Trabalho de Aplicação de Cálculo Numérico

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MEC-SETEC 
INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS – CAMPUS AVANÇADO PIUMHI 
Bacharelado em Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO - APLICAÇÃO 
Aplicação de Sistemas de Equações não lineares para 
solução de problemas na Engenharia e suas Ciências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAMILA DE PAULO OLIVEIRA 
RÚBIA GUERRA OLVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
PIUMHI 
2021 
 
 
 
 
CAMILA DE PAULO OLIVEIRA 
RÚBIA GUERRA OLVEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO DE CÁLCULO NUMÉRICO - APLICAÇÃO 
Aplicação de Sistemas de Equações não lineares para 
solução de problemas na Engenharia e suas Ciências. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado ao Instituto Federal de 
Minas Gerais, Campus Avançado Piumhi-MG, 
como requisito para aprovação na disciplina de 
Cálculo Numérico. 
Professor: Vinícius Barbosa de Paiva. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PIUMHI 
2021 
 
 
 
 
Sumário 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................... 4 
2 OBJETIVOS ....................................................................................................... 5 
2.1 Objetivos Gerais ............................................................................... 5 
2.2 Objetivos Específicos ....................................................................... 5 
3 MÉTODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO .......................................................... 5 
3.1 Definição do Problema ..................................................................... 5 
3.2 Modelagem Matemática.................................................................... 6 
3.3 Solução Numérica ............................................................................ 6 
3.4 Obtenção de Resultados .................................................................. 7 
3.5 Análise de Resultados ...................................................................... 7 
4 CONCLUSÃO ...................................................................................................... 8 
REFERÊNCIAS ...................................................................................................... 9 
 
 
 
 
 
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1 INTRODUÇÃO 
Historicamente, o Cálculo em si surgiu durante o século XVII, e tinha 
como principal finalidade solucionar determinador problemas matemáticos e 
científicos, como a determinação da reta tangente, dos valores mínimos e 
máximos de uma referida quantidade, o comprimento, a área e o volume de um 
sólido. Muitos pesquisadores e estudiosos contribuíram com o desenvolvimento 
do Cálculo, no entanto, Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz foram os que 
mais se destacaram. 
E o Cálculo Numérico corresponde em uma das ramificações do 
Cálculo, consistindo no conjunto de métodos utilizados na obtenção aproximada 
das soluções de problemas. Esses métodos se aplicam principalmente a 
questões, nas quais não apresentam uma solução exata, necessitando assim 
serem resolvidas numericamente. 
Desta forma, o Cálculo Numérico admite uma oportunidade de 
estabelecer conexões entre os aspectos abstratos do rigor matemático e suas 
aplicações com respeito à demanda da sociedade por soluções de desafios da 
vida cotidiana em seu curso natural. 
Dentro do contexto da Engenharia Civil, o Cálculo Numérico é 
extremamente importante, uma vez que o mesmo não estabelece um valor 
absoluto, mas sim uma margem aceitável de erro, dentro da qual se pode 
trabalhar, sem que as coisas saiam do controle. E estes erros são os detalhes 
para o sucesso de qualquer construção, já que os mesmos maximizam as 
performances de produção, contribuindo amplamente com a redução do tempo e 
do dinheiro gasto nas obras. Exemplo concreto disto é o cálculo e a análise da 
carga máxima suportada por uma ponte qualquer. 
Uma aplicação do Cálculo Numérico é a resolução analítica de uma 
equação não linear, por meio do método de Newton. O mesmo tem como 
finalidade determinar as raízes de uma função, consistindo em atribuir uma 
estimativa inicial para a raiz da função e posteriormente, gerar sequências de 
aproximações, sendo cada ponto determinado pela reta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) em 
(𝑥𝑘, 𝑓(𝑥𝑘)) com o eixo x. 
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2 OBJETIVOS 
 
2.1 Objetivos Gerais 
Analisar problemas que abrange os métodos numéricos e que possam 
ser resolvidos utilizando os mesmos, estando estes relacionados com a 
Engenharia Civil. 
 
2.2 Objetivos Específicos 
Verificar o desenvolvimento da aplicação dos métodos numéricos 
referente à movimentação de um determinado pêndulo. 
 
3 MÉTODOLOGIA E DESENVOLVIMENTO 
 
3.1 Definição do Problema 
Para demonstrar uma aplicação prática de alguns 
métodos matemáticos estudados na matéria de Cálculo Numérico. Utilizou-se o 
exemplo citado no livro escrito por Maria Tereza Torres Monteiro, e com a 
colaboração de Sara Tribuzi M. N. Morais, da Universidade do Minho, em 
fevereiro de 2012. 
O livro relaciona o movimento de um pêndulo com as Equações Não 
Lineares para realizar o cálculo do instante exato em o referido pêndulo toca uma 
parede. O exemplo foi elaborado com base às análises do cotidiano e tem como 
referências medidas bases: 
- t (segundos): equivale ao instante de tempo; 
- d (cm): consiste na distância entre o pêndulo e a parede em análise, 
dependendo do tempo. 
Para facilitar a visualização do problema, desenvolveu-se uma imagem 
explicativa para retratar o mesmo. Visualiza-se a Figura 1 esquematizada logo em 
seguida: 
 
 
6 
 
 
 
Figura 1: Pêndulo 
 
Fonte: https://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/14965/6/livro_mn.pdf, 2021. 
 
