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UNIVERSIDADE VALE DO RIO DOCE (UNIVALE)
 DIMENSIONAMENTO DE ESTRUTURAS DE CA
1) LAJES (DEFINIÇÃO)
A laje maciça pode ser definida como sendo uma placa de concreto armado, cuja função é resistir esforços de compressão e de tração em edificações. Esse tipo de laje é moldado in loco e, além disso, não possui em sua composição nenhum outro material que não seja aço e concreto. As lajes maciças são executadas diretamente no canteiro de obras, e não necessitam de mão de obra muito especializada, além disso, apresentam um tempo razoável de execução, o que depende basicamente da cura do concreto.
As lajes maciças são comuns em edifícios de múltiplos pavimentos e em construções como escolas, indústrias, hospitais. Geralmente, não são aplicadas em residências e outros imóveis de pequeno porte, e o motivo é simples: devido às formas que são utilizadas na metodologia executiva. Assim, em edifícios de múltiplos pavimentos as formas são reutilizadas a cada andar, o que torna o método muito mais viável do que em edificações térreas, onde a forma seria montada e utilizada apenas uma vez. Para edificações térreas, as lajes pré-fabricadas apresentam vantagens nos aspectos custo e facilidade de construção.
 
Porque não é comum utilizar vigotas treliçadas em edifícios de múltiplos andares?
Pois o modelo de cálculo de uma vigota treliçada é do tipo bi-apoiada. Normalmente, edifícios de múltiplos andares apresentam vãos relativamente grandes que requer uma maior rigidez nas regiões de continuidades de lajes (engastes) de modo a reduzir as flechas da laje. Ao criar um modelo engastado em uma laje treliçada, ela estará submetida a momento fletor negativo, comprimindo a região inferior que apresenta um material de enchimento (EPS ou cerâmico) além de um concreto de baixa resistência na pré-laje, e não um concreto de resistência adequada (que seria a situação ideal). Com isso, quanto mais você tirar a peça de trabalhar no modelo natural, mais trincas terão para que ela fique em equilíbrio. Ou seja, a laje tende a fissurar para trabalhar da forma que queremos. Destaca-se, contudo, que regiões (maciças) de concreto podem ser utilizadas em continuidades de lajes para atender aos momentos negativos gerados. 
Além disso, outra desvantagem das lajes treliçadas em edifícios de múltiplos pavimentos está na dificuldade em fazer furos para passagens de instalações na mesma em razão das treliças.
2) VANTAGENS DA LAJE MACIÇA
Podemos destacar alguns pontos positivos das lajes maciças:
· Execução simplificada, não exigindo mão-de-obra especializada;
· Possui um bom desempenho em relação a resistência dos esforços;
· Pode auxiliar no sistema de contraventamento da edificação, através da propriedade de chapas;
· Menos suscetível à ocorrência de patologias, como por exemplo, fissuras e trincas;
· Acabamento liso na parte inferior;
· Permite diferentes formatos dos panos da laje.
3) DESVANTAGENS DA LAJE MACIÇA
Dentre os pontos negativos do sistema estrutural de lajes maciças, podemos destacar:
· Custo elevado em relação a diversos outros sistemas de laje;
· Mal desempenho da acústica nos ambientes;
· Elevado consumo de concreto;
· Peso próprio elevado, o que estimula maiores reações no restante da estrutura;
· Utilização de formas, com dificuldade de reaproveitamento;
· Não indicada para vencer grandes vãos.
4) VÃOS USUAIS PARA LAJES MACIÇAS
Para pavimentos em que o menor vão a ser vencido pelas lajes é pequeno ou médio (lajes com vãos até 5m) e as cargas a serem suportadas não são muito elevadas, normalmente se tem empregado as lajes maciças apoiadas em vigas (sistemas tradicionais), uma vez que a espessura demandada pelas lajes, nesta situação, é pequena. Para este tipo de sistema, é grande a rigidez quanto aos deslocamentos verticais. Por outro lado, para grandes vãos, as lajes maciças podem ser antieconômicas, pois a espessura necessária da laje, para atender ao ELU e ao critério de pequenos deslocamentos transversais, certamente será elevada.
Portanto, é interessante utilizar um sistema estrutural que tenha comportamento semelhante ao das placas (lajes maciças), porém com eficiência das vigas na flexão, ou seja, grande inércia e peso próprio relativamente pequeno. As lajes nervuradas quase sempre atendem a esses requisitos, representando um avanço em relação às maciças por necessitarem, em geral, de menor quantidade de material, quando os vãos são grandes.
4.1) ESPECIFICAÇÕES DE PROJETO QUANTO AOS VÃOS
As lajes maciças são dimensionadas para resistir aos esforços solicitantes de projeto. Basicamente o projeto e dimensionamento devem seguir as especificações da ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto — Procedimento – que estabelece os requisitos básicos exigíveis para estruturas de concreto armado.
No projeto de lajes maciças, devem ser determinados os vãos teóricos (l): também chamado de vão equivalente, consiste na distância entre os eixos dos apoios;
A partir disso os vãos teóricos são considerados como sendo lx o menor vão e ly, o maior, e estabelecem uma relação (λ = ly/lx) que classificam as lajes em armada em duas direções (λ ≤ 2) e armada em uma direção (λ > 2).
Vãos teóricos lx (menor vão) e ly (maior vãos)
5) VÍNCULOS DA LAJE
A maioria dos dimensionamentos das lajes maciças consideram três tipos de vínculos no apoio: bordas livres, bordas simplesmente apoiadas e bordas engastadas.
As lajes maciças podem ter diversas formas de combinações quanto aos vínculos das bordas. A seguir são apresentadas algumas das principais combinações e como são representadas:
6) ESPESSURAS
A ABNT NBR 6118:2014 determina alguns valores limites mínimos para a espessura das lajes que devem ser respeitados:
· 7 cm para cobertura não em balanço;
· 8 cm para lajes de piso não em balanço;
· 10 cm para lajes em balanço;
· 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;
· 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;
· 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, com o mínimo de L/42 para lajes de piso bi-apoiadas e L/50 para lajes de piso contínuas;
· 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo, fora do capitel.
· A espessura das lajes maciças também pode ser determinadas a partir da seguinte equação:
· A espessura das lajes maciças também pode ser determinada pelo seguinte gráfico (Yopanan):
7) AÇÕES SOLICITANTES
As ações solicitantes nas lajes maciças devem ser determinadas sempre atendendo e avaliando de forma cuidadosa as particularidades de cada projeto. De forma geral, as ações que devem ser consideradas em projeto se dividem em dois grupos: ações permanentes (g) e ações variáveis/acidentais (q).
As principais ações permanentes (g) atuantes nas lajes são:
· Peso próprio g1 (kN/m²) 
· Revestimento g2 (Valor Usual 100kg/m² a 150kg/m²)120kg/m²
 
