exercícios - Equação de Laplace 23-04-2020

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Métodos Matemáticos Aplicados a Engenharia Elétrica 1 
Equação de Laplace 
Equações Diferenciais Parciais: 
Derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem 
algumas leis físicas. Por exemplo, a equação diferencial parcial 0
2
2
2
2






y
u
x
u
é 
chamada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace. Soluções dessa 
equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo 
de condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. 
Exercícios 
1) Mostre que a função yeyxu
x sen),(  é solução da equação de Laplace. 
2) A distribuição de temperatura T, no estado estacionário, em sólidos é 
descrita pela equação de Laplace, ou seja, 
0
2
2
2
2
2
2









z
T
y
T
x
T
 . 
Mostre que a função zezyxT
yx 5cos),,( 43  é solução da equação de 
Laplace. 
3) Verifique se a função 𝑢 =
1
√𝑥2+𝑦2+𝑧2 
é solução da equação de Laplace 
0 zzyyxx uuu . 
4) Uma função de temperatura de estado estacionário 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) para uma 
placa plana satisfaz a equação 0
2
2
2
2






y
z
x
z
. Determine se as funções, 
a seguir satisfazem a equação de Laplace: 
a) z = 5xz 
b) z = √x2 + y2 
c) senyez
x2