3.2 Modelagem Matemática 
O pêndulo representado está pendurado em um teto de uma sala e 
balança conforme a expressão matemática a seguir: 
 
d = 80+90cos( 
𝜋
3
 t), t ≥ 0 
 
Utilizando todas as informações dadas, podemos calcular o momento 
exato, em segundos, no qual o pêndulo encosta a parede da sala, e verificar 
também uma estimativa de erro. 
 
3.3 Solução Numérica 
Escolhemos, entre os métodos de solução estudados, o Método de 
Newton Raphson. Que consiste em: 
• Atribuir uma estimativa inicial x0 ∈ [a,b] para a raiz de f(x)=0 
• Gerar sequências de estimativas 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, ... , 𝑘−1, 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 onde cada 
ponto é determinado pela reta tangente a 𝑦 = 𝑓(x) em (x𝑘, 𝑓(x𝑘)) com o eixo 
𝑥. 
• Para cada iteração, utiliza-se a formula: 
 
x𝑘+1 = xk −( 
𝑓(𝑥𝑘)
𝑓′(𝑥𝑘)
) , ∀ 𝑘 = 0, 1, 2, 3, … 
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Utilizaremos como estimativa inicial t1 = 4, e o critério de parada é ε1 = 
ε2 = 10−3 ou no máximo 4 iterações. 
 
3.4 Obtenção de Resultados 
Efetuamos a mudança de variável: t → x e d → f(x), e utilizamos a 
calculadora em modo radianos. Tendo d = 0 quando o pêndulo toca na parede, 
podemos escrever que: 
 
f(x) = 80+90cos( 
𝜋
3
 x) = 0 
 
A derivada da função é f’(x) = -30πsen( 
𝜋
3
 x). 
Utilizamos uma tabela para melhor visualização da resolução. 
 
Tabela 1: Iterações para resolução 
K xk x𝑘+1 = xk −( 
𝒇(𝒙𝒌)
𝒇′(𝒙𝒌)
) f(xk+1) |f(xk+1)| < ε 
0 X0 = 4 X1 = 4 – (
35
81,621
) = 3,5712 5,6258 5,6258 > 0,001 
1 X1 = 3,5712 X2 = 3,5712 – (
5,6258
53,0730
) = 3,4652 0,4699 0,4699 > 0,001 
2 X2 = 3,4652 X3 = 3,4652 – (
0,4699
44,1188
) = 3,4545 0,0050 0,0050 > 0,001 
3 X3 = 3,4545 X4 = 3,4545 – (
0,0050
43,1828
) = 3,4544 -0,0015 0,0015 > 0,001 
 
Fonte: Arquivo próprio, 2021. 
 
3.5 Análise de Resultados 
Desse modo, a solução é encontrada ao fim de 4 iterações, já que a 
partir desse momento o número começará a se repetir, e encontramos que o 
instante t em que o pêndulo tocará a parede é aproximadamente 3,4544 
segundos, com uma estimativa de erro de 0,0015. 
 
 
8 
 
 
 
4 CONCLUSÃO 
 
Tendo em vista a grande aplicabilidade do cálculo numérico em 
diversos problemas, neste trabalho em específico sobre a aplicação de sistemas 
de equações não lineares, pode-seobservar a importância do conhecimento dos 
modelos numéricos no desenvolvimento de sistemas que facilitam a resolução em 
diversas áreas do conhecimento científico. 
Concluiu-se que, neste modelo apresentado, resolvendo o sistema 
através do Método de Newton conseguiu-se obter resultados coerentes e 
satisfatórios que comprovam a proximidade deste com os resultados analíticos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
Breve história do Cálculo. Disponível em: 
<http://mat.ufpb.br/~lenimar/histcalc.htm>. Data do acesso: 01 de março de 2021. 
 
Cálculo Numérico. Disponível em: 
<http://www2.ime.unicamp.br/~eabreu/disciplinas/ms211-cursao/>. Data do 
acesso: 01 de março de 2021. 
 
Introdução aos Métodos Numéricos. Disponível em: 
<http://www.professores.uff.br/diomarcesarlobao/wp-
content/uploads/sites/85/2017/09/note6.pdf>. Data do acesso: 01 de março de 
2021. 
 
Utilização do Cálculo Numérico na Engenharia. Disponível em: 
<http://engineer-scraps.blogspot.com/2011/08/utilizacao-do-calculo-numerico-
na.html>. Data do acesso: 01 de março de 2021. 
 
Métodos Numéricos: exercícios resolvidos aplicados à Engenharia e outras 
Ciências. Disponível em: 
https://repositorium.sdum.uminho.pt/bitstream/1822/14965/6/livro_mn.pdf. Data do 
acesso: 01 de março de 2021.