concreto armado1-USP+Prof José Samuel Giongo

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
SET 409 – Estruturas de Concreto Armado I 
Turma 2 - 2006 
 
 
 
 
Concreto Armado: 
Dimensionamento de elementos estruturais fletidos 
submetidos a ação de momento fletor 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São Carlos, 13 Abril de 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
Este texto apresenta a rotina para o dimensionamento de elementos estruturais 
fletidos submetidos à ação de momento fletor com as hipóteses do Estado Limite 
Último. Os elementos estruturais fletidos são as vigas e as lajes, porém neste texto são 
analisados os elementos lineares (vigas). 
No programa da disciplina estuda-se a capacidade resistente das seções 
transversais de vigas submetidas ação de momento fletor. Em outra oportunidade 
serão analisados os critérios para verificar a capacidade resistente dos elementos 
estruturais lineares fletidos com relação à ação de força cortante. 
Este trabalho baseia-se em análises dos conceitos e termos apresentados na 
NBR 6118:2003 – Projeto de estruturas de concreto (ABNT, 2004), que norma de 
Procedimento. 
 Colaboraram na elaboração deste texto o Engenheiro Rodrigo Gustavo 
Delalibera, pós-graduando – doutorado e Walter Luiz de Andrade Oliveira, pós-
graduando – doutorado, neste primeiro semestre de 2005 participante do Plano de 
Aperfeiçoamento de Ensino, na disciplina SET 404 – Estruturas de Concreto A, com 
orientação da Professora Ana Lúcia Homce de Cresci El Debs. Colaborou, também, o 
Engenherio Petrus Vinicius Silveira Daniel, na época aluno de graduação e monitor da 
disciplina SET 404, que elaborou os desenhos do texto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
1
1. Introdução 
(13 de Abril de 2006) 
 
A segurança de elementos estruturais fletidos é verificada segundo os critérios 
indicados na NBR 6118:2003 com relação aos estados limites último e de serviço. Os 
elementos estruturais submetidos à flexão simples são solicitados por tensões normais 
oriundas da ação de momento fletor e tensões tangenciais por conta da ação de força 
cortante. Para efeito da verificação da resistência das seções transversais submetidas 
a esses esforços solicitantes é possível, e os códigos normativos permitem verificar 
cada um separadamente. Este capítulo estuda os critérios para dimensionamento de 
seções transversais de vigas de concreto armado solicitadas por momento fletor. 
Os momentos fletores solicitantes são equilibrados por momentos resistentes 
gerados por binários cujas forças, uma de tração e outra de compressão, são as 
resultantes de tensões normais. 
Como o material concreto resiste a tensões de tração de pequena intensidade, 
com pouca capacidade de deformação, na região tracionada delimitada pela linha 
neutra da seção transversal, e posicionada próximo da borda tracionada, há 
necessidade de dispor barras de aço com resistência suficiente para compor o tirante 
cuja resultante equilibra a resultante de compressão. 
Considere-se a viga biapoiada indicada na figura 1, submetida a ação de forças 
uniformemente distribuída e concentrada com o respectivo diagrama de momentos 
fletores. A segurança estrutural precisa ser verificada para cada seção transversal, 
inclusive para as seções de apoio onde os momentos fletores são iguais à zero, 
conforme será estudado, pois há necessidade de se verificarem as áreas de armaduras 
necessárias para a correta ancoragem das barras. 
Considere-se a seção transversal da viga da figura 1 que está submetida à ação 
do momento fletor de maior intensidade e para esta seção verificam-se as condições 
de segurança com as hipóteses do estado limite último. Entende-se que se os valores 
das resistências e deformações últimas dos materiais forem atingidas sob ação do 
momento fletor atuante, o elemento estrutural terá uma situação de ruína, de colapso, 
ou seja, deixará de cumprir a sua finalidade estrutural. A ruína pode se dar de modo 
real, desintegração de uma seção transversal formando um mecanismo hipoestático, 
no caso de viga biapoiada, ou de modo convencional, quando as resistências e 
deformações do concreto e das barras de aço atingem valores convencionais definidos 
por normas, aquém dos valores últimos reais. 
Na figura 1 nota-se que a viga é apoiada sobre os pilares, sem ligação monolítica 
entre os elementos estruturais, pois há a colocação sobre os pilares de aparelhos de 
apoio em neoprene, que permitem giros da viga nos apoios, o deslocamento horizontal 
da viga e os pilares não permitem deslocamentos verticais. 
O objetivo a seguir é escrever as equações que representem as condições de 
equilíbrio de uma seção transversal e, por meio delas, determinar a sua capacidade 
resistente quando solicitada por momento fletor. Com as equações deduzidas e 
mediante análise das indicações da NBR 6118:2003 desenvolver-se-á rotina de projeto 
de vigas de concreto armado sob ação de momento fletor. 
 
2. Hipóteses de cálculo 
 
Considere-se a seção transversal mais solicitada da viga da figura 1 submetida ao 
momento fletor Mk, determinado considerando as ações atuantes e as condições de 
contorno. 
No estado limite último a segurança da seção transversal é verificada majorando-
se o valor do momento fletor característico Mk por um coeficiente de majoração das 
solicitações γf e, minorando as resistências características dos materiais por 
coeficientes de ponderação dos materiais. Assim a resistência característica à 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 2
compressão do concreto precisa ser divida pelo coeficiente γc e a resistência 
característica à tração das barras de aço é divida por γs, que são iguais a 1,4 e 1,15, 
respectivamente. 
 
Vd
Md
Md
Fd
Mk
FkP01 P02
V01 (bw x h)
V02
bw
a b
L
(g+q)1
Md
(g+q)2
h
 
Figura 1 - Viga biapoiada solicitada por momento fletor 
 
A figura 2 ilustra a idéia de verificação da segurança e dimensionamento da seção 
transversal, onde se vê que a solicitação é majorada e os valores das resistências 
características dos materiais são minoradas. 
Resistêcias dos materiais
Dimensionamento
Verificação da Segurança
Solicitações Características
fcd 
Mk
gf
fyd
gc gs
fck fyk
Md
 
Figura 2 - Condições de segurança para o dimensionamento 
 
A condição de segurança, com relação a seção transversal, especificada pela 
NBR 8681:2003, é que a solicitação de cálculo Sd precisa ser menor ou igual que a 
resistência de cálculo Rd. No caso de seção transversal submetida a momento fletor 
solicitante de cálculo a verificação da segurança é dada por: 
 
MSd = γf ⋅ Mk ≤ MRd [1] 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
3
 
O valor do momento resistente de cálculo (MRd) é determinado considerando as 
forças resultantes das tensões de compressão no concreto, situado entre a borda 
comprimida e a linha neutra, de área (Acc), das tensões de compressão nas barras da 
armadura (Asc) e das tensões de tração nas barras da armadura de tração (Ast). As 
resultantes das forças de compressão e a força de tração formam o binário interno que 
gera o momento resistente. 
A figura 5 mostra uma seção transversal retangular de viga de concreto armado 
submetida a ação de momento fletor de cálculo (MSd), com intensidade máxima no 
tramo, conforme figura 1. São desenhados, também, os digramas de deformações, de 
tensões no concreto com distribuições parábola retângulo e retangular com as 
resultantes.As hipóteses básicas indicadas na NBR 6118:2003 para determinação do 
momento fletor resistente são: 
 - as seções transversais consideradas planas antes da deformação por ação do 
momento fletor se mantêm planas após a deformação; 
- a deformação das barras passivas submetidas a tração ou compressão é a 
mesma do concreto em seu entorno, que é a hipótese básica da existência do concreto 
armado; 
- as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser 
desprezadas, por ser pequena a sua contribuição no estado limite último; 
- a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola 
retângulo da figura 3 com tensão máxima igual a 0,85 fcd, com fcd calculado pela 
expressão 2. 
 
fck
O
A B
DC
vc
(MPa)
(‰)
3,5‰2‰
fcd
sc
 
Figura 3 - Diagrama tensão - deformação do concreto 
 
c
ck
cd
ff
γ
= [2] 
 
sendo, fck a resistência característica à compressão do concreto. 
O diagrama da figura 3, indicado na NBR 6118:2003, apresenta o trecho OA em 
que a tensão varia com a deformação segundo a expressão 3: 
 













 −−⋅=
2
c
cdcd 2‰
ε
11f0,85σ [3] 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 4
O coeficiente 0,85 é o produto de três outros que levam em conta a perda de 
resistência por solicitação mantida ao longo do tempo (Efeito Rüsch) igual a 0,75, o 
ganho de resistência do concreto ao longo do tempo por conta da reação química do 
cimento igual a 1,2 e, por último, o coeficiente 0,95 que considera a relação entre 
resistência do concreto na estrutura e a medida em corpos-de-prova moldados no dia 
da moldagem da estrutura. 
O diagrama parábola retângulo pode ser substituído pelo diagrama retangular de 
tensões com altura calculada por: 
 
y = 0,8 . x [4] 
 
sendo x igual a profundidade da linha neutra. 
 
A tensão na borda mais comprimida a considerar nas verificações de segurança 
da seção transversal é igual a, conforme indicação da NBR 6118:2003: 
 
- σcd = 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, 
não diminuir a partir desta para a borda comprimida; 
 
- σcd = 0,80 fcd em caso contrário; 
 
O diagrama retangular substitui o diagrama parábola retângulo para facilitar o 
cálculo da força resultante. No caso do diagrama parábola retângulo há necessidade 
de adotar integração para determinar a área. As diferenças não são significativas e 
podem ser aceitas sem prejuízo dos resultados. 
A tensão nas barras das armaduras pode ser obtida a partir do diagrama tensão-
deformação, com valores de cálculo, conforme figura 4. 
 
Es
vyd
fyk
fyd
ss
vuk = 10‰
(‰)vs
(MPa)
 
Figura 4 - Diagrama tensão - deformação para as barras de aço 
 
O estado limite último é definido quando a distribuição das deformações na seção 
transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 7. Lembra-se que as 
deformações não podem ser adotadas maiores do que 3,5‰ para o concreto quando 
comprimido exclusivamente por ação de momento fletor e 10‰ nas barras de aço. 
 
