APOSTILAONDASEMARÉS(1)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO 
CENTRO DE CIÊNCIAS HUMANAS E NATURAIS 
DEPARTAMENTO DE OCEANOGRAFIA E ECOLOGIA 
 
 
 
BRENO DUQUE LUCAS 
DECIMARA CAPUCHO 
FERNANDA PERASSOLI 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ONDAS E MARÉS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2012 
 
 
BRENO DUQUE LUCAS 
DECIMARA CAPUCHO 
FERNANDA PERASSOLI 
 
 
 
 
 
 
 
APOSTILA DE ONDAS E MARÉS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VITÓRIA 
2012 
Apostila apresentado à disciplina de Ondas 
e Marés do curso de graduação em 
oceanografia da Universidade Federal do 
Espírito Santo ministrada pelo professor 
DSc. Julio Tomás Aquije Chacaltana. 
 
 
Sumário 
 
CAPÍTULO 1 ................................................................................................... 11 
1.1 Introdução á ondas e marés ................................................................ 12 
1.2 Condição Dinâmica ............................................................................. 14 
1.3 Condição Cinemática .......................................................................... 15 
1.4 Condição dinâmica .............................................................................. 16 
CAPÍTULO 2 .................................................................................................... 19 
2.1 Condições de contorno para superfície livre ....................................... 20 
2.2 Princípios Físicos no Estudo de Ondas ............................................... 22 
2.3 Tensão superficial ............................................................................... 24 
2.4 Ondas .................................................................................................. 24 
2.5 Equação de Euler (Bernoulli) .............................................................. 24 
2.6 Condições de contorno ....................................................................... 27 
2.7 Teoria da pertubação .......................................................................... 28 
2.8 Teoria da ordem de grandeza ............................................................. 28 
CAPÍTULO 3 .................................................................................................... 30 
3.1 Condições de Contorno .......................................................................... 31 
3.2 Condição de contorno lateral: Periodicidade ........................................... 31 
3.3 Teoria linear ............................................................................................ 32 
3.4 Ordem de grandeza ................................................................................ 33 
CAPÍTULO 4 .................................................................................................... 34 
4.1 Periodicidade .......................................................................................... 35 
4.2 Séries de Taylor ...................................................................................... 37 
4.3 Teoria linear ou de Airy ........................................................................... 39 
 
 
4.4 Separação de variáveis ........................................................................... 39 
4.5 Condição de contorno para o leito. ......................................................... 42 
CAPÍTULO 5 .................................................................................................... 44 
5.1 Separações de variáveis ......................................................................... 45 
5.2 Equação da dispersão ............................................................................ 46 
5.3 Celeridade ............................................................................................... 49 
5.4 Velocidade de grupo ............................................................................... 51 
CAPÍTULO 6 .................................................................................................... 52 
CAPÍTULO 7 .................................................................................................... 65 
7.1 Ondas progressivas ................................................................................ 66 
7.2 Trajetória de uma partícula ..................................................................... 67 
7.3 Tipos de Ondas ....................................................................................... 69 
7.3.1 ÁGUAS RASAS ................................................................................... 70 
7.3.2 ÁGUAS INTERMEDIÁRIAS ................................................................. 71 
7.3.3 ÁGUAS PROFUNDAS ......................................................................... 72 
CAPÍTULO 8 .................................................................................................... 74 
8.1 Energia .................................................................................................... 80 
CAPÍTULO 9 .................................................................................................... 82 
9.1 Energia Potencial .................................................................................... 83 
9.2 Energia Cinética ...................................................................................... 87 
9.3 Velocidade de Grupo .............................................................................. 88 
9.4 Fluxo de Energia ..................................................................................... 90 
CAPÍTULO 10 .................................................................................................. 97 
10.1 Transformações das Ondas .................................................................. 98 
10.2 Refração ............................................................................................... 99 
 
 
10.3 Difração ............................................................................................... 100 
10.4 Reflexão .............................................................................................. 101 
10.5 Lei de Snell ......................................................................................... 102 
CAPÍTULO 11 ................................................................................................ 105 
11.1 Lei de Snell ......................................................................................... 106 
11.2 Quebra da onda (break) ...................................................................... 113 
11.3 Águas rasas ........................................................................................ 116 
CAPÍTULO 12 ................................................................................................ 118 
12.1 Ondas longas ...................................................................................... 119 
12.2 Onda estacionária ............................................................................... 124 
12.3 Simplificação de Ondas Longas .......................................................... 128 
CAPÍTULO 13 ................................................................................................ 135 
13.1 Onda longa ......................................................................................... 136 
13.2 Modos de oscilação ............................................................................ 139 
13.2.1 Seiching ........................................................................................... 139 
13.3 Efeito geostrófico em ondas longas .................................................... 144 
CAPÍTULO 14 ................................................................................................ 147 
14.1 Efeito Geostrófico ................................................................................ 148 
14.2 Marés - Comentários ........................................................................... 149 
14.3 Efeito Geostrófico(continuação) ......................................................... 150 
14.4 Ondas Internas .................................................................................... 153 
14.5 Modelo barotrópico ............................................................................. 153 
14.6 Modelo baroclínico .............................................................................. 154 
14.7 Simplificações do Problema de Ondas Internas ................................. 154 
14.8 Considerações (Hipóteses Simplificadoras) ........................................ 155 
 
 
14.9 Condições no domínio do fluido .......................................................... 159 
14.10 Condições de Contorno no Leito ....................................................... 164 
14.11 Condições de Contorno na Interface ................................................. 164 
14.12 Tipos de Ondas ................................................................................. 165 
CAPÍTULO 15 ................................................................................................ 167 
15.1 Onda interna ....................................................................................... 168 
15.2 Caso 1: Ondas curtas ......................................................................... 169 
15.3 CASO 2: Ondas longas ....................................................................... 170 
15.4 CASO 3: .............................................................................................. 172 
15.5 Considerações: ................................................................................... 173 
15.6 Para um oceano estratificado.............................................................. 174 
15.7 Força gravitacional - Maré .................................................................. 179 
15.8 Maré astronômica – sistema terra-lua. ................................................ 180 
15.9 Ondas ................................................................................................. 181 
15.10 Série de Fourier ................................................................................ 184 
ANEXOS ........................................................................................................ 186 
 
 
 
 
Lista de Figuras 
 
Capítulo 1 
Figura 1. 1 – Condição Dinâmica ..................................................................... 14 
Figura 1. 2 – Condição Cinemática .................................................................. 15 
Capítulo 2 
Figura 2. 1 - - A figura a, representa-se a força inclinada que atuam sobre a 
superfície, e a figura b as condições de contorno de impenetrabilidade e de 
não-escorregamento. ....................................................................................... 20 
Figura 2. 2 - Linha de corrente. ........................................................................ 26 
Capítulo 3 
Figura 3. 1 - Condição de contorno lateral. ...................................................... 31 
Capítulo 4 
Figura 4. 1 - Região de interesse limitada espacialmente pela superfície livre, 
leito e laterais. .................................................................................................. 35 
Figura 4. 2 - Série de Taylor em uma função contínua (x). .............................. 37 
Figura 4. 3 - Segmento de onda indicando diferentes valores de z. ................. 38 
Figura 4. 4 - Projeção do que ocorre na superfície para o nível médio. ........... 39 
Capítulo 6 
Figura 6. 1 - Propagação de onda .................................................................... 53 
Figura 6. 2 - Cristas de onda. ........................................................................... 58 
Figura 6. 3 - Comprimento de onda. ................................................................. 60 
Figura 6. 4 - Ondas Planas............................................................................... 61 
Figura 6. 5 - Zona de geração de onda. ........................................................... 63 
Capítulo 7 
Figura 7. 1 - Propagação de onda na direção x: linha contínua representando 
e pontilhada representando . ......................................................................... 66 
 
 
Figura 7. 2 - Trajetória de uma partícula no interior do fluido. A trajetória tende a 
ser fechada, formando uma elipse. .................................................................. 67 
Figura 7. 3 - Trajetória de uma partícula com velocidades u e w, mudança de 
referencial......................................................................................................... 68 
Figura 7. 4 - Trajetória de uma partícula em águas rasas. ............................... 70 
Figura 7. 5 - Trajetória da partícula em águas intermediarias. ......................... 71 
Figura 7. 6 - Trajetória da partícula em águas profundas. ................................ 72 
Capítulo 8 
Figura 8. 1 - Onda se propagando na direção x. .............................................. 77 
Figura 8. 2 - Onda se propagando na direção x. Equacionamento da energia 
potencial e cinética, em função de propriedades da onda. .............................. 80 
Capítulo 9 
Figura 9. 1 - Energia potencial. ........................................................................ 83 
Figura 9. 2 - Energia Cinética. .......................................................................... 87 
Figura 9. 3 - Força de pressão ocasionando energia na onda ......................... 90 
Figura 9. 4 - Duas ondas se propagam com diferentes celeridades. ............... 92 
Figura 9. 5 - Envoltório de onda. ...................................................................... 95 
Capítulo 10 
Figura 10. 1 - Comportamento da amplitude da onda. ..................................... 99 
Figura 10. 2 - Refração de ondas. .................................................................. 100 
Figura 10. 3 - - Difração de onda. ................................................................... 100 
Figura 10. 4 - Uma crista de propagando e interagindo com um estreitamento. 
A energia que passa por esse estreitamento sofre um espalhamento. .......... 101 
Figura 10. 5 - - Reflexão especular de uma onda. ......................................... 101 
Figura 10. 6 - P1 e P2 representam profundidades diferentes, onde P1 é maior 
do que P2. ...................................................................................................... 102 
Capítulo 11 
Figura 11. 1 - Onda que se propaga em direção à costa. .............................. 106 
 