· Paredes em Lajes armadas em duas direções g3 (kN/m²)
Considera-se que o peso da alvenaria se distribua uniformemente ao longo de toda a área da laje
· Paredes em Lajes armadas em uma direção paralela ao menor vão g3 (kN/m²)
Considera-se que o peso da parede se distribua uniformemente na área próxima dela
· Paredes em Lajes armadas em uma direção paralela ao maior vão g3 (kN)
Considera-se que o peso da parede se distribua através de uma carga pontual.
 
Já as cargas variáveis devem ser determinadas de acordo com a ABNT NBR 6120:2019 que define critérios e especificações quanto às cargas para o cálculo de estruturas de edificações. As cargas variáveis são tratadas pela norma como cargas acidentais.
8) PROCESSO EXECUTIVO
Quanto ao processo executivo, as lajes maciças são executadas em basicamente 5 etapas:
1ª Etapa: Alocação das formas e escoramento – as formas podem ser constituídas de madeiras, tábuas, chapas compensadas ou chapas de aço e vão servir como base até que o concreto atinja a resistência especificada. As escoras das formas também podem ser constituídas de madeira ou metal.
2ª Etapa: Colocaçãodas ferragens – nessa fase são posicionadas as armaduras determinadas na fase de projeto, ou seja, armaduras principais, secundárias e espaçadores. Nessa fase também são adicionados os componentes elétricos da edificação.
3ª Etapa: Concretagem – Após a certificação de que as armaduras foram todas posicionadas, as formas devem ser limpadas e molhadas e só assim deve ocorrer o lançamento do concreto, realizando sempre os processos de nivelamento e adensamento.
4ª Etapa: Cuidados da cura – Esse é um passo importante e que muitas vezes é esquecido nas obras. Em suma, deve-se realizar a proteção e hidratação do concreto durante o processo de cura sempre que necessário.
5ª Etapa: Desforma – Posteriormente, as formas devem ser retiradas apenas quando o concreto atingir a resistência mecânica de projeto, normalmente isso ocorre aos 28 dias.
9) CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO DE LAJES NAS VIGAS
As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio. Embora essa transferência aconteça com as lajes em comportamento elástico, o procedimento de cálculo proposto pela NBR 6118:2014 baseia-se no comportamento em regime plástico, a partir da posição aproximada das linhas de plastificação, também denominadas charneiras plásticas. Este procedimento é conhecido como processo das áreas.
· PROCESSO DE ÁREAS
Conforme o item 14.7.6.1 da NBR 6118:2014, permite-se calcular as reações de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído considerando-se, para cada apoio, carga correspondente aos triângulos ou trapézios obtidos, traçando-se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
(i) 45º entre dois apoios do mesmo tipo;
(ii) 60º a partir do apoio engastado, se o outro for simplesmente apoiado;
(iii) 90º a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), quando a borda vizinha for livre.
Este processo encontra-se ilustrado nos exemplos da Figura a seguir. Com base nessa figura, as reações de apoio por unidade de largura serão dadas por:
 
