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MAT1162 - Ca´lculo a Va´rias Varia´veis I
Lista de Exerc´ıcios sobre Derivadas Parciais e Plano Tangente
Per´ıodo 2012.1
1 Exerc´ıcios com soluc¸a˜o
Exerc´ıcio 1
Considere a func¸a˜o
g(x, y) = ln(y − 2x2).
1. Descreva e fac¸a um esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o g.
2. Encontre a aproximac¸a˜o linear L(x, y) de g no ponto (−1, 4).
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 1
1. O domı´nio de g e´ o conjunto
D = {(x, y) ∈ R2| y − 2x2 > 0}.
2. Tem-se que (gx(−1, 4), gy(−1, 4)) em (−1, 4) e´ (2, 1/2). Portanto,
L(x, y) = ln(2) + 2(x+ 1) +
1
2
(y − 4).
Exerc´ıcio 2
Considere a func¸a˜o f(x, y) = x3 + (y − 2)3 − y2.
1. Escreva a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de f no ponto (1, 2).
2. Calcule o valor da aproximac¸a˜o linear de f em torno do ponto (1, 2), no ponto (1.01, 1.99).
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 2
1. Um ca´lculo direto mostra que (fx(1, 2), fy(1, 2)) = (3,−4). Portanto a equac¸a˜o do plano tan-
gente ao gra´fico no ponto (1, 2,−3) e´
z = −3 + 3(x− 1)− 4(y − 2).
2. A aproximac¸a˜o linear e´ dada por
L(x, y) = −3 + 3(x− 1)− 4(y − 2).
Portanto,
L(1.01, 1.99) = −3 + 0.03 + 0.04 = −2.93.
1
Exerc´ıcio 3
Considere a func¸a˜o
g(x, y) =
√
y2 − 4x2.
1. Descreva e fac¸a um esboc¸o do domı´nio da func¸a˜o g.
2. Encontre a equac¸a˜o do plano tangente ao gra´fico de g no ponto (1, 3,
√
5).
Soluc¸a˜o do Exerc´ıcio 3
1. O domı´nio e´ descrito por
D = {(x, y) ∈ R2| y2 − 4x2 ≥ 0}.
2. Um ca´lculo mostra que equac¸a˜o do plano tangente e´ dada por
z =
√
5− 4√
5
(x− 1) + 1√
5
(y − 3).
Exerc´ıcio 4
1. Nos exerc´ıcios acima esboce as regio˜es que representam os domı´nios das func¸o˜es, determinando
se sa˜o abertas, ou se sa˜o fechadas, ou se na˜o sa˜o nem abertas nem fechadas. Determine as
fronteiras destas regio˜es, usando equac¸o˜es.
2 Exerc´ıcios sem soluc¸a˜o
Exerc´ıcio 5
1. Nos exerc´ıcios abaixo, explicite o domı´nio das func¸o˜es e exiba a equac¸a˜o dos planos tangentes
nos pontos indicados, explicitando um normal N ao plano.
1. f(x, y) = ln
(
1
x2 + y2
)
, x0 = 1, y0 = 1.
2. f(x, y) = arctan
(
x
y
)
, x0 = −1, y0 = 1.
3. f(x, y) = x2e2y cos(xy), x = y = 0,
2
Exerc´ıcio 6
1. Calcule as derivadas parciais, fx e fy da func¸a˜o abaixo, exibindo a equac¸a˜o do plano tangente
num ponto (x0, y0), x
2
0 + y
2
0 6= 0.
f(x, y) =
x2(x+ y)
x2 + y2
Exerc´ıcio 7
1. Deduza que as func¸o˜es z = f(x, y) abaixo, satisfazem uma equac¸a˜o diferencial parcial de pri-
meira ordem da forma a(x, y)
∂f
∂x
+ b(x, y)
∂f
∂y
+ c(x, y)f = 0, determinando a(x, y) , b(x, y) e
c(x, y) em cada caso.
1. z = cos(x+ y).
2. z = cos(xy).
3. z =
√
x4 + y4.
Exerc´ıcio 8
1. Seja f(x, y) = ex
2y. Encontre uma aproximac¸a˜o para o valor de f(1, 05; 0, 97).
Resp: Usando a aproximac¸a˜o linear pelo plano tangente em (1, 1), tem-se que o valor aproximado
e´ 2, 91 e o valor exato com 4 casas decimais e´ 2, 9137.
Exerc´ıcio 9
1. Considere f(x, y) = x3+y3−1. Deduza que os pontos do gra´fico de f cujo plano tangente passa
pela origem, e´ uma curva obtida pela intersec¸a˜o de um cilindro vertical sobre uma curva plana,
com um plano horizontal. Determine estes conjuntos usando equac¸o˜es.
Exerc´ıcio 10
1. Considere f(x, y) = x4 + y4 − 4xy. Determine os pontos (x, y) correspondentes a pontos
do gra´fico de f , cujo normal e´ paralelo a (0, 0, 100).
Resp: (0, 0), (1, 1), (−1,−1).
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