 
Figura 11. 2 - Onda que se propaga em uma região costeira com um referencial 
onde se conhece a batimetria. ....................................................................... 107 
Figura 11. 3 - Gráfico da tangente hiperbólica de x com os limites de águas 
intermediárias. ................................................................................................ 108 
Figura 11. 4 - Esquema do sistema de coordenadas naturais. ...................... 110 
Figura 11. 5 - Raios da onda refratada. .......................................................... 111 
Figura 11. 6 - Parâmetros da quebra de uma onda. ....................................... 113 
Figura 11. 7 Declividade da praia. .................................................................. 114 
Figura 11. 8 - Canal de energia. ..................................................................... 115 
Figura 11. 9 - Situação em que os raios são paralelos. ................................. 116 
Capítulo 12 
Figura 12. 1 - Onda estacionária .................................................................... 124 
Figura 12. 2 - movimento do fluido devido a propagação de uma onda. ........ 128 
Capítulo 13 
Figura 13. 1 - Interação de ondas. ................................................................. 136 
Figura 13. 2 - Onda em um recipiente,1º modo. ............................................ 139 
Figura 13. 3 - Onda em um recipiente, 2º modo. ............................................ 140 
Figura 13. 4 - Onda em um recipiente, 3º modo. ............................................ 141 
Figura 13. 5 - Onda em um recipiente, 4º modo. ............................................ 142 
Figura 13. 6 - Efeito Geostrófico. .................................................................... 145 
Capítulo 14 
Figura 14. 1 - Onda se propagando em um canal ao longo de x.................... 149 
Figura 14. 2 - Cotidal lines. Onde o eixo x são valores de kx e o y de máxima 
elevação da onda ( ). .................................................................................. 152 
Figura 14. 3 - Representação de uma onda interna simplificada, ou seja, duas 
camadas de fluido. ......................................................................................... 154 
Capítulo 15 
 
 
Figura 15. 1 - Desenho da onda de superfície e da onda interna. .................. 168 
Figura 15. 2 - Oceano estratificado. ............................................................... 174 
Figura 15. 3 - Onda interna em um meio estratificado. .................................. 177 
Figura 15. 4 - Perfil das velocidades de u e w de uma onda interna. ............. 179 
Figura 15. 5 - Sistema Terra-Lua. .................................................................. 180 
Figura 15. 6 - Interação Terra-Lua. ................................................................ 182 
 
 
 
 
Lista de Tabela 
Capítulo 15 
Tabela 15.1 - Componentes de maré de curto período...................................185 
Tabelas 15.2 - Componentes de marés de longos períodos...........................185
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
12 
 
1.1 INTRODUÇÃO Á ONDAS E MARÉS 
Para o estudo de ondas e marés irão se usar as leis físicas dadas por: 
1. Lei de Lavoisier – Conservação da massa: num volume de controle fixo 
a massa não é comprimida nem expandida. 
2. 2a Lei de Newton: Uma força aplicada a uma determinada massa 
provoca uma aceleração inversamente proporcional a massa. 
3. Conservação da Energia: a energia se conserva, não é criada nem 
destruída. 
4. Conservação da Substância: Em um volume fixo no espaço a massa 
especifica da substância não é comprimida ou expandida. 
As equações que serão usadas são: 
1. Conservação da Massa 
a)Para fluidos incompressíveis: 
 
Eq.1. 1 
b)Para fluidos compressíveis: 
 
 
  
Eq.1. 2 
2. Conservação da Quantidade de Movimento: 

 
 
  
Eq.1. 3 
Sendo os termos da equação dados por: 
13 
 

 
 
 
 
 
 
3 Conservação da Energia 

 
 
  
Eq.1. 4 
Sendo os termos da equação dados por: 

 
 
 
 
 
 
4 Conservação da Substância 
 
 
 
 
 
 
Eq.1. 5 
Tais equações são válidas para todos os pontos do fluido, exceto para o 
contorno. Para estes, assumem-se as seguintes condições: 
 
14 
 
1.2 CONDIÇÃO DINÂMICA 
 
Figura 1. 1 – Condição Dinâmica 
 
Baseia-se na 3ª lei de Newton, onde aplicando-a a situação de ondas 
resultada na afirmativa de que as tensões geradas pelo ar devem ser iguais 
as que a água sofre na interface água-ar. 
 
Eq.1. 6 
Onde, a tensão resultante de cada meio compreende as tensões normais e 
tangenciais. 
 
Eq.1. 7 
E conforme a lei da viscosidade de Newton: 
 
Eq.1. 8 
 
 
15 
 
1.3 CONDIÇÃO CINEMÁTICA 
 
Figura 1. 2 – Condição Cinemática 
É fruto da conservação da massa, a partícula permanece na superfície devido 
a velocidade vertical da superfície livre ser igual a velocidade do fluido, não se 
movendo assim para o interior do fluido. 
Para se analisar o movimento condições devem ser ditas: 
 
Eq.1. 9 
 
Eq.1. 10 
A Eq.1.9 diz que o ponto irá permanecer na superfície da água e a Eq.1.10 é a 
equação que principal que vai reger o movimento. 
Colocando-se a Eq.1.9 e a Eq.1.10 em função do tempo, temos que a taxa de 
variação é zero: 
 
 
 
Eq.1. 11 
Isolando-se os termos temos: 
 
 
 
16 
 
Eq.1. 12 
 
 
 
Eq.1. 13 
Isolando-se os termos temos: 
 
 
 
Eq.1. 14 
 
 
 
 
 
 
Eq.1. 15 
Tem-se que: 
 
 
 
Partindo-se da Eq. 1.15 obtém-se a condição cinemática: 
 
 
 
 
Eq.1. 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.1. 17 
 
1.4 CONDIÇÃO DINÂMICA 
 
Eq.1. 18 
17 
 
 
Eq.1. 19 
 
Eq.1. 20 
Onde, é o vetor densidade de força; é a componente normal da força; é 
a componente tangencial da força. 
Então, as componentes normais na interface água-ar: 
 
Eq.1. 21 
 
Eq.1. 22 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.1. 23 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.1. 24 
 
 
 
Eq.1. 25 
O gradiente de alguma função é sempre perpendicular ao plano, então 
 
Eq.1. 26 
18 
 
 
 
 
Eq.1. 27 
No contorno com o fundo, a altura (h) em relação ao nível de água é dita 
constante no tempo, quando não se considera as variações morfodinâmicas do 
fundo. Caso contrário: 
 
Eq.1. 28 
Condições dinâmicas e cinemáticas devem ser consideradas no fundo se 
houver troca de água com o mesmo. Caso contrário, assume-se a condição de 
não penetração e não escorregamento, que diz que a velocidade em uma 
superfície rígida é zero, dada por: 
 
Eq.1. 29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
19 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 
 
2.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA SUPERFÍCIE LIVRE 
Como visto na aula anterior, a elevação da superfície (z), é dado em função 
das variáveis horizontais e do tempo: 
),,( tyxz  
Eq.2. 1 
 
Figura 2. 1 - A figura a, representa-se a força inclinada que atuam sobre a 
superfície, e a figura b as condições de contorno de impenetrabilidade e de não-
escorregamento. 
 
Na superfície livre, a condição cinemática pode ser escrita como: 
y
v
x
uw
t 






 
 
Eq.2. 2 
Descrevendo-se assim a variação do nível da água no tempo. 
Quanto à condição dinâmica, temos que as tensões que atuam na superfície 
são a tensão normal e tangencial, sendo elas: 
Normal: águaatm
PP 
 
Indicando que a pressão realizada pelo ar vai ser igual à pressão que a água 
irá receber. 
a) 
b) 
21 
 
Tangencial: uar
águaar






 
onde se conclui que a tensão que o ar provoca tem que ser a mesma que a 
água sofre. 
Na coluna d‟água aplica-se conservação da massa: 
0. u

 
Eq.2. 3 
E conservação da quantidade de movimento: 
upguu
t
u 

2. 



 
Eq.2. 4 
Sendo os termos da equação dados por: 
t
u




= taxa de variação da quantidade de movimento em um ponto fixo no 
espaço. 
uu

. = transporte da quantidade de movimento por unidade de massa devido 
ao movimento do fluido. 
p = força de superfície por unidade de volume 
g

 = força de corpo por unidade de volume 
u
2 = transporte difusivo da quantidade de movimento por unidade de massa. 
Estas equações (Eq.2.3 e Eq.2.4) são dadas para um fluido incompressível. 
Além disso, tendo em vista que as equações anteriores possuem a derivada de 
maior ordem sendo quadrada, são necessárias duas condições de contorno 
para a solução de nossos problemas. Assim, tem-se que: no leito a velocidade 
22 
 
normal e tangencial são nulas, devido às condições de impenetrabilidade e não 
escorregamento das partículas do fluido, ilustradas na Figura 2.1. Nessas 
equações temos quatro incógnitas: u, v, w e p, para4 equações escalares, 
garantindo a resolução do problema. 
No leito a velocidade normal e tangencial é nula, devido às condições de 
impenetrabilidade e não escorregamento das partículas do fluido. 
A não-linearidade de uma equação pode ocorrer devido ao produto de duas 
incógnitas. Quando se tem uma equação não linear, para solucionar o 
problema é usado o método analítico e numérico. O método analítico soluciona 
as equações por cálculos matemáticos e o método numérico aproxima a 
derivada parcial por algoritmos algébricos. Usa-se uma grade para 
discretização de pontos, não é mais contínuo. Esses métodos são utilizados 
uma vez que os termos não-lineares ( y
v
x
uuu






 ;;.