`
Exemplos de aplicação do processo das áreas
Convém destacar que as reações de apoio vx ou v’x distribuem-se em uma borda de comprimento ly e vice-versa. Além disso, as reações assim obtidas são consideradas uniformemente distribuídas nas vigas de apoio, o que representa uma simplificação de cálculo. Na verdade, as reações têm uma distribuição não uniforme, em geral com valores máximos na parte central das bordas, diminuindo nas extremidades. Porém, a deslocabilidade das vigas de apoio pode modificar a distribuição dessas reações.
· CÁLCULO POR MEIO DE TABELAS
O cálculo das reações pode ser feito mediante o uso das Tabelas de Lajes. Tais tabelas, baseadas no Processo das Áreas, fornecem coeficientes adimensionais (vx, v’x, vy, v’y), a partir das condições de apoio e da relação λ = ly /lx com os quais se calculam as reações, dadas por:
 
(i) O fator de multiplicação depende de lx e é o mesmo para todos os casos;
(ii) Nas Tabelas de Lajes, foram feitas correções dos valores obtidos pelo Processo das Áreas, prevendo-se a possibilidade dos momentos nos apoios atuarem com intensidades menores que as previstas. Quando isto ocorre, o alívio na borda apoiada, decorrente do momento na borda oposta, não acontece com o valor integral;
(iii) Para não correr o risco de considerar reações de apoio menores do que aquelas que efetivamente possam acontecer, os alívios foram considerados pela metade. 
10) EXEMPLO DE APLICAÇÃO
Calcular as reações de apoio das lajes que são transferidas para as vigas pelo processo de áreas e por meio das tabelas de Czerny.
Dados:
(i) Lajes para edifícios residenciais = 200kg/m²=2,0kN/m²;
(ii) Revestimento = 120kg/m²;
(iii) Concreto C25: classe de agressividade ambiental II, Agressividade moderada, ambiente urbano, Risco de deterioração pequeno;
(iv) Aço CA-50;
· PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA ESPESSURA DE LAJES MACIÇAS
· A espessura das lajes maciças também pode ser determinadas a partir da seguinte equação:
Para os demais vínculos, armada em duas direções 0,6
· A espessura das lajes maciças também pode ser determinadas pelo seguinte gráfico (Yopanan):
· AÇÕES SOLICITANTES
· Peso próprio g1 (kN/m²) 
· Revestimento g2 (Valor Usual 100kg/m² a 150kg/m²)
 
· Paredes em Lajes armadas em duas direções (L1)) g3 (kN/m²)
Considera-se que o peso da alvenaria se distribua uniformemente ao longo de toda a área da laje
· Paredes em Lajes armadas em uma direção paralela ao menor vão (L3) g3 (kN/m²)
Considera-se que o peso da parede se distribua uniformemente na área próxima dela
· CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO POR MEIO DA TABELA DE CZERNY
· LAJE 1
 
 
 
· LAJE 2
 
 
 
· LAJE 3
 
 
 
· CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO POR MEIO DO PROCESSO DE ÁREAS
· LAJE 1
 
· LAJE 2
 
· LAJE 3
 
11) DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO
SISTEMA ESTRUTURAS DA VIGA 4
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR CARACTERÍSTICO DA VIGA 4 (kN.m)
11.1) PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO
11.2) CÁLCULO DA LINHA NEUTRA
11.3) O Que São Os Domínios do Concreto?
Os domínios do concreto são justamente as diferentes formas que uma peça de concreto pode se romper. Se você souber exatamente como uma peça vai se romper, porque não projetar tentando aproveitar ao máximo as propriedades dela, deixando a sua estrutura mais leve e mais barata?
GRÁFICO DA NORMA 6118:2014
A NBR 6118/2014, que rege os procedimentos para projetos de estruturas de concreto, traz um gráfico com as divisões dos domínios em função do encurtamento ou do alongamento máximos do concreto armado, e da altura linha neutra:
Domínio 1:
	É quando uma peça está totalmente tracionada, mas a força de tração não está distribuída de forma equilibrada. No Domínio 1, com a armadura beirando a deformação plástica, a ruína ocorre justamente pela ruptura do aço em função da tração.
Domínio 2:
No Domínio 2 temos: de um lado a armadura beirando a deformação plástica pelo esforço de tração e, do outro lado, o concreto começando a ser comprimido. A ruína ocorre ainda em função da tração, como no Domínio 1. Portanto, o domínio 2 é aceitável, porém, pode-se aproveitar um pouco mais da resistência a compressão do concreto.
Domínio 3:
No Domínio 3 temos: de um lado o concreto beirando a ruína pelos esforços de compressão e, do outro lado, o aço beirando a ruína pelos esforços de tração. 
A ruína ocorre em função dos dois tipos de esforços, mas, neste caso em específico, a peça de concreto “avisa” quando está chegando perto da ruína por meio de fissurações, o que não acontece nos outros domínios. Esse é o modo mais econômico de se projetar, já que podemos extrair o máximo de cada propriedade do concreto armado, havendo ainda um “aviso” antes da ruptura.
Domínio 4 e 5:
É quando a peça está totalmente comprimida, mas a força de compressão não está distribuída de forma equilibrada e o aço nem atingiu a tensão de escoamento. 
LN passa fora da Seção Transversal, não atendendo ao caso de flexão simples
OK. 
· Verificação do Domínio de Deformação
Portanto, o problema indica que a viga de equilíbrio se encontra no domínio 2 de deformação o qual é aceitável. Contudo, o ideal seria o domínio 3 atendendo aos limites para redistribuição de momentos e condições de ductilidade x/d ≤ 0,45 fck ≤ 50Mpa.
11.4) Cálculo do valor do braço de alavanca (z)
11.5) Cálculo da área de aço
 NBR 6118:2014 (17.3.5.2);
 	 C20, C25 e C30; 
 
