Gabarito das Autoatividades de Mecânica

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Gabarito
utoatividades
MECÂNICA
Prof.ª Margaret Luzia Froehlich
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE
MECÂNICA
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Dado o vetor e o escalar encontre o vetor 
 resultante do produto entre eles.
R.:
2 Dado o vetor e o escalar t = 2, encontre o vetor resultante
 do produto entre eles. 
R.:
3 Dados os vetores encontre o produto 
 escalar entre eles. Encontre também o ângulo entre eles.
R.: 
4 Dados os vetores encontre o produto 
 vetorial entre eles. 
R.:
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5 Dados os vetores encontre o vetor 
 resultante da soma entre eles. Encontre também o seu módulo. 
R.: 
6 Dado o vetor no espaço plano formado pelos eixos x e y, 
 encontre as suas componentes nas direções x e y, sabendo que o 
vetor forma um ângulo de 30º com o eixo x.
R.: O vetor tem componente x igual a 3 e componente y 
igual a -5.
O ângulo que este vetor forma com o eixo x é de 600 e não de 300, pois
TÓPICO 2 
1 A posição r de uma partícula que se move num plano xy é dada por 
 r = (4t³ – 6t)i + (8 – 2t4)j com r em metros e t em segundos. Na notação 
de vetores unitários, calcule:
a) r
b) v
c) a para t = 3s. 
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R.: 
a) Com o tempo igual a 3 segundos encontramos, 
b) Calculando a primeira derivada do vetor posição, encontramos o vetor 
velocidade em termos do tempo,
substituindo o tempo temos,
c) Calculando a derivada do vetor velocidade (derivada segunda da posição), 
encontramos o vetor aceleração em termos do tempo,
Substituindo o tempo temos,
2 A velocidade v de uma partícula que se move sobre o plano xy é 
dada por v = (15t – 5t²)i + (6 - 2t)j, com v em m/s e t em segundos.
a) Qual é a aceleração quando t = 1,0 s?
b) Quando (se acontecer) a aceleração é nula?
c) Quando (se acontecer) a velocidade é nula? 
R.:
a) Sendo a velocidade dada por 
podemos encontrar a aceleração derivando a 
expressão acima,
e depois substituir o tempo de 1 s,
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b) A aceleração não será nula em nenhum momento, pois podemos ver na 
expressão em função do tempo que encontramos acima que a componente 
associada ao versor é constante, pois não depende do tempo.
c) Para que a velocidade seja nula, precisamos encontrar um valor para o 
tempo que anule as duas componentes, assim utilizando
e igualando cada um dos termos a zero 
encontramos,
Portanto, no tempo 3 segundos a velocidade se anula.
3 A partir da expressão x = t3 – 6t2 – 15t + 40 onde x(m), t(s), podemos 
descrever o deslocamento de um ponto material. Encontre:
a) O instante em que a velocidade será nula.
b) A posição e a distância percorrida pelo ponto material até esse 
instante.
c) A aceleração nesse instante.
d)	Esboce	os	gráficos.
R.: 
a) 
Desprezando o resultado negativo, temos que a velocidade será nula em 
t = 5 s.
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b)
c)
d)
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4 Uma unidade de área frequentemente usada na medição de áreas de 
terrenos	é	o	hectare,	definido	como	104	m2.	Uma	mina	de	carvão	de	
escavação aberta consome 75 hectares de terra, até uma profundidade 
de 26m a cada ano. Qual é o volume de terra removido por ano em 
quilômetros cúbicos?
R.: Utilizando o fator de conversão de unidades encontramos que,
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O volume é dado pela expressão,
Novamente utilizamos o fator de conversão para encontrar o volume em 
km3.
5 Encontre os componentes da velocidade e da aceleração da partícula 
no tempo de 2 segundos de um ponto material governado pela 
expressão a seguir.
R.: 
TÓPICO 3 
1 Uma pedra é lançada de uma catapulta em t=0, com uma velocidade 
inicial de módulo 20,0 m/s em um ângulo de 40º acima da horizontal. 
Quais são os módulos dos componentes:
 (a) horizontal
 (b) vertical do seu deslocamento em relação à catapulta em t = 1,10s?
