Nota de Aula 18 -

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DEPARTAMENTO DE ECONOMIA / PUC-Rio
Microeconomia II
Prof. Marcos Antonio C. da Silveira
Nota de Aula 18:
Teoria do Equilíbrio Geral em
Concorrência Perfeita com Produção
Bibliografia: Varian, cap. 32, nona edição
1 Eficiência de Pareto
1.1 Alocação Eficiente de Pareto
Definição 1 Numa economia com produção, uma alocação é um vetor¡
x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, L
1,K1, L2, K2
¢
que especifica:
• quanto cada indivíduo consome de cada bem: x1A, x2A, x1B, x2B
• quanto cada firma emprega de cada insumo: L1,K1, L2, K2
Definição 2 Uma alocação qualquer¡
x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, L
1,K1, L2, K2
¢
é factível quando
L1 + L2 ≤ LA + LB
K1 +K2 ≤ KA +KB
x1A + x
1
B ≤
y1z }| {
F 1
¡
L1, K1
¢
x2A + x
2
B ≤
y2z }| {
F 2
¡
L2, K2
¢
1
Definição 3 Uma alocação factível¡
x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, L
1,K1, L2, K2
¢
é eficiente de Pareto quando não existe uma outra alocação factível³
x˜1A,x˜
2
A,x˜
1
B,x˜
2
B,L˜
1,K˜1,L˜2,K˜2
´
tal que ocorre um dos seguintes casos:
1. Bem-estar de A e B aumentam:
uA(x˜
1
A,x˜
2
A) > uA(x
1
A, x
2
A)
uB(x˜1B,x˜
2
B) > uB(x
1
B, x
2
B)
2. Bem-estar de A aumenta e bem-estar de B fica constante:
uA(x˜1A,x˜
2
A) > uA(x
1
A, x
2
A)
uB(x˜1B,x˜
2
B) = uB(x
1
B, x
2
B)
3. Bem-estar de B aumenta e bem-estar de A fica constante:
uA(x˜1A,x˜
2
A) = uA(x
1
A, x
2
A)
uB(x˜1B,x˜
2
B) > uB(x
1
B, x
2
B)
Definição 4 A curva de Pareto é o conjunto de todas as alocações eficientes de Pareto
• A curva de contrato depende exclusivamente...
— das dotações totais iniciais dos insumos: LA + LB, KA +KB
— das funções de produção
— das preferências dos indivíduos A e B
2
1.2 Caracterização Matemática das Alocações Eficientes de Pareto
• Considere uma economia com preferências e tecnologias bem comportadas: monó-
tonas, contínuas, convexas, suaves
• Ignorando casos de fronteira, uma alocação qualquer¡
x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, L
1, K1, L2,K2
¢
é eficiente de Pareto se e somente se satisfaz as seguintes condições:
Condições de factibilidade (monotonicidade =⇒ pleno uso dos fatores) :
L1 + L2 = LA + LB
K1 +K2 = KA +KB
x1A + x
1
B =
y1z }| {
F 1
¡
L1, K1
¢
x2A + x
2
B =
y2z }| {
F 2
¡
L2, K2
¢
Condições marginais de eficiência de Pareto :
1. Condição Marginal de Eficiência no Consumo:
TMgSA(x1A,x2A)z }| {
∂uA (x1A, x
2
A)
∂x1A
Á
∂uA (x1A, x
2
A)
∂x2A
=
TMgSB(x1B ,x2B)z }| {
∂uB (x1B, x
2
B)
∂x1B
Á
∂uB (x1B, x
2
B)
∂x2B
(1)
2. Condição Marginal de Eficiência na Produção:
TMST1(L1,K1)z }| {
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
=
TMST 2(L2,K2)z }| {
∂F 2 (L2, K2)
∂L2
Á
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
(2)
3. Condição Marginal de Eficiência entre Consumo e Produção:
TMgSA(x1A,x2A)z }| {
∂uA (x1A, x
2
A)
∂x1A
Á
∂uA (x1A, x
2
A)
∂x2A
=
TMgSB(x1B ,x2B)z }| {
∂uB (x1B, x
2
B)
∂x1B
Á
∂uB (x1B, x
2
B)
∂x2B
(3)
=
TMT(y1,y2)z }| {
∂F 2 (L2,K2)
∂K2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂K1
=
TMT(y1,y2)z }| {
∂F 2 (L2,K2)
∂L2
Á
∂F 1 (L1,K1)