) são de difícil resolução. 
 
2.2 PRINCÍPIOS FÍSICOS NO ESTUDO DE ONDAS 
A primeira hipótese para o estudo de ondas está relacionada à viscosidade. 
Vamos considerar que a partícula fluida por onde a onda passa é irrotacional, 
por isso diz-se que a viscosidade não é importante, não tem efeito de ocasionar 
rotação. Portanto, em escoamento induzido pela onda diz-se que é irrotacional. 
A condição matemática é: 
0 u

 
Eq.2. 5 
Desta forma a equação da conservação da quantidade de movimento se torna: 
pguu
t
u


 

 
Eq.2. 6 
23 
 
Como já foi citado, têm-se duas condições de contorno para o leito 
(impenetrabilidade e não-escorregamento). Como não temos mais o termo 
viscoso (com a derivada de segunda ordem), então se deve escolher uma 
condição de contorno no leito e não duas. Portanto deve-se escolher a 
condição de impenetrabilidade, uma vez que as partículas não conseguem 
perfurar o leito, mantendo-se a coerência física. 
Para simplificar as equações, irá se adotar a Equação de Laplace, tal equação 
diminui o número de incógnitas e aumenta a ordem das derivadas (derivada de 
segunda ordem). 
Para isso, tem-se a equação da conservação da massa: 
0. u

 
Eq.2. 7 
Adotando um novo valor para a velocidade ( ), temos: u
 
Eq.2. 8 
Substituindo a eq. 2.8 na eq. 2.7 temos que: 
0)(   
Eq.2. 9 
Da conservação da massa se obtém então que: 
0).( 2   
Eq.2. 10 
Obtém-se então uma equação escalar com três incógnitas, u, v e w. 
A eq.2.10 é conhecida como a Equação de Laplace que é uma equação 
escalar com uma incógnita, podendo ser escrita na forma extensa por: 
24 
 
0
2
2
2
2
2
2
2 









zyx


 
Eq.2. 11 
Conhecendo-se o valor de  (função potencial de velocidade), é possível 
calcular a velocidade. Com isso, a equação do movimento torna-se uma 
equação para calcular a pressão (única incógnita). 
 
2.3 TENSÃO SUPERFICIAL 
Devido aos efeitos moleculares devem-se aparecer os efeitos da tensão 
superficial, sendo a força que mantém as moléculas unidas, dada por força por 
unidade de comprimento. 
 
Eq.2. 12 
 
2.4 ONDAS 
Para estudo de ondas será considerado que não há influência de correntes. 
O escoamento será irrotacional, tendo-se o termo u
2 (força cisalhante) da 
equação da quantidade de movimento desconsiderado. 
 
2.5 EQUAÇÃO DE EULER (BERNOULLI) 
A equação de Euler é válida quando não tenho variação temporal e o fluido é 
homogêneo. 
Então se partindo da equação da conservação da quantidade de movimento 
(Eq.2.4), irá se analisar e manipular cada termo tem-se que: 
25 
 
 














ttt
u 

 
Eq.2. 13 
Obs.: Considerando  constante e fluido homogêneo. 
No referencial de Euler a derivada espacial e temporal são independentes, por 
isso, foi possível invertê-las. 
Através da multiplicação vetorial, tem-se: 
 
 
 
 
Eq.2. 14 
Devido ao fato da gravidade(g) ser uma força conservativa, temos: 
 
Eq.2. 15 
Como  não varia espacialmente (derivada nula), ela pode ser manipulada 
dessa maneira: 






 pp

11
 
Eq.2. 16 
Substituindo-se todas as equações acima na Eq.2.4 e tomando-se a equação 
de La place temos: 
cte
p
gz
t










 0.
2
1



 
Eq.2. 17 
26 
 
O gradiente de uma função escalar é zero quando a função é constante. Ao 
longo de uma linha de corrente (Fig.2.2) a soma desses quatro termos da 
equação acima será sempre constante: 
0..
2
1
. u
p
gz
t
u














 
Eq.2. 18 
A eq. 16 é perpendicular ao vetor velocidade. Como o produto interno entre 
vetores perpendiculares é nulo ( ), obtém-se a equação de Euler, dada 
por: 
0.
2
1





 p
gz
t 
Eq.2. 19 
Assumindo um escoamento estacionário ( ), temos a Equação de Bernoulli: 
cte
p
gz 

.
2
1
 
Eq.2. 20 
A equação de Euler (Eq.2.18) possui o termo de variação temporal, enquanto 
que na equação de Bernoulli não existe tal termo. 
 
 
 
Figura 2. 2 - Linha de corrente. 
27 
 
 
2.6 CONDIÇÕES DE CONTORNO 
Como foi retirado o termo da viscosidade das equações duas condições de 
contorno podem ser feitas: 
A primeira é que no leito adota-se a condição de impenetrabilidade: 
0



n
un

 
Eq.2. 21 
A segunda é que, adota-se o escoamento com superfície livre, ou seja, sem 
cisalhamento, pois a viscosidade não atua na água. 
Em superfície tem-se: 
A equação cinemática não-linear: 
yyxxzt 













 
 
Eq.2. 22 
Sendo: 
 
  0p . 
E a equação dinâmica linear: 
0.
2
1







g
t
 
Eq.2. 23 
28 
 
Para se resolver matematicamente as equações acima, lança-se mão de duas 
técnicas numéricas: teoria da perturbação e teoria da ordem de grandeza. 
 
2.7 TEORIA DA PERTUBAÇÃO 
Permite a solução de várias equações lineares por ordem de exponência. 
Dando as condições de contorno para o fluido para cada ordem até a quinta. 
2
2
1
1
0
0
2
2
1
1
0
0 ...
,





1 KA 
Eq.2. 24 
A função potencial de velocidade ( ) é igual a soma das velocidades de suas 
componentes. Onde: 
 A= amplitude 
K = número de ondas. 
Os termos de ordem zero estão relacionados à correnteza os de ordem 2 estão 
relacionado a interação onda-corrente e o termo de ordem 1 corresponde ao 
efeito da onda. 
 
2.8 TEORIA DA ORDEM DE GRANDEZA 
Na teoria da ordem de grandeza os termos quadráticos são desconsiderados 
restando somente o termo linear. 
Ondas pequenas, vão induzir velocidades menores, o contrário também é 
válido. 
29 
 
)()( 


u

 
Eq.2. 25 
Assim temos, na superfície: 
0










g
t
zt
 
Eq.2. 26 
Na coluna d‟água: 
02   
Eq.2. 27 
No leito: 
0




 
Eq.2. 28 
Tendo-se então um problema totalmente linear. 
 
 
 
 
 
 
30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 
 
3.1 CONDIÇÕES DE CONTORNO 
Em nossos estudos de onda, para determinar de forma particular a um 
domínio, as incógnitas de nossos problemas, é necessário resolver as 
equações da continuidade e da quantidade de movimento para as condições 
de contorno deste. 
Sendo que, as condições de contorno são de natureza cinemática, quando 
relacionadas com o movimento das partículas do fluido, ou dinâmica, quando 
relacionada com as forças que atuam nas partículas. 
Essas condições já foram anteriormente definidas, tanto para superfície quanto 
para o fundo, entretanto não são suficientes para a solução das equações 
anteriormente citadas. Restando apenas os limites laterais para serem 
considerados. 
 
3.2 CONDIÇÃO DE CONTORNO LATERAL: PERIODICIDADE 
Para as condições de contorno laterais, será assumida a periodicidade da 
onda. Para isso, nas duas extremidades (ou laterais) na direção-x do domínio, 
tanto a profundidade quanto a elevação da superfície devem ser iguais. Bem 
como a velocidade (tanto em módulo, quanto direção e sentido) deve ser igual 
para pontos equivalentes nestas duas extremidades. 
 
 
Figura3. 1 - Condição de contorno lateral. 
 
32 
 
3.3 TEORIA LINEAR 
Pela teoria linear tem-se que os termos de 1° ordem são mais representativos 
para os resultados que os termos de maior ordem, bem como é demonstrado a 
seguir para as condições cinemáticas e dinâmicas consideradas em nossos 
estudos de onda. 
A condição cinemática é representada pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.3. 1 
Já a condição dinâmica é representada pela seguinte expressão: 
 
 
 
 
 
 
Eq.3. 2 
Onde: 
 – função potencial da velocidade: 
 – representa o estado da superfície. 
Sendo e duas incógnitas nas equações anteriores. 
Sendo que as duas condições apresentam termos não lineares, ou seja, ocorre 
um produto entre duas incógnitas, o que dificulta a solução das equações, seja 
de forma analítica ou numérica. Assim, para simplificar nossas equações, 
mantendo certa representatividade da solução, utiliza-se da Teoria de 
Perturbação e Ordem de Grandeza. 
 
33 
 
3.4 ORDEM DE GRANDEZA 
Sendo Epsilon (ε), o produto do número de ondas ( ) vezes a amplitude da 
onda ( ), representado por: 
 
Eq.3. 3 
Sendo: . 
Onde: 
k- número de ondas 
 – amplitude da onda 
 – comprimento da onda 
E considerando: 
 e 
 
Eq.3. 4 
Além disso, realizando uma análise da ordem de grandeza dos termos das 
equações da condição dinâmica e cinemática apresentadas anteriormente, 
considerando que os termos de ordem maior que um, podem ser 
desconsiderados, por possuírem contribuição muito pequena nos resultados. 
Portanto, os termos não-lineares podem ser desconsiderados, obtendo-se a 
equação linear da condição cinemática e dinâmica, respectivamente, 
representadas por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.3. 5 
Assim, tem-se que pequenas ondas induzem pequenas velocidades. 
34 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
4.1 PERIODICIDADE 
As condições de contorno, conforme vistas anteriormente permitem 
particularizar a solução do problema, e a representação deste é dada a seguir: 
 
 
 
Figura 4. 1 - Região de interesse limitada espacialmente pela superfície livre, 
leito e laterais. 
 