 Repita para as componentes (c) horizontal e (d) vertical em t = 1,80 
s e para as componentes (e) horizontal e (f) vertical em t = 5,00 s.
R.: a) As equações que descrevem o movimento em cada direção são:
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e com a posição inicial na 
origem temos as seguintes equações para os dois eixos coordenados
Substituindo o tempo de 1,10 s na primeira encontramos a componente 
horizontal,
b) a componente vertical é dada pela segunda equação,
c) analogamente,
d)
e) 
f)
2 Um peixe, nadando em um plano horizontal, tem velocidade vi = 
(5,00i + 2,00j)m/s em um ponto no oceano em que o deslocamento em 
relação a uma certa pedra é r i = (9,0i – 3,00j)m. Após o peixe nadar 
com aceleração constante por 15,0s, sua velocidade é v = (16,0i - 4,00j)
m/s. Quais são as componentes da aceleração?
R.: Da definição de aceleração encontramos:
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Assim sendo, as componentes procuradas são:
e
3 Uma pedra é projetada sobre um rochedo íngreme de altura h 
com velocidade inicial de 40 m/s direcionada em um ângulo de 
50º acima da horizontal. A pedra cai em um ponto A, 4,0 s após o 
lançamento. Encontre (a) a altura h do rochedo, (b) a velocidade da 
pedra imediatamente antes do impacto em A, e (c) a altura máxima H 
alcançada acima do chão.
R.:
a) A altura h é a coordenada y do deslocamento como tempo igual a 4,0 s e 
dada pela equação 
Sendo que substituindo
encontramos a velocidade inicial na direção y como sendo,
Sabendo que quando a pedra foi lançada ela se encontrava na origem das 
posições e que a aceleração da gravidade vale 29,8m/s=g
podemos encontrar a altura do rochedo, , yh =
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b) Para encontrar a velocidade da pedra ao bater no rochedo precisamos 
encontrar as coordenadas de x e y para a velocidade e calcular o seu 
módulo, na direção x o movimento é uniforme, portanto a velocidade nesta 
direção é constante, assim:
A velocidade na direção y pode ser encontrada mediante a equação,
Encontramos o vetor velocidade como sendo 
e o seu módulo,
c) Na altura máxima a componente y da velocidade é igual a zero, 
Podemos utilizar a equação da velocidade em y para encontrar o tempo e 
utilizar na equação da posição de y para determinar a altura máxima H.
0=yv .
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Substituindo esse tempo na equação para y, encontramos 
4 De um elevador em movimento ascendente, de velocidade 3,66 m/s, 
abandona-se uma pedra que atinge o fundo do poço em 2,5s. A que 
altura estava o elevador no momento do abandono da pedra? Qual 
a velocidade da pedra no instante do choque com o solo.
R.: 
5 De uma janela de um prédio, localizada a 20m acima do solo, 
arremessa-se verticalmente para cima, uma bola com velocidade 
de 10m/s. Sabendo-se que a aceleração da bola é constante e igual 
a 9,81m/s2, para baixo, escreva uma expressão para a velocidade 
v e para a elevação y da bola, relativamente ao solo, para qualquer 
instante t. Determinar o instante em que a bola atinge a elevação 
máxima e o seu valor em y correspondente.
R.: 
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TÓPICO 4 
1 Um ciclista, correndo a 10m/s, contorna uma curva com um raio de 
25m. Qual é o módulo da sua aceleração?
R.: 
2 Um bloquinho A repousa sobre uma placa horizontal que gira em torno 
de	um	eixo	fixo	em	O.	A	placa	parte	do	repouso	em	t	=	0	e	acelera	
à razão constante de 0,5 rad/s2. Sabendo que r = 0,2m, determine o 
módulo da aceleração total do bloco, quando (a) t = 0, (b) t = 1s e (c) 
t	=	2s.	Situação	apresentada	na	figura	a	seguir.