3. Análise da resistência da seção transversal 
 
As equações de equilíbrio são escritas considerando que as forças resultantes 
das tensões internas se equilibram e, que os momentos destas forças calculados em 
relação a um pólo escolhido estão em equilíbrio com o momento solicitante de cálculo. 
 A figura 5 mostra a força resultante das tensões no concreto Rcc, a força 
resultante das tensões nas barras da armadura comprimida (Rsc) de área Asc e a força 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
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resultante das tensões nas barras da armadura tracionada (Rst) de área Ast. A largura 
da alma da viga é bw, h é altura e d é a altura útil, ou seja, a distância da borda 
comprimida até ao centro geométrico das barras da armadura tracionada, x é a medida 
da profundidade da linha neutra, sempre medida a partir da borda comprimida, y é a 
altura do diagrama retangular de tensões de compressão e d’ é a distância dos centros 
das barras das armaduras até a borda mais próxima. Portanto, d’ é a soma do 
cobrimento, da espessura do estribo e metade do diâmetro da barra da armadura 
longitudinal à qual se refere d’. 
 
Ast
d´
d h
x
vst
vcc
Md
Asc
scd
sst Rst
Rcc
Rsc
y/2
L.N.
bw
Md
scd
d´
0,2x
y/2
 
Figura 5 - Seção transversal retangular – momento fletor resistente 
 
Assim, para as forças internas pode-se escrever a expressão 5. 
 
stsccc RRR =+ [5] 
 
Considerando o equilíbrio dos momentos das forças resultantes internas em 
relação ao ponto de aplicação da força resultante das tensões nas barras de tração, 
distante a altura útil (d) da borda comprimida, com o momento solicitante de cálculo 
(MSd = Md) pode-se escrever: 
 
[ ]d'dR
2
ydRM scccd −+


 −= [6] 
 
A área de concreto comprimido pode ser calculada pela expressão 7, 
considerando o diagrama retangular de tensões (ver figura 5), e, substituindo a altura 
deste diagrama pela expressão 4: 
 
x0,8bA wcc ⋅⋅= [7] 
 
A força resultante das tensões de compressão no concreto é dada por 8: 
 
cdcccc .σAR = [8] 
 
A força resultante nas barras da armadura de compressão posicionada próxima 
da borda comprimida, distante desta a medida d’, é calculada pela expressão 9: 
 
scscsc .σAR = [9] 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 6
A força resultante nas barras da armadura de tração posicionada na região 
tracionada da viga com altura útil d, distância da borda comprimida até o centro 
geométrico das barras desta armadura, é calculada pela expressão 10: 
 
ststst .σAR = [10] 
 
Substituindo a expressão 7 em 8 e fazendo σcd = 0,85 fcd obtem-se: 
 
cdwcc f0,85x0,8bR ⋅⋅⋅⋅= [11] 
 
ou, efetuando o produto, resulta: 
 
cdwcc fxb0,68R ⋅⋅⋅= [12] 
 
3.1. Compatibilidade de deformações 
 
Considerando a proporcionalidade entre os lados dos triângulos retângulos no 
diagrama de deformações, pode-se escrever a expressão 13 que relaciona a posição 
da linha neutra (x), a altura útil (d) e as deformações na borda mais comprimida, nos 
centros de gravidade das barras das armaduras comprimida e tracionada. 
 
xd
ε
dx
ε
x
ε st
'
sccc
−−
== [13] 
 
Considerando: 
 
d
xβx = [14] 
 
que é o valor da posição relativa da linha neutra em relação a altura útil (d) e, 
multiplicando membro a membro os denominadores da expressão 13 por 1/d, vem: 
 
x
st
x
sc
x
cc
β1
ε
d
d'β
ε
β
ε
−
−
==
 [15] 
 
3.2 Equações de equilíbrio 
 
 A expressão 12 pode ser escrita como segue. 
 
cdwcc fd
dxb0,68R ⋅⋅⋅⋅= [16] 
 
Substituindo 14 em 16 resulta: 
 
cdxwcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= [17] 
 
Substituindo as expressões 17, 9 e 10 em 5, vem: 
 
ststscsccdxw .σA.σA.f.d.β0,68.b =+ [18] 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
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que é a expressão que relaciona a força resultante das tensões no concreto, a 
força resultante das tensões nas barras da armadura comprimida e a força resultante 
das tensões nas barras da armadura tracionada. As forças resultantes nas barras estão 
escritas em função das suas áreas e das respectivas tensões. A força no concreto foi 
escrita considerando a resistência de cálculo à compressão do concreto, a largura da 
alma da viga (bw), a altura útil (d) e a posição relativa da linha neutra (βx). 
Substituindo as expressões 17 e 9 em 6, e usando a expressão 4, vem: 
 
[ ] [ ]d'd.σA0,4β1.f.d.β0,68.bM scscxcd2xwd −+−= [19] 
 
Esta expressão relaciona o módulo do momento fletor solicitante com os 
momentos da resultante de compressão e da resultante das tensões nas barras da 
armadura comprimida. 
 
3.3. Balanço do número de Equações e IncógnitasSupondo que as dimensões das seções transversais sejam conhecidas têm-se 
duas equações de equilíbrio (18 e 19) e duas outras que relacionam as deformações 
(13), totalizando quatro equações. As incógnitas são: x (βx), Asc, Ast, σsc dependente da 
deformação nas barras comprimidas (εsc) e σst dependente da deformação nas barras 
tracionadas (εst), pois os diagramas tensão – deformação das barras de aço são 
conhecidos. 
Assim, têm-se cinco (5) incógnitas e quatro (4) equações. 
Para verificar-se a segurança da seção transversal, ou seja, determinar se o 
momento fletor resistente de cálculo é maior ou igual que o momento fletor solicitante 
de cálculo é necessário adotar uma das incógnitas. Conhecendo-se as deformações e, 
portanto, as tensões, ficam para serem determinadas a posição da linha neutra e as 
áreas das armaduras (duas). Como solução pode ser adotada a posição relativa da 
linha neutra que, para isto, precisa garantir as condições de segurança da seção 
transversal e, assim, determinar as duas incógnitas que são as áreas das armaduras. 
 
3.4 Equações constitutivas dos materiais 
 
A NBR 6118:2003 indica os diagramas tensão – deformação do concreto (figura 
3) e das barras de aço para serem adotados na verificação dos estados limites últimos. 
As considerações indicadas no diagrama para as barras de aço da figura 4 podem ser 
aplicadas para os aços nacionais indicados na NBR 7480:1996 resultando os 
diagramas indicados na figura 6 para os aços das categorias CA-25, CA-50 e CA-60. 
 
10
(MPa)ss
vs (‰)
fyk
1,03
217
CA-25
2,07
435
fyk
ss (MPa)
(‰)
CA-50
10
vs
2,49
522
fyk
ss (MPa)
(‰)
CA-60
10
vs
Figura 6 - Diagramas tensão-deformação para os aços da NBR 7480:1996 
 
As deformações últimas dos materiais a serem consideradas no cálculo são, 
portanto: 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 8
 
- no concreto, nos casos de elementos estruturais submetidos a flexão simples; 
 
3,5‰εε cucc == [20] 
 
- nas barras de aço tracionadas; 
 
10‰εε sust == [21] 
 
Para as barras de aço tracionadas a deformação é limitada a esse valor para que 
as aberturas das fissuras fiquem controladas para evitar danos ao elemento estrutural. 
 
3.5 Domínios de deformações 
 
Considera-se então que, se esses valores das deformações no concreto e nas 
barras tracionadas forem atingidos, isolados ou simultaneamente, ocorrerá ruína 
(colapso) da viga, ou seja, a viga atingirá um estado limite último convencional, que 
pode ser por: 
 
- deformação plástica das barras tracionadas, e exclusivamente, quando a 
deformação for de 10‰, com deformação no concreto na borda comprimida de 
qualquer valor entre 0 e menor do que 3,5‰. Estas situações de deformações 
definem o domínio 2 de deformações; 
 
- deformação plástica das barras tracionadas, variando entre εyd e 10‰ com 
simultânea ruptura do concreto (3,5‰), que é o domínio 3; 
 
- ruptura do concreto (3,5‰), e exclusivamente, isto é com deformação nas barras 
de aço maior do que εyd e menor ou igual a zero (0), sendo este o domínio 4. 
 
A deformação nas barras da armadura tracionada (εst), segundo o diagrama 
tensão – deformação que representa a lei constitutiva do material aço, varia entre 0 e 
εyd que é a deformação de escoamento, região em que vale a Lei de Hooke, e entre εyd 
e 10‰, limite superior convencionado pelas normas brasileiras e estrangeiras para 
limitar os valores das aberturas das fissuras. A figura 6 mostra os diagramas tensão – 
deformação das barras de aço para concreto armado indicados na NBR 7480:1996, 
onde são indicados os valores das resistências características e de cálculo e as 
deformações de escoamento que são, também, as de limite de proporcionalidade. 
A figura 7 apresenta as três condições possíveis para escolha das deformações 
na borda comprimida do concreto e no centro de geométrico das barras da armadura 
de tração, sendo claro que a deformação no centro geométrico das barras da armadura 
comprimida depende das outras duas deformações, de tal modo que as condições do 
diagrama de deformações permitem o cálculo. 
O projetista pode, portanto, adotar qualquer uma das infinitas condições possíveis 
para a posição da linha neutra, em qualquer um dos domínios de deformações. A 
decisão de projeto a ser tomada é no sentido de atender outros parâmetros, tais como, 
seguir as dimensões da seção transversal inicialmente adotadas no projeto de 
arquitetura e de menor consumo de material, etc. 
 Analisando as infinitas posições que a linha neutra pode ocupar, para garantir o 
equilíbrio da seção transversal e, portanto, segurança com relação ao estado limite 
último, percebe-se que no: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
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 domínio 2 - as barras de aço ficam solicitadas com a deformação última 
convencional (10‰) e a deformação na borda comprimida pode ter valores variando 
entre zero inclusive e 3,5‰ exclusive, ou seja, sem atingir a deformação ultima 
convencional no concreto (ver figura 7). Neste caso de domínio 2 a capacidade 
resistente do concreto fica pouco aproveitada; 
 
 domínio 3 - para qualquer posição da linha neutra a deformação na borda 
comprimida é adotada igual a 3,5‰ e a deformação das barras podem variar entre a 
deformação de escoamento εyd e a última convencional de 10‰. Ao adotar no projeto 
de viga a posição limite superior da linha neutra no domínio 3 estão sendo 
consideradas as capacidades máximas permitidas de deformações dos materiais. É, 
portanto, a solução que atende as condições de economia de materiais; 
 
 domínio 4 - a deformação na borda comprimida é adotada igual a 3,5‰ e as 
deformações nas barras de aço podem variar entre zero inclusive e εyd exclusive. Não 
é, portanto, uma solução adequada, embora possível em termos de segurança 
estrutural, pois, as barras de aço ficam com deformações aquém da sua capacidade de 
deformação e, por conseguinte, pouco aproveitadas, com grande área de barras e não 
atendendo fator econômico de projeto. 
 