 	 
 
35
12
402
366
3 N2 θ10.0 C=420
2 N1 θ6.3 C=420
12) CÁLCULO DA ARMADURA TRASNVERSAL DE VIGAS EM CONCRETO ARMADO
O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch, no início do séculoXX, e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça. Considerando uma viga biapoiada de seção retangular, Mörsch admitiu que, após a fissuração, seu comportamento é similar ao de uma treliça como a indicada. Admite-se que as bielas de compressão (diagonais comprimidas) são inclinadas à 45º em relação ao eixo longitudinal da viga.
 
 
Condição para que não haja a ruptura da Biela
 Força cortante solicitante de cálculo;
 Força cortante relativo à ruína das diagonais comprimidas de concreto;
 Parcela da força cortante absorvida pelo concreto;
 Parcela da força cortante absorvida pela armadura;
 Ângulo de inclinação da armadura transversal 45º ou 90º;
 Valor de cálculo da resistência à tração do concreto.
SISTEMA ESTRUTURAS DA VIGA 4
DIAGRAMA DE ESFORÇO CORTANTE DA VIGA 4 (kN)
Sendo assim, teremos:
· Passo 1 (Verificação da Biela de Compressão)
Diagrama de Esforço Cortante ELU
fck em MPa
Portanto, teremos:
Condição para que não haja a ruptura da Biela
OK
· Passo 2 (Verificação da parcela de força cortante absorvida pelo concreto e armadura)
fck em Mpa
 Resistência característica a tração do concreto
Resistência de cálculo a tração do concreto
 Parcela da força cortante absorvida pelo concreto
 Parcela da força cortante absorvida pela armadura. Ou seja, o concreto é capaz de resistir toda força cortante, devendo ser adotado Armadura mínima de cisalhamento.
fck em Mpa
Observa-se que o espaçamento necessário ficou superior a 30cm. Avaliar, conforme prescreve a NBR 6118:2014, o espaçamento máximo entre estribos.
Portanto:
 Com 2 Ramos
13) CÁLCULO DA ARMADURA EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO COM SEÇÃO TRASNVERSAL EM FORMA DE “T”
Em um piso (laje) de concreto armado apoiado no contorno em vigas, as lajes maciças e as vigas não são independentes umas das outras; pelo fato das estruturas de concreto armado serem monolíticas (a não ser que, construtivamente, sejam tomadas medidas para que isso não ocorra), seus elementos, lajes e vigas, trabalham em conjunto.
Quando a viga sofre uma deformação, parte da laje adjacente a ela (em um ou em dois lados) também se deforma, comportando-se como se fosse parte da viga, colaborando em sua resistência. Dessa forma, a viga incorpora parte da laje, e sua seção deixa de ser retangular, passando a ter a forma de um “T” (ou de um “L” invertido).
Planta de forma com indicação das dimensões para formar as seções L ou T
Contudo, podemos dizer que a seção só funcionará como “T” verdadeira quando:
· O momento fletor solicitante for positivo (Mesa Comprimida);
· Quando a mesa e parte da alma estiverem comprimidas, ou seja, quando a posição da linha neutra passar cortando a alma.
 Por outro lado, se a linha neutra passar cortando a mesa, o dimensionamento se dará por seção transversal retangular de base bf e altura h. Isso se dá pelo fato de que abaixo da seção comprimida desconsideramos qualquer resistência a tração que o concreto possa oferecer. 
 
