Nota de Aula 15 -Teoria do Equilíbrio Geral em Concorrência Perfeita

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Prof. Marcos Antonio C. da Silveira
Nota de Aula 15:
Teoria do Equilíbrio Geral em Concorrência Perfeita (Trocas Puras)
Bibliografia: Varian, cap. 31
1 Introdução
• Modelos de equilíbrio geral X Modelos de equilíbrio parcial
• Modelos de equilíbrio parcial: determinação do preço e da quantidade de equilíbrio
em apenas um mercado, permanecendo os precos nos outros mercados constantes
• Modelos de equilíbrio geral: determinação dos preços e das quantidades de equilíbrio
em todos os mercados simultaneamente
• Motivação: interdependência dos mercados ( bens são complementares e substitutos)
• Economia competitiva (mercados de concorrência perfeita): agentes comportam-se
competitivamente
— Consumidores tomam como dados os preços dos bens que consomem
— Produtores tomam como dados os preços dos bens que produzem e os preços dos
insumos e fatores que empregam na produção
• Modelos de equilíbrio geral sem produção (economia de trocas puras):
— Indivíduos são apenas consumidores e recebem uma dotação dos bens
— Oferta agregada de cada bem é uma variável exógena do modelo
— Embora bastante simplificado, a maior parte dos resultados importantes da teoria
de equilíbrio geral podem ser derivados e bem ilustrados
• Modelo de equilíbrio geral com produção:
— Modelo mais completo e portanto mais realista
— Indivíduos são consumidores e produtores (proprietários das firmas) simultanea-
mente
1
2 Descrição do Modelo e Definições Básicas
• N indivíduos (consumidores): i = 1, 2, ..., N
• M bens: j = 1, 2, ...,M
• Resultados do modelo generalizados para número qualquer de bens e indivíduos
• Uma economia de trocas puras é inteiramente descrita...
— pelas dotações iniciais dos indíviduos e...
— pelas preferências dos indivíduos
2.1 Dotações Iniciais: Lado da Oferta
• Não há produção
• Cada indivíduo recebe uma dotação inicial exógena de cada bem
• Dotação inicial do bem j para o indivíduo i: ωji ≥ 0
• Cesta de dotação inicial do indivíduo i (i=1,2,...,N):
Wi =
¡
ω1i , ω
2
i , ..., ω
M
i
¢
• Vetor de cestas de dotações iniciais, uma para cada indivíduo:
W = (W1,W2, ...,WN)
onde
W1 =
¡
ω11, ω
2
1, ..., ω
M
1
¢
W2 =
¡
ω12, ω
2
2, ..., ω
M
2
¢
...
WN =
¡
ω1N , ω
2
N , ..., ω
M
N
¢
• Dotação inicial total (agregada) do bem j:
ωj = ωj1 + ω
j
2 + ...+ ω
j
N =
NX
i=1
ωji
2
2.2 Preferências: Lado da Demanda
Alocação
• Quantidade do bem j consumida pelo indivíduo i: xji
• Cesta de consumo do indivíduo i:
Xi =
¡
x1i , x
2
i , ..., x
M
i
¢
• Alocação de bens X : vetor de cestas de consumo, uma para cada indivíduo, ou seja,
X = (X1,X2, ...,XN)
onde
X1 =
¡
x11, x
2
1, ..., x
M
1
¢
X2 =
¡
x12, x
2
2, ..., x
M
2
¢
...
XN =
¡
x1N , x
2
N , ..., x
M
N
¢
Em suma, uma alocação de bens X especifica a quantidade de cada bem consumida
por cada indivíduo
• Caso particular de alocação: alocacão das dotações iniciais
Xiz }| {¡
x1i , x
2
i , ..., x
M
i
¢
=
Wiz }| {¡
ω1i , ω
2
i , ..., ω
M
i
¢
para i=1,2,...,N =⇒
Xz }| {
(X1,X2, ..., XN) =
Wz }| {
(ω1, ω2, ..., ωN)
Na alocação W , todo indivíduo consome exatamente sua dotação inicial de cada bem
3
Alocação Factível
• Seja a alocacão das dotações iniciais W = (W1,W2, ...,WN) , onde
W1 =
¡
ω11, ω
2
1, ..., ω
M
1
¢
W2 =
¡
ω12, ω
2
2, ..., ω
M
2
¢
...
WN =
¡
ω1N , ω
2
N , ..., ω
M
N
¢
Então, uma alocação de bens qualquer
X = (X1,X2, ...,XN)
onde
X1 =
¡
x11, x
2
1, ..., x
M
1
¢
X2 =
¡
x12, x
2
2, ..., x
M
2
¢
...
XN =
¡
x1N , x
2
N , ..., x
M
N
¢
é dita factível quando, para todo bem j=1,2,...,M, segue que
NX
i=1
xji = x
j
1 + x
j
2 + ...+ x
j
N ≤ ω
j
1 + ω
j
2 + ...+ ω
j
N
ωj
=
z }| {
NX
i=1
ωji
• A alocação da dotação W = (W1,W2, ...,WN) inicial é factível
4
Preferências
• Cada indivíduo possui uma relação de preferências % sobre o conjunto das alocações,
representada por uma função utilidade
ui = ui