∂L1
3
1.3 DerivaçãoMatemática das CondiçõesMarginais de Eficiência de Pareto
• Uma alocação
Z =
¡
x1A,x
2
A,x
1
B,x
2
B,L
1,K1,L2,K2
¢
é eficiente de Pareto se e somente Z resolve o problema de maximização abaixo:
max
(x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, , L1, K1, L2,K2)
uA(x1A, x
2
A) (4)
sujeito a
uB(x1B, x
2
B) = uB(x
1
B,x
2
B) (5)
L1 + L2 = LA + LB (6)
K1 +K2 = KA +KB (7)
x1A + x
1
B =
y1z }| {
F 1
¡
L1,K1
¢
(8)
x2A + x
2
B =
y2z }| {
F 2
¡
L2,K2
¢
(9)
• Lagrangeano do problema de max (4) s.a. (5)-(9):
$
¡
x1A, x
2
A, x
1
B, x
2
B, L
1,K1, L2, K2, λ, µ1, µ2, β1, β2
¢
= uA(x1A, x
2
A)− λ
£
uB(x1B, x
2
B)− uB(x1B,x2B)
¤
−µ1
£
x1A + x
1
B − F 1
¡
L1, K1
¢¤
−µ2
£
x2A + x
2
B − F 2
¡
L2, K2
¢¤
−βL
£
L1 + L2 − LA − LB
¤
−βK
£
K1 +K2 −KA −KB
¤
onde λ, µ1, µ2, β1, β2 são os multiplicadores de Lagrange
4
• Condições marginais de primeira ordem:
∂$
∂x1A
=
∂uA(x1A,x
2
A)
∂x1A
− µ1 = 0 (10)
∂$
∂x2A
=
∂uA(x1A,x
2
A)
∂x2A
− µ2 = 0 (11)
∂$
∂x1B
= −λ∂uB(x
1
B,x
2
B)
∂x1B
− µ1 = 0 (12)
∂$
∂x2B
= −λ∂uB(x
1
B,x
2
B)
∂x2B
− µ2 = 0 (13)
∂$
∂L1
= µ1
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂L1
− βL = 0 (14)
∂$
∂K1
= µ1
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂K1
− βK = 0 (15)
∂$
∂L2
= µ2
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂L2
− βL = 0 (16)
∂$
∂K2
= µ2
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂K2
− βK = 0 (17)
• Condição marginal para o consumo (derivação da condição (1)):
— Eqs.(10) e (11) =⇒
TMgSA
¡
x1A,x
2
A
¢
=
∂uA(x1A,x
2
A)
∂x1A
Á
∂uA(x1A,x
2
A)
∂x2A
=
µ1
µ2
(18)
— Eqs.(12) e (13) =⇒
TMgSB
¡
x1B,x
2
B
¢
=
∂uB(x1B,x
2
B)
∂x1B
Á
∂uB(x1B,x
2
B)
∂x2B
=
µ1
µ2
(19)
— Eqs.(18) a (19) =⇒
TMgSA
¡
x1A,x
2
A
¢
= TMgSB
¡
x1B,x
2
B
¢
(1)
5
• Condição marginal para a produção (derivação da condição (2))::
— Eqs.(14) e (15) =⇒
TMST 1
¡
L1,K1
¢
=
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂L1
,
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂K1
=
βL
βK
(20)
— Eqs.(16) e (17) =⇒
TMST 2
¡
L1,K1
¢
=
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂L2
,
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂K2
=
βL
βK
(21)
— Eqs.(20) e (21) =⇒
TMST 1
¡
L1,K1
¢
= TMST 2
¡
L2,K2
¢
(2)
• Condição marginal entre consumo e produção (derivação da condição (3)):
— Eqs.(14) e (16) =⇒
TMT
¡
y1,y2
¢
=
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂L2
,
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂L1
=
µ1
µ2
(22)
— Eqs.(15) e (17) =⇒
TMT
¡
y1,y2
¢
=
∂F 2
¡
L2,K2
¢
∂K2
,
∂F 1
¡
L1,K1
¢
∂K1
=
µ1
µ2
(23)
• Eqs.(18), (19), (22) e (23) =⇒
TMgSA
¡
x1A,x
2
A
¢
= TMgSB
¡
x1B,x
2
B
¢
= TMT
¡
y1,y2
¢
(3)
• Com preferências e tecnologias bem comportadas (monótonas, contínuas, con-
vexas, suaves), pode-se afirmar que...
— as condições marginais de eficiência de Pareto [eqs.(1), (2) e (3)] e...
— as restrições de factibilidade [eqs.(6) a (9)]....
são, além de necessárias, também suficientes para Z resolver o problema de max (4)
s.a. (5)-(9)
• Consequententemente, uma alocação é eficiente de Pareto se e somente se for
factível e satisfizer as condições marginais de eficiência de Pareto
6