Equação de Laplace e diferencial total

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Equação de Laplace e
diferencial total
Iniciar um ciclo de aplicações das derivadas parciais em engenharia,
começando pelas equações de Laplace e diferencial total.
Aplicações das derivadas parciais
Equação de Laplace
Seja z = f(x, y) uma função de duas variáveis e suas "parciais" de segunda ordem,
chamamos de equação de Laplace a seguinte expressão:
Analogamente, para w = f(x, y, z) temos a Equação de Laplace:
Nesses casos, dizemos que z e w (respectivamente) satisfazem a equação de Laplace.
Obs.: Chamamos de laplaciano a expressão em razão de sua similaridade
com a equação de Laplace .
Exemplos
Verifique se as funções dadas satisfazem a equação de Laplace.
a.
Resolução
Logo, w satisfaz a "Laplace".
b.
Resolução
Logo, z satisfaz a "Laplace".
c.
Resolução
Logo, z não satisfaz a "Laplace".
Diferencial total (ou derivada total)
Seja uma função de duas variáveis e as "parciais" de ,
chamamos de Diferencial (ou Derivada) Total a seguinte expressão:
Ou:
Analogamente, para temos:
Ou:
Exemplos
Calcule a expressão do diferencial total de:
a.
Resolução
Idem para :b.
Resolução
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Referências
FLEMMING, D. M. Cálculo A. 6. ed. São Paulo: Pearson, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2000.
STEWART, J. Cálculo. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.