Em caso de momento fletor negativo, o dimensionamento se dá por meio de seção retangular convencional com base bw e altura h, pois nesse caso a mesa se torna um elemento tracionado.
13.1) CÁLCULO DA LARGURA COLABORANTE DO TABULEIRO (bf)
Não é toda a largura da laje adjacente que colabora na resistência da viga; por absurdo, imagine-se que uma viga central estivesse a quilômetros das vigas laterais: é evidente que entre uma viga lateral e a central existiria uma parte da laje que não ajudaria na resistência nem de uma viga nem de outra, ou seja, estaria trabalhando realmente apenas como elemento para transferir cargas às vigas. Conclui-se, portanto, que apenas uma parte da laje, mais próxima à viga, colabora com ela.
A distribuição de tensões de compressão na parte superior da viga (mesa) não é uniforme: há concentração de valores junto à parte central da viga (alma), como esquematizado na Figura 3.25. A determinação da largura da laje que colabora com a viga (largura colaborante ou efetiva - bf) é feita integrando a distribuição de tensões na altura h e em uma largura até onde as tensões tendem a zero, a fim de encontrar a resultante; essa resultante é igualada a uma outra, obtida por meio da distribuição uniforme de tensões, com valor igual a 0,85.fcd, atuando na altura hf e largura bf (Fc=bf.hf.0,85.fcd).
O procedimento acima resulta em um cálculo complexo, e por essa razão existem soluções simplificadas a favor da segurança, mas baseadas nos mesmo princípios. Uma delas é a que propõe a ABNT NBR 6118:2014 (item 14.6.2.2), que, de acordo com esse item, a largura colaborante bf será a largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância “a” entre os pontos de momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. 
A distância “a” pode ser estimada em função do comprimento do tramo considerado, que depende do tipo de vinculação na extremidade do vão. Esse termo representa a distância entre os pontos nulos do diagrama de momento fletor. No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma única largura colaborante para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que essa largura seja calculada a partir do trecho de momentos positivos onde a largura resulte mínima.
13.2) EXEMPLO DE APLICAÇÃO: CÁLCULO DA V5 COMO VIGA T.
Sistema Estrutural “V5”
DMF “V5” característico/nominal – 64,76 kN.m
Deverão ser respeitados os limites de b1 e b3 conforme a Figura 14.2:
 
LN passa fora da Seção Transversal, não atendendo ao caso de flexão simples
OK. (LN cortando a mesa comprimida; O dimensionamento se dará por seção transversal retangular 
Verificação do Domínio de Deformação
Portanto, o problema indica que a viga de equilíbrio se encontra no domínio 2 de deformação o qual é aceitável. Contudo, o ideal seria o domínio 3 atendendo aos limites para redistribuição de momentos e condições de ductilidade x/d ≤ 0,45 fck ≤ 50Mpa.
Cálculo do valor do braço de alavanca (z)
Cálculo da área de aço
 NBR 6118:2014 (17.3.5.2);
 	 C20, C25 e C30; 
 
 	 
 
14) EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2: CÁLCULO DE VIGAS T
LN passa fora da Seção Transversal, não atendendo ao caso de flexão simples
OK. (LN cortando a alma da viga, o dimensionamento se dará por seção “T”)
Verificação do Domínio de Deformação
Portanto, o problema indica que a viga de equilíbrio se encontra no domínio 2 de deformação o qual é aceitável. Contudo, o ideal seria o domínio 3 atendendo aos limites para redistribuição de momentos e condições de ductilidade x/d ≤ 0,45 fck ≤ 50Mpa.
Momento resistido pelas abas (M1)
Momento resistido pela mesa (M2)
Cálculo da área de aço
 
