Lista_04_Exercícios_Resolvidos (1)

Prévia do material em texto

Exercícios Resolvidos
Lista de exercícios 4
Prof. Marcelo Carvalho Ferreira
marceloferreira@umc.br
1) O seguinte sistema de equações é projetado para determinar as concentrações
(mg/L) em uma série de reatores acoplados como função da quantidade de
entrada de massa em cada reator. Determinar C1, C2 e C3 com 𝜀𝑟 ≤ 5,0%.
15C1 - 3C2 - C3 = 3800
-3C1 + 18C2 - 6C3 = 1200
-4C1 - C2 + 12C3 = 2350
Colocando as equações na forma explícita:
15𝐶1 − 3𝐶2 − 𝐶3 = 3800 → 𝐶1 = 3800 + 3𝐶2 + 𝐶3 /15
−3𝐶1 + 18𝐶2 − 6𝐶3 = 1200 → 𝐶2 = 1200 + 3𝐶1 + 6𝐶3 /18
−4𝐶1 − 𝐶2 + 12𝐶3 = 2350 → 𝐶3 = 2350 + 4𝐶1 + 𝐶2 /12
Iteração 1: C1 = C2 = C3 = 0
𝐶1 =
3800 + 3 ∙ 0 + 0
15
= 253,3
𝑔
𝑚3
𝐶2 =
1200 + 3 ∙ 253,3 + 6 ∙ 0
18
= 108,89
𝑔
𝑚3
𝐶3 =
2350 + 4 ∙ 253,3 + 108,89
12
= 289,34
𝑔
𝑚3
Iteração 2:
𝐶1 =
3800 + 3 ∙ 108,89 + 289,34
15
= 294,4
𝑔
𝑚3
𝐸𝐶1=
294,4 − 253,3
294,4
∙ 100 = 13,96%
𝐶2 =
1200+3∙294,4+6∙289,34
18
= 212,18
𝑔
𝑚3
𝐸𝐶2=
212,18−108,89
212,18
∙ 100 = 48,68%
𝐶3 =
2350 + 4 ∙ 294,4 + 212,18
12
= 311,65
𝑔
𝑚3
𝐸𝐶3=
311,65 − 289,34
311,65
∙ 100 = 7,16%
Iteração 3:
𝐶1 =
3800+ 3 ∙ 223,33 + 320,00
15
= 319,33
𝑔
𝑚3
𝐸𝐶1=
319,33 − 316,67
319,33
∙ 100 = 0,84%
𝐶2 =
1200 + 3 ∙ 319,33 + 6 ∙ 320,00
18
= 226,55
𝑔
𝑚3
𝐸𝐶2=
226,55 − 223,33
226,55
∙ 100 = 1,42%
𝐶3 =
2350 + 4 ∙ 319,33 + 226,55
12
= 321,16
𝑔
𝑚3
𝐸𝐶3 =
321,16 − 320,00
320,00
∙ 100 = 0,36%
Utilizando a ferramenta Solver do Excel:
15𝐶1 − 3𝐶2 − 𝐶3 = 3800 → 𝑓 𝐶1 = 15𝐶1 − 3𝐶2 − 𝐶3 − 3800
−3𝐶1 + 18𝐶2 − 6𝐶3 = 1200 → 𝑓 𝐶2 = −3𝐶1 + 18𝐶2 − 6𝐶3 − 1200
−4𝐶1 − 𝐶2 + 12𝐶3 = 2350 → 𝑓 𝐶3 = −4𝐶1 − 𝐶2 + 12𝐶3 − 2350
Como estimativa inicial: C1 = C2 = C3 = 0
𝑪𝟏 = 𝟑𝟐𝟎, 𝟐𝟎𝟕𝟑
𝒈
𝒎𝟑
; 𝑪𝟐 = 𝟐𝟐𝟕, 𝟐𝟎𝟐𝟏
𝒈
𝒎𝟑
; 𝑪𝟑 = 𝟑𝟐𝟏, 𝟓𝟎𝟐𝟔
𝒈
𝒎𝟑
Utilizando a matriz inversa:
𝐴 ∙ 𝐶 = 𝑏
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎12 𝑎22 𝑎23
𝑎13 𝑎23 𝑎33
∙
𝐶1
𝐶2
𝐶3
=
𝑏1
𝑏2
𝑏3
15 −3 −1
−3 18 −6
−4 −1 12
∙
𝐶1
𝐶2
𝐶3
=
3800
1200
2350
Calculando 𝐴 −1:
𝐴 −1 =
0,0725 0,0128 0,0124
0,0207 0,0608 0,0321
0,0259 0,0093 0,0902