FIGURA 33 – PLACA GIRATÓRIA
FONTE: A autora
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R.: 
a) 
b) 
c)
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3	Uma	fita	de	computador	move-se	entre	dois	tambores.	Durante	um	
intervalo	de	3s,	a	velocidade	da	fita	aumenta	uniformemente	de	v0	
=	0,620m	/	s	a	v1	=	1,54m	/	s.	Sabendo	que	a	fita	não	escorrega	nos	
tambores, determine (a) a aceleração angular do tambor B e (b) 
a número de revoluções executadas pelo tambor B durante esse 
intervalo de tempo.
FIGURA 34 – FITA DE COMPUTADOR
FONTE: A autora
a)
b) 
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4 Calcule o valor mínimo do raio de uma curva, se a componente normal 
da aceleração de um carro a 26,8 m/s não puder exceder 0,762m/s2?
R.: 
5 Um jogador de golfe lança uma bola a partir da origem com uma 
velocidade inicial de 50 m/s e um ângulo de 25 graus com a horizontal. 
Determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela bola no ponto 
mais alto da trajetória. R. 209,3 m.
R.: 
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6 Para testar seu desempenho, um carro é dirigido ao redor de uma 
pista circular de teste de diâmetro d. Determine o valor de d quando a 
velocidade escalar do carro for de 72km/h, e seu componente normal 
da aceleração for de 3,2 m/s². Determine a velocidade escalar do carro.
R.: 
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UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1 Um bloco com massa m = 8,0kg desliza com velocidade v= 4,0m/s em 
um piso sem atrito, no sentido positivo de um eixo x. Repentinamente, 
ele se parte em dois pedaços. Um pedaço, de massa m1 = 2,0kg, se 
desloca no sentido positivo do eixo x com velocidade v1 = 8,0m/s. 
Qual a velocidade do segundo pedaço, de massa m2?
R.: Utilizando o princípio de conservação temos,
Onde usamos o fato de que
2 Duas forças horizontais atuam sobre um corpo de 2,0kg que pode deslizar 
sobre uma superfície sem atrito, que está posicionado no plano xy. Uma 
força é Encontre a aceleração do corpo na notação 
 vetor unitário quando a outra força for 
R.: 
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3	 Sobre	as	forças	de	atrito,	é	incorreto	afirmar:
a) ( ) A força de atrito cinético sempre será menor que o atrito estático.
b) ( ) A força de atrito estático varia para anular a resultante das forças em 
um corpo, tendo como limite máximo o valor quando esta força for igual a 
“μestático.N”.
c) ( ) A força de atrito cinético é constante para qualquer força aplicada 
quando há movimento relativo entre os corpos.
d) (x) Para aplicações de engenharia sempre se deseja materiais com 
menores coeficientes de atrito, para melhorar eficiência de engrenagens e 
reduzir desgastes, responsáveis por boa parte da perda de rendimento em 
máquinas. Não há aplicação em engenharia de materiais com elevado atrito. 
4 Um bloco de 80km repousa sobre um plano horizontal. Obtenha a 
intensidade da força R capaz de comunicar ao bloco uma aceleração 
de	2,5	m/s2	para	a	direita.	O	coeficiente	de	atrito	entre	o	bloco	e	o	
plano	é	μ	=	0,25.
5 Consideremos uma corda elástica, cuja constante vale 10 N/cm. 
As deformações da corda são elásticas até uma força de tração de 
intensidade 300N e o máximo esforço que ela pode suportar, sem 
romper-se, é de 500N. Se amarramos um dos extremos da corda em 
uma árvore e puxarmos o outro extremo com uma força de intensidade 
300N, a deformação será de 30cm. Se substituirmos a árvore por 
um segundo indivíduo que puxe a corda também com uma força de 
intensidade	300N,	podemos	afirmar	que:
a) ( ) A força de tração será nula;
b) (x) A força de tração terá intensidade 300N e a deformação será a mesma 
do caso da árvore;
c) ( ) A força de tração terá intensidade 600N e a deformação será o dobro do 
caso da árvore;
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d) ( ) A corda se romperá, pois a intensidade de tração será maior que 500N;
e) ( ) n. d. a.
