Cálculo II - Lista 3: Derivadas Parciais

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Exercícios de Cálculo II 
 
Lista 3: (Derivadas Parciais) 
 
1) Ache as derivadas parciais primeiras de 
f
. 
a) 
  132, 234  yxyyxyxf
 
b) 
  xsenyxeyxf y ,
 
c) 
 
y
x
xyxf cos, 
 
d) 
  tertsrf s cos,, 22
 
 
2) Verifique que 
yxxy ww 
. 
a) 
xyexw y cos223  
 
b) 
y
z
xw cosh2
 
 
3) Se 
rtvu sec
, ache 
rvru
. 
 
4) Se 
rtestsrw 234 3
, verifique que 
srrrsrrrs www 
. 
 
5) Uma função 
f
 de 
x
 e 
y
 é harmônica se 
0
2
2
2
2






y
f
x
f
 em todo o domínio de 
f
. Prove que a 
função 
  22ln, yxyxf 
 é harmônica. 
 
6) Mostre que 
  kxsenaktsenv 
satisfaz a equação da onda 
2
2
2
2
2
x
v
a
t
v





. 
 
7) Mostre que as funções 
u
 e 
v
 verificam as equações de cauchy-Riemann 
yx vu 
 e 
yy vu 
. 
a) 
 
22
,
yx
y
yxu


 e 
 
22
,
yx
x
yxv


. 
b) 
  yeyxu x cos, 
 e 
  yseneyxv x,
. 
 
8) Suponhamos que o potencial elétrico V no ponto 
 zyx ,,
 seja dado por 
222
100
zyx
V


, onde 
V
 é 
dado em volts e 
x
, 
y
 e 
z
 em centímetros. Ache a taxa de variação de 
V
 em relação à distância em 
 1,1,2 
na direção do (a) eixo 
x
, (b) eixo 
y
, (c) eixo 
z
. 
 
9) Seja 
C
 o traço do paraboloide 
229 yxz 
 no plano 
1x
. Escreva as equações paramétricas da 
tangente 
l
 a 
C
 no ponto 
 4,2,1P
. Esboce o paraboloide, 
C
 e 
l
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
1a) 
  2338, yyxyxf x 
e 
  326, 24  xyyxyxf y
 
1b) 
  xyeyxf yx cos, 
 e 
  xsenxeyxf yy ,
 
1c) 
 
y
x
sen
y
x
y
x
yxf x  cos,
 e 
 
y
x
sen
y
x
yxf y 






2
,
 
1d) 
  tretsrf sr cos2,,
2
, 
  tertsrf ss cos2,,
22
 e 
  tsenertsrf st
22,, 
 
2a) 
xsenyexww yyxxy
322 26  
 
2b) 
y
z
senh
y
xz
ww yxxy 2
2

 
3) 
  rttgrtrtt 222 secsec 
 
4) 
rtesttsr 222 636 
 
8) a) 
cm
volts
9
100
, b) 
cm
volts
9
50
 e c) 
cm
volts
9
50
 
9) resolverei em aula.