 A decisão na escolha da posição da linha neutra e, portanto, do domínio de 
deformações dependerá de cada projeto de viga em particular entendendo que, se 
possível, será adotado o domínio 3 (βx34) por questão de melhor aproveitamento dos 
materiais. 
 
3.5.1 Limites para os valores da linha neutra nos três domínios de deformações 
 
Os limites para os valores da linha neutra entre os três domínios de deformações 
que regem os elementos estruturais submetidos a flexão simples podem ser calculados 
pela expressão 13, considerando as primeira e a terceira frações: 
 
x
st
x
cc
β1
ε
β
ε
−
= [22] 
 
e, multiplicando o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda e 
o denominador da primeira pelo numerador da segunda e, explicitando βx, resulta a 
expressão que relaciona a posição relativa da linha neutra com as deformações do 
concreto na borda comprimida (εcc) e nas barras tracionadas da armadura (εst). 
 
stcc
cc
x εε
ε
d
xβ
+
== [23] 
 
 Com a expressão 23 é possível determinar as posições limites da linha neutra 
para os domínios 2 e 3 e 3 e 4. 
A posição relativa limite da linha neutra entre os domínios 2 e 3 depende do valor 
último convencional da deformação na borda comprimida do concreto que é igual a εcc 
= εcu = 3,5‰, e a deformação de escoamento das barras é igual a deformação última 
convencional de 10‰, resultando a expressão 24: 
 
0,259=
10+3,5
3,5
=βx23 [24] 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 10
 
Para o cálculo do valor de βx34 considera-se εcc = εcu = 3,5‰ e εst = εyd que é 
função da categoria das barras de aço, indicadas na NBR 7480:1996. Os digramas 
tensão - deformação dos aços para concreto armado adotados no Brasil são os 
indicados na figura 6, cujos valores das resistências de escoamento de cálculo são 
iguais às resistênciascaracterísticas à tração divididas pelo coeficiente de minoração 
das resistências igual a 1,15. 
Retomando a expressão 22 vem: 
 
yd
x34 ε3,5
3,5β
+
= [25] 
 
 Analisando a figura 6 pode-se determinar os valores de εyd que resultam iguais a: 
 
 CA-25 → εyd = 1,03‰ [26] 
 
 CA-50 → εyd = 2,07‰ [27] 
 
 CA-60 → εyd = 2,49‰ [28] 
 
 que, substituindo-os na expressão 25, determinam-se os valores das posições 
relativas limites entre os domínios 3 e 4 considerando as categorias das barras de aços 
nacionais, resultando: 
 
0,772β25CA x34 =→− [29] 
 
0,628β50CA x34 =→− [30] 
 
0,585β60CA x34 =→− [31] 
 
 Esses limites podem orientar os valores adotados em projetos de vigas de 
concreto armado desde que não ultrapassem os valores da profundidade relativa da 
linha neutra indicados na NBR 6118:2003 e, neste texto, no item 4 (seguinte), quando 
se tratarem de seções transversais de apoio de vigas contínuas ou de seção que 
pertençam a ligações entre elementos estruturais (nós de pórticos). 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
11
10
s
s
v
s
(‰
)
fyd
s
s
(‰
)
10
v
s
s
s
(‰
)
10
v
s
v
yd
fyd
v
yd
v
yd
fyd
10
‰
3,
5‰
2
x2
3
10
‰
3,
5‰ 3
v
yd
x3
4
v
yd
4
3,
5‰
d
h
bo
rd
a 
in
fe
rio
r
bo
rd
a 
su
pe
rio
r
D
ef
or
m
aç
ão
 P
lá
st
ic
a 
 
 
 
 
E
xc
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si
va
D
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or
m
aç
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a 
E
xc
es
si
va
 c
om
 R
up
tu
ra
 
do
 C
on
cr
et
o
R
up
tu
ra
 d
o 
C
on
cr
et
o 
se
m
 
D
ef
or
m
aç
ão
 P
lá
st
ic
a 
E
xc
es
si
va
v
st
 =
 1
0‰
v
cc
 <
v
cu
 =
 3
,5
‰
v
yd
 
v
st
10
‰
v
cc
= 
3,
5‰
v
cc
= 
3,
5‰
0 
v
st
v
yd
 
Figura 7 – Diagramas de deformações para os domínios 2, 3 e 4 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 12
4. Profundidade da linha neutra e condições de dutilidade 
 
A NBR 6118:2003 indica que a capacidade de rotação dos elementos estruturais 
lineares é função da posição da linha neutra no estado limite último. Quanto menor for 
o valor relativo da profundidade da linha neutra βx = x/d, maior é a capacidade de 
rotação. 
Conforme já estudado neste texto essa situação de maior capacidade de rotação 
ocorre quando as deformações atendem as hipóteses do domínio 2, isto é, a 
deformação no concreto está aquém da deformação última convencional de 3,5‰ e a 
deformações nas barras de aço são consideradas iguais a 10‰. 
Ou seja, para controlar a rotação da viga é conveniente controlar a posição da 
linha neutra controlando assim as deformações. 
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de 
ligações com outros elementos estruturais, mesmo quando não forem feitas 
redistribuições de esforços solicitantes, a posição da linha neutra no estado limite 
último precisa obedecer aos seguintes limites: 
 
a. βx = x/d ≤ 0,50 no caso de estruturas com concretos de fck ≤ 35 MPa; 
 [32] 
 
b. βx = x/d ≤ 0,40 no caso de estruturas com concretos de fck > 35 MPa. 
 [33] 
 
 A ductilidade de elementos lineares de concreto armado é função da resistência 
do concreto, tanto maior a resistência do concreto menor será a dutilidade do elemento 
estrutural e, portanto, da estrutura. 
 A NBR 6118:2003 indica que esses limites podem ser alterados se forem 
utilizados detalhes especiais de armaduras como, por exemplo, os que produzem 
confinamento nessas regiões. 
 Pesquisa feita no Laboratório de Estruturas da EESC – USP por Delalibera (2002) 
mostra que estribos posicionados na região comprimida, confinando-a, de altura igual a 
profundidade da linha neutra definida com as hipóteses do estado limite último, levam a 
uma estrutura de comportamento dúctil. 
 
5. Limites para redistribuição de momentos 
 
 Nos casos de estruturas constituídas por vigas com continuidade com os pilares, 
em pórticos, por exemplo, ou vigas contínuas, a NBR 6118:2003 indica que quando for 
efetuada uma redistribuição, reduzindo-se um momento fletor de M para δM, em uma 
determinada seção transversal, e isto é feito nas seções transversais dos apoios, a 
relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição relativa da linha neutra 
βx = x/d nessa seção, para o momento reduzido δM, pode ser calculada por: 
 
a. δ ≥ 0,44 + 1,25 x/d no caso de estruturas com concretos de fck ≤ 35 MPa; 
 [34] 
 
b. δ ≥ 0,56 + 1,25 x/d no caso de estruturas com concretos de fck > 35 MPa. 
 [35] 
 
O coeficiente de redistribuição precisa, ainda, obedecer aos seguintes limites: 
 
a. δ ≥ 0,90 para estruturas de nós móveis; 
 [36] 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
13
 
b. δ ≥ 0,75 em qualquer outro caso, por exemplo, estruturas de nós fixos. 
 [37] 
 
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos dos valores 
indicados na NBR 6118:2003, desde que a estrutura seja calculada mediante o 
emprego de análise não-linear ou de análise plástica, com verificação explícita da 
capacidade de rotação de rótulas plásticas. 
 
6. Análise da necessidade de barras comprimidas (Asc) 
 
 Nas deduções das expressões que retratam o equilíbrio da seção transversal 
retangular submetida à ação de momento fletor de cálculo, consideraram-se barras da 
armadura comprimida com área Asc, cuja tensão depende da deformação εsc que, por 
sua vez, depende do diagrama de deformações e da posição da linha neutra. Com a 
deformação determinada pode-se calcular, considerando o diagrama tensão – 
deformação, a tensão (σsc) e verificar o equilíbrio. 
 Porém, a adoção de barras comprimidas só é necessária quando a seção de 
concreto comprimido (Acc) com tensão (σcd) não for suficiente para absorver a 
resultante de compressão necessária para o equilíbrio. 
 Assim, tem-se um momento fletor resistente limite (Mdlim) que se for menor que o 
momento fletor solicitante (MSd) a viga não necessita de armadura comprimida 
(armadura dupla) para o equilíbrio da seção transversal. 
 Para escrever a expressão com qual se determina o momento resistente de 
cálculo limite, na expressão 18 faz-se a área da armadura comprida igual a zero 
(Asc=0) e considera-se a posição da linha neutra entre os domínios 3 e 4, isto significa 
adotar: 
 
βx = βx34 = βxlim [38] 
 
 que é o limite da profundidade da linha neutra (βxlim) para a qual há total 
aproveitamento das capacidades resistente do concreto e das barras de aço, ou seja, o 
concreto fica com a deformação convencional de ruptura e as barras de aço ficam com 
deformações que definem o início de escoamento (εyd). 
Obtem-se, portanto, a expressão 39 com a qual se calcula o módulo do momento 
fletor limite de cálculo (Mdlim). 
 
