Nota de Aula 15 - Introdução à Equilíbrio Geral

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
MICROECONOMIA II
Prof. Eduardo P.S. Fiuza
Complemento à Nota de Aula 15: Introdução a Equilíbrio Geral
1 E…ciência de Pareto:
Existem quatro de…nições alternativas de e…ciência de Pareto. Uma
alocação (X1; X2) e…ciente de Pareto pode ser descrita como:
1. Não existe maneira de deixar todos os agentes envolvidos mel-
hor, ou seja:
@ (X 01; X 02) j
�
x10A; x
20
A
� �A �x1A; x2A� e �x10B ; x20B� �B �x1B ; x2B�
Diz-se que esta alocação é FRACAMENTEPARETO-EFICIENTE.
2. Não existe maneira de deixar algum agente envolvido melhor
sem deixar alguém pior, ou seja:
@ (X 01; X 02) j
�
x10A; x
20
A
� �A �x1A; x2A� e �x10B ; x20B� &B �x1B ; x2B� SPG (sem
perda de generalidade)
Diz-se que esta alocação é FORTEMENTEPARETO-EFICIENTE.
3. Todos os ganhos de comércio foram exauridos (de…nição equiv-
alente à de…nição 2).
4. Não existem ganhos mútuos a serem feitos (de…nição equiva-
lente à de…nição 1).
Naturalmente não precisamos demonstrar que, se uma alocação é
fortemente Pareto-e…ciente, ela também é fracamente Pareto-e…ciente:
se não se pode deixar pelo menos um agente melhor, quanto mais
deixar a todos melhor. O reverso só é verdadeiro sob condições
especiais, enunciadas na proposição abaixo:
Proposition 1 Suponha que as preferências são contínuas e monotôni-
cas. Então uma alocação é fracamente Pareto-e…ciente se e somente
se for fortemente Pareto-e…ciente.
Proof. Como vimos, Forte )Fraco é óbvio.
Vamos demonstrar agora que Fraco)Forte por absurdo. Suponha
uma alocação que não é fortemente P.E. Vou provar que ela também
não é fracamente PE.
1
Se a alocação não é fortemente P.E., então existe algum agente,
em particular (por exemplo, A, SPG). que pode ser melhorado sem
prejudicar o outro.
Como as preferências são contínuas e monotônicas, eu posso tirar
um pouquinho da diferença entre X10A e X1A e dar para B. Neste
caso, A continua melhor que na alocação original (por continuidade)
e B melhora (por monotonicidade). Assim, ambos estão melhor,
portanto a alocação é fracamente P.E.
q.e.d.
Complemento à Nota de Aula 16:
2 Ainda sobre a Lei de Walras
Proposition 2 Se a demanda iguala a oferta num mercado, elas tam-
bém devem igualar-se no outro mercado.
Proof. A Lei de Walras vale para todos os vetores de preços, já que
cada agente deve satisfazer sua restrição orçamentária (RO) para
todos os preços. Em particular, a Lei vale para um conjunto de
preços tal que a demanda excedente pelo bem 1 seja zero. Então, se
z1 (p
�
1; p
�
2) = 0, pela lei de Walras,
p�1�z1 (p�1; p�2)| {z }
0
+p�2 � z2 (p�1; p�2)| {z }
0
= 0
Assim, para p2 > 0, temos z2 = 0:
Na verdade, então, para termos z2 6= 0, precisaríamos que p2 = 0:
Ora, pela condição de equilíbrio, z2 � 0 (factibilidade). Logo,
temos o seguinte corolário:
Corollary 3 Se (p�1; p�2) compõe um equilíbrio Walrasiano e z2 (p�1; p�2) <
0, então p2 = 0. Em outras palavras, se algum bem está em excesso de
oferta num equilíbrio Walrasiano, então ele deve ser um bem grátis.
Proof. Se (p�1; p�2) é um equilíbrio Walrasiano,
�z1(p�1 ;p�2)
z2(p�1 ;p�2)
� � 0. Como�
p1
p2
� � 0, p�1 � z1 (p�1; p�2) + p�2 � z2 (p�1; p�2) � 0:
Se z2 (p�1; p�2) < 0 (SPG) e p2 > 0, teríamos p�1�z1 (p�1; p�2)+p�2�z2 (p�1; p�2) <
0; contradizendo a lei de Walras.
2
3 Preços relativos
Lembremos a homogeneidade de grau zero da demanda. A Lei de
Walras garante apenas M � 1 equilíbrios independentes: se a de-
manda iguala a oferta em M � 1 mercados, então demanda iguala
oferta no M-ésimo.
Mas, se há M bens, haverá M preços a serem determinados.
Só que, como vimos, a demanda é homogênea de grau zero em
preços. Podemos, então, normalizar um dos preços a 1.
Example 4 maxuA
�
x1A; x
2
A
�
=
�
x1A
�a � �x2A�1�a
s.a. p1x1A + p2x2A = yA
CPO:
a� �x1A�a�1 � �x2A�1�a��p1= 0
(1� a) � �x1A�a � �x2A��a��p2= 0
Resolvendo:
x1A= a
yA
p1
x2A=(1� a) yAp2
Analogamente:
x1B= b
yB
p1
x2B=(1� b) yBp2
Demanda excedente:
z1 (p1; p2)= a
yA
p1
+byBp1 �!1A�!1B
z2 (p1; p2)= (1� a) yAp2 +(1� b)
yB
p2
�!2A�!2B
Substituindo
yA= p1!
1
A+p2!
2
A
yB= p1!
1
B+p2!
2
B
nas demandas excedentes, e lembrando que, pelo equilíbrio Wal-
rasiano,
z1 (p1; p2)= 0
z2 (p1; p2)= 0
temos que:
p1
p2
=
a!2A+b!
2
B
(1�a)!1A+(1�b)!1B
é o resultado de ambos. Em outras palavras, as duas equações
são linearmente dependentes. Portanto, posso normalizar p2 = 1 e
obter:
p1=
a!2A+b!
2
B
(1�a)!1A+(1�b)!1B
3