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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPA – UNIFAP UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA A DISTÂNCIA POLO: SANTANA ALUIZIO RIBEIRO DIAS CINTIA MAÉLE FERREIRA DE LIMA EDSON GOMES FREITAS UMA ABORDAGEM NOS LIVROS DIDÁTICOS SOBRE A FÓRMULA DE BHÁSKARA: MITO E REALIDADE SANTANA-AP 2015 ALUIZIO RIBEIRO DIAS CINTIA MAÉLE FERREIRA DE LIMA EDSON GOMES FREITAS UMA ABORDAGEM NOS LIVROS DIDÁTICOS SOBRE A FÓRMULA DE BHÁSKARA: MITO E REALIDADE Trabalho apresentado como requisito final de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade Federal do Amapá para obtenção do título de Licenciatura em Matemática. Orientador: Profº Msc. Steve Araújo. SANTANA-AP 2015 FOLHA DE APROVAÇÃO ALUIZIO RIBEIRO DIAS CINTIA MAÉLE FERREIRA DE LIMA EDSON GOMES FREITAS UMA ABORDAGEM NOS LIVROS DIDÁTICOS SOBRE A FÓRMULA DE BHÁSKARA: MITO E REALIDADE Trabalho apresentado como requisito final de Conclusão do Curso de Licenciatura em Matemática a Distância da Universidade Federal do Amapá para obtenção do título de Licenciatura em Matemática. COMISSÃO EXAMINADORA ______________________________________________ Profº. Msc. Steve Araújo (orientador) _______________________________________________ Profª. Msc.Naralina Viana (convidada) _______________________________________________ Profª. Drª. Simone Leal (convidada) Nota: _____ Data: ___/___/___ SANTANA-AP 2015 A paz de Deus, que excede todo o entendimento, guardará os vossos corações e os vossos pensamentos em Cristo Jesus. Filipenses (4:7, 2015) AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus a quem nos momentos difíceis pedia forças para continuar lutando para que pudesse concretizar minha graduação. Aos meus pais, Maria Inivalda costa e Sebastiao Nery Dias que com seu amor infinito e apoio incondicional é responsável por minha base pessoal e educacional. A minha família, minha esposa Natalia Saraiva quem me abraçava com seu amo para tudo nessa caminhada, aos meus filhos Aluízio Junior e Gabriele Natasha, que no convívio tornaram suportáveis as horas mais difíceis e mais felizes os momentos de vitória. À Coordenadora Geral do Curso Licenciatura Plena em Matemática a distância, em especial Professora. Drª. Simone Almeida Delphim Leal, estes agradecimentos são extensivos aos Professores de turma, Assistentes, Coordenadores de Salas Ambientes, Secretaria do curso, suportes tecnológicos e a todas que colaboraram para que tudo transcorresse em uma perfeita harmonia de ações, manifestando organização de uma equipe comprometida com a Educação de Qualidade Social. Aos professores do Curso e em especial Professor Msc. Steve Wanderson Calheiros de Araújo, Orientador, pois juntos que gentilmente aceitaram participar deste estudo e muito contribuíram para trilhamos uma etapa importante de nossas vidas. Agradeço a compreensão de todos os colegas, em especial: Aline Cristina, Anderson Luís, Gleison Cruz, Marcio Martins, Edson Gomes, Celio Ricardo, Jose Cleydson, Cintia Maéle e Graciano, que sempre me incentivaram e nunca mediram esforços a qualquer solicitação, pelo coleguismo e companheirismo ao longo do curso. Em fim, agradeço a todos que de uma maneira saudável cooperaram para que este trabalho se concretizasse. Aluízio Ribeiro Dias Agradeço primeiramente a Deus, pelo dom da vida, sem ele nada disso seria possível. Aos meus pais, João Maria e Maria de Fática, pela educação, amor e apoio que me deram durante toda a vida, mostrando que sempre poderei contar com eles. Ao meu cunhado Ivanildo, pelo auxílio em momentos difíceis que tive de superar. Agradeço a minha família, especialmente a minha esposa: Cíntia Maéle, por se fazer presente em minha vida. Aos professores Walter Cárdenas, Quele Daiane Ferreira Rodrigues, Simone Almeida Delphim Leal, Arlindo Moreira, Claudia Barrozo Dias, Gabriel Lélis Cordeiro, e ao meu orientador, Steve Wanderson Calheiros de Araújo, por todo o conhecimento transmitido durante toda a graduação. E aos tutores Presenciais na pessoa de Carlos Alberto Ferreira, que além de grandes professores se mostraram verdadeiros amigos no caminho do ensino aprendizagem. A UNIFAP, que me acolhendo desde o primeiro momento, a todos os servidores o meu Obrigado. A Turma, pelo companheirismo e por todo amor e carinho dedicados a mim até aqui, estando sempre ao meu lado e lutando comigo até o fim da graduação, obrigado por me mostrar que todo sonho é possível. Edson Gomes Freitas A Deus por sua misericórdia que me alcançou e é por ele toda honra e vitórias alcançadas. Agradeço à minha família de um modo geral, pois é a parte mais linda da minha vida e a base da minha história, em especial aos meus pais Francisco Barbosa e Almira Guedes que me concedem todos os dias o prazer em desfrutar o orgulho em ser sua filha, pela educação e amor verdadeiro; a meus irmãos Francisco Junior, Gedalias, Abeni e Jordânia, pois além do laço feliz que nos une, sei que estarão comigo nos dias felizes e difíceis. Aos meus professores formadores. E em especial ao meu