[ ]xcd2xLimwdlimd 0,4β1.f.d.β0,68.bMM −== [39] 
 
 Para elementos estruturais lineares fletidos (vigas) é usual adotarem-se barras de 
aço CA-50 para as quais já se calculou o valor de βxlim = 0,628, que substituído na 
expressão 39, resulta a expressão 40 com a qual se calcula o módulo de Mdlim para 
esta classe de aço CA-50. 
 
cd
2
wdlim .f.d0,32.bM = [40] 
 
Nota-se na expressão 39 que o valor de Mdlim depende das dimensões da seção 
transversal bw e h (pois, de depende de d) e da resistência de cálculo à compressão do 
concreto (fcd). 
 
6.1 Exemplo 
 
Determinar o módulo do momento fletor limite de cálculo para uma viga com 
espessura (bw) igual 20cm, altura (h) adotada igual a 45cm, altura útil (d) igual a 41cm, 
concreto de resistência característica à compressão de 20MPa (C20) e aço de 
resistência característica à tração de 500MPa (CA-50). 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 14
Como se trata de barras de aço classe CA-50pode-se usar a expressão 40, com 
bw = 20cm; d = 41cm e fcd = fck/1,4 = 20/1,4 = 14,29MPa = 1,43kN/cm2, e, substituindo, 
resulta: 
 
153,8kNmcm15.384,5kN1,4341200,32M 2dlim ==⋅⋅⋅= 
 
Na avaliação da altura útil, a partir da altura total da seção transversal, é 
necessário considerar-se que a viga, quando completamente dimensionada e 
detalhada, têm estribos constituídos por dois ramos, para absorver as tensões de 
tração oriundas da ação da força cortante, cujas distâncias das bordas, que é o 
cobrimento das barras da armadura, precisa atender critérios indicados na NBR 
6118:2003 para garantir a durabilidade do elemento estrutural. 
Para vigas e pilares é adotado cobrimento nominal (c) das barras da armadura 
mais próxima da borda de 30mm quando a classe de agressividade ambiental é a II, 
considerada moderada e para efeito de projeto é para atender uma estrutura a ser 
construída em região urbana. O diâmetro mínimo para as barras dos estribos é 
adotado igual a 5mm e para efeito de anteprojeto é possível adotar diâmetro das barras 
longitudinais de 12,5mm, resultando, portanto, para valor da altura útil (d): 
 
d = h - c - φest - φlon / 2 
 
 resultando: 
 
d = 45 - 3 - 0,5 - 1,25/2 = 40,88cm 
 
 e, portanto, a medida da altura útil adotada igual a 41cm, e agora avaliada, está 
adequada, pois 40,88cm é aproximadamente igual a 41cm. 
 
6.2 Considerações para projetos de vigas 
 
Quando a viga apresentar 
 
dlimd MM ≤ [41] 
 
tem-se caso de flexão simples com armadura simples, pois não há necessidade 
de considerar a área de armadura comprimida para garantir o equilíbrio da seção 
transversal; 
e, quando 
 
dlimd MM > [42] 
 
tem-se caso de flexão simples com armadura dupla pois há necessidade desta 
para o equilíbrio da viga ser verificado. Como alternativa à armadura dupla pode-se 
aumentar as dimensões da seção transversal, na maioria dos projetos é possível 
aumentar a altura (h). 
 
6.3 Determinação das expressões para Mdlim de seções de apoio com dutilidade 
 
Retomando a expressão 39 e as condições descritas no item 4, pode-se escrever 
a expressão 43 com a qual se determina o valor do momento fletor de cálculo limite, 
para as seções transversais de apoio para as quais a NBR 6118:2003 indica que 
condições de dutilidade precisam ser consideradas, para permitir rotação da estrutura. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
15
 No caso de se adotar concreto com resistência característica menor do que 
35MPa a profundidade relativa (βx) da linha neutra precisa ficar menor ou igual do que 
0,50, resultando: 
 
 Mdlim, apoio, c≤35 = 0,68 . bw . βxlim,dut . d2 . fcd . [1 - 0,4 . βxlim,dut] [43] 
 
 Substituindo βx = 0,50 resulta: 
 
 Mdlim, apoio, c≤35 = 0,27 . bw . d2 . fcd [44] 
 
 Para o caso de concreto com resistência característica à compressão maior do 
que 35 MPa a profundidade relativa (βx) da linha neutra precisa ficar menor ou igual do 
que 0,40, e usando a expressão 39 resulta: 
 
 Mdlim, apoio, c>35 = 0,23 . bw . d2 . fcd [45] 
 
 Nos casos de projetos de elementos lineares (vigas, pilares, pórticos, grelhas) as 
seções transversais dos apoios de vigas e ligações (nós de pórticos, por exemplo) 
precisam ter altura compatível com os valores dos momentos fletores de cálculo limites, 
para ter garantia de dutilidade e, portanto, de rotação. 
 Lembra-se que para diminuir os valores dos momentos negativos nos apoios ou 
nas ligações é possível promover a redistribuição de momentos fletores com o 
conseqüente aumento dos módulos dos momentos fletores positivos, conforme visto no 
item 5 deste texto. 
 
7. Exemplos de dimensionamento de vigas de concreto armado 
 
Nesta sessão apresentam-se exemplos de projetos de vigas de concreto armado, 
nos quais se verifica a segurança no estado limite último, com solicitação de momento 
fletor. Os problemas resolvidos são de dimensionamento, isto é, calculam-se as alturas 
úteis (d) e as áreas das barras das armaduras a partir do conhecimento, por meio de 
pré-dimensionamento, das dimensões da seção transversal. 
Para a viga da figura 8, considerada apoiada nos pilares, pede-se determinar a 
altura útil (d) e a área de armadura de tração (Ast), optando por considerar armadura 
simples, isto é sem que seja necessária armadura (Asc) na região comprimida para 
equilibrar as tensões normais. 
Os dados geométricos da viga da figura 8 são mantidos para todos os exemplos 
seguintes, sendo alteradas as intensidades das forças uniformemente distribuídas 
atuantes. 
O objetivo é variar a intensidade da ação para que o leitor perceba as variações 
nos valores da altura útil (d) e, portanto da altura total (h), e da área de armadura de 
tração (Ast). 
Considerando a viga apoiada nos pilares as continuidades não estão sendo 
levadas em conta, portanto, a posição da linha neutra não precisa ser limitada para que 
a capacidade de rotação aumente a dutilidade. As vigas dos exemplos podem ser 
associadas a vigas de estruturas pré-fabricadas, apoiadas em pilares, interpostos entre 
eles aparelhos de apoio feitos com neoprene, capazes de permitir as rotações das 
seções de apoio. 
As forças uniformemente distribuídas na viga são relativas as ações permanentes 
(g) e as variáveis normais (q), isto é as de utilização. 
Adota-se concreto com resistência característica à compressão de 20MPa (C20) e 
aço categoria CA-50 com resistência característica ao escoamento da armadura igual 
500MPa. 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 16
O cobrimento das barras da armadura é adotado igual a 3cm nos casos de vigas 
e pilares para atender critério indicado na NBR 6118:2003, que especifica Classe de 
Agressividade Ambiental II, com grau de agressividade moderada, relativo ao ambiente 
urbano. O que significa que a barra que estiver mais próxima das faces da viga precisa 
ser detalhada distando dessa 3cm. A NBR 6118:2003 permite que se faça uma 
redução ∆c = 0,5cm quando na obra houver controle de qualidade e rígidos limites de 
tolerância de variabilidade das medidas durante a execução, explicitadas nos desenhos 
de projeto. 
 
7.1 Exemplo 1 – Ação g + q = 10kN/m 
 
 Como o objetivo é determinar a altura útil (d) e a área das barras da armadura de 
tração (Ast), considerando que a área de armadura de compressão é adotada igual a 
zero, ou seja, não se pretende contar com a contribuição desta para absorver as 
tensões de compressão, são usadas as expressões 18 e 19 com Rsc igual a zero. 
Lembrando o balanceamento do número de equações e incógnitas, faz-se 
necessário adotar uma das incógnitas para dimensionar a viga. 
Pode ser adotado, portanto, a posição relativa da linha neutra igual ao valor limite 
entre os domínios 3 e 4, βx = βxlim = 0,628 para CA-50, assim considera-se melhor 
aproveitamento dos materiais. 
Considerando a força uniformemente distribuída g + q = 10kN/m e viga biapoiada 
o módulo do momento fletor atuante na seção de meio de vão, máximo neste caso, é 
dado por [(g + q) . l2]/8 igual a 80kNm. Para verificar o estado limite último é preciso 
considerar o momento fletor de cálculo dado por 
 
112kNm801,4Md =⋅= 
 
Vd
Md
Md
Vd
Mk
P01 P02
VT (bw x h)
L=8m
g+q
Md
15
c
c
d h
C20; CA-50
 
 
Figura 8 - Exemplo de viga apoiada 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
17
Escrevendo a expressão 17 com Rsc igual a zero, 
 
cdxwcc fdβb0,68R ⋅⋅⋅⋅= 
 
 e substituindo os valores de bw = 15cm, βx = βxlim = 0,628 e fcd = 2 / 1,4, vem: 
 
1,4
20,628.0,68.15.d.Rcc = 
 
 Efetuando os produtos resulta a expressão seguinte que relaciona Rcc e a altura 
útil (d). 
 
9,15.dRcc = 
 
 Escrevendo a expressão 19 com Rsc igual a zero: 
 
 Substituindo os valores de bw = 15cm, βx = βxlim = 0,628e fcd = 2 / 1,4, vem: 
 
[ ]0,6280,41
1,4
2d0,628150,68M 2d ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
 Considerando que Md = 112kNm = 11200kNcm e substituindo na expressão 
anterior resulta: 
 
6,85
11200d2 = 
 
ou seja: 
 
40,4cmd = 
 
 Adotando d = 41cm e fazendo h igual a: 
 
 h = 41 + (φlon / 2) + φest + c = 41 + 1,6 / 2 + 0,5 + 3 = 45,3cm 
 
 sendo, φlon o diâmetro (avaliado) das barras longitudinais, φest o diâmetro 
(avaliado) do estribo, c o cobrimento das barras da armadura mais próxima das faces 
da viga, a altura adotada para a viga é igual a 45cm. 
 Substituindo d na expressão de Rcc vem: 
 
375,15kN9,15.41RR stcc === 
 
 lembrando que, para o equilíbrio das forças resultantes internas tem-se Rcc=Rst. 
 Considerado que a resistência de escoamento de cálculo das barras da armadura 
é igual a fyd = fyk = 500 / 1,15 = 435MPa = 43,5kN/cm2 pode-se calcular a área das 
barras da armadura por: 
 
 2
yd
st
st 8,6cm43,5
375,15
f
RA === 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 18
 que pode ser representada pela área efetiva das barras da armadura igual a: 
 
 2efes, 10cmA = 
 
 ou seja, área representada por 5 barras de 16mm (5 φ 16) lembrando que cada 
barra de 16mm tem 2cm2 de área. 
 