6 a) Calcule a aceleração adquirida pelo pêndulo na direção tangente 
à trajetória, sabendo que a massa da esfera é de 0,5 kg e o ângulo 
formado com a vertical é de 30º. b) Supondo que a resultante de forças 
é	nula	na	direção	que	une	a	esfera	ao	ponto	onde	a	corda	está	fixada,	
calcule a tração na corda.
FIGURA 45 – PÊNDULO SIMPLES
FONTE: A autora
R.: a) A aceleração pode ser encontrada a partir da expressão da força, F = 
ma, sabendo que a força responsável pelo movimento é a componente do 
peso na direção do movimento.
b) Para encontrarmos a tração basta igualarmos a força resultante nesta 
direção a zero,
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7	 O	valor	da	aceleração	da	gravidade	em	qualquer	latitude	φ	é	dado	
por	g	=9,7087(1+0,0053sen2φ)m/s2,	onde	o	efeito	da	rotação	da	Terra	
e também o fato de que a Terra não é esférica foram levados em 
conta.	Sabendo	que	a	massa	de	uma	barra	de	ouro	foi	oficialmente	
definida	como	2	kg,	determine	até	4	casas	significativas	sua	massa	
em quilogramas e seu peso em newtons a uma altitude de (a) 0º, b) 
45ºe c) 60º. (BEER; JOHNSTON JR, 2006).
R.: A massa é a mesma para todos os casos m = 2 kg. O peso em cada caso 
pode ser calculado como segue.
a)
b)
c)
8 A massa de 6 kg abaixo é submetida a duas forças F de 80 N formando 
um	ângulo	θ	de	30º-com	o	eixo	vertical.	Calcule	a	aceleração	do	corpo	
na direção vertical.
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FIGURA 46 – CORPO SUBMETIDO A DUAS FORÇAS APLICADAS
FONTE: A autora
R.: Somando as forças que atuam na direção vertical e a definição de força 
resultante sobre um corpo acelerado temos,
TÓPICO 2 
1	 Calcule	os	momentos	dos	binários	da	figura	a	seguir	e	diga	se	são	
equivalentes ou não. 
FIGURA 59 – BINÁRIOS DO EXERCÍCIO 1
FONTE : A autora
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R.:
2	 Suponha	um	plano	formado	pelos	eixos	x	e	y,	conforme	a	figura	a	
seguir, em que atuam as cargas Calcule: (a) Os momentos 
momentos desenvolvidos por
pontos A, B e C. 
(b) Os momentos desenvolvidos por em relação aos pontos A, B e C.
(c) O momento resultante do sistema em relação aos pontos A, B e C. 
R.:
a)
b)
desnvolvidos em relação aos 
c)
3	 Reduza	o	sistema	de	forças	da	figura	a	seguir	ao	ponto	O.	
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FIGURA 61 – ESQUEMA DO EXERCÍCIO 3
FONTE: A autora
R.: Vamos reduzir o sistema de forças no ponto O, para tanto encontramos 
a resultante somando todas as forças que atuam no sistema,
Agora encontramos o momento resultante,
4 Dois binários atuam na viga. Determine a intensidade de F de modo 
que o momento de binário resultante seja 300lb.pés no sentido anti-
horário. Em que local da viga atua o momento do binário resultante? 
Um triângulo a partir do vetor F tem hipotenusa igual a cinco e catetos 
igual a 3 e 4.
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R.: 
O momento binário pode atuar em qualquer ponto.
5	 Um	binário	 atua	nos	dentes	da	 engrenagem	mostrada	na	figura.	
Substitua esse binário por um equivalente, composto por um par de 
forças que atuam nos pontos A e B.
FIGURA 62 – EXERCÍCIO ENCONTRADO NOS LIVROS DAS
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
FIGURA 63 – ENGRENAGEM
FONTE: Disponível em: <http://www.engbrasil.eng.br/pp/mt/aula12.pdf>. Acesso em: 26 jan. 
2011.
FONTE: A autora
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R.: 
Momento do Binário:
Cálculo das Forças: 
TÓPICO 3 
1 Uma empilhadeira de 2500kg carrega um engradado de 1200kg, como 
indica	a	figura.	A	empilhadeira,	movendo-se	para	a	esquerda,	sofre	a	
ação dos freios que produzem uma desaceleração de 3m/s2. Sabendo-
se	que	o	coeficiente	de	atrito	estático	entre	o	engradado	e	o	suporte	
é 0,60; determine a componente vertical da reação em cada roda.