𝐶 = 𝐴 −1 ∙ 𝑏
𝐶1
𝐶2
𝐶3
=
0,0725 0,0128 0,0124
0,0207 0,0608 0,0321
0,0259 0,0093 0,0902
∙
3800
1200
2350
𝐶1
𝐶2
𝐶3
=
320,2073
227,2021
321,5026
𝑪𝟏 = 𝟑𝟐𝟎, 𝟐𝟎𝟕𝟑
𝒈
𝒎𝟑
; 𝑪𝟐 = 𝟐𝟐𝟕, 𝟐𝟎𝟐𝟏
𝒈
𝒎𝟑
; 𝑪𝟑 = 𝟑𝟐𝟏, 𝟓𝟎𝟐𝟔
𝒈
𝒎𝟑
2) Determinar os coeficientes a, b, c e d para que o balanceamento da reação
seja realizado.
𝑃2𝐼4 + 𝑎𝑃4 + 𝑏𝐻2𝑂 ⇋ 𝑐𝑃𝐻4𝐼 + 𝑑𝐻3𝑃𝑂4
P4 H2O PH4I H3PO4 P2I4
P -4 0 1 1 a 2
I 0 0 1 0 b 4
H 0 -2 4 3 c 0
O 0 -1 0 4 d 0
−4 0 1 1
0 0 1 0
0 −2 4 3
0 −1 0 4
∙
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
2
4
0
0
−4𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 2
𝑐 = 4
−2𝑏 + 4𝑐 + 3𝑑 = 0
−𝑏 + 4𝑑 = 0
Da segunda equação: 𝒄 = 𝟒
Na quarta equação: 𝑏 = 4𝑑
Substituindo b e c na terceira equação:
−2(4𝑑) + 4 ∙ (4) + 3𝑑 = 0
−8𝑑 + 16 + 3𝑑 = 0 → 5𝑑 = 16 → 𝒅 = 𝟑, 𝟐
Substituindo na quarta equação:
𝑏 = 4𝑑 = 4 ∙ 3,2 → 𝒃 = 𝟏𝟐, 𝟖
Substituindo na primeira equação:
−4𝑎 + 4 + 3,2 = 2 → 𝒂 = 𝟏, 𝟑
𝑃2𝐼4 + 1,3𝑃4 + 12,8𝐻2𝑂 ⇋ 4𝑃𝐻4𝐼 + 3,2𝐻3𝑃𝑂4
Substituindo b e c na terceira equação:
−2(4𝑑) + 4 ∙ (4) + 3𝑑 = 0
−8𝑑 + 16 + 3𝑑 = 0 → 5𝑑 = 16 → 𝒅 = 𝟑, 𝟐
Substituindo na quarta equação:
𝑏 = 4𝑑 = 4 ∙ 3,2 → 𝒃 = 𝟏𝟐, 𝟖
Substituindo na primeira equação:
−4𝑎 + 4 + 3,2 = 2 → 𝒂 = 𝟏, 𝟑
𝑃2𝐼4 + 1,3𝑃4 + 12,8𝐻2𝑂 ⇋ 4𝑃𝐻4𝐼 + 3,2𝐻3𝑃𝑂4
Utilizando a ferramenta Solver:
−4𝑎 + 𝑐 + 𝑑 = 2 → 𝑓 𝑎 = −4𝑎 + 𝑐 + 𝑑 − 2
𝑐 = 4 → 𝑓 𝑏 = 𝑐 − 4
−2𝑏 + 4𝑐 + 3𝑑 = 0 → 𝑓 𝑐 = −2𝑏 + 4𝑐 + 3𝑑
−𝑏 + 4𝑑 = 0 → 𝑓 𝑑 = −𝑏 + 4𝑑
𝒂 = 𝟏, 𝟑; 𝒃 = 𝟏𝟐, 𝟖; 𝒄 = 𝟒, 𝟎; 𝒅 = 𝟑, 𝟐
Utilizando a matriz inversa:
−4 0 1 1
0 0 1 0
0 −2 4 3
0 −1 0 4
∙
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
2
4
0
0
Calculando 𝐴 −1:
𝐴 −1 =
−0,25 0,45 −0,05 0,10
0 3,20 −0,80 0,60
0 1,00 0 0
0 0,80 −0,20 0,40
𝑥 = 𝐴 −1 ∙ 𝑏
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
=
−0,25 0,45 −0,05 0,10
0 3,20 −0,80 0,60
0 1,00 0 0
0 0,80 −0,20 0,40
∙
2
4
0
0
𝒂
𝒃
𝒄
𝒅
=
𝟏, 𝟑
𝟏𝟐, 𝟖
𝟒, 𝟎
𝟑, 𝟐
3) A Figura abaixo mostra três reatores interligados por tubos. Como indicado, a
taxa de transferência de produtos químicos através de cada tubo é igual a uma