7.2 Exemplos 2, 3 e 4 
 
 Os três exemplos seguintes desenvolvidos adotando o mesmo critério para 
determinar a profundidade da linha neutra, segue a mesma rotina do exemplo 1 com o 
uso das mesmas expressões. 
 Assim organizaram-se as soluções com a tabela 1. 
 
Tabela 1 - Exemplos de dimensionamento das vigas 1, 2 e 3 
 
Exemplo 
Força. 
unif. 
distrib. 
kN/m 
 
Momento 
Característico 
kNm 
Momento 
de 
cálculo 
kNm 
 
 
βx = 
βxlim 
 
Altura 
útil 
cm 
 
Altura 
 
cm 
 
Área de 
armadura
cm2 
2 20 160 224 0,628 57,2 61,5 12 
3 40 320 448 0,628 80,8 85,1 17 
4 80 640 896 0,628 114,0 118,3 24 
 
As alturas (h) das vigas foram determinadas somando-se à altura útil (d) calculada 
a metade do diâmetro das barras longitudinais, o diâmetro do estribo e o cobrimento. 
Assim se fez entendendo que as barras da armadura longitudinal ficassem alojadas em 
uma única camada. Considerando as áreas das barras das armaduras longitudinais 
calculadas para as vigas 2, 3 e 4 percebe-se que elas serão alojadas em várias 
camadas. Como a altura útil se refere à distância do centro de gravidade das barras da 
armadura longitudinal até a borda comprimida, a altura útil efetiva, determinada após 
detalhamento da viga, poderá ter medida menor que a adotada. A NBR 6118:2003 
indica verificação que precisa ser feita para aceitar a diferença entre a altura útil 
adotada e a efetiva. Se essa diferença ficar além do limite indicado, outro valor de 
altura útil precisa ser adotado e o processo se inicia novamente, portanto, é um cálculo 
iterativo. Quando forem estudados os critérios para a determinação dos comprimentos 
das barras da armadura longitudinal e para o arranjo das armaduras se fará a 
verificação da relação entre as alturas adotada e efetiva. 
Considerando a tabela 1 informa-se que as alturas (h) das vigas terão seus 
valores definitivos quando todas as análises de projeto forem feitas, porém é 
conveniente considerar para as alturas das vigas números inteiros para facilitar a 
construção. Assim, a viga 2 fica com altura de 65cm, a viga 3 com 85cm e a viga 4 com 
120cm. Lembrando que esses valores precisam ser verificados com relação a altura útil 
efetiva. 
Observam-se que as alturas das vigas são proporcionais às intensidades dos 
momentos fletores solicitantes de cálculo (MSd = Md) que, para serem absorvidos, 
precisam que as vigas apresentem valores de momento resistente de cálculo MRd 
proporcionais a intensidade de MSd, o que significa que as forças resultantes no 
concreto e nas barras da armadura precisam que as forças têm as intensidades 
aumentadas. As alturas úteis (d) e as áreas de armaduras aumentaram, sendo que a 
área de concreto comprimido também aumentou, pois as medidas das profundidades 
das linhas neutras aumentaram, embora tenha sido adotado como critério de projeto βx 
= βxlim. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
19
Analisando os resultados obtidos para os exemplos 2, 3 e 4, observa-se que, 
mantida a distância entre os centros dos apoios, a espessura da viga (bw), as 
resistências do concreto e das barras de aço, aumentando as intensidades das forças 
uniformemente distribuídas os momentos fletores aumentam e, por conseguinte os 
momentos resistentes precisam aumentar. Isto fica definido pelo aumento das alturas 
úteis e das áreas das barras das armaduras longitudinais. 
As alturas efetivas das vigas adotadas em projetos precisam respeitar as 
indicações dos projetos arquitetônicos com relação às distâncias entre os pisos 
horizontais que, para os casos de edifícios residências ou comerciais, costumam ser 
adotadas em torno de 3m, alguns com 2,8m. Assim, considerando as alturas das faces 
superiores de caixilhos e portas que costumam ser de 2,15m (computando os 
batentes), e, considerando que as alturas das vigas são medidas desde a face inferior 
até a face superior da viga que coincide com a face superior das lajes (figura 8), as 
alturas das vigas ficam limitadas a dimensões práticas que não podem ser maiores do 
que 85cm neste exemplo. 
 
7.3 Exemplo 5 
 
 Para este exemplo considera-se que a altura (h) da viga não pode ter altura maior 
do que 80cm, por interferir com indicações do projeto arquitetônico. 
 O projeto da viga 5 considera vão efetivo (l) de 8m e uma força uniformemente 
distribuída g + q = 40kN/m. O momento fletor solicitante de cálculo é igual a 448kNm e 
precisa ser calculada a área das barras da armadura longitudinal (Ast) considerando 
que as barras posicionadas junto a borda comprimida não são necessárias para 
determinação do momento resistente de cálculo. 
 A avaliação da altura útil (d) pode ser feita pela expressão: 
 
 d = h - c - φest - (φlon / 2) = 80 - 3 - 0,5 - (1,6 / 2) = 75,7cm 
 
 O valor de d adotado neste exemplo é d = 75cm. 
 
 Retomando as expressões 18 e 19 vêm: 
 
ststscsccdxw σAσAfβdb0,68 ⋅=⋅+⋅⋅⋅⋅ 
 
[ ]xcd2xwd β0,41fdβb0,68M ⋅−⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
 Analisando as expressões 18 e 19 percebe-se que conhecendo a altura útil (d) e 
querendo determinar a área de armadura tracionada, é necessário conhecer a medida 
da profundidade da linha neutra, ou sua posição relativa βx, lembrando que os demais 
parâmetros são conhecidos. 
 Substituindo-os na expressão 19, porém efetuando o produto, tem-se: 
 
[ ]2xx2 β0,4-β 1,4
275150,6844800 ⋅⋅⋅⋅⋅= 
 
 que, resolvendo a equação do segundo grau obtem-se as seguintes raízes: 
 
 βx1 = 1,71 e βx2 = 0,80 
 
 A primeira raiz (βx1) se constitui em um absurdo físico, pois: 
 
 βx1 = 1,71 que é maior do que βx4,4a = 1 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 20
 
e a viga submetida a flexão simples têm deformações relativas aos domínios 2, 3 
e 4 e o limite do domínio 4 é βx = 1, ou seja o limite entre os domínios 4 e 4a. 
 A segunda raiz (βx2) pode ser aceita, pois tem justificativa física, ou seja: 
 
 βxlim = 0,628 < βx2 = 0,80 = βx4,4a = 1 
 
 A linha neutra da viga no estado limite último ocupa uma posição relativa ao 
domínio 4 de deformações, sendo que a ruína é atingida por ruptura do concreto, com 
pequenas deformações (εst < εyd) nas barras das armaduras de tração. 
 Mesmo entendendo que não é um dimensionamento adequado se procederá ao 
cálculo da área das barras da armadura de tração. Lembra-se que no domínio 4 a ruína 
convencional ocorre por ruptura do concreto, sem deformação plástica das barras, isto 
faz com que não ocorra fissuração nas faces tracionadas da viga. 
A tensão nas barras da armadura de tração pode ser determinada calculando-se 
a deformação nas barras, o que é feito considerando a expressão 22, reescrita a 
seguir:x
st
x
cc
β1
ε
β
ε
−
= 
 
substituindo, βx por 0,80 e εcc por 3,5‰ (domínio 4), resulta para a deformação 
nas barras da armadura tracionada: 
 
εst = 0,88‰ 
 
Considerando o diagrama tensão - deformação para as barras de aço CA-50 
(figura 9) e usando a expressão seguinte e considerando como valor do módulo de 
elasticidade das barras 210GPa, resulta: 
 
sts.εEσ st = 
 
218,4kN/cm184MPa
1000
0,88210000.σ
st
=== 
 
 
(MPa)
fyd
ss
102,07 vs (‰)vy
sst
 
Figura 9 - Diagrama tensão – deformação para barras de aço CA-50 
 
A área das barras da armadura tracionada é calculada com a expressão 18, 
substituindo os valores de bw, d, βx, fcd e σst: 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
21
 
4,18.=
4,1
2
.8,0.75.15.68,0 stA 
 
portanto, a área das barras é igual a: 
 
Ast = 47,5cm2 
 
A taxa de armadura é dada pelo quociente entre a área de armadura e a área da 
seção transversal da viga, resultando: 
 
3,96%
15.80
47,5ρs == 
 
A NBR 6118:2003 indica que a soma das taxas das barras das armaduras 
tracionada e comprimida não pode ficar maior do que 4%, ou seja: 
 
4%ρρ 'ss ≤+ 
 
a taxa é aceitável, porém muito próxima do limite superior. 
 