FIGURA 71 – EMPILHADEIRA
FONTE: BEER, Ferdinand P. Mecânica vetorial para engenheiros – cinemática e dinâmica. 
São Paulo: Makron Books, 1991.
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R.: 
2 No problema anterior, determine a máxima desaceleraçãodo veículo 
para que o engradado não escorregue e a empilhadeira não tombe, 
ambos para frente.
3		 Quando	a	velocidade	de	avanço	do	caminhão	mostrado	na	figura	era	
de 9 m/s, os freios foram acionados bruscamente, fazendo com que 
as quatro rodas parassem de girar. Foi observado que o caminhão 
derrapou sobre 6 m de pista até o repouso. Determine a intensidade da 
reação normal e da força de atrito em cada roda enquanto o caminhão 
derrapava até o repouso.
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FIGURA 72 – CAMINHÃO
FONTE: Disponível em: <http://blog.educacional.com.br/matematicos/2010/05/11/o-caminhao-
os-tijolos-e-os-sacos-decimento-desafio-n%C2%BA-08/>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: Com o sentido positivo para a direita e as equações do MRUV, temos
As forças externas consistem no peso do caminhão, nas reações normais e 
nas forças de atrito nas rodas.
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Reações em cada roda.
4 Uma polia que pesa 54 N e tem um raio de giração de 20 cm está 
unida	a	dois	blocos,	como	mostrado	na	figura.	Considerando	que	
não exista atrito no eixo, determine a aceleração angular da polia e 
a aceleração de cada bloco. 
FIGURA 73 – POLIA
FONTE: A autora
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R.: Embora possamos definir um sentido arbitrário, podemos preferir 
determinar primeiro o sentido da rotação,
Como P realmente pesa 45 N, a polia girará no sentido anti-horário. Supondo 
que tenha sentido anti-horário e observando que:
Um sistema único constituído pela polia e pelos dois blocos é considerado. 
As forças externas a este sistema são os pesos da polia e dos dois blocos 
e a reação em G. (As forças exercidas pelos cabos sobre a polia e sobre 
os blocos são internas ao sistema considerado e se cancelam) Como 
o movimento da polia é uma rotação em torno do centro de massa e o 
movimento de cada bloco é uma translação, as forças efetivas se reduzem 
ao binário I e aos dois vetores ma e ma . O momento de inércia em torno 
do centro de massa da polia é
Como o sistema das forças externas é equipolente ao sistema de forças 
efetivas, escrevemos:
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TÓPICO 4 
1 Um bloco de 60kg se move entre guias verticais. O bloco é puxado 
50 mm abaixo de sua posição de equilíbrio e solto. Determine (a) 
o período de vibração, (b) a velocidade máxima e (c) a aceleração 
máxima do bloco, sabendo que e 
 (Utilize 
para determinar a constante equivalente da associação em série).
FIGURA 79 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO 1
FONTE: A autora
R.: Vamos achar a constante da mola equivalente à soma das duas
a) O período de vibração pode ser determinado através de
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b) A velocidade máxima,
c) A aceleração máxima,
2 Um pêndulo simples executa oscilações de pequena abertura angular 
de modo que a esfera pendular realiza um movimento harmônico 
simples.	É	correto	afirmar	que:
a) ( ) O período de oscilação independe do comprimento do pêndulo.
b) ( ) O período de oscilação é proporcional ao comprimento do pêndulo.
c) ( ) O período de oscilação independe do valor da aceleração da gravidade local.
d) (x) O período de oscilação independe da massa da esfera pendular. 
3	 O	coeficiente	de	atrito	estático	entre	a	barra	vertical	e	o	cilindro	B	é	0,	
4. A mola tem constante elástica igual a 30 N/m e comprimento normal 
de 1, 5 m. Determine o intervalo de valores da massa do cilindro, 
para	os	quais	o	equilíbrio	é	possível	na	posição	indicada	na	figura.	