vazão (Q, com unidade de metros cúbicos por segundo) multiplicada pela
concentração no reator do qual o fluxo se origina (C, com unidades em
miligramas por metro cúbico). Se o sistema estiver em um estado estacionário, a
transferência para dentro de cada reator vai balancear a transferência para fora.
Deduza equações de balanço de massa para os reatores e resolva as três
equações lineares algébricas simultâneas para suas concentrações.
Reator 1:
500 + 𝑄21𝐶2 − 𝑄13𝐶1 − 𝑄12𝐶1 = 0 ⇒ 𝑄12 + 𝑄13 𝐶1 − 𝑄21𝐶2 = 500
Reator 2:
𝑄12𝐶1 − 𝑄21𝐶2 − 𝑄23𝐶2 = 0 ⇒ 𝑄12𝐶1 − 𝑄21 + 𝑄23 𝐶2 = 0
Reator 3:
200 + 𝑄13𝐶1 + 𝑄23𝐶2 − 𝑄33𝐶3 = 0 ⇒ −𝑄13𝐶1 − 𝑄23𝐶2 + 𝑄33𝐶3 = 200
𝑄12 + 𝑄13 𝐶1 − 𝑄21𝐶2 = 500 ⇒ 90 + 40 𝐶1 − 30𝐶2 = 500 ⇒
𝟏𝟑𝟎𝑪𝟏 − 𝟑𝟎𝑪𝟐 = 𝟓𝟎𝟎
𝑄12𝐶1 − 𝑄21 + 𝑄23 𝐶2 = 0 ⇒ 90𝐶1 − 30 + 60 𝐶2 = 0 ⇒
𝟗𝟎𝑪𝟏 − 𝟗𝟎𝑪𝟐 = 𝟎
−𝑄13𝐶1 − 𝑄23𝐶2 + 𝑄33𝐶3 = 200 ⇒
−𝟒𝟎𝑪𝟏 − 𝟔𝟎𝑪𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝑪𝟑 = 𝟐𝟎𝟎
130𝐶1 − 30𝐶2 = 500
90𝐶1 − 90𝐶2 = 0
−40𝐶1 − 60𝐶2 + 120𝐶3 = 200
Da segunda equação: 𝐶1 = 𝐶2
Na primeira equação:
130𝐶1 − 30𝐶1 = 500 → 𝑪𝟏 = 𝑪𝟐 = 𝟓, 𝟎𝟎
𝒎𝒈
𝒎𝟑
Na terceira equação:
−40 ∙ 5,0 − 60 ∙ 5,0 + 120𝐶3 = 200 → 𝑪𝟑 = 𝟓, 𝟖𝟑
𝒎𝒈
𝒎𝟑
4) A Figura abaixo mostra um processo de transferência de massa consistindo em
uma série de estágios nos quais um gás escoando da esquerda para a direita
passa sobre um líquido escoando da direita para a esquerda. A transferência de
um produto químico do gás para o líquido se dá a uma taxa proporcional à
diferença de concentrações entre o gás e o líquido em cada reator. No estado
estacionário, um balanço molar para o primeiro reator pode ser escrito para o
gás como
QGCG0 − QGCG1 + D(CL1 − CG1) = 0
e para o líquido como
QLCL2 − QLCL1 + D(CG1 − CL1) = 0
onde QG e QL são as vazões do gás e do líquido, respectivamente, e D é a taxa de
troca entre gás e líquido. Balanços semelhantes podem ser escritos para os
outros reatores. Determine as concentrações para os valores a seguir: QG = 2 L/s,
QL =1 L/s, D = 0,8 L/s, CG0 = 100 mol/L, CL6 = 10 mol/L.
