AD1-Q4-2021-2-Gabarito.MD1

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Gabarito da Questão 4 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-2
Questão 4 (2,5 pontos) Após um aumento de 30%, o preço P de um produto se torna
P + 30% P = P +
30
100
· P = P + 30P
100
=
100P + 30P
100
=
130
100
· P = 1,30 · P.
Aumentar o preço do produto em 30% equivale, portanto, a multiplicar este preço por
130
100
, 130%
ou ainda 1, 30.
Após estudar o que ocorreu neste exemplo, responda:
(a) Aumentar um preço em a% significa multiplicar este preço por qual número? (Escreva na forma
de fração e porcentagem)
Dica: lembre-se de que a% =
a
100
.
(b) Diminuir um preço em a% significa multiplicar este preço por qual número? (Escreva na forma
de fração e porcentagem)
(c) Aplicar dois aumentos sucessivos de a% ao preço de um produto significa multiplicar este preço
por qual número?
(d) Aumentar um preço em a% e depois reduzi-lo em a% significa multiplicá-lo por qual número?
(e) Aumentar um preço em a% e depois reduzi-lo em b% significa multiplicá-lo por qual número?
Utilizando o que foi você fez nos itens acima, tente resolver da forma mais simples posśıvel os itens
abaixo:
(f) Aumentar o preço de um produto sucessivamente em 20% e 30%, para depois reduzi-lo em 50%,
significa multiplicar o preço inicial por qual número?
(g) O preço de um produto registrou aumento de 20% 2018, redução de 5% em 2019 e aumento de
10% em 2020. Qual foi a variação percentual acumulada no preço deste produto nestes 3 anos?
Solução:
(a) Como a% =
a
100
, aumentar um preço em a% significa que o novo preço será
P + a% · P = P + a
100
· P = 100P + aP
100
=
100 + a
100
· P.
Assim, aumentar um preço em a%, significa multiplicá-lo por 100+a
100
.
Escrevendo este número na forma de porcentagem, temos
100 + a
100
= (100 + a)%.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2021-2 2
Lembre-se de que o śımbolo % significa exatamente que o número está sobre um denominador
100.
Podemos ainda escrever
100 + a
100
=
100
100
+
a
100
= 1 +
a
100
.
(b) Como a% =
a
100
, diminuir um preço em a% significa que o novo preço será
P − a% · P = P − a
100
· P = 100P − aP
100
=
100− a
100
· P.
Assim, diminuir um preço em a%, significa multiplicá-lo por 100−a
100
.
Escrevendo este número na forma de porcentagem, temos
100− a
100
= (100− a)%.
Lembre-se de que o śımbolo % significa exatamente que o número está sobre um denominador
100.
Podemos ainda escrever
100− a
100
=
100
100
− a
100
= 1− a
100
.
(c) Pelo item (a), aumentar um preço em a% é multiplicá-lo por 100+a
100
ou 1+
a
100
. Após o primeiro
aumento de a%, o preço se tornará
100 + a
100
· P ou
(
1 +
a
100
)
P.
Aplicar um novo aumento de a% neste preço equivale a multiplicar novamente por 100+a
100
ou
1 +
a
100
, e ele se tornará
100 + a
100
· 100 + a
100
· P =
(
100 + a
100
)2
P ou
(
1 +
a
100
)
·
(
1 +
a
100
)
P =
(
1 +
a
100
)2
P.
Assim, aplicar dois aumentos sucessivos de a% em um preço é multiplicá-lo por(
100 + a
100
)2
ou
(
1 +
a
100
)2
.
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 – 2021-2 3
(d) Já vimos que após um aumento de a%, um preço P se torna
100 + a
100
· P ou
(
1 +
a
100
)
P.
Vimos em (b) que uma redução de a% representa uma multiplicação por 100−a
100
ou 1 − a
100
.
Assim, após a redução, o preço se torna
100− a
100
· 100 + a
100
· P ou
(
1− a
100
)
·
(
1 +
a
100
)
P.
Assim, aplicar um aumento de a% seguido de uma redução de a% em um preço é multiplicá-lo
por
100− a
100
· 100 + a
100
ou
(
1− a
100
)
·
(
1 +
a
100
)
.
Lembrando que (x+ y)(x− y) = x2 − y2, os números acima podem ser escritos como
1002 − a2
1002
ou 1− a
2
1002
.
(e) Vimos em (a) que aumentar em a% significa multiplicar por 100+a
100
ou 1 +
a
100
e reduzir em b%
significa multiplicar por 100−b
100
ou 1 − b
100
. Assim, após um aumento de a% e uma redução de
b%, um preço é multiplicado por
100 + a
100
· 100− b
100
ou
(
1 +
a
100
)
·
(
1− b
100
)
.
(f) Aumentar o preço em 20% representa uma multiplicação por
100 + 20
100
=
120
100
=
12
10
;
aumentar em 30% representa uma multiplicação por
100 + 30
100
=
130
100
=
13
10
;
e reduzir em 50% representa uma multiplicação por
100− 50
100
=
50
100
=
5
10
.
Assim, aumentar sucessivamente em 20% e 30%, e reduzir em seguida em 50%, significa multi-
plicar por
12
10
· 13
10
· 5
10
=
780
1000
=
78
100
.
(g) Pelo que vimos, aumentar em 20%, reduzir em 5% e aumentar em 10%, sucessivamente, repre-
senta uma multiplicação por
100 + 20
100
· 100− 5
100
· 100 + 10
100
=
12�0
10�0
· �
�>
19
95
�
��*
20
100
· 11�0
10�0
=
2508
2000
=
1254
1000
=
125,4
100
%
Assim, após estes aumentos e redução, um preço P se torna então
125,4
100
%P = 100%P + 25,4%P,
portanto há um aumento de 25,4%.
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