Supondo que seja a maior massa, determine o período de oscilação.
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FIGURA 80 – MOLA PRESA A UMA EXTREMIDADE FIXA E A UMA
MASSA MÓVEL
FONTE: A autora
R.: A força resultante na direção x é nula,
A força resultante na direção y também deve ser nula para que essa 
configuração se mantenha. Assim,
Para o sinal positivo encontramos m = 2,82 kg e para o sinal negativo 
encontramos 0,857kg. Ou seja, o intervalo procurado é 
Para calcular o período precisamos calcular a frequência de oscilação,
E o período é dado por
4 Um oscilador massa-mola tem amplitude do movimento de 2mm, 
pulsação	de	2π,	e	não	existe	defasagem	de	fase.	Quando	t=10s,	qual	
a elongação do movimento?
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R.: Sendo a função horária da elongação:
Substituindo os valores dados temos:
Lembrando que a unidade resultante será mm, pois os valores não foram 
passados para o SI.
Como cosseno de 20π é um valor máximo (+1), a elongação será máxima, 
ou seja, igual a amplitude.
5 Dada a função horária da elongação:
Sabendo que todos os valores se encontram em unidades do SI, 
responda:
a) Qual a amplitude do movimento?
b) Qual a pulsação do movimento?
c) Qual o período do movimento?
d) Qual a fase inicial do movimento?
e) Quando t=2s qual será a elongação do movimento?
R.: a) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:
A=3m
b) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:
c) Conhecendo a pulsação e sabendo que:
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Igualando os valores:
d) Retirando o valor da equação, com unidades do SI temos:
e) Aplicando o valor na equação temos:
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A
UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 Explique com suas palavras o que são graus de liberdade. A partícula 
ou ponto material possui o mesmo número de graus de liberdade de 
um corpo rígido? Por quê?
R.: Os graus de liberdade determinam a flexibilidade que um corpo possui 
ao executar um movimento no espaço. Existem seis graus de liberdade 
para o corpo, três graus de liberdade associados à rotação e três graus 
de liberdade associados à translação, o ponto material possui apenas três 
graus de liberdade associados à translação.
2		 Quais	são	as	condições	de	equilíbrio?	Explique	o	que	elas	significam.	
R.: São condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de um corpo 
rígido que o somatório das forças e dos momentos sejam nulos, 
e
ou seja, não há movimento de translação nem movimento
de rotação, isso significa que o corpo não possui nenhum grau de liberdade.
Num sistema cartesiano essas duas equações se desdobram em seis 
equações segundo as componentes nos três eixos coordenados,
Condições de equilíbrio:
Forças: Momentos:
3	 O	sistema	da	figura	a	seguir	está	em	equilíbrio.	Determine	a	força	de	
tração na corda, sabendo que o corpo possui uma massa de 30kg e 
que o ângulo do plano inclinado formado com a direção horizontal é 
de 30º.
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FIGURA 90 – ESQUEMA PARA EXERCÍCIO
FONTE: A autora
R.: Utilizando as equações de equilíbrio,
Com a primeira equação determinamos a tração,
4 Decomponha a força de 200 lb que atua sobre o tubo (Figura a seguir) 
em componentes nas direções (a) x e y (b) x´e y.
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FIGURA 91 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPII.PDF>.
Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: Em cada um dos casos, a lei do paralelogramo é usada para decompor 
F e seus dois componentes. Constrói-se então o triângulo de vetor para 
determinar os resultados numéricos por trigonometria.
a) O vetor adição F = FX + FY é mostrado na figura acima. Observe que 
o comprimento dos vetores encontra-se em escala ao longo do eixo x e y, 
construindo-se primeiro linhas, a partir da extremidade de F paralelas aos 
eixos, de acordo com a lei do paralelogramo.
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Pelo triângulo de vetores acima,
b) O vetor adição F = FX´ + FY é mostrado na figura abaixo. Observe com 
atenção como o paralelogramo foi construído. Aplicando-se a lei dos senos 
e utilizando osdados listados no triângulo de vetores, obtém-se;
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5	A	mola	ABC	da	figura	 tem	rigidez	de	500	N/m	e	comprimento	sem	
deformação de 6m. Determine a força horizontal F aplicada à corda 
que está presa no pequeno anel B, de modo que o deslocamento do 
anel em relação à parede seja d = 1,5 m.