 
A expressão matemática para a condição de periodicidade a ser satisfeita nas 
laterais é dada pelas seguintes equações: 
 
 
 
Eq.4. 1 
 
Onde: 
 = um número inteiro qualquer, 
 = comprimento de onda 
 = a elevação do nível da água. 
36 
 
Portanto, temos que representa o último ponto do domínio e determina que 
a onda irá terminar na mesma posição, ou seja, numa cava ou crista. Para as 
laterais na superfície livre (pontos A e B no desenho), a elevação deve ser a 
mesma, ou seja, para e , para um mesmo z e tempo. 
Já em relação a u e w, a periodicidade é válida para qualquer z, desde que 
esteja embaixo da água. 
As variáveis das equações acima, a elevação da superfície , a componente 
da velocidade vertical e a componente da velocidade ao longo de x , 
devem ter os mesmos valores nos pontos correspondentes das laterais em 
uma mesma cota e mesmo tempo. Sendo que a primeira equação é válida para 
a superfície livre e as outras duas para a coluna d‟água. 
Após definidas as equações a serem satisfeitas, nota-se que as equações que 
foram linearizadas são as da superfície livre, pois eram as únicas não lineares. 
Além disso, apesar de termos todas as condições de contorno definidas, para 
resolver o problema ainda deve-se encontrar o valor da incógnita ( ) presente 
na equação de Laplace, , válida para o meio do fluido (domínio), e com 
isso os valores de velocidade e pressão sendo capaz a partir dai estudar o 
movimento em questão. 
Encontrando-se o valor do Laplaciano de , nos é permitido obter a velocidade 
e posteriormente a pressão a partir da seguinte equação: 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 2 
Voltando aos valores de , onde somente a equação de Laplace deve ser 
solucionada, tem-se que o valor de para a superfície livre, para o meio do 
fluido e para o leito são diferentes. Para solucionarmos cada temos que 
analisar cada condição de contorno. 
37 
 
A análise de condição de contorno pode ser utilizada em alguns casos, como 
por exemplo, num simulador de ondas, há duas formas de produzir uma 
oscilação ou com a pá totalmente na perpendicular ou ainda com a pá 
inclinada. 
As condições que devem ser analisadas para resolver o problema são a não 
penetrabilidade, a velocidade e o grau de inclinação da pá. 
 
4.2 SÉRIES DE TAYLOR 
 
Figura 4. 2 - Série de Taylor em uma função contínua (x). 
 
Conhecendo-se uma função , sua derivada primeira , e sua derivada 
segunda , a Série de Taylor permite calcular: 
 , e 
Eq.4. 3 
Utiliza-se a Série de Taylor na componente w da velocidade para levar toda a 
informação de (superfície livre) para (nível médio). 
Equação para uma onda acima da superfície : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 4 
Equação para uma onda projetada ao nível médio 
38 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 5 
 
Figura 4. 3 - Segmento de onda indicando diferentes valores de z. 
 
Considerando-se no momento em que uma onda passa por um 
determinado ponto no espaço, este ponto espacial pode encontrar-se dentro ou 
fora da água, por isso, é considerado um nível médio para avaliar as Condições 
Dinâmica e Cinemática. 
Para se chegar à Teoria de Ondas Lineares de Pequena Amplitude são 
utilizadas as Séries de Taylor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 6 
Agora, as condições de contorno passam a ser analisadas em 
(aproximação utilizando as séries de Taylor). Além disso, são feitas 
simplificações do leito, ou seja, assume-se o leito como sendo plano. Portanto, 
após tais simplificações, torna-se possível resolver o problema a partir de 
soluções analíticas. 
39 
 
 
Figura 4. 4 - Projeção do que ocorre na superfície para o nível médio. 
 
4.3 TEORIA LINEAR OU DE AIRY 
Com o leito considerado plano, a velocidade normal terá apenas uma direção. 
 ( 
 
Eq.4. 7 
Como a função potencial de velocidade depende de três variáveis, utiliza-se 
o método de Separação de Variáveis. 
 
4.4 SEPARAÇÃO DE VARIÁVEIS 
A solução a partir deste método pode ser expressa como um produto de 
termos, onde cada termo é função de apenas uma das variáveis independentes 
(DEAN, DALRYMPLE, 1991). No caso, temos: 
 
Eq.4. 8 
Onde depende apenas da coordenada horizontal x, depende apenas 
da coordenada vertical z e varia apenas com o tempo. 
Solucionando a Equação de Laplace, temos que: 
40 
 
 
 
 
 
 
 ; 
Eq.4. 9 
Variando somente em duas dimensões (x e z). 
Como Z e T não dependem de x, assim como X e T não dependem de z, pode-
se retirar os termos independentes das derivadas, ficando uma em função de x 
e a outra em função de z: 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 10 
Para um melhor rearranjo da equação, é feita a divisão dos termos por XZT: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 12 
Sabe-se que seria uma solução inviável e como x e z são 
variáveis independentes, podem assumir valores arbitrários. Assim, para que a 
solução seja verdadeira deve ser uma constante, C, e a mesma 
constante, porém com valor negativo. 
 
Eq.4. 13 
41 
 
A suposição é válida pelo fato das equações serem lineares. 
 
 
 
 
 
 
onda decaimento 
Eq.4. 14 
O termo decaimento pode ser explicado, quando a onda se propaga em ummeio em repouso, quando vai para o fundo, perdendo sua velocidade de 
referência. 
Usando números imaginários (i), pode-se escrever a equação da onda: 
 
 
Euler 
Eq.4. 15 
Quando se têm senos ou cossenos têm-se oscilações. 
Além disso, sabe se que: 
 
Eq.4. 16 
Sendo que: 
O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico indicam ser decaimento. 
Para se provar que o sinal de K em Z é negativo, fazem-se as derivadas de 
cada variável. 
 Derivadas em relação a X: 
 
42 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 17 
 Derivadas em relação a Z: 
 
 
 
 
 
 
Eq.4. 18 
 
 
Eq.4. 19 
As condições de contorno particularizam A, B, C e D. 
 
4.5 CONDIÇÃO DE CONTORNO PARA O LEITO. 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
 
 
Eq.4. 20 
 = 0 
 
 
 
 
 
Eq.4. 21 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
5.1 SEPARAÇÕES DE VARIÁVEIS 
Voltando a questão de ondas da aula anterior, irá se continuar com a técnica 
de separação de variáveis, solucionando assim os valores de: X, Z, T, que são 
funções da incógnita . 
Sendo (Função potencial de velocidade) dado por: 
XZT 
Eq.5. 1 
Onde: 
ikxikx BeAeX  
Eq.5. 2 
kzkz DeCeZ  
Eq.5. 3 
titi FeEeT   
Eq.5. 4 
O valor da variável T que é a propagação da onda no tempo é dado por: 
 
Eq.5. 5 
Sendo a freqüência angular que será usada para adimensionalizar a Eq.5.4. 
Como deduzido no relatório anterior, o valor de C é dado por: 
46 
 
 
   
  
oHiperbolicCosseno
hzkhzk
kh
khkhkh
kh
ee
DeZ
DeeDeZ
DeChz





 





2
2
2
2
 
 )cosh(2 hzkDeZ kh  
Eq.5. 6 
 
5.2 EQUAÇÃO DA DISPERSÃO 
Para se descrever a equação da dispersão, irá se partir da equação da 
condição dinâmica na forma linearizada (nível médio – Z=0) mostrada abaixo: 
0





z
g
t

 
Eq.5. 7 
Derivando a condição dinâmica em relação à t e substituindo o termo 
 
 
 pela 
condição cinemática e substituindo o valor de (função potencial de 
velocidade) dado na Eq.5.1 na Eq. 5.7, tem-se: 
0
2
2






z
Z
gXT
t
T
XZ
 
Eq.5. 8 
Dividindo os termos por XZT, tem-se: 
0
11
2
2






z
Z
Z
g
t
T
T 
Eq.5. 9 
Substituindo o valor da variável (Eq.5.4) no primeiro termo da Eq.5.9: 
47 
 
 
 
 
 
 
Eq.5. 10 
Resolvendo então a primeira derivada: 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.5. 11 
E resolvendo a segunda derivada, obtém-se: 
 
 
 
Eq.5. 12 
Sabe-se que o valor de então, , substitui-se na Eq.5.12, se 
tem que: 
 
 
 
 
Eq.5. 13 
resolvendo a divisão resulta em: 
 
Eq.5. 14 
Obs.: Ambos os valores de ( ) dão o mesmo resultado 
 no cálculo da derivada. No caso acima, pegou-se o valor positivo da 
equação ( ). 
Para se resolver o segundo termo da Eq. 9, irá se substituir o valor de Z dado 
na Eq.6, então se tem: 
48 
 
 
 
 )cosh(2 hzkDekh 
  )cosh(2 hzkDe
kh 
 
 
Eq.5. 15 
Sendo: 
 
 
 
 
Resolvendo a derivada tem-se: 
 
 
 )cosh(2 hzkDekh 
 )(2 hzkksenhDekh  
Eq.5. 16 
Dividindo a equação, resulta: 
  )( hzkksenh 
 )cosh( hzk 
 
Eq.5. 17 
Substituindo os valores da Eq.5.14 e Eq.5.17 na Eq. 5.9, encontra-se a 
equação da dispersão, dada por: 
)(2 khgktgh 
Eq.5. 18 
A equação da dispersão pode ser reescrita como: 
 
Eq.5. 19 
49 
 
Sendo: 
k = número de ondas 
 
 
 
ω = freqüência angular 
 
 
 
A Eq.5.19 mostra que há uma dependência de ω em relação à k, indicando que 
ocorre dispersão. 
 