esposo Edson Gomes Freitas que me deu o maior apoio, pegou minha mão e como quem luta sua própria batalha, lutou a minha também, que esteve comigo sinalizando o melhor lugar onde eu poderia estar e incentivando assiduamente, pelo seu amor, paciência e companheirismo. Cíntia Maéle Ferreira de Lima RESUMO O presente trabalho tem como objetivo central realizar uma abordagem a respeito da “Fórmula de Bháskara”, sendo assim, como enfoque central pretende-se discorrer acerca da contextualização do que se refere a história e evolução dessa fórmula, eminentemente presente no âmbito escolar. Como fonte de dados utilizou-se obras da literatura internacional e Nacional em Educação Matemática que versam a respeito da importância da equação quadrática na construção do conhecimento. Para o desenvolvimento do trabalho, considerou-se também como fonte de abordagem materiais referentes ao conteúdo disponibilizado nos livros adotados pelas Escolas públicas do Estado do Amapá. Realizou-se pesquisas nos livros didáticos sobre a mesma, no que diz respeito à verdadeira história de quem realmente foi o autor da criação, por isso, é preciso assegurar que os conceitos e procedimentos matemáticos estudados na escola estejam em sintonia com o conhecimento aceito como válido pela comunidade. Evidenciando na Literatura pesquisada, que existem diversas abordagens e autorias a respeito da origem e aplicabilidade da “fórmula de Bháskara”. Palavras-chave: Livros Didáticos. Abordagem. Fórmula de Bháskara. ABSTRACT This work is mainly aimed to make an approach about the "Formula of Bhaskara", therefore, a central focus aims to discuss about the context of the case history and evolution of this formula, eminently present in schools. As a data source we used works of international literature and National Education in Mathematics which deal about the importance of the quadratic equation in the construction of knowledge. For the development work, also considered themselves as a source material approach for the content provided in the books adopted by the State of Amapá Public Schools. He conducted research in textbooks about the same, with regard to the true story of who really was the author of creation, so it is necessary to ensure that the concepts andmathematical procedures studied in school are in line with the accepted wisdom as valid by the community. Showing in the research literature, there are different approaches and authorship regarding the origin and applicability of the "Formula of Bhaskara". Keywords: Textbook. Approach. Formula of Bhaskara. SUMÁRIO INTRODUÇÃO........................................................................................................ 11 1 HISTÓRIA SOBRE A VIDA DE BHÁSKARA...................................................... 13 1.1 LIVROS PUBLICADOS..................................................................................... 14 1.2 MAS POR QUE LOGO PARA BHÁSKARA?.................................................... 17 1.3 MITO OU REALIDADE: BHÁSKARA FOI REALMENTE O AUTOR DA FÓRMULA?............................................................................................................. 18 2 O ENUNCIADO DA FÓRMULA DE BHÁSKARA E ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES............................................................................................... 25 2.1 DEMONSTRAÇÃO DO ÁRABE AL-KHOWARIZMI..................................... 26 2.2 DEMONSTRADA PELO MÉTODO DE VIÈTE................................................. 27 2.3 DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO QUE BHÁSKARA UTILIZAVA NA SUA ÉPOCA.................................................................................................................... 28 3 ALGUMAS APLICAÇÕES DA FÓRMULA DENOMINADA DE BHÁSKARA.... 31 3.1 APLICAÇÕES NA CONSTRUÇÃO CIVIL......................................................... 32 3.2 APLICAÇÃO EM UM ENIGMA DA REAL......................................................... 33 3.3 APLICAÇÕES NA FÍSICA................................................................................. 35 CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................................... 37 REFERÊNCIAS...................................................................................................... 38 11 1 INTRODUÇÃO A Fórmula de Bháskara é muito conhecida na matemática e quando se olha pra seu nome as pessoas se perguntam “Será que foi realmente Bhaskara que criou essa famosa fórmula”, pois muitos acreditam até hoje que sim, já que sempre nos foi ensinado que a mesma foi descoberta por ele, tanto que leva o seu nome, mas veremos que bem antes dele a fórmula já existia e que o mesmo apenas contribuiu para a resolução das equações indeterminadas. Afirma Sad e Silva (2008, p.32), que: O posicionamento teórico e as expectativas deste estudo seguem as ideias as quais afirmam que é de grande abrangência e de crucial relevância a investigação (histórica e educacional) com o uso de estudo comparativo, sendo que esta constitui uