemática propôs a seus alunos o problema seguinte, baseando-se em dados obtidos 
do Ministério da Integração Nacional. 
 
Considere que o projeto prevê a retirada de x m3/s de água. 
Denote por y o custo total estimado da obra, em bilhões de reais, e por z o número, 
em milhões, de habitantes que serão beneficiados pelo projeto. Relacionando-se 
essas quantidades, obtém-se o sistema de equações lineares AX = B, em que: 
 
 a) O sistema linear proposto pelo professor é indeterminado, uma vez que det(A) = 
0. 
 b) A transposição proposta vai beneficiar menos de 11 milhões de habitantes. 
 c) Mais de 2% da vazão do rio São Francisco serão retirados com a transposição, o 
que pode provocar sérios danos ambientais. 
 d) O custo total estimado da obra é superior a 4 bilhões de reais. 
 
12. (ENADE, 2014) Considere uma parábola de foco F e de reta diretriz d. Denote por P 
um ponto pertencente à parábola e por D a sua projeção ortogonal na reta diretriz d. 
Representando por r a reta bissetriz do ângulo FPD, avalie as asserções a seguir e a 
relação da proposta entre elas: 
 
I- A reta r é tangente à parábola o ponto P. 
 
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PORQUE 
 
II- Para qualquer ponto Q pertencente à reta r, Q diferente de P, a distância de Q ao 
ponto D é maior que a distância de Q à reta d. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta 
de I. 
 b) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa 
correta de I. 
 c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
 d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.