5.3 CELERIDADE 
A celeridade tem como objetivo averiguar qual a velocidade da onda, assim 
descobre-se a onda que está se propagando mais rápido e causando a 
dispersão. 
A celeridade é dada por: 
k
C


 
Eq.5. 20 
Substituindo os valores de ω e k, tem-se: 



2
2
TC 
 
Eq.5. 21 
Manipulando: 
 
 
 
 
 
 
Ao dividir os termos resulta: 
50 
 
 
 
 
 
Eq.5. 22 
Tal equação é também chamada de velocidade de propagação da onda ou 
velocidade de fase. 
A fim de se analisar o comportamento da onda a equação da dispersão 
(Eq.5.18), pode ser reescrita de outras formas: 
Ao se passar o k (nº de onda) para o lado esquerdo da igualdade e a ω 
(freqüência angular) para o lado direito, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
Eq.5. 23 
Substituindo o valor da celeridade ( ) (Eq.5.20), tem-se: 
 
 
 
 
Eq.5. 24 
Outra maneira de reescrever a equação da dispersão é dividindo os dois lados 
da equação pelo k (nº de onda): 
 
 
 
 
 
 
Eq.5. 25 
Ao se manipular a equação e substituir o valor da celeridade ( ) e o valor de k 
(nº de onda), tem-se: 
 
 
 
 
Eq.5. 26 
51 
 
A Eq. 5.24 e 26 mostra que quanto maior o valor da celeridade ( ) maior será o 
período da onda ( ). E quanto maior o período ( ) maior será o comprimento 
de onda ( ). E quanto maior for o comprimento de onda ( ) maior será o valor 
de ( ). 
 
5.4 VELOCIDADE DE GRUPO 
Velocidade de grupo é usada no transporte de energia da onda, sendo que 
esta não se propaga pela velocidade de fase, dada por: 
k
Cg




 
Eq.5. 27 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
Para se solucionar o valor da função potencial de velocidade ( ) é preciso 
decompor as suas funções, dadas por: 
 
Eq.6. 1 
Pela técnica de separação de variável já discutida anteriormente, temos que: 
 
Eq.6. 2 
 
Eq.6. 3 
 
Eq.6. 4 
 
Figura 6. 1 - Propagação de onda 
 
Assumindo-se um ponto do fluido onde se tem a geração de ondas ( ), e a 
partir do qual estas ondas se propagam para direita e para esquerda ao longo 
do eixo x, a propagação das ondas nos dois sentidos deve encontrar-se na 
solução da Eq.6.2. Nesta equação, o primeiro termo do lado direito refere-se à 
propagação da onda para a direita, enquanto que o segundo termo refere-se à 
propagação da onda para a esquerda, portanto, o sinal positivo/negativo do 
expoente acompanha o sentido positivo/negativo do eixo x. 
54 
 
Desconsiderando-se a onda que se propaga para a esquerda e acompanhando 
a onda referente ao primeiro termo da Eq.6.2, tem-se: 
 
Eq.6. 5 
Observa-se que o termo com o coeficiente B foi retirado, pois irá acompanhar 
somente a onda em seu sentido positivo, então B=0. Assumindo-se que , 
então: 
 
Eq.6. 6 
Essa equação deve satisfazer as condições de periodicidade por ser aplicada 
em x. 
Como condições de contorno da superfície livre, tem-se a Condição Cinemática 
(Eq.6.7) e a Condição Dinâmica (Eq.6.8), para as quais se considera o nível 
médio da superfície, onde . 
 
 
 
 
 
 
Eq.6. 7 
 
 
 
Eq.6. 8 
A partir da Eq.6.4, considerando ondas de tempos anteriores, temos: 
 
Eq.6. 9 
Calculando a derivada temporal da Eq.6.9, para aplicar na Eq.6.8, tem-se: 
 
 
 
Eq.6. 10 
Resolvendo o primeiro termo da eq. da Condição Dinâmica: 
 
55 
 
Eq.6. 11 
Isolando-se o : 
 
 
 
 
Eq.6. 12 
Então, 
 
 
 
 
Eq.6. 13 
Assumindo a Eq. 6.9, e substituindo , e na Eq.6.1, tem-se: 
 
Eq.6. 14 
Sabe-se que , , e são constantes, até então desconhecidas. No entanto, o 
produto de todas as constantes resulta em uma única constante, que será 
chamada . Então, 
 
Eq.6. 15 
 
 
Eq.6. 16 
1
 
A Eq.6.16 é composta por 2 termos, sendo o primeiro referente a uma função 
real e o segundo a uma função imaginária. Substituindosomente o termo real 
da Eq. 6.16 na Eq. 6.15, tem-se: 
 
Eq.6. 17 
Essa equação define uma onda que se propaga/progressiva, onde 
 
1 : equação de uma onda estacionária. 
56 
 
 é uma onda que se propaga; 
 : é a fase da onda; 
 : é o decaimento em z.2 
A fase da onda ( ) corresponde a um ângulo que pode ser usado para 
identificar qualquer ponto da onda, como a crista ou a cava, assumindo-se um 
 constante. Por exemplo, para a crista, a fase da onda deve ser . 
Na crista da onda: 
 
Eq.6. 18 
Então: 
 
Eq.6. 19 
Manipulando, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
Eq.6. 20 
Onde C é a celeridade da onda, calculada a partir da fase da onda em um 
ponto fixo e do tempo da onda. 
Voltando a condição dinâmica da superfície livre, onde e substituindo o  
na Eq.6.13: 
 
 
 
 
Eq.6. 21 
Tirando o numero imaginário ( ) do expoente, tem-se: 
 
 
Eq.6. 22 
 
2
 
 
57 
 
Usando a parte real da Eq.6.22,  passa a ser: 
 
 
 
 
Eq.6. 23 
Onde o termo abaixo, presente na Eq.6.23, é calculado pela Equação de 
Dispersão, portanto, pode ser substituído por ( ), também conhecido como a 
amplitude da onda: 
 
 
 
 
Eq.6. 24 
Então, 
 
Eq.6. 25 
Manipulando a Eq. 6.24, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
Eq.6. 26 
Substituindo a eq. acima na Eq. 6.17, tem-se: 
 
 
 
 
Eq.6. 27 
Sabe-se que: 
  
Eq.6. 28 
Então, calculando as componentes da velocidade da Eq.6.27 e partindo da 
ideia da Eq. 6.28, tem-se: 
 
 
 
 
Eq.6. 29 
58 
 
 
 
 
 
Eq.6. 30 
Variáveis em fase são aquelas que apresentam o mesmo comportamento ou 
oscilam da mesma forma, enquanto que as variáveis em quadratura são 
aquelas que variam em 90°. Nas eq.6.29 e 30, observa-se que está em 
quadratura com o e está em fase com  . 
Considerando a propagação de ondas em um plano conforme a figura abaixo: 
 
Figura 6. 2 - Cristas de onda. 
onde, é o comprimento de onda, é o número de onda, ( ) é o vetor 
número de onda e sempre aponta para onde a onda se propaga, é a 
velocidade de propagação da onda (celeridade), é o vetor celeridade da 
onda e ambos os vetores são paralelos, e é o ângulo entre o vetor celeridade 
e o eixo x. O número de onda é calculado pela eq. abaixo. 
 
 
 
 
Eq.6. 31 
A primeira vista, pensa-se que como e são vetores, estes podem ser 
representados como a soma de suas componentes, como será demonstrado a 
seguir. Entretanto, isto não é verdadeiro, pois a velocidade de propagação da 
onda não é uma propriedade física, não podendo ser decomposta em seno e 
cosseno como outro vetor qualquer. Então, se: 
 
Eq.6. 32 
59 
 
 
 
 
 
Eq.6. 33 
 
 
 
 
Eq.6. 34 
Assumindo-se , tem-se: 
 
 
 
 
Eq.6. 35 
 
Eq.6. 36 
Assumindo-se 
 
 
, tem-se: 
 
Eq.6. 37 
 
 
 
 
Eq.6. 38 
Os resultados obtidos nas Eq.6.35, 36, 37 e 38 são falsos devido a velocidade 
de propagação não ser um propriedade física, e o modo correto de calculá-los 
será descrito a seguir. 
60 
 
 
Figura 6. 3 - Comprimento de onda. 
 
 
As componentes do vetor celeridade devem ser calculadas a partir do 
comprimento horizontal entre duas cristas ( e do comprimento vertical entre 
duas cristas ( , como mostrado no desenho acima. Onde, 
 
 
 
 
 
Eq.6. 39 
 
 
 
 
Eq.6. 40 
Substituindo as Eq.6.33 e 34 para encontrar as componentes do vetor 
celeridade, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.6. 41 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
61 
 
Agora com as componentes corretas do vetor celeridade, assumem-se os 
valores de para encontrar os valores das componentes. 
Para : 
 
 
 
 
Eq.6. 42 
 
Eq.6. 43 
 
 
Figura 6. 4 - Ondas Planas. 
 
Considerando-se uma onda plana e partindo da Eq. 6.25, temos; 
 
Eq.6. 44 
Onde e são horizontais. 
 
Eq.6. 45 
 
Eq.6. 46 
As componentes desse vetor indicam a direção norte-sul, leste-oeste para qual 
a onda se propaga. A componente z é nula pois obedece a teoria linear. 
 