Lado gás:
Estágio 1:
𝑄𝐺𝐶𝐺0 − 𝑄𝐺𝐶𝐺1 + 𝐷 𝐶𝐿1 − 𝐶𝐺1 = 0 → − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺1 + 𝐷𝐶𝐿1 = −𝑄𝐺𝐶𝐺0
Estágio 2:
𝑄𝐺𝐶𝐺1 − 𝑄𝐺𝐶𝐺2 + 𝐷 𝐶𝐿2 − 𝐶𝐺2 = 0 → 𝑄𝐺𝐶𝐺1 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺2 + 𝐷𝐶𝐿2 = 0
Estágio 3:
𝑄𝐺𝐶𝐺2 − 𝑄𝐺𝐶𝐺3 + 𝐷 𝐶𝐿3 − 𝐶𝐺3 = 0 → 𝑄𝐺𝐶𝐺2 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺3 + 𝐷𝐶𝐿3 = 0
Estágio 4:
𝑄𝐺𝐶𝐺3 − 𝑄𝐺𝐶𝐺4 + 𝐷 𝐶𝐿4 − 𝐶𝐺4 = 0 → 𝑄𝐺𝐶𝐺3 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺4 + 𝐷𝐶𝐿4 = 0
Estágio 5:
𝑄𝐺𝐶𝐺4 − 𝑄𝐺𝐶𝐺5 + 𝐷 𝐶𝐿5 − 𝐶𝐺5 = 0 → 𝑄𝐺𝐶4 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺5 + 𝐷𝐶𝐿5 = 0
Lado líquido:
Estágio 1:
−𝑄𝐿𝐶𝐿1 + 𝑄𝐿𝐶𝐿2 + 𝐷 𝐶𝐺1 − 𝐶𝐿1 = 0 → − 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿1 + 𝑄𝐿𝐶𝐿2 + 𝐷𝐶𝐺1 = 0
Estágio 2:
−𝑄𝐿𝐶𝐿2 + 𝑄𝐿𝐶𝐿3 + 𝐷 𝐶𝐺2 − 𝐶𝐿2 = 0 → − 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿2 + 𝑄𝐿𝐶𝐿3 + 𝐷𝐶𝐺2 = 0
Estágio 3:
−𝑄𝐿𝐶𝐿3 + 𝑄𝐿𝐶𝐿4 + 𝐷 𝐶𝐺3 − 𝐶𝐿3 = 0 → − 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿3 + 𝑄𝐿𝐶𝐿4 + 𝐷𝐶𝐺3 = 0
Estágio 4:
−𝑄𝐿𝐶𝐿4 + 𝑄𝐿𝐶𝐿5 + 𝐷 𝐶𝐺4 − 𝐶𝐿4 = 0 → − 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿4 + 𝑄𝐿𝐶𝐿5 + 𝐷𝐶𝐺4 = 0
Estágio 5:
−𝑄𝐿𝐶𝐿5 + 𝑄𝐿𝐶𝐿6 + 𝐷 𝐶𝐺5 − 𝐶𝐿5 = 0 → − 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿5 + 𝐷𝐶𝐺5 = −𝑄𝐿𝐶𝐿6
−(𝑄𝐺 +𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0 0 0 0
𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 +𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0 0 0
0 𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 + 𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0 0
0 0 𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 +𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0
0 0 0 𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 +𝐷) 0 0 0 0 𝐷
𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 + 𝐷) 𝑄𝐿 0 0 0
0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 +𝐷) 𝑄𝐿 0 0
0 0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 +𝐷) 𝑄𝐿 0
0 0 0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 +𝐷) 𝑄𝐿
0 0 0 0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 +𝐷)
∙
𝐶𝐺1
𝐶𝐺2
𝐶𝐺3
𝐶𝐺4
𝐶𝐺5
𝐶𝐿1
𝐶𝐿2
𝐶𝐿3
𝐶𝐿4
𝐶𝐿5
=
−𝑄𝐺𝐶𝐺0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑄𝐿𝐶𝐿6
 Aplicando Solver:
 Lado gás:
− 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺1 + 𝐷𝐶𝐿1 −𝑄𝐺 𝐶𝐺0 = 0
𝑄𝐺𝐶𝐺1 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺2 + 𝐷𝐶𝐿2 = 0
𝑄𝐺𝐶𝐺2 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺3 + 𝐷𝐶𝐿3 = 0
𝑄𝐺𝐶𝐺3 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺4 + 𝐷𝐶𝐿4 = 0
𝑄𝐺𝐶4 − 𝑄𝐺 + 𝐷 𝐶𝐺5 + 𝐷𝐶𝐿5 = 0 Lado líquido:
− 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿1 + 𝑄𝐿𝐶𝐿2 + 𝐷𝐶𝐺1 = 0
− 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿2 + 𝑄𝐿𝐶𝐿3 + 𝐷𝐶𝐺2 = 0
− 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿3 + 𝑄𝐿𝐶𝐿4 + 𝐷𝐶𝐺3 = 0
− 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿4 + 𝑄𝐿𝐶𝐿5 + 𝐷𝐶𝐺4 = 0
− 𝑄𝐿 + 𝐷 𝐶𝐿5 + 𝐷𝐶𝐺5 + 𝑄𝐿𝐶𝐿6 = 0
 As concentrações em mol/L:
𝑪 =
𝑪𝑮𝟏 = 𝟗𝟓, 𝟕𝟑𝟑𝟑
𝑪𝑮𝟐 = 𝟗𝟎, 𝟐𝟒𝟕𝟓
𝑪𝑮𝟑 = 𝟖𝟑, 𝟏𝟗𝟒𝟒
𝑪𝑮𝟒 = 𝟕𝟒, 𝟏𝟐𝟔𝟎
𝑪𝑮𝟓 = 𝟔𝟐, 𝟒𝟔𝟔𝟖
𝑪𝑳𝟏 = 𝟖𝟓, 𝟎𝟔𝟔𝟓
𝑪𝑳𝟐 = 𝟕𝟔, 𝟓𝟑𝟑𝟏
𝑪𝑳𝟑 = 𝟔𝟓, 𝟓𝟔𝟏𝟓
𝑪𝑳𝟒 = 𝟓𝟏, 𝟒𝟓𝟓𝟐
𝑪𝑳𝟓 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟏𝟖𝟔
 Aplicando a matriz inversa:
−(𝑄𝐺 + 𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0 0 0 0
𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 + 𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0 0 0
0 𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 + 𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0 0