Essa área de barras de armadura de tração (Ast = 47,5cm2) pode ser 
representada pelas áreas efetivas das barras relativas aos diâmetros de 12,5mm, 
16,0mm e 20mm, calculadas para permitir ao projetista escolher um dos três diâmetros 
depois de verificar o correto alojamento das barras na seção transversal das vigas. 
Em termos do número de barras comerciais as áreas efetivas resultam: 
 
38 φ 12,5 com As,efe = 47,5 cm2 
 
24 φ 16,0 com As,efe = 48,0 cm2 
 
15 φ 20,0 com As,efe = 47,3 cm2 
 
O alojamento das barras na seção transversal da viga com espessura de 15cm 
fica impraticável. É preciso prever espaços entre as barras tanto no plano horizontal 
como no vertical para a passagem do concreto fresco, além disto, tem que ser 
considerado espaço entre as barras das camadas acima da primeira para permitir a 
passagem do vibrador na operação de adensamento do concreto. Isto será discutido 
com mais detalhes por ocasião do estudo do arranjo das barras das armaduras. 
A solução de dimensionamento para esta viga do exemplo 5, embora seja um 
projeto seguro não é adequada do ponto de vista econômico e de elegância estrutural. 
Como solução pode-se considerar barras de armadura posicionadas junto a borda 
comprimida com a finalidade de diminuir a tensão no concreto, diminuir o valor da 
profundidade da linha neutra aproveitando melhor a capacidade das barras da 
armadura de tração. 
 
8. Dimensionamento de vigas submetidas à flexão simples com armadura dupla 
 
Como visto na sessão anterior o aumento do momento fletor solicitante exige, 
para que a segurança da viga submetida a flexão simples, que o momento resistente 
também aumente quando não há restrição de altura para a viga. Ocorre que na maioria 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 22
dos casos de projetos de edifícios há restrição na altura de vigas por causa das 
condições do projeto arquitetônico. 
Quando a altura útil resulta em uma condição de deformações compatível com as 
de domínio 4, o concreto está com deformação limite de 3,5‰ e as deformações nas 
barras das armaduras ficam menores ou iguais à deformação de escoamento εyd. 
 É possível adotar barras posicionadas junto a borda comprimida, o que introduz 
uma resultante de compressão nestas barras que, junto com a resultante de 
compressão no concreto, alteram a capacidade resistente da seção transversal. Essa 
alteração se dá pelo aumento da resultante total de compressão, agora constituída por 
duas forças e pelo aumento da força nas barras da armadura de tração por conta do 
aumento das deformações e, conseqüentemente, pelo aumento da tensão. O braço de 
alavanca, que é neste caso a distância entre o centro geométrico das barras da 
armadura de tração e o ponto da seção que contem a resultante das forças resultantes 
de compressão no concreto e de compressão nas barras junto a face comprimida da 
viga, também aumenta. 
 A posição da linha neutra é adotada igual ao limite entre os domínios 3 e 4 
(βx = βxlim) para que as barras da armadura de tração fiquem com deformações iguais 
as deformações de início de escoamento (εyd). Assim há melhor aproveitamento das 
capacidades resistentes dos materiais. 
 A rotina de projeto quando é necessário usar armadura dupla é mostrada a 
seguir. 
 
8.1 Equações de equilíbrio 
 
Como procedimento de projeto se adotam barras posicionadas junto a borda 
comprimida. A posição da linha neutra é a limite entre os domínios 3 e 4, o que significa 
escrever βx = βxlim = βx34 que é igual a 0,628 quando o aço é da categoria CA-50. 
A rotina que a seguir se expõe é para dimensionar uma viga de concreto armado 
com armadura dupla e usando as equações de equilíbrio deduzidas anteriormente. 
Com a expressão 17 calcula-se a força resultante de compressão no concreto 
com βx = βxlim: 
 
cdlimxwcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17) 
 
Considerando a expressão 19, pode se escrever: 
 
'
xccd
scscsc d-d
]β0,4-[1dRMσAR ⋅⋅⋅=⋅= - 
 
Lembrando que a expressão 5 representa o equilíbrio das forças resultantes nas 
barras da armadura de tração, no concreto comprimido e nas barras da armadura de 
compressão: 
 
scccst RRR += (expressão 5) 
 
pode-se, assim, determinar a resultante da força de tração Rst. 
 
As áreas das barras das armaduras tracionada (expressão 46) e área de 
armadura comprimida (expressão 47) podem ser calculadas pelas expressões 
seguintes: 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
23
st
st
st σ
R
=A [46] 
 
sc
sc
sc σ
R
=A [47] 
 
8.2 Balanço do número de equações e de incógnitas: 
 
O número de equações é igual a 2 que fornecem os valores de Rsc e Rst; e o 
número de incógnitas é 3, ou seja, é necessário determinar Rsc, Rst e d. 
Como o número de equações é menor que o número de incógnitas é preciso 
adotar uma relação entre as incógnitas ou adotar uma delas e calcular as outras duas. 
Assim, é possível obter a solução considerando: 
 
Solução I: Adotar uma relação entre Ast e Asc, por exemplo. Asc = 0,5. Ast, o que 
significa considerar a proporcionalidade entre as forças resultantes nas armaduras, isto 
é Rsc = 0,5 Rst. 
 
Solução II: Adotar a altura útil (d) e calcular Ast e Asc. 
 
8.3 Exemplo 6 
 
Os dados de projeto são os mesmos do exemplo 5, para o qual se notou a 
necessidade de grande área de barras de armadura de tração para garantir o equilíbrio, 
com profundidade da linha neutra tal que as deformações no concreto e nas barras 
ficaram contidas em uma situação de domínio 4. 
Porém, agora se pretende que a linha neutra fique em posição limite entre os 
domínios 3 e 4. 
Lembrando que o momento limite é aquele que se ultrapassado é necessária a 
adoção de armadura dupla. 
Retomando a expressão 40 com a qual de calcula o momento limite (Mdlim) 
quando se utiliza aço categoria CA-50, vem: 
 
cd
2
wdlim .f.d0,32.b=M (expressão 40) 
 
Substituindo os dados do projeto na expressão 40 tem-se: 
 
1,4
2
.0,32.15.75=M 2dlim 
 
portanto, o módulo do momento limite resulta: 
 
385,7kNm=Mdlim 
 
que é o momento que a viga consegue absorver com armadura simples. 
Recordando o exemplo 5 lembra-se que: 
 
Md = 448kNm > Mdlim = 385,7kNm 
 
e resultou, como era esperado, βx > βxlim e a área de armadura tracionada foi 
muito grande e com pequena deformação. 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 24
A solução a ser adotada pode ser a Solução II, pois a altura útil (d) é definida, por 
exemplo, por uma decisão de projeto arquitetônico. 
Os módulos das forças resultantessão calculados a seguir. 
Com a expressão 17 determina-se a força resultante no concreto comprimido: 
 
cdxwcc fβdb0,68R ⋅⋅⋅⋅= (expressão 17) 
 
Substituindo os valores dos parâmetros, vem: 
 
1,4
20,62875150,68Rcc ⋅⋅⋅⋅= 
 
resultando: 
 
686,3kN=Rcc 
 
Substituindo os valores na expressão 19, com Rsc = Asc . σ sc vem: 
 
4-75
0,4.0,628]-[1.686,3.75-44800
=Rsc 
 
efetuando as operações algébricas, resulta o valor do módulo da força resultante 
nas barras da armadura de compressão: 
 
88,1kN=Rsc 
 
Considerando a expressão 5 determina-se o módulo da força resultante nas 
barras da armadura de tração: 
 
774,4kN=88,1+686,3=R+R=R scccst 
 
Para cálculo das áreas das barras das armaduras é preciso determinar as 
tensões às quais as barras estarão submetidas considerando o estado limite último: 
 
- nas barras da armadura tracionada: 
 
σst = fyd = 43,5kN/cm2, 
 
pois, ao se adotar βx = βxlim = βx34 = 0,628 quando o aço é categoria CA-50, a 
deformação nas barras da armadura tracionada é εyd = 2,07‰. 
 
- nas barras da armadura comprimida: 
 
considerando o diagrama de deformações na seção transversal submetida ao 
momento fletor de cálculo, determina-se εsc, resultando: 
 
4-47,1
ε
=
47,1
3,5 sc 
 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
25
(MPa)
fyd
ss
102,07 vs (‰)3,5
3,210
3,5
4
47,1
75
 
Figura 10 - Diagrama de deformações Figura 11 - Diagrama σs - εs - CA-50 
 
E, portanto a tensão nas barras da amadura comprimida pode ser adotada: 
 
2
yscsc 43,5kN/cm=435MPa=f=σ 
 
As áreas das barras das armaduras são calculadas a seguir: 
 
- expressão 46, área das barras da armadura de compressão: 
 
2
sc 2,0cm=43,5
88,1
=A 
 
a taxa geométrica das barras resulta: 
 
0,17%
15.80
2ρ 's == 
 
- expressão 47, área das barras da armadura de tração: 
 
2
st 17,8cm=43,5
774,4
=A 
 
a taxa geométrica das barras é calculada por: 
 
1,48%=
15.80
17,8
=ρs 
 
A NBR 6118:2003 indica que a soma das taxas das barras das armaduras 
tracionada e comprimida precisa ficar menor do que 4%, o que ocorre neste caso da 
viga 6, portanto este quesito fica verificado. 
A título de análise comparativa a respeito do consumo de armadura registram-se 
a seguir as taxas totais das armaduras para as duas soluções das vigas: 
 
- Viga 5 sem consideração de armadura comprimida (Asc): ρs = 3,96% 
 
- Viga 6 com consideração de armadura comprimida (Asc): ρs + 'sρ = 1,65% 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 26
Percebe-se, portanto, que em termos econômicos é viável adotar armadura dupla 
quando Md > Mdlim e, em termos técnicos também, pois há melhor aproveitamento das 
resistências dos materiais. 
 
9. Dimensionamento de vigas de seção retangular mediante o uso de tabelas 
 
 Observam-se nos capítulos anteriores que os procedimentos de dimensionamento 
de seções transversais de elementos estruturais lineares construídos em concreto, 
considerando as hipóteses do estado limite último, armado são repetitivos. As 
verificações se repetem sempre, ou seja, faz-se a verificação da resistência da região 
de concreto comprimido e se calcula(m) a(s) área(s) das barras da(s) armadura(s). 
 Um problema típico a resolver é quando se conhecem todos os dados da seção 
transversal com exceção da altura útil (d) e, por conseguinte, a altura (h) e a área das 
barras da armadura longitudinal de tração (Ast), pois se não houver imposição para a 
medida da altura da viga, opta-se por armadura simples. 
 Outro problema é quando se conhece a altura (h) da seção transversal, definida 
no projeto estrutural por conta de uma decisão arquitetônica, a solução, se a altura for 
insuficiente, para verificar-se a seção com armadura simples é adotar armadura dupla, 
alterando o diagrama de deformações. 
 Para facilitar a rotina de projeto é conveniente organizar as expressões de 
verificação da segurança já deduzidas preparando-as para permitirem a montagem de 
tabelas que facilitem o cálculo que é repetitivo. 
 Tendo em mente as expressões de equilíbrio usam-se as tabelas resolvendo os 
problemas de dimensionamento de modo prático e expedito. 
 Para facilitar o entendimento a organização das tabelas será separada em caso 
de flexão simples com armadura simples e com armadura dupla. 
 A rotina de projeto também pode ser organizada programando as expressões já 
deduzidas ou montando planilhas eletrônicas cuidado de atender todos os passos 
vistos nas deduções e nas resoluções dos exemplos. 
 