.l
10
(2,75/²1,2/²2,0/²).2,7m
2,17
10
3,49/
x
yy
y
y
p
Vv
kNmkNmkNm
V
VkNm
ì
=
ï
ï
++
ï
=
í
ï
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ï
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î
.l
V''
10
(2,75/²1,2/²2,0/²).2,7m
V'3,17
10
V'5,09/
x
yy
y
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v
kNmkNmkNm
kNm
ì
=
ï
ï
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ï
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í
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ï
ï
î
.l
10
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).1,5m
4,38
10
7,75/
x
xx
x
x
p
Vv
kNmkNmkNm
V
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ì
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ï
ï
+++
ï
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í
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ï
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.l
V''
10
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).1,5m
V'6,25
10
V'11,06/
x
xx
x
x
p
v
kNmkNmkNm
kNm
ì
=
ï
ï
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ï
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í
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ï
ï
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.l
10
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).1,5m
2,17
10
3,84/
x
yy
y
y
p
Vv
kNmkNmkNm
V
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ì
=
ï
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+++
ï
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í
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ï
ï
î
.l
V''
10
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).1,5m
V'3,17
10
V'5,61/
x
yy
y
y
p
v
kNmkNmkNm
kNm
ì
=
ï
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+++
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
.
(2,75/²1,2/²1,4/²2,0/²).3,68²
4,50
6,01/
x
x
y
x
x
pA
v
l
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v
m
vkNm
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=
ï
ï
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=
í
ï
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ï
î
.
(2,75/²1,2/²1,4/²2,0/²).4,26²
4,20
7,46/
y
y
x
y
y
pA
v
l
kNmkNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
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í
ï
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=
ï
î
.'
'
(2,75/²1,2/²1,4/²2,0/²).7,28²
'
4,20
'12,74/
y
y
x
y
y
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v
l
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m
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ì
=
ï
ï
ï
+++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.
(2,75/²1,2/²2,0/²).2,60²
4,00
3,87/
x
x
y
x
x
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v
l
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v
m
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ï
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ï
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.'
'
(2,75/²1,2/²2,0/²).4,54²
'
4,00
'6,75/
x
x
y
x
x
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v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
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ï
ï
ï
++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.
(2,75/²1,2/²2,0/²).1,34²
2,70
2,95/
y
y
x
y
y
pA
v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.'
'
(2,75/²1,2/²2,0/²).2,32²
'
2,70
'5,11/
y
y
x
y
y
pA
v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).2,19²
4,00
6,46/
x
x
y
x
x
pA
v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
+++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.'
'
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).2,83²
'
4,00
'8,35/
x
x
y
x
x
pA
v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
+++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).0,41²
1,50
3,23/
y
y
x
y
y
pA
v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
+++
=
í
ï
ï
=
ï
î
.'
'
(2,75/²1,2/²2,0/²5,85kN/m²).0,56²
'
1,50
'4,41/
y
y
x
y
y
pA
v
l
kNmkNmkNmm
v
m
vkNm
ì
=
ï
ï
ï
+++
=
í
ï
ï
=
ï
î
 adotada: (12x35)cm
Dimensão
1
’ 30,634
2
'35431cm
cm
dcmcmcm
dhd
=++=
=-=-=
2
0,68.(0,68.d)4.0,272.
.
0,544
Md
d
bfcd
x
+
æö
-
ç÷
-
èø
=
2
16451,4.
0,68.31(0,68.31)4.0,272.
2,5
12cm.kN/²
1,4
0,544
xkNcm
cm
x
æö
ç÷
+
-
ç÷
-
ç÷
ç÷
èø
=
'72,01
xcm
=
''5,49
xcm
=
12
0
x
=
23
0,259.0,259.318,029
xdcm
===
lim
0,45.0,45.3113,95
xdcm
===
34
0,6283.0,6283.3119,48
xdcm
===
(0,4.)
31(0,45,49)cm
z28,80cm
zdx
zx
=-
=-
=
yd
.f
d
s
M
A
z
=
,mínmin
..h
sW
Ab
r
=
min
0,15%
r
=
16451,4.
50
28,80.kN/²
1,15
s
xkNcm
A
cmcm
=
,mín
0,151235
100
s
xcmxcm
A
=
1,84²
s
Acm
=
,mín
0,63cm²
s
A
=
10
3
mm
f
.
30.
0
 50
 
 
 
,8
 :
 
AçoCA
Vãoteórico
Espessuradalaje
Coeficientecujosvaloressãodadospeloquadr
oaseguir
l
h
l
h
a
h
h
a
£
-
ì
ï
ï
í
®
®
®
®
ï
ï
î
=
2
VsdVRd
£
3
VsdVRdVcVsw
£=+
Vsd
2
VRd
Vc
Vsw
a
fctd
1,415,6722
VsdVdxkNkN
===
20,27.2...
VRdvfcdbwd
a
=
21
250
fck
v
a
æö
=-
ç÷
èø
25
210,9
250
MPa
v
a
æö
=-=
ç÷
èø
2,5/²
20,27.0,9..12cm.31cm
1,4
kNcm
VRd
=
2161,42
VRdkN
=
22161,42
kNkN
£
3
,inf0,7.0,3.²
fctkfck
=
3
,inf0,7.0,3.25²
fctk
=
,inf1,80
fctkMpa
=
 25/³
 da laje
 
1.
PesoespecíficodoconcretoarmadokNm
hEspessur
gh
a
g
g
=
®
ì
í
=
î
=
,inf1,80
1,29
1,41,4
fctkMpa
fctdMpa
===
0,6...
Vcfctdbwd
=
0,6.0,0129t/cm².12cm.31cm
Vc
=
2,88
Vct
=
VswVsdVc
=-
2,22,88
Vswtt
=-
0,68
Vswt
=-
3
min
0,3.fck²
0,2...100.sen
Aswbw
fyk
a
æö
=
ç÷
ç÷
èø
3
min
0,3.25²
0,2..12.100.sen90
500
MPa
Asw
MPa
æö
=
ç÷
ç÷
èø
min
1,23²/m
Aswcm
=
0,672
220,67161,42
22108,15
, 0,6.30
, 0,6 3130
, 1830
, 18
Smáxd
VsdVRd
kNxk
cm
Smáxxcm
Smáxcmcm
Sm
N
kNkN
áxcm
=£
=
£
=
£
£
=£
£
6.3
/183,46²/
mm
cmcmm
f
=
112233
1
2
2
1
2
2
 
 
 
 
 