0 0 𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 + 𝐷) 0 0 0 0 𝐷 0
0 0 0 𝑄𝐺 −(𝑄𝐺 + 𝐷) 0 0 0 0 𝐷
𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 + 𝐷) 𝑄𝐿 0 0 0
0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 + 𝐷) 𝑄𝐿 0 0
0 0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 + 𝐷) 𝑄𝐿 0
0 0 0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 + 𝐷) 𝑄𝐿
0 0 0 0 𝐷 0 0 0 0 −(𝑄𝐿 + 𝐷)
∙
𝐶𝐺1
𝐶𝐺2
𝐶𝐺3
𝐶𝐺4
𝐶𝐺5
𝐶𝐿1
𝐶𝐿2
𝐶𝐿3
𝐶𝐿4
𝐶𝐿5
=
−𝑄𝐺𝐶𝐺0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑄𝐿𝐶𝐿6
−2,8 0 0 0 0 0,8 0 0 0 0
2,0 −2,8 0 0 0 0 0,8 0 0 0
0 2,0 −2,8 0 0 0 0 0,8 0 0
0 0 2,0 −2,8 0 0 0 0 0,8 0
0 0 0 2,0 −2,8 0 0 0 0 0,8
𝐷 0 0 0 0 −1,8 1,0 0 0 0
0 𝐷 0 0 0 0 −1,8 1,0 0 0
0 0 𝐷 0 0 0 0 −1,8 1,0 0
0 0 0 𝐷 0 0 0 0 −1,8 1,0
0 0 0 0 𝐷 0 0 0 0 −1,8
∙
𝐶𝐺1
𝐶𝐺2
𝐶𝐺3
𝐶𝐺4
𝐶𝐺5
𝐶𝐿1
𝐶𝐿2
𝐶𝐿3
𝐶𝐿4
𝐶𝐿5
=
−200
0
0
0
0
0
0
0
0
−10
 As concentrações em mol/L:
𝑪 =
𝑪𝑮𝟏 = 𝟗𝟓, 𝟕𝟑𝟑𝟑
𝑪𝑮𝟐 = 𝟗𝟎, 𝟐𝟒𝟕𝟓
𝑪𝑮𝟑 = 𝟖𝟑, 𝟏𝟗𝟒𝟒
𝑪𝑮𝟒 = 𝟕𝟒, 𝟏𝟐𝟔𝟎
𝑪𝑮𝟓 = 𝟔𝟐, 𝟒𝟔𝟔𝟖
𝑪𝑳𝟏 = 𝟖𝟓, 𝟎𝟔𝟔𝟓
𝑪𝑳𝟐 = 𝟕𝟔, 𝟓𝟑𝟑𝟏
𝑪𝑳𝟑 = 𝟔𝟓, 𝟓𝟔𝟏𝟓
𝑪𝑳𝟒 = 𝟓𝟏, 𝟒𝟓𝟓𝟐
𝑪𝑳𝟓 = 𝟑𝟑, 𝟑𝟏𝟖𝟔
5) O esquema a seguir ilustra um sistema reacional com 4 reatores de mistura
perfeita (CSTR) conectados entre si. As reações nesses reatores são irreversíveis e de
primeira ordem, representadas pela estequiometria definida abaixo. O sistema opera
em regime permanente, em fase líquida e com densidade constante.
𝐴 → 𝐵
Assim, a taxa na qual A é transformado em B pode ser representada como
rab = kVC
Os volumes 𝑉𝑖 de cada equipamento e as constantes cinéticas 𝑘𝑖 são fornecidos na
tabela a seguir.
a) Escreva as equações que descrevem o comportamento desses reatores.
b) Resolva o sistema de equações obtido usando o método de Gauss (direto).