Xz }| {
(X1,X2, ..., Xi, ...,XN)


• Não existência de externalidades no consumo implica que, para todo indivíduo i=1,2,...,N,
segue que:
ui


Xz }| {
(X1,X2, ..., Xi, ...,XN)

 = ui(Xi)
• Esta nota de aula supõe ausência de externalidade
5
3 Caixa de Edgeworth
• Suponha uma economia sem externalidades
• Quando existem apenas dois indivíduos e dois bens, o modelo pode ser representado
graficamente através da Caixa de Edgeworth
• Comprimento e a altura da caixa dadas por ω1e ω2 respectivamente
• Toda alocação factível ((x1A, x2A) , (x1B, x2B)) que esgota os recursos, ou seja,
x1A + x
1
B = ω
1
A + ω
1
B
x2A + x
2
B = ω
2
A + ω
2
B
é representada por um único ponto da caixa. A recíproca tb é verdadeira: todo ponto
da caixa representa uma única alocação factível que esgota os recursos
• Uma alocação de bens factível ((x1A, x2A) , (x1B, x2B)) que esgota os recursos encontra-se no
interior da Caixa de Edgeworth quando
x1A > 0, x
2
A > 0, x
1
B > 0, x
2
B > 0
Caso contrário, a alocação encontra-se na fronteira da caixa
• Considere a alocação factível ((x1A, x2A) , (x1B, x2B)) representada por um ponto M da caixa:
— existe uma única curva de indiferença de A que passa por M e uma única curva
de indiferença de B que passa por M
— estas duas curvas de indiferença podem se tangenciar ou se cruzar em M
6
4 Eficiência no Sentido de Pareto (Pareto-Eficiência)
4.1 Pareto-Eficiência
• Suponha duas alocações X = (X1,X2, ..., XN) e Y = (Y1, Y2, ..., YN) . Por definição, X é
Pareto superior a Y quando
ui(Xi) ≥ ui(Yi)
para todo i = 1, 2, ..., N e, além disso, existe pelo menos um indivíduo ı˜ tal que
uı˜(Xı˜) > uı˜(Yı˜)
• Uma alocação factível qualquer X é, por definição, Pareto-eficiente quando não existe
nenhuma outra alocação factível Y tal que Y é Pareto superior a X
7
4.2 Curva de contrato ou curva de Pareto
• Curva de contrato ou curva de Pareto: conjunto de todas as alocações Pareto-eficientes
Exercício 1 Represente na Caixa de Edgeworth a curva de contrato da economia do ex.1
• Curva de contrato determinada exclusivamente pelas:
— a) estruturas de preferências dos indivíduos (funções utilidades): uA (x1A, x2A) , uB (x1B, x2B)
— b) oferta agregada dos bens: ω1 = ω1A + ω1B , ω2 = ω2A + ω2B
• Curva de contrato depende da alocação da dotação inicial W = ((ω1A, ω2A) , (ω1B, ω2B))
apenas na medida em que esta alocação determina a oferta agregada de cada bem da
economia
• Conceito de Pareto-eficiência independe de qualquer julgamento de valor quanto à
distribuição da riqueza de economia (dotação total dos bens) entre os indivíduos
• Pergunta: Seja Y uma alocação Pareto-ineficiente e X uma alocação Pareto-eficiente.
Então, a alocação X proporciona a todos os indíviduos um bem-estar maior ou igual
à alocação Y?
8
4.3 Interpretação Matemática da Curva de Contrato com Preferências Bem
Comportadas
• Suponha uma economia sem externalidades
• Suponha N=2 (indivíduos A e B)
• Suponha preferências bem comportadas e forte monotonicidade, representadas pelas
funções de utilidade
uA = uA(x1A, x
2
A)
uB = uB(x1B, x
2
B)
• Seja X = ((x1A, x2A) , (x1B, x2B)) uma alocação Pareto-eficiente no interior da caixa de Edge-