9.1 – Armadura Simples 
 
Lembra-se que para os problemas de vigas submetidas à flexão simples adota-se 
solução de dimensionamento com armadura simples quando o momento fletor 
solicitante de cálculo for menor ou igual ao momento resistente limite, isto é, nas 
situações de deformações que a posição da linha neutra fique menor que a posição 
limite entre os domínios de deformações 3 e 4, ou seja: 
 
Md ≤ Mdlim 
 
Retomando a expressão 19, com Asc = zero; 
 
]0,4β[1fβdb0,68M xcdx
2
wd −⋅⋅⋅⋅⋅= (expressão 19) 
 
que, pode ser escrita do seguinte modo: 
 
c
d
2
w
2
xxcd
k
M
db
]β0,4[βf0,68
1
=
⋅
=
⋅−⋅⋅
 [48] 
 
Em problemas do primeiro tipo que se conhece a espessura (bw), a altura útil (d) e 
módulo do momento fletor solicitante MSd = Md, é possível montar uma tabela de 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
27
valores de kc em função da resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd) e da 
posição relativa da linha neutra (βx). 
A expressão 19 e, por conseguinte, a expressão 48 por levar em conta as 
dimensões da viga, a resistência à compressão do concreto, permite fazer a verificação 
de segurança da seção transversal com relação à ruptura do concreto. 
É preciso verificar também a resistência da seção transversal com relação à 
resistência da seção transversal e a possibilidade de escoamento das barras e da 
armadura de tração. Ao se usarem as equações de equilíbrio o cálculo da área da 
amadura longitudinal de tração foi feito com a expressão 19 fazendo Asc igual a zero. 
Para determinar a área das barras da armadura usando tabela é preciso deduzir 
outra expressão (49), observando na figura 5 que se pode montar equação de 
equilíbrio do momento externo com os momentos das resultantes internas, 
considerando para pólo de cálculo dos momentos o ponto de atuação da força 
resultante de compressão no concreto (Rcc). 
Assim procedendo pode-se escrever: 
 
⋅


 ⋅⋅⋅=
2
x0,8dσAM ststd - [49] 
 
ou ainda: 
 
]β0,4-[1dσAM xststd ⋅⋅⋅⋅= [50] 
 
A expressão 50 pode ser escrita como: 
 
s
d
st
xst
k
M
dA
]β0,4[1σ
1
=
⋅
=
⋅−⋅
 [51] 
 
É possível organizar uma tabela de ks em função de σst e de βx, e conhecendo-se 
d e Md, determina-se Ast. 
A tabela 2 foi montada considerando as resistências à compressão de cálculo do 
concreto para os concretos indicados na NBR 8953:1992 e para os aços nacionais 
especificados na NBR 7480:1996. 
A tabela 2 apresenta os valores de kc e ks, os segundos termos das expressões 
48 em função de kc e 51 em função de ks. Essa tabela foi montada considErando os 
valores limites de βx entre os domínios 2 e 3 e 3 e 4, indicados no item 3.5.1, os limites 
de βx por conta do controle das rotações das seções de apoio de vigas contínuas ou de 
seções de ligação entre elementos estruturais, conforme estudado no item 5. Os 
valores de kc foram calculados com a expressão 48. Os valores de βx indicados na 
tabela contemplam os casos de posição da linha neutra próxima da face comprimida da 
seção transversal até o limite entre os domínios 3 e 4 para o aço categoria CA-25. 
Os valores de ks foram calculados com a expressão 51 em função de βx e da 
tensão (σst) para cada aço normalizado, lembrando-se que esta tensão depende da 
deformaçãonas barras da armadura que, por sua vez, depende do posição da linha 
neutra, controladas pela expressão 20. 
Nos problemas de dimensionamento quando a altura útil (d) puder ser 
determinada, o projetista pode escolher βx = βxlim, determinando na tabela 1 o 
correspondente valor de kc e função da resistência característica do concreto, com kc, 
conhecendo bw e Md determina-se o valor de d. Na linha de βx = βxlim determina-se o 
valor de ks e, portanto, determina-se a área das barras da armadura longitudinal de 
tração. 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 28
Nos problemas de dimensionamento quando a altura útil (d) é conhecida, por que 
houve definição da altura (h) da viga por condição de compatibilidade com projeto 
arquitetônico, calcula-se kc com a expressão da tabela 2 e com kc, na mesma linha da 
tabela, determina-se o valor ks e, portanto, a área das barras da armadura. 
Se por acaso resultar kc > kclim é conveniente considerar solução com armadura 
dupla. 
Sugere-se ao leitor que refaça os exemplos dos itens 7.1 e 7.2, agora utilizando 
as tabelas e compare os resultados pelos dois processos. 
 
9.2 Armadura Dupla 
 
Como já visto quando Md > Mdlim é possível adotar-se armadura dupla como 
solução para o equilíbrio da seção transversal com economia de armadura, ou adotar 
como solução deformações no domínio 4, exigindo alta taxa de armadura tracionada 
para manter o equilíbrio. 
Para organizar tabelas que possibilitem o dimensionamento de seções 
submetidas à flexão simples com armadura dupla, faz-se o artifício de considerar uma 
seção transversal em concreto armado submetida a um momento fletor de cálculo igual 
ao momento limite - Mdlim (seção 1) e, uma seção fictícia constituída por barras de aço 
posicionadas junto as faces tracionada e comprimida (seção 2), como mostra a figura 
12. 
 
 
 
Figura 12 - Dimensionamento de seção com armadura dupla 
 
Análise da seção 1: 
 
Considera-se que a seção 1 contribui com o equilíbrio com valor de momento 
igual a: 
 
dlim1d M=M [52] 
 
e, portanto, com o valor relativo da linha neutra igual a: 
 
x34xlimx β=β=β 
 
O valor do momento M1d é dado por: 
 
clim
2
w
dlim1d k
dbMM ⋅== [53] 
Relativamente ao valor de kc = kclim determina-se na tabela 2 o valor de ks que 
possibilita o cálculo da área da armadura Ast1 pela expressão 54. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
29
 
d
M
kA dlimslimst1 ⋅= [54] 
 
Análise da seção 2: 
 
O valor do momento que precisa ser absorvido pela seção 2 fictícia é dado por: 
 
1dd2d MMM −= [55] 
 
Analisando a seção 2 da figura 12 pode-se escrever a equação de equilíbrio 48, 
considerando as forças resultantes nas barras das armaduras de compressão e tração, 
obtendo-se: 
 
] d'-[dσA]d'-[dσAM stst2scsc2d ⋅⋅=⋅⋅= [56] 
 
Considerando que: 
 
βx = βxlim 
 
então, a tensão na armadura de tração é dada por: 
 
ydst f=σ [57] 
 
e, a tensão na armadura de compressão é calculada em função do valor da 
deformação, com a expressão 58. 
 
)f(ε=σ scsc [58] 
 
A expressão 59 representa a equação de equilíbrio da seção transversal fictícia 
adotando para pólo de cálculo dos momentos o ponto de ação da força resultante na 
armadura de compressão (figura 12). 
 
]d'-[dσAM stst22d ⋅⋅= [59] 
 
 O cálculo da área da armadura Ast2 de tração para equilibrar o momento atuante 
na seção fictícia é feito por 60, considerando a tensão na armadura (σst) igual a 
resistência de cálculo de escoamento da armadura (fyd): 
 
d`][d
Mk
d`][d
M
f
1A 2ds22d
yd
st2 −
⋅=
−
⋅= [60] 
 
É possível montar um quadro na tabela 3 para valores de ks2 em função da 
categoria do aço. 
Com a expressão 61 se calcula a área das barras da armadura de tração. 
 
st2st1st A+A=A [61] 
 
Cálculo de Asc: 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 30
A segunda equação (62) de equilíbrio da seção 2 fictícia é obtida considerando 
para pólo de cálculo dos momentos o ponto de ação da força resultante da armadura 
de tração, resultando: 
 
]d'-[dσAM scsc2d ⋅⋅= [62] 
 
A área das barras da armadura de compressão pode ser calculada por: 
 
d`][d
M
k
d`][d
M
σ
1A 2dsc
2d
sc
sc −
⋅=
−
⋅= [63] 
 
Como a tensão nas barras da armadura de compressão σsc depende da 
deformação destas barras εsc que, por sua vez, depende da deformação na borda 
comprimida do concreto, neste caso de limite entre domínios 3 e 4, εcc = εcu = 3,5‰ e 
depende também de se ter adotado βxlim, é possível organizar um quadro na tabela 3 
para valores ksc em função de d’/h e da categoria das barras de aço. 
Lembra-se que a NBR 6118:2003 indica que a taxa total das barras das 
armaduras de tração e compressão (ρs + ρ’s) não pode ser maior do que 4%. 
Sugere-se ao leitor fazer o exemplo do item 7.3 usando as tabelas 2 e 3 e analisar 
os resultados obtidos. 
 