Reator 𝑉𝑖 / L 𝑘𝑖 / h-1
1 1000 0,1
2 1500 0,2
3 100 0,4
4 500 0,3
Balanço molar com reação química:
𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴 ±න𝑟𝐴 ∙ 𝑑𝑉 =
𝑑𝑛𝐴
𝑑𝑡
𝐹𝐴0 = 𝑄0 ∙ 𝐶𝐴0; 𝐹𝐴 = 𝑄 ∙ 𝐶𝐴; 𝑟𝐴 = 𝑘 ∙ 𝐶𝐴;
𝑑𝑛𝐴
𝑑𝑡
= 0
(𝑟𝑒𝑔𝑖𝑚𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜, 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑜𝑟 𝐶𝑆𝑇𝑅)
𝑭𝑨𝟎 − 𝑭𝑨 − 𝒓𝑨 ∙ 𝑽 = 𝟎
 Reator 1:
𝑄0 ∙ 𝐶𝐴0 − 𝑄1 ∙ 𝐶𝐴1 − 𝑘1 ∙ 𝐶𝐴1 ∙ 𝑉1 = 0
 Reator 2:
𝑄1 ∙ 𝐶𝐴1 − 𝑄2 ∙ 𝐶𝐴2 + 𝑄3,2 ∙ 𝐶𝐴3 − 𝑘2 ∙ 𝐶𝐴2 ∙ 𝑉2 = 0
 Reator 3:
𝑄2 ∙ 𝐶𝐴2 − 𝑄3 ∙ 𝐶𝐴3 + 𝑄4,3 ∙ 𝐶𝐴4 − 𝑘3 ∙ 𝐶𝐴3 ∙ 𝑉3 = 0
 Reator 4:
𝑄3 ∙ 𝐶𝐴3 − 𝑄3,2 ∙ 𝐶𝐴3 − 𝑄4 ∙ 𝐶𝐴4 − 𝑘4 ∙ 𝐶𝐴4 ∙ 𝑉4 = 0
 Organizando em função das quatro incógnitas CA1, CA2, CA3 e CA4:
𝑄1 ∙ 𝐶𝐴1 + 𝑘1 ∙ 𝐶𝐴1 ∙ 𝑉1 = 𝑄0 ∙ 𝐶𝐴0
𝑸𝟏 + 𝒌𝟏 ∙ 𝑽𝟏 ∙ 𝑪𝑨𝟏 = 𝑸𝟎 ∙ 𝑪𝑨𝟎
𝑄1 ∙ 𝐶𝐴1 − 𝑄2 ∙ 𝐶𝐴2 + 𝑄3,2 ∙ 𝐶𝐴3 − 𝑘2 ∙ 𝐶𝐴2 ∙ 𝑉2 = 0
𝑸𝟏 ∙ 𝑪𝑨𝟏 − (𝑸𝟐 + 𝒌𝟐 ∙ 𝑽𝟐) ∙ 𝑪𝑨𝟐 + 𝑸𝟑,𝟐 ∙ 𝑪𝑨𝟑 = 𝟎
𝑄2 ∙ 𝐶𝐴2 − 𝑄3 ∙ 𝐶𝐴3 + 𝑄4,3 ∙ 𝐶𝐴4 − 𝑘3 ∙ 𝐶𝐴3 ∙ 𝑉3 = 0
𝑸𝟐 ∙ 𝑪𝑨𝟐 − (𝑸𝟑 + 𝒌𝟑 ∙ 𝑽𝟑) ∙ 𝑪𝑨𝟑 + 𝑸𝟒,𝟑 ∙ 𝑪𝑨𝟒 = 𝟎
𝑄3 ∙ 𝐶𝐴3 − 𝑄3,2 ∙ 𝐶𝐴3 − 𝑄4 ∙ 𝐶𝐴4 − 𝑘4 ∙ 𝐶𝐴4 ∙ 𝑉4 = 0
(𝑸𝟑 − 𝑸𝟑,𝟐) ∙ 𝑪𝑨𝟑 − (𝑸𝟒 + 𝒌𝟒 ∙ 𝑽𝟒) ∙ 𝑪𝑨𝟒 = 𝟎
 Aplicando o Solver:
𝐶𝐴,1 = 0,9091
𝑚𝑜𝑙
𝐿
; 𝐶𝐴,2 = 0,6969
𝑚𝑜𝑙
𝐿
;
𝐶𝐴,3 = 0,6654
𝑚𝑜𝑙
𝐿
; 𝐶𝐴,4 = 0,5856
𝑚𝑜𝑙
𝐿
 Aplicando a matriz inversa:
𝐴 =
1100 0 0 0
1000 −1400 100 0
0 𝑄2 −1240 100
0 0 1100 −1250
𝐵 =
1000
0
0
0
𝐶 = 𝐴 −1 ∙ 𝐵
𝐶𝐴,1 = 0,9091
𝑚𝑜𝑙
𝐿
; 𝐶𝐴,2 = 0,6969
𝑚𝑜𝑙
𝐿
;
𝐶𝐴,3 = 0,6654
𝑚𝑜𝑙
𝐿
; 𝐶𝐴,4 = 0,5856
𝑚𝑜𝑙
𝐿