FIGURA 92 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
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R.: 158,36 N.
6	 Um	bloco	de	150	kg	 (figura	a	seguir)	pende	de	uma	pequena	polia	
que pode rolar sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas 
na	posição	ilustrada	na	figura	por	um	segundo	cabo	DE,	paralelo	ao	
trecho CB do cabo. Determine: a) a tração no cabo ABC e b) a tração no 
cabo DE. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana.
FIGURA 93 – MANGA MÓVEL PRESO À MOLA
FONTE: Disponível em: <http://www.fsc.ufsc.br/~humberto/fsc5051/
lista1.pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: a) 80 N, b) 285 N.
TÓPICO 2 
1	 A	 viga	AB	da	figura	 se	 encontra	 apoiada	nos	 extremos	por	dois	
vínculos,	no	ponto	A	um	apoio	fixo	e	no	ponto	B	um	apoio	simples.	
Pedem-se as reações vinculares nos pontos A e B, sabendo-se que 
a carga P vale 30N. 
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FIGURA 105 – VIGA AB
FONTE: A autora
Da última equação de equilíbrio temos que
Da segunda equação
E da primeira equação
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2	 Uma	estrutura	em	arco	é	fixa	ao	suporte	articulado	no	ponto	A,	e	
sobre roletes em B num plano de 300 com a horizontal. O vão AB 
mede 20m. O peso da estrutura é Q = 10000kgf. A força resultante 
dos ventos é P = 2000kgf e situa-se a 4 m, acima de A, paralelamente 
à reta AB. Determinar as reações nos suportes A e B.
FIGURA 106 – PÓRTICO
FONTE: A autora
Da última equação
Da segunda equação
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Da primeira equação
3 A barra homogênea AB de peso P = 120 N está articulada em A e é 
mantida	em	equilíbrio	pelo	fio	ideal	BC.	Determine	a	intensidade	da	
força	de	tração	no	fio	e	as	componentes	vertical	e	horizontal	da	força	
da articulação na barra. Sabe-se que o comprimento da barra é 1 m 
e o ângulo é de 30º.
FIGURA 107 – BARRA AB
 FONTE: A autora
R.:
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Da última equação
Da segunda equação
Da primeira equação
4	 Observe	na	figura	a	seguir,	três	cargas	aplicadas	a	uma	viga.	A	viga	é	
apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando 
o peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 
75 kN.
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civil/professores/
glaucia/cap2(2005-2).pdf>. Acesso em: 26 jan. 2011.
FIGURA 108 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
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R.: 
5	 Determine	as	reações	em	A	e	B	quando:	(a)	α	=	0º	(b)	α	=	90º	(c)	α	=	30º.
FIGURA 109 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.pucrs.br/feng/civilprofessores/glaucia/cap2(2005-2).pdf>. 
Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: Na figura observamos que no ponto A existem duas restrições à 
translação e no ponto B uma restrição de translação normal à superfície, 
que pode ser decomposta na direção x e y. Assim sendo, encontramos as 
seguintes expressões.
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Onde
Substituindo os valores para cada caso de a, temos
a)
b)
c)
TÓPICO 3 
1	 Usando	a	estrutura	mostrada	na	figura	117,	do	exemplo	6,	que	é	
composta por barras biarticuladas de pesos desprezíveis, sendo A 
e B são duas articulações externas. Determine todos os esforços 
atuantes nas barras, sabendo que Q = 30 N.
R.:
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2 Sabendo que P = 30 N, a = 1m e b = 3m, determinar o esforço atuante 
na	barra	HJ	da	figura	126,	do	exemplo	7.
3 Para a estrutura ilustrada, determine as reações no rolete “A” e no 
engaste “H”.
FIGURA 128 – ELEMENTOS DA TRELIÇA PARA ATIVIDADE
FONTE: A autora
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Da última equação
Da segunda equação
4 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os 
elementos estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que 
P1 = 500lb e P2 = 100lb.