 
2
Pesoespecíficodopiso
Pesoespecíficodocontrapiso
Pesoespecíficodorebocodoteto
spessuradopiso
spessuradocontrapiso
spessuradorebocodot
geee
e
e
e
E
eE
to
E
ggg
g
g
g
=++
=
ì
ï
ï
ï
ï
=
=
=
=
í
=
ï
ï
ï
ï
î
0,50385192,5
1
0,10x(420cm)42
xcmcm
b
cm
=
ì
£
í
=
î
0,50435217,5
3
0,10x(420cm)42
xcmcm
b
cm
=
ì
£
í
=
î
1
’ 30,634
2
'45441cm
cm
dcmcmcm
dhd
=++=
=-=-=
2
64761,4.
0,68.41(0,68.41)4.0,272.
2,5
99cm.kN/²
1,4
0,544
xkNcm
cm
x
æö
ç÷
+
-
ç÷
-
ç÷
ç÷
èø
=
'100,626
xcm
=
''1,87
xcm
=
23
0,259.0,259.4110,62
xdcm
===
lim
0,45.0,45.4118,45
xdcm
===
(
)
(
)
(
)
(
)
...
 /³;
 ;
 ;
 
 
3
par
alv
lajelaje
alv
laje
Pesoespecíficodaunidadedealvenariaquecom
põeaparedekNm
Espessuratotaldaparedem
lComprimentodaparedesobrealajem
Alt
P
e
uradaparedem
hl
g
AA
e
h
Áreadal
A
g
g
=
=
=
=
==
=
(
)
² .
xy
ajemll
ì
ï
ï
ï
í
=
ï
ï
ï
î
34
0,6283.0,6283.4125,76
xdcm
===
(0,4.)
41(0,41,87)cm
z40,25cm
zdx
zx
=-
=-
=
64761,4.
50
40,25.kN/²
1,15
s
xkNcm
A
cmcm
=
,mín
0,151545
100
s
xcmxcm
A
=
5,18²
s
Acm
=
,mín
1,0125cm²
s
A
=
10
7
mm
f
2
1000000.
0,68.175(0,68.175)4.0,272.
3
170cm.kN/²
1,4
0,544
kNcm
cm
x
æö
ç÷
+
-
ç÷
-
ç÷
ç÷
èø
=
'413,067
xcm
=
''24,43
xcm
=
23
0,259.0,259.17545,33
xdcm
===
lim
0,45.0,45.17578,75
xdcm
===
(
)
(
)
(
)
(
)
 /³;
 ;
 ;
 
3...
3
2
 .
²
.
 
2
 
3
par
alv
alv
Pesoespecíficodaunidadedealvenariaquecom
põeaparedekNm
Espessuratotaldaparedem
haltur
P
ehlx
g
lx
lxlx
e
l
adaparedem
Menorvãodala
x
jem
g
g
==
=
ì
ï
ï
í
ï
ï
=
î
=
=
34
0,6283.0,6283.175109,95
xdcm
===
(
)
(
)
11
1cd
1cd
1
1
1
.
2
0,85.f..2..
22
0,85.f...
2
3/²20
0,85..20.17018.175
1,42
913628,57.
9136,30.
f
c
fw
f
ffw
h
MFd
bb
hf
Mhd
hf
Mhbbd
kNcmcm
Mcmcmcmcm
MkNcm
MkNm
æö
=-
ç÷
èø
-
æö
æö
=-
ç÷
ç÷
èø
èø
æö
=--
ç÷
èø
æö
=--
ç÷
èø
=
=
21
2
2
2
1000000.cm913630.cm
86370.cm
863,7.
d
MMM
MkNkN
MkN
MkNm
=-
=-
=
=
[
]
[
]
12
ydyd
12
yd
yd
.f.f
(0,4.).f
.f
2
913628,57.86370.
50/²
2050/²
175(0,424,43).
175.
1,15
21,15
127,35²12,02²
139,37²
s
s
f
s
s
s
MM
A
zz
MM
A
h
dx
d
kNcmkNcm
A
kNcm
cmkNcm
cmxcm
cm
Acmcm
Acm
=+
=+
-
æö
-
ç÷
èø
=+
æö
-
-
ç÷
èø
=+
=
(
)
(
)
(
)
(
)
 /³;
 ;
 
3..
;
 
.1
 .
1
alv
alv
Pesoespecíficodaunidadedealvenariaquecom
põeaparedekNm
Espessuratotaldaparedem
halturadapar
geh
edem
faixadeummetrom
e
g
g
=
=
ì
ï
ï
í
=
=
=
ï
ï
î
.
x
x
y
pA
v
l
=
.'
'
x
x
y
pA
v
l
=
.
y
y
x
pA
v
l
=
.'
'
y
y
x
pA
v
l
=
 