Eq.6. 47 
62 
 
 
Eq.6. 48 
Tendo o gradiente do , calcula-se o vetor número de ondas ( ). 
 
Eq.6. 49 
E fazendo a derivada temporal do , calcula-se a frequência angular. 
 
 
 
Eq.6. 50 
O rotacional do vetor número de onda ( ) é nulo, pois este representa o 
gradiente de uma função ( ) e o rotacional de um gradiente é sempre nulo. O 
rotacional pode ser usado num contexto de refração da onda. 
 
Eq.6. 51 
Calculando-se então a derivada temporal do vetor número de onda ( ): 
 
 
 
 
 
 
Eq.6. 52 
Como as variáveis são independentes, 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.6. 53 
Manipulando, tem-se a Equação da Conservação da Onda: 
 
 
 
Eq.6. 54 
Segundo esta equação, a variação do número de onda no tempo é 
compensada pela variação espacial da frequência angular. 
63 
 
Supõe-se que uma força geradora de onda gere sempre uma onda com 
mesmo comprimento de onda ( ) e mesmo período ( ), conforme o desenho 
abaixo: 
 
 
 
Figura 6. 5 - Zona de geração de onda. 
 
Adotando-se o período constante e sabendo-se que este é o inversamente 
proporcional à frequência angular, a última também deve ser constante, ou 
seja, não terá variação espacial, como descrito abaixo: 
 
Eq.6. 55 
Consequentemente, de acordo com a Equação da Conservação da Onda: 
 
 
 
 
Eq.6. 56 
A relação entre o número de onda e a altura estabelece os limites entre águas 
rasas, intermediárias e profundas, respectivamente, como descrito abaixo: 
 
 
 
 
Eq.6. 57 
 
 
 
64 
 
Eq.6. 58 
 
Eq.6. 59 
A partir, da figura 5 é possível observar que  pode mudar com a 
profundidade, mas não muda com o tempo. Em conseqüência disso, o período 
(T) terá que ser constante. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
7.1 ONDAS PROGRESSIVAS 
Ondas progressivas são ondas que se propagam. 
 
 
 
 
 
Eq.7. 1 
A onda se propaga permanecendo com as mesmas propriedades nos dois 
pontos de analise. Este ponto o número de onda tem que ser o mesmo e a fase 
da onda permanece constante. 
A onda induz o movimento do fluido e a velocidade (u, w) vai se modificar 
conforme esta se propaga. 
 
 
 
Eq.7. 2 
 
 
 
 
Eq.7. 3 
Sendo C a celeridade da onda que pode ser calculada pelo deslocamento 
dividido pelo tempo esta é a mesmo nos dois pontos de analise. 
Figura 7. 1 - Propagação de onda na direção x: linha 
contínua representando e pontilhada representando 
 . 
 
67 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.7. 4 
Observações: 
 Por não ter viscosidade a energia da onda se conserva. 
 A velocidade da onda não depende da velocidade do fluido. 
 
7.2 TRAJETÓRIA DE UMA PARTÍCULA 
 
Figura 7. 2 - Trajetória de uma partícula no interior do fluido. A trajetória tende a 
ser fechada, formando uma elipse. 
 
Em geral, a trajetória de uma partícula é obtida a partir da integração da 
velocidade da partícula no tempo, sendo um ponto de referencia: 
Para 
 
 
 
 
Eq.7. 5 
Um a vez que o fluido se propaga na direção x, tem-se: 
 
 
68 
 
Eq.7. 6 
Podemos escrever as componentes da equação davelocidade das partículas: 
 
Eq.7. 7 
 
Eq.7. 8 
Sendo as amplitudes das componentes da velocidade: 
 
Eq.7. 9 
 
Eq.7. 10 
 
Figura 7. 3 - Trajetória de uma partícula com velocidades u e w, mudança de 
referencial. 
 
 
A equação abaixo é descrita a partir da origem no plano e . Representa uma 
curva fechada, em forma de elipse, e é utilizada para descrever a trajetória de 
uma partícula. Porém antes deve se achar a trajetória da elipse. 
 
 
 
 
69 
 
Eq.7. 11 
O momento circular é dado por: 
 
Eq.7. 12 
Quando a elipse se torna um circulo, onde R é o raio, U é o raio no eixo x e W 
é o raio no eixo z. 
 
Eq.7. 13 
A partir das componentes da onda (x,w), tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.7. 14 
 
7.3 TIPOS DE ONDAS 
A equação da dispersão é expressa da seguinte forma: 
 
Eq.7. 15 
Ao analisar-se o comportamento do termo desta equação, podem-se 
averiguar características da onda em água profundas e rasas e simplificar a 
equação para cada caso em estudo. 
 
70 
 
7.3.1 ÁGUAS RASAS 
Em águas rasas o movimento da partícula é predominantemente horizontal, o 
que explica a trajetória “achatada”, onde: 
 
Eq.7. 16 
Sendo que assume valores menores que 
 
 
, . Assim: 
 
 
 
Eq.7. 17 
Assim, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
Eq.7. 18 
 
Figura 7. 4 - Trajetória de uma partícula em águas rasas. 
 
Analisando a tangente hiperbólica da equação da dispersão em águas rasas, 
tem-se: 
 
 
 
 
 
71 
 
Eq.7. 19 
Substituindo esse valor na equação da dispersão, tem-se: 
 
Eq.7. 20 
Passando o para o lado esquerdo da igualdade, obtém-se a seguinte 
expressão: 
 
Eq.7. 21 
Por isso, a partir da última equação conclui-se que a velocidade de propagação 
da onda em águas rasas é independente do período (T), sendo determinada 
apenas pela profundidade (h). Dessa maneira, têm-se ondas não-dispersivas: 
todas as ondas vão se propagar com velocidades parecidas, não se afastando 
umas das outras, com maiores comprimentos de ondas. 
 
7.3.2 ÁGUAS INTERMEDIÁRIAS 
Em águas intermediarias a trajetória não é tão achatada quanto em aguas 
rasas e também não é totalmente circular, formando uma elipse. 
 
Eq.7. 22 
 
Figura 7. 5 - Trajetória da partícula em águas intermediarias. 
 
72 
 
7.3.3 ÁGUAS PROFUNDAS 
Em águas profundas a trajetória da partícula é circular e que não há transporte 
de massa devido à teoria linear. 
 
Eq.7. 23 
 
Figura 7. 6 - Trajetória da partícula em águas profundas. 
 
Em águas profundas assume valores maiores que , portanto: 
 
 
 
 
 
Eq.7. 24 
Assim, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
Eq.7. 25 
Em águas profundas quanto maior a profundidade, maior é o valor de ( 
 ) e a tangente hiperbólica tende a 1, 
 
Eq.7. 26 
Por isso, substituindo esse valor na equação da dispersão, tem-se: 
73 
 
 
Eq.7. 27 
Passando um para o lado direito da equação, tem-se: 
 
 
 
 
Eq.7. 28 
Transferindo o para o lado esquerdo da igualdade, obtém-se: 
 
 
 
 
Eq.7. 29 
 Além disso, 
 
 
. Portanto, temos a seguinte expressão: 
 
 
 
 
Eq.7. 30 
Dessa forma, tem-se que a velocidade de propagação da onda em águas 
profundas está diretamente relacionada ao período (T). E possuem os menores 
comprimentos de onda. 
 
Portanto concluímos que: 
Ondas longas: maiores comprimentos de onda ocorrem em águas rasas. 
Ondas curtas: menores comprimentos de onda ocorrem em águas profundas. 
 
 
 
 
74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
75 
 
Relembrando as últimas equações obtidas para o estudo de ondas 
progressivas, tem-se a equação do potencial de velocidade, do estado da 
superfície, da velocidade angular, das componentes e da velocidade e da 
pressão, obtida a partir da equação de Euller, apresentadas nas equações 1 a 
6, respectivamente: 
 
 
 
 
Eq.8. 1 
 
Eq.8. 2 
 
Eq.8. 3 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 4 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 5 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 6 
Quando a velocidade das partículas varia no tempo, a aceleração é dada pela 
derivada material da velocidade, como mostrado a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
76 
 
Eq.8. 8 
Como a derivada material ou total, é composta por um termo local e um 
convectivo, como mostrado na última equação, calculando as variações 
temporais locais de e , tem-se as acelerações locais temporais: 
 
 
 
Eq.8. 9 
 
 
 
Eq.8. 10 
Onde, 
 
 
 
 
Eq.8. 11 
Realizando-se uma análise de ordem de grandeza tem-se que os termos 
locais, a aceleração local, é de ordem 1 ( ), enquanto a aceleração 
convectiva, identificada na Eq.8.8 como variação convectiva da velocidade, é 
de ordem 2 ( ). 
Como pela teoria linear, os termos não lineares, tais como a aceleração 
convectiva, são desconsiderados por possuir contribuição muito pequena, 
então a aceleração, na teoria linear, é dada somente em função do termo local: 
 
 
 
 
Eq.8. 12 
 
 
 
 
Eq.8. 13 
77 
 
Após simplificações da teoria linear, a equação da pressão se reduz a: 
 
 
 
 
Eq.8. 14 
 
Figura 8. 1 - Onda se propagando na direção x. 
 