worth, ou seja,
x1A > 0, x
2
A > 0, x
1
B > 0, x
2
B > 0
• A taxa marginal de substituição na cesta (x1A, x2A) é o valor absoluto da inclinação da
curva de indiferença do indivíduo A que passa por (x1A, x2A) :
TMSA
¡
x1A, x
2
A
¢
=
∂uA(x1A,x
2
A)
∂x1A
∂uA(x1A,x
2
A)
∂x2A
• A taxa marginal de substituição na cesta (x1B, x2B) é o valor absoluto da inclinação da
curva de indiferença do indivíduo B que passa por (x1B, x2B) :
TMSB
¡
x1B, x
2
B
¢
=
∂uB(x1B ,x
2
B)
∂x1B
∂uB(x1B ,x
2
B)
∂x2B
• Consequentemente, a alocação factível X é Pareto-eficiente quando
TMSA
¡
x1A, x
2
A
¢
= TMSB
¡
x1B, x
2
B
¢
(1)
• Qual a intuição deste resultado?
• E se X = ((x1A, x2A) , (x1B, x2B)) é uma alocação Pareto-eficiente na fronteira da caixa de
Edgeworth?
9
4.4 Derivação Matemática da Curva de Contrato
• Vamos provar formalmente o resultado (1)
Proposition 1 • Suponha umaeconomia sem externalidades
• Suponha N=2 (indivíduos A e B)
• Suponha preferências bem comportadas e forte monotonicidade
• Seja ((y1A, y2A) , (y1B, y2B)) uma alocação Pareto-eficiente no interior da caixa de Edgeworth,
ou seja,
y1A > 0, y
2
A > 0, y
1
B > 0, y
2
B > 0
• Esta alocação ((y1A, y2A) , (y1B, y2B)) é Pareto-eficiente se e somente se¡¡
y1A, y
2
A
¢
,
¡
y1B, y
2
B
¢¢
= arg max
((x1A,x2A),(x1B ,x2B))
uA(x1A, x
2
A) (2)
sujeito às restrições:
uB(x1B, x
2
B) ≥ uB
¡
y1B, y
2
B
¢
(3)
x1A + x
1
B = ω
1 = ω1A + ω
1
B (4)
x2A + x
2
B = ω
2 = ω2A + ω
2
B (5)
• Alocação ((y1A, y2A) , (y1B, y2B)) resolve o problema de max.(2) =⇒ Alocação ((y1A, y2A) , (y1B, y2B))
satisfaz cond. marg deste problema. Que condição?
• Primeiro, observe que, com forte monotonicidade, solução do prob. de max.(2) fica
inalterada com igualdade na restrição (3)
• Lagrangeano do prob. de max.(2):
L
¡
x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, λ, µ1, µ2
¢
= uA(x
1
A, x
2
A)− λ
¡
uB(x
1
B, x
2
B)− uB
¡
y1B, y
2
B
¢¢
−µ1
¡
x1A + x
1
B − ω1
¢
− µ2
¡
x2A + x
2
B − ω2
¢
onde λ, µ1 e µ2 são multiplicadores de Lagrange
• Condições marginais de primeira ordem:
∂L (y1A, y
2
A, λ)
∂x1A
=
∂uA(y1A, y
2
A)
∂x1A
− µ1 = 0 (6)
∂L (y1A, y
2
A, λ)
∂x2A
=
∂uA(y1A, y
2
A)
∂x2A
− µ2 = 0 (7)
∂L (y1A, y
2
A, λ)
∂x1B
= −λ∂uB(y
1
B, y
2
B)
∂x1B
− µ1 = 0 (8)
∂L (y1A, y
2
A, λ)
∂x2B
= −λ∂uB(y
1
B, y
2
B)
∂x2B
− µ2 = 0 (9)
10
• De (6) e (7), segue que
∂uA(y1A, y
2
A)
∂x1A
Á
∂uA(y1A, y
2
A)
∂x2A
=
µ1
µ2
(10)
• De (8) e (9), segue que
∂uB(y1B, y
2
B)
∂x1B
Á
∂uB(y1B, y
2
B)
∂x2B
=
µ1
µ2
(11)
• Igualando (10) e (11) e usando a definição de taxa marginal de substituição, segue
que
TMSA
¡
y1A, y
2
A
¢
=
∂uA(y1A, y
2
A)
∂x1A
Á
∂uA(y1A, y
2
A)
∂x2A
(12)
=
∂uB(y1B, y
2
B)
∂x1B
Á
∂uB(y1B, y
2
B)
∂x2B
= TMSB
¡
y1B, y
2
B
¢
• Com preferêcias bem comportadas, se ((y1A, y2A) , (y1B, y2B)) é Pareto-eficiente, então esta
alocação satisfaz as condições de factibilidade (4) e (5) e a condição marginal (12)
• A recíproca também é verdadeira com preferências bens comportadas: se ((y1A, y2A) , (y1B, y2B))
satisfaz as condições de factibilidade (4) e (5) e a condição marginal (12), então ela é
Pareto-eficiente
11