10. Dimensionamento de vigas de seção transversal em forma de T mediante o uso de 
tabelas tipo k 
 
10.1 Considerações Iniciais 
 
 As estruturas dos pavimentos dos edifícios são compostas por grelhas (famílias 
de vigas em duas direções) ligadas aos pilares, que recebem as ações das lajes de 
piso, e os pórticos constituídos pelas vigas e pelos pilares. 
 Ao se analisar as ligações entre lajes e vigas (figura 13) percebe-se que uma 
parte da laje colabora na capacidade resistente da viga desde que as faces 
comprimidas das lajes e viga estejam no mesmo plano horizontal. Ensaios 
experimentais permitem fazer essa afirmação. 
 Portanto, uma seção T é constituída por duas partes: a primeira chamada de 
mesa, que correspondente às partes das lajes que se ligam à viga e a segunda 
chamada de alma, que corresponde ao restante da viga. Quando ocupar uma posição 
de extremidade na planta do pavimento só existe laje de um lado, permitindo que a viga 
seja tratada com T, porém com mesa de um só lado. 
Todos as seções transversais de vigas podem ser tratadas como viga T, desde 
que as faces comprimidas de lajes e vigas estejam de um mesmo lado. A ocorrência de 
vigas retangulares isoladas é usual nas construções pré-fabricadas, quando os tipos de 
ligações podem não permitir a consideração de viga T. 
Quando as vigas são solicitadas por esforços solicitantes de flexão as lajes 
adjacentes a elas contribuem na rigidez do sistema viga-laje, desde que estas estejam 
localizadas na zona comprimida de flexão. Esse ganho de rigidez da viga considerando 
as lajes como parte de sua seção transversal ocorre em virtude do aumento na área de 
concreto resistente, pois esta, agora, é composta pelo retângulo da própria viga acima 
da linha neutra com as contribuições das lajes. 
 A figura 13 apresenta parte de uma viga contínua deformada por flexão – ação de 
momento fletor e força cortante, inclusive mostrando a fissuração por tensões normais, 
percebendo-se que nas regiões dos apoios da viga (pilares) as mesas estão 
submetidas a forças resultantes de tração e na região de meio de vão a mesa está 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
31
submetida a força resultante de compressão. Como a região superior da viga está 
submetida a tensões de compressão e as regiões das lajes que ligam a viga também 
estão comprimidas justifica as suas considerações na capacidade resistente da viga. 
 
 
 
 a b) c) 
Figura 13 - Análise das seções transversais de viga contínua 
[MacGregor, 1992] 
 
Na seção transversal A-A da figura 13c a região comprida é em forma de T, pois a 
linha neutra está contida em plano horizontal que dista (x) da borda comprimida. A 
seção A-A é uma seção de meio de vão, isto é de momento fletor positivo, cuja 
intensidade necessita de linha neutra mais profundapara ocorrer o equilíbrio. A 
respeito dessa situação de linha neutra passando pela alma diz-se que a seção é 
verdadeira. 
 Na seção transversal A-A da figura 13a a região comprimida fica só na mesa e a 
linha neutra está contida em um plano que dista (x) da borda comprimida. Quando isso 
acontece se diz que a seção é T falsa, pois há contribuição das lajes na capacidade 
resistente da viga, porém parte da laje está tracionada. 
 A seção B-B, junto ao pilar, apresenta a mesa tracionada (figura 13b) e, portanto, 
não há contribuição das lajes na região comprimida da viga. O dimensionamento é feito 
considerando viga de seção retangular. 
 Por uma decisão de projeto o engenheiro pode considerar a viga como sendo de 
seção retangular, quando isto ocorre o dimensionamento fica a favor da segurança, 
pois, a presença da(s) laje(s) é inerente ao projeto e, quando a estrutura entrar em 
serviço, há contribuição dos elementos de placa que se apóiam na viga. 
 As lajes nervuradas moldadas no local ou prémoldadas são dimensionadas com 
os critérios de viga T, pois entre as nervuras é colocado material inerte para servir de 
fôrma e permitir que o teto seja plano. Em algumas lajes nervuradas as nervuras são 
aparentes. 
 Normalmente, em estruturas convencionais compostas por vigas contínuas, os 
momentos fletores de maior módulo são os atuantes nas seções que coincidem com os 
apoios, e, geralmente tais vigas não são invertidas, então, para o dimensionamento do 
momento fletor não é possível considerar a viga como de seção T. 
 A figura 14 ilustra a variação da altura da linha neutra em seções tipo T e 
retangular. A linha neutra pode, no caso de viga T, apresentar duas alturas, sendo: a 
primeira quando a linha neutra fica na alma da viga e a segunda quando ela fica na 
mesa da viga. 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 32
Zona tracionada
Linha neutra
Zona comprimida
Zona tracionada
Linha neutra
Zona comprimida
Zona tracionada
Linha neutra
Zona comprimida
Seção transversal de viga T
Linha neutra na alma Linha neutra na mesa
Seção transversal de viga T Seção transversal de viga
retangular
 
 a) b) c) 
Figura 14 - Altura da linha neutra para seção T e retangular 
 [Almeida Filho, F. M. e El Debs, A. L. H. C.,2003] 
 
 Pode-se ver na figura 14 que a seção transversal, de acordo com as hipóteses 
adotadas, permanece plana após a deformação tanto para o caso de viga T como de 
viga retangular. 
A NBR 6118:2003 indica critérios para determinação da largura colaborante de 
vigas de seção calculada em função das dimensões das lajes que se apóiam na viga 
em análise. Esses critérios são descritos a seguir. 
Quando a estrutura for modelada sem a consideração automática da ação 
conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante a adoção de uma 
largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção transversal T. 
 A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições de 
esforços resistentes (internos), tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de 
uma forma mais realista. 
A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da viga bw acrescida de no 
máximo 10% da distância "a" entre pontos de momento fletor nulo, para cada lado da 
viga em que houver laje colaborante. 
A distância "a" pode ser estimada, em função do comprimento l do tramo 
considerado, como se apresenta a seguir: 
 
- viga simplesmente apoiada a = 1,00 l 
 
- tramo com momento em uma só extremidade a = 0,75 l 
 
- tramo com momentos nas duas extremidades a = 0,60 l 
 
- tramo em balanço a = 2,00 l 
 
Alternativamente o cômputo da distância "a" pode ser feito ou verificado mediante 
exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. 
No caso de vigas contínuas, permite-se calculá-las com uma largura colaborante 
única para todas as seções, inclusive nos apoios sob momentos negativos, desde que 
ela seja calculada a partir do trecho de momentos positivo em que resulte mínima. 
Precisam ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na figura 15 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
33
 
Figura 15 - Largura de mesa colaborante [NBR 6118:2003] 
Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa 
colaborante, a variação da largura efetiva (bef) da mesa deve respeitar o máximo bf e 
limitações impostas pelas aberturas conforme mostra a figura 16. 
 
Figura 16 - Largura efetiva com abertura [NBR 6118:2003] 
 
 A figura 17 mostra as propriedades geométricas de uma seção T, que para efeito 
de dimensionamento se considera apenas a largura da flange (bf), também chamada 
de largura colaborante, a espessura da laje (hf), a altura útil (d) e a altura (h). 
 A espessura da flange (hf) é a própria espessura da(s) laje(s) maciça(s) 
apoiada(s) na viga, determinadas com critérios próprios de resistência e de utilização, 
ou sejam deformações (deslocamentos) e fissuração 
 
Dimensionamento à flexão simples no Estado Limite Úitimo - ELU 34
w
A sb
bf
hf
h d
Alma
Mesa
 
Figura 17 - Propriedades geométricas de uma viga T 
 [Almeida Filho, F. M. e El Debs, A. L. H. C.,2003] 
 
10.2 Expressões para o dimensionamento 
 
 Analisando a figura 14 a linha neutra pode ficar na mesa (figura 14b) ou na alma 
(figura 14a) dependendo da intensidade do momento fletor e das dimensões da viga de 
seção T. 
 A distribuição de tensões de compressão no concreto tem a forma parábola 
retângulo, da figura 5, com altura (x) do diagrama, que é a medida da profundidade da 
linha neutra. Quando, por facilidade, se adota o diagrama retangular de tensões, para 
que a resultante de compressão fique com mesmo valor, a altura deste diagrama é 
80% da altura do diagrama parábola retângulo, ou seja, y = 0,8 . x. 
 Nos casos de vigas de seção T em que a espessura da laje (hf) está comprimida, 
ou seja sem participação da parte da alma abaixo da face inferior da laje, a viga de 
seção T é dimensionada como seção retangular (viga T falso) com bw = bf, pois: 
 
 y = 0,8 . x ≤ hf [64] 
 
 Relembrando a expressão 14: 
 
 
d
xβx = (expressão 14) 
 
 E, substituindo a expressão 64 em 14, vem: 
 
 
d
1
0,8
yβx ⋅= [65] 
 
 Substituindo na expressão 65, y = hf que é o limite para considerar a viga T como 
viga de seção retangular (T falso), vem: 
xf
f
x βd
1
0,8
hβ =⋅= [66] 
 
 A medida da profundidade da linha neutra é maior que y = hf, porém a altura do 
diagrama parábola retângulo é no máximo igual a hf, portanto essa medida resulta 
x = 1,25 hf, pois 1,25 = 1/0,8. 
 Nos casos em que a linha neutra está contida na alma da viga T o 
dimensionamento é feito considerando a viga com seção T (seção T verdadeiro), 
adaptando as expressões já estudadas para uso das tabelas tipo k. 
José Samuel Giongo – USP – EESC – SET Abril de 2006 
Concreto armado: dimensionamento de elementos estruturais fletidos submetidos a ação de momento fletor 
35
 A primeira verificação a fazer é com relação à posição da linha neutra para saber 
se se trata de viga T verdadeiro ou falso, pois as rotinas de dimensionamento são 
diferentes. Essa verificação é feita calculando a posição relativa da linha neutra (βx) 
que é comparada com o valor limite relativo da linha neutra e a posição relativa da 
espessura da mesa (βxf) como a seguir se expõe. 
 A verificação para indicar se a seção T precisa ser dimensionada como T falso ou 
T verdadeiro é feita calculando a posição relativa da linha neutra considerando que só 
a mesa está comprimida, isto é caso de T falso. 
 
10.2.1 Viga com seção T considerada como seção retangular (T falso) 
 
 Considerando a figura 18 que representa uma seção viga T, em que a linha 
neutra está contida na mesa, ou seja, 0 ≤ y ≤ hf, e seguindo as hipóteses de cálculo já 
estudadas para a viga de seção retangular pode-se reescrever