A partir da figura, serão analisados os valores de velocidade e , pressão, 
aceleração em x e em z em pontos estratégicos (0, π/2, π, 3π/2 e 2π) no 
instante para pontos da superfície. As análises serão realizadas pela 
substituição dos valores de nas Eq.8. 4, 5, 6, 12 e 13. 
- Em , tem-se: 
 ; ; ; ; 
Em , tem-se: 
 ; ; ; ; 
- Em , tem-se: 
78 
 
 ; ; ; ; 
Em , tem-se: 
 ; ; ; ; 
- Em , tem-se: 
 ; ; ; ; 
Sendo que as notações e referem-se aos máximos valores da 
velocidade no sentido positivo e negativo do eixo, respectivamente, e para a 
pressão leva-se em conta apenas magnitude, já que esta será sempre positiva, 
neste caso. 
Percebe-se que a pressão está em fase. 
Observa-se que conforme a profundidade (z) aumenta, a velocidade diminui 
acompanhando o de acordo com a Eq.8.4. 
Agora avaliando a variação das velocidades ao longo de intervalos em . 
Em , tem-se: 
 
 
 
Eq.8. 15 
Conforme a figura nota-se que a velocidade diminui neste intervalo. 
Aplicando-se então a eq. da Continuidade, a aceleração de em deve ser 
entao positiva. 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 16 
 
 
 
79 
 
Eq.8. 17 
Voltando a eq. de Euler, esta também pode ser reescrita como: 
 
Eq.8. 18 
Onde a pressão absoluta é dada pela pressão hidrostática somada à pressão 
dinâmica e é o fator de correção da pressão, expresso por: 
 
 
 
 
Eq.8. 19 
 pode variar de a 
 
 
, quando e z , respectivamente. Se 
 , então a pressão absoluta corresponde à pressão hidrostática. 
A pressão é sempre positiva e oscila da mesma forma que a elevação, pois é 
resultado da pressão no nível de referência (pressão estática) e a pressão 
dinâmica que é função da elevação. Então, acima da crista a pressão 
aumenta, e na cava a pressão diminui, conforme o comportamento da 
elevação. Assim sendo, se não há onda, o fluido encontra-se em repouso, e a 
pressão atuante será somente a estática. 
Relembrando as componentesda equação da quantidade de movimento para 
um fluido irrotacional somente com os termos lineares, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 20 
 
 
 
 
 
 
 
Eq.8. 21 
80 
 
Como visto anteriormente, a aceleração vertical se comporta como o seno e o 
gradiente de pressão em z também oscila com o seno, então os dois 
encontram-se em fase. Entretanto, a força gradiente de pressão oscila com um 
sinal negativo, então se encontra em defasagem com a aceleração em 180°. 
 
8.1 ENERGIA 
Se essa oscilação se propaga no tempo, conclui-se que há uma variação de 
energia. 
 
 
 
Assim as equações diferenciais da energia potencial (Ep) e energia cinética 
(Ec), em função da elevação e velocidade de propagação da onda, são 
definidas na Figura 8.2. 
Conforme uma onda se move, induz velocidade e ocasionando pressão em 
função da variação da elevação (η), existindo uma energia associada. 
Figura 8. 2 - Onda se propagando na direção x. Equacionamento da 
energia potencial e cinética, em função de propriedades da onda. 
 
81 
 
Considerando-se uma energia induzida pela onda, sem existência de corrente, 
tem-se a energia potencial (Ep) associada ao nível de referência e a energia 
cinética (Ek) ocasionada pelo movimento do fluido. 
Para calcular a energia da onda, deve-se edificar um elemento de massa ( ). 
Então a energia cinética é calculada por: 
 
 
 
 
Eq.8. 22 
Para calcular a energia cinética total, deve-se integrar como a massa se 
comporta em todo o fluido. As dimensões da energia cinética são: 
 
 
 . 
A energia potencial deve ser calculada a partir de um diferencial de massa a 
uma distancia η ao referencial, então: 
 
Eq.8. 23 
Onde o diferencial de massa pode ser descrito como: 
  
Eq.8. 24 
Sendo que: 
  
 
O cálculo da energia potencial total também é realizado pela integração em 
toda a massa. Suas dimensões são:
 
 
 . 
 
82 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
83 
 
9.1 ENERGIA POTENCIAL 
 
Figura 9. 1 - Energia potencial. 
 
Para definir a energia potencial, deve-se adotar um referencial. Assumindo-se o 
nível médio como referência, a equação da energia potencial é então escrita 
abaixo: 
gzdmdEp  
Eq.9. 1 
Caso o fundo seja adotado como referencial, a equação acima fica: 
 dmzhgdEp  
Eq.9. 2 
Nota-se que quando o referencial é o nível médio, a energia potencial é 
negativa, pois o z é negativo. 
Agora manipulando o diferencial de massa, tem-se: 
 m 
Eq.9. 3 
Sendo que: 
dxdydz 
84 
 
Eq.9. 4 
Assume-se que não há variação em y, então ,1dy e o volume será somente 
função de x e z. 
dAdxdz  
Eq.9. 5 
Tomando uma fatia vertical como o diferencial de área, tem-se: 
 
dz
ou
dxh


 
Eq.9. 6 
Substituindo na as Eq. 9.3 e 6 na Eq.9. 2, tem-se: 
 dxhgzdEp   
Eq.9. 7 
Como se adotou um diferencial de área, o z passa a ser uma linha e 
corresponde a um centro de gravidade do z, caso o fluido seja homogêneo, 
será: 





 

2
h
zg
 
Eq.9. 8 
Então a equação da energia potencial é reescrita como: 
  dxh
g
E p
2
2



 
Eq.9. 9 
85 
 
Como g, e h são constantes e  é uma função de x 3, a equação acima 
pode ser integrada para encontrar a energia potencial em determinado volume, 
ficando: 
  gzdAEA p

1
 
Eq.9. 10 
A partir da Eq.9.11 pode-se calcular a energia potencial média ou energia 
potencial por comprimento, dividindo toda a equação pelo comprimento de 
onda (λ). Assim, 
   dxh
g
E p
2
2
1


 
Eq.9. 11 
Manipulando: 
  



 0
22 2
2
1
dxhh
g
E p
 
Eq.9. 12 
 







0
2
0
2
22
dx
g
dx
ghgh
E p
 
Eq.9. 13 
O primeiro termo do lado direito corresponde à energia potencial média sem a 
existência da onda, o segundo e o terceiro termo correspondem à energia 
potencial média devido à onda, então: 
oso ppp
EEE
/

 
Eq.9. 14 
 
3  tkxAsen   
86 
 
Então, a energia potencial média na onda corresponde à energia potencial total 
menos a energia potencial sem a onda. A energia potencial da onda também 
pode ser escrita como uma função da amplitude da onda (A) ou da altura da 
onda (H): 
22
16
1
4
1
gHgAE
op
  4
 
Eq.9. 15 
Para uma onda real, medida durante alguns minutos, a elevação deve ser: 
 



1h
nnnR txksenA 
 
Eq.9. 16 
Substituindo a Eq. 9.17 na Eq.9.16: 




1
2
4
1

 npw AgE
 
Eq.9. 17 
Conclui-se então que a energia potencial é proporcional ao quadrado da 
amplitude da onda. 
 
 
4
2
H
A  
87 
 
9.2 ENERGIA CINÉTICA 
 
Figura 9. 2 - Energia Cinética. 
 
A energia cinética está relacionada com a transferência de energia da onda. 
Podendo ser expressa como 
 dmwudEk 22
2
1

 
Eq.9. 18 
Sendo que o diferencial de massa já foi explicado anteriormente, as equações 
das velocidades u e w são obtidas pela derivada em x e em y , 
respectivamente da função potencial de velocidade, como demonstrado nos 
relatórios anteriores. São descritas abaixo: 
 
    
)cos())((
)cosh(
cosh
cosh
tkxzhksenh
kh
kgA
w
tkxsenzhk
kh
kgA
u






 
Eq.9. 19 
Como as velocidades u e w são funções de x e y , assume-se: 
dxdzdA  
Eq.9. 20 
88 
 
Ao fazer a integração da Eq.9.19 e dividi-la pela área: 
    dAwuA
dE
A
k
22
2
111

 
Eq.9. 21 
Obtêm-se a energia cinética média: 
   



0
22
0 11
2
1
dxdzwu
h
E
h
k
 
Eq.9. 22 
A energia cinética também pode ser calculada por: 
22
16
1
4
1
gHgAEk  
 
Eq.9. 23 
Em ondas de pequena amplitude, a energia potencial média e a energia 
cinética média têm a mesma magnitude, e a energia total é calculada pela 
soma das duas. Então, 
22
8
1
2
1
gHgAEEE kpwT   . 
Eq.9. 24 
 
9.3 VELOCIDADE DE GRUPO 
A velocidade de grupo é a velocidade que transporta energia. E é definida pela 
equação abaixo: 
89 
 
 
 

















khsenh
kh
C
C
khsenh
khC
k
w
C
g
g
2
2
1
2
1
2
2
1
2
5
 
Eq.9. 25 
Aplicando a Eq.9.25 em águas profundas e águas rasas, tem-se: 
 Para águas profundas: 
 
2
1

C
Cg
 
Eq.9. 26 
 Para águas rasas: 
CC
C
C
g
g



1
0
 
Eq.9. 27 
Conclui-se então, que em águas profundas a velocidade de grupo equivale a 
metade da velocidade de fase. Já em águas rasas as velocidades de grupo e 
de fase são iguais. 
 