FIGURA 129 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/
CAPVI1.PDF>. Acesso em: 26 jan. 2011.
R.: FCB = 8,00 kN (T), FCD = 6,93 kN (C), FDE = 6,93 kN (C), FDB = 4,00 
kN (T), FBE = 4,00 FBA = 268 lb (T), FBC = 808 lb (T), FCA = 571 lb (C).
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5 Determine a força em cada elemento da treliça e indique se os 
elementos estão mesmo sob tração ou compressão. Considere que 
P1 = P2 = 4kN.
FIGURA 130 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>. Acesso em: 
26 jan. 2011.
R.: FCB = 8,00 kN (T), FCD = 6,93 kN (C), FDE = 6,93 kN (C), FDB = 4,00 
kN (T), FBE = 4,00 kN (C), FBA = 12,0 kN (T).
6 Determine as forças nos elementos BC, HC e HG para a treliça da 
ponte e indique se eles estão sob tração.
FIGURA 131 – IMAGEM PARA O EXERCÍCIO
FONTE: Disponível em: <http://www.professores.uff.br/salete/mec/CAPVI1.PDF>.
Acesso em: 26 jan. 2011.
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R.: FHG = 29,0 kN (C), FBC =20,5 kN (T), FHC = 12,0 kN (T).
TÓPICO 4 
1	 Encontre	o	esforço	cortante	e	o	momento	fletor	no	ponto	C	da	(Figura	
a seguir) que segue.
FIGURA 140 – VIGA AB COM DUAS CARGAS CONCENTRADAS
FONTE: A autora
R.: A partir do diagrama de corpo livre podemos encontrar as reações
em C e B,
Da última temos
Da primeira
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Pode-se traçar um diagrama de esforço cortante e momento fletor, 
calculando-se os esforços e os momentos em pontos à direita e à esquerda 
dos pontos considerados como no da figura abaixo,
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2 O cabo AB (Figura a seguir) sustenta três cargas verticais nos 
pontos indicados. Se o ponto D está 1,5 m abaixo do apoio esquerdo, 
determine: (a) A elevação dos pontos C e E. (b) A inclinação máxima 
e a tração máxima no cabo.
FIGURA 141 – CABO COM TRÊS CARGAS CONCENTRADAS
FONTE: A autora
R.: Considerando o cabo inteiro
Considerando apenas o segmento ACD
Resolvendo as duas equações simultaneamente temos:
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a) A elevação dos pontos C e E
Considerando a parte AC do cabo, escrevemos
Abaixo do ponto A e do ponto E.
b) A inclinação máxima é observada na parte EB. Como a componente 
horizontal da tração é constante e igual a 81kN, obtemos
TÓPICO 5 
1	 A	luminária	da	figura	a	seguir	tem	50	kg	e	é	suportada	pelas	hastes	
AB e CB, com diâmetros de 8 mm e 10 mm, respectivamente. Calcule 
o valor da tensão normal média em cada haste e determine qual das 
duas hastes está sujeita à maior tensão.
FIGURA 155 – LUMINÁRIA
FONTE: A autora
R.: 
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Sabendo que a massa da luminária é de 50 kg e que a aceleração da 
gravidade é g = 9,8 m/s ², podemos calcular o seu peso 
Substituindo na equação de equilíbrio para y e resolvendo ambas,
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A tensão normal média em cada haste passa a ser então,
Sendo a área circular da seção transversal igual a onde
r é o raio que pode ser determinado dividindo-se o diâmetro por 2. Temos:
2	 O	tirante	está	apoiado	em	sua	extremidade	por	um	disco	circular	fixo	
como	mostrado	na	figura	a	seguir.	Se	a	haste	passa	por	um	furo	de	
40mm de diâmetro, determinar o diâmetro mínimo requerido da haste 
e a espessura mínima do disco, necessários para suportar uma carga 
de20kN. A tensão normal admissível da haste é e a 
tensão de cisalhamento
 
admissível do disco é
R.:
Sabendo que a área é dada por
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Que é o diâmetro do disco.
Utilizando a tensão admissível no disco, encontramos:
E a sua espessura é obtida através da área seccionada