, , 
,' 
,' 
,',
 
,
 
 
'
 
y
xxyy
xy
xxx
yy
cargatotaluniformedistribuída
llmenoremaiorvãoteóricodalajerespectivam
ente
vvreaçõesdeapoionadireçãodovãol
vvreaçõesdeapoionadire
p
AAA
çãodovãol
áreasco
A
®
®
®
®
®
 
' 
rrespondentesaosapoiosconsiderados
sinalreferenteàsbordasengastadas
ì
ï
ï
ï
ï
í
ï
ï
ï
ï®
î
.l
10
x
xx
p
Vv
=
.l
V''
10
x
xx
p
v
=
.l
10
x
yy
p
Vv
=
.l
V''
10
x
yy
p
v
=
 50
 
 
0,6.45
 
0cm
30.0,8
11,25
11
 
0,8
:
 
AçoCA
Vãoteórico
Espessuradalaj
h
hcm
hc
e
Coeficientecujosvaloressãodadospeloquadr
oacima
m
l
h
h
a
£
=
=
=®
®
®
®
-
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
4057,57,5420
4357,5
 2
7,5450
450
1,07
0
 
 
42
x
y
y
x
lcmcmcmcm
lcmcmcmc
LajeArmadaemdir
m
l
cm
lc
eções
m
l
=++=
=++=
===®
2557,57,5270
3857,5
 2
7,5400
400
1,48
0
 
 
27
x
y
y
x
lcmcmcmcm
lcmcmcmc
LajeArmadaemdir
m
l
cm
lc
eções
m
l
=++=
=++=
===®
1357,57,5150
3857,5
 1
7,5400
400
2,67
0
 
 
15
x
y
y
x
lcmcmcmcm
lcmcmcmc
LajeArmadaemdire
m
l
cm
lc
çã
m
o
l
=++=
=++=
===®
 
1.
125/³.0,11m
12,7
 25/³
5/²
 da laje
 
PesoespecíficodoconcretoarmadokNm
hEspess
gh
g
ura
kNm
gkNm
g
g
=
=
=
=
®
ì
í
=
î
112233
1
2
2
1
2
2
 
 
 
 
 
 
21
 
,2/²
Pesoespecíficodopiso
Pesoespecíficodocontrapiso
Pesoespecíficodorebocodoteto
spessuradopiso
spessuradocontrapiso
spessu
geeekNm
eE
eE
radorebocod
eE
oteto
ggg
g
g
g
=++=
=
ì
ï
ï
í
=
=
=
=
=
ï
ï
ï
ï
ï
ï
î
(
)
(
)
(1)
...
3
13
 
/³.
 /³;
 
0,15m.3m.(2,0
 
m2,5m)
31,40/²
(4,5.4,)
 ;
2
par
alv
lajelaje
par
laje
alv
Pesoespecíficodaunidadedealvenariaquecom
p
P
ehl
g
AA
P
kNm
gkNm
Amm
e
õeaparedekNm
Espessuratotaldaparedem
lCompr
g
g
==
+
==
=
=
=
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(
)
(
)
(
)
 ;
 
 ² .
laj
x
e
y
imentodaparedesobrealajem
Alturadaparedem
Áreadalaem
h
A
jll
==
ì
ï
ï
ï
í
ï
=
ï
ï
î
(
)
(
)
3...
3
2
2²
.
3
313/³x0,15x31,5
35,85/²
2
2.(1,5m)²
.
 /³;
 ;
 
3
 
par
alv
par
alv
Pesoespecí
P
ehl
ficodaunidadedealvenariaquecompõeaparede
kNm
Espessuratotal
x
g
lx
lxlx
P
xkNmx
gk
dapared
Nm
lxlx
em
halturdpar
e
aa
g
g
==
===
=
=
=
(
)
(
)
 ;
 .
edem
Menorvãoda
l
laje
x
m
ì
ï
ï
í
ï
ï
=
î
.l
10
(2,75/²1,2/²1,4/²2,0/²).4,2m
2,01
10
6,20/
x
xx
x
x
p
Vv
kNmkNmkNmkNm
V
VkNm
ì
=
ï
ï
+++
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
.l
10
(2,75/²1,2/²1,4/²2,0/²).4,2m
2,85
10
8,80/
x
yy
y
y
p
Vv
kNmkNmkNmkNm
V
VkNm
ì
=
ï
ï
+++
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
.l
V''
10
(2,75/²1,2/²1,4/²2,0/²).4,2m
V'4,17
10
V'12,87/
x
yy
y
y
p
v
kNmkNmkNmkNm
kNm
ì
=
ï
ï
+++
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
.l
10
(2,75/²1,2/²2,0/²).2,7m
2,89
10
3,79/
x
xx
x
x
p
Vv
kNmkNmkNm
V
VkNm
ì
=
ï
ï
++
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î
.l
V''
10
(2,75/²1,2/²2,0/²).2,7m
V'4,23
10
V'5,56/
x
xx
x
x
p
v
kNmkNmkNm
kNm
ì
=
ï
ï
++
ï
=
í
ï
=
ï
ï
î