 
5
khsenkh
khsen
khsenkhkhsen
khsenkhkhsenkhkhkhsen
cos
2
)2(
)cos(2)2(
coscos)(



 
90 
 
9.4 FLUXO DE ENERGIA 
 
Figura 9. 3 - Força de pressão ocasionando energia na onda 
A partir da figura 9.3, escolhe-se um diferencial de área. Sabe-se que no nível z 
atua uma pressão no elemento de área, que ocasiona uma força. Para saber 
qual a energia que a pressão vai exercer nessa área, deve-se lembrar que toda 
força ocasiona um trabalho que corresponde a essa energia. Essa energia é 
devida a pressão e ao movimento do fluido. Para descobrirmos a força que o 
fluido exerce na área, segue: 
pdAFd 

 
Eq.9. 28 
E para se obter a taxa de trabalho sobre a área escolhida deve-se incluir a e 
velocidade, 
FduWd
 . 
Eq.9. 29 
Combinando as Eq.9.28 e 29, tem-se: 
updAWd  
Eq.9. 30 
91 
 
Somente na direção x. 
Para calcular o fluxo médio por área da energia, deve-se integrar a Eq.9.30 e 
dividi-la pela área: 
  updAWf  
Eq.9. 31 
Novamente, assume-se que não há variação em y, então: 
  updAdtT
dtWf
T
11 
 
Eq.9. 32 
Combinado as Eq.9.31 e 32: 

01
h
updzdt
T
W
 
Eq.9. 33 
A pressão é calculada pela equação de Euler linearizada (ou seja, os termos de 
segunda ordem são desconsiderados), descrita abaixo: 
)(
tgzp





 
Eq.9. 34 
Substituindo a Eq.9.34 na 33, tem-se: 
 


01
h
dzdt
t
u
T
W

 
Eq.9. 35 
92 
 
Conforme uma onda passa sobre um ponto, gera-se um fluxo. Como toda onda 
esta associada a uma energia, o fluxo dessa energia é calculado por: 

01
h
Ddzdtup
T
f
 
Eq.9. 36 
Onde u é a componente da velocidade no eixo x , e Dp
6é a pressão dinâmica. 
Para calcular o fluxo médio por unidade de tempo, integram-se a Eq.9.36 no 
tempo e divide-a pelo tempo, ficando: 
dtudzp
T
f
T
D
h
 


0
0
1
 
Eq.9. 37 
Que resulta em: 
cgEf . 
Eq.9. 38 
Onde E é a energia total devido à onda e gC é a velocidade de grupo. 
 
Figura 9. 4 - Duas ondas se propagam com diferentes celeridades. 
 
 
6
kpggzp  
sendo o gz a pressão hidrostática e kpg pressão dinâmica que 
ocorre devido ao efeito da onda. 
 
93 
 
 
Considerando duas ondas com diferentes celeridades se propagando no 
mesmo meio. A elevação da superfície de cada onda é dada por: 
)( 111 wtxksenA  
Eq.9. 39 
)( 222 wtxksenA  
Eq.9. 40 
O perfil resultante das elevações somadas seria: 
21   
Eq.9. 41 
Considera-se: 
AAA  21 
kkk 1 
kkk 
2 




2
1
 
Eq.9. 42 
Quando ondas com os números de onda e freqüências angulares muito 
próximos interagem, o perfil resultante da elevação é dado por: 
))()(()()( wtkxwtkxsenwtkxwtxksenA 
 
Eq.9. 43 
94 
 
Adota-se: 
tkxS
tkxR




 
Eq.9. 44 
Substituindo na Eq.9.43: 
    SRsenSRsenA  
Eq.9. 45 
)cos()(2 SRAsen 7 
Eq.9. 46 
Retomando os parâmetros iniciais: 
)cos()(2 wtkxwtkxAsen  
Eq.9. 47 
O perfil da onda resultante é descrito pela equação acima. Conclui-se então 
que este irá duplicar amplitude dos perfis anteriores e contem os dois perfis 
contidos na equação, dados por tkx  e tkx  . 
Analisando a fase da 1a onda: 
)(
)(
)(
ctxk
t
k
w
xk
wtxk






 
Eq.9. 48 
Agora analisando a fase da 2ª onda: 
 
7
)cos()(2)()(
)cos()()cos()()(
)cos()()cos()()(
SRsenSRsenSRsen
RSsenSRsenSRsen
RSsenSRsenSRsen



 
95 
 
)(
)(
)
tcxk
t
k
w
xk
wtkx
gG
G
G








 
Eq.9. 49 
Quando  e k são pequenos, torna-se possível transformá-los em Cg. Da 
união das ondas forma-se o envelope (ou envoltório), onde a onda pode passar 
de um envelope para outro, mas a energia não. 
 
Figura 9. 5 - Envoltório de onda. 
O envoltório é constituído por linhas que envolvem as ondas que se propagam. 
O perfil do envoltório é regido pelo cosseno. Este envoltório se propaga com a 
velocidade de grupo e dentro dele está contida a elevação da superfície )( 
que se propaga com a celeridade. A distância vertical entre o ponto mais alto e 
o mais baixo do envoltório é igual a quatro vezes a amplitude da onda. Nos 
pontos de encontro de 2 envoltórios, )( =0, pelo comportamento da função da 
elevação, como não há amplitude nesses pontos, então a energia vale 0, 
significando que a energia em cada envelope é constante. 
Nesse caso em águas profundas a velocidade de fase é maior do que a 
velocidade de grupo gCC Então, há a propagação da onda dentro do envelope 
96 
 
podendo atravessar de um envelope para outro, mas a energia não é 
transferida entre os envelopes, pois esta se propaga com a velocidade de 
grupo e a onda se propaga com a velocidade de fase. Vale ressaltar que pela 
Teoria Linear: ”A trajetória é uma curva fechada, então não há transporte de 
massa”, concluindo que, então a onda só tem capacidade de transportar 
energia. 
E em águas rasas a velocidade de fase é a mesma que a velocidade de grupo 
)( gCC  , então o envelope e a onda se propagam juntos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
97 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
98 
 
10.1 TRANSFORMAÇÕES DAS ONDAS 
Quando ondas se propagam para profundidades menores podem ocorrer 
transformações da direção de propagação a partir do momento em que a onda 
sente o fundo. 
Em águas intermediárias ao sentir o fundo a onda tem sua velocidade de fase 
diminuída e como conseqüência a energia cinética aumenta. Como a energia 
total em uma onda permanece constante, o aumento da energia cinética é 
compensado pela diminuição da energia potencial. Essa diminuição da energia 
potencial causa o empinamento da onda, que tem a amplitude diminuída em 
função da redução da profundidade sendo conhecido como Shoaling. 
Entretanto, quando uma onda se propaga em direção a uma baía essa tem sua 
amplitude aumentada, devido ao afunilamento da baia. 
Se for realizado um gráfico da variação da amplitude da onda com a 
profundidade, nota-se que inicialmente há um decréscimo da amplitude, 
seguido por um aumento próximo da região de quebra. Vale lembrar que a 
quebra não existe pela Teoria Linear por causa da rotação das partículas, que 
passa a existir quando ocorre a quebra da onda. 
Quando ocorre a variação da profundidade por onde a onda passa, a onda 
apresenta uma queda da amplitude seguida do seu aumento, este efeito é 
conhecido como shoaling ou empinamento. O empinamento da onda não tem 
relação com o atrito. 
Com a diminuição da profundidade, as trajetórias circulares das partículas do 
fluido ficam mais achatadas, por isso as partículas ganham mais velocidade 
horizontal u. 
Próximo da região de quebra, a velocidade das partículas do fluido começa a 
aumentar, aproximando-se da velocidade de propagação da onda. Quando 
esta última é ultrapassada, as partículas rompem o envelope, provocando a 
quebra da onda. Em outras palavras, é como se as partículas "furassem" a 
99 
 
onda. Quando a onda quebra a energia potencial é convertida em energia 
cinética, gerando turbulência. 
Se a onda não quebra na praia, ocorre o runup ou corrida da onda, quando ela 
avança e sobe na região de espraiamento. Esta corrida da onda vai depender 
da inclinação da praia. 
Na teoria linear assume-se que o leito é plano, entretanto esta pode ser 
aplicada a situações em que a declividade do leito é muito pequena em relação 
ao comprimento de onda. Uma das vantagens de se utilizar a teoria linear é 
que através dessa teoria é possível isolar os efeitos de transformação da onda 
(shoaling, refração, difração e quebra), estudá-los separadamente e juntá-los 
todos em um modelo. 
Na região de quebra de onda a teoria linear não pode ser aplicada, pois da 
teoria perde sua validade. 
 
10.2 REFRAÇÃO 
É a mudança da direção de propagação da onda causada pela variação da 
batimetria. 
 
Figura 10. 1 - Comportamento da amplitude da onda. 
 
 
100 
 
A crista da onda em maiores profundidades tem maior velocidade que a crista 
da onda mais próxima a costa, por isso a crista deflete mudando a direção da 
onda. 
Portanto assume-se que a refração é a mudança de direção da onda em 
função da profundidade. 
 
Figura 10. 2 - Refração de ondas. 
 
 
10.3 DIFRAÇÃO 
Espalhamento da energia da onda provocado pela presença de um obstáculo. 
 
Figura 10. 3 - - Difração de onda. 
 
101 
 
 
Figura 10. 4 - Uma crista de propagando e interagindo com um estreitamento. A 
energia que passa por esse estreitamento sofre um espalhamento. 
Quando ocorre a difração, nota-se uma diminuição da amplitude da onda 
conforme há o afastamento da fonte, causado pelo espalhamento radial da 
energia. 
 
10.4 REFLEXÃO 
Mudança da direção de propagação da onda após entrar em contato com uma 
superfície refletora. 
 
Figura 10. 5 - - Reflexão especular de uma onda. 
 
Neste caso ocorre o retorno da onda incidente em direção à fonte. A onda 
refletida terá o dobro da amplitude da onda que chega à superfície, e pode 
gerar uma onda estacionária. Em casos reais, como píeres construídos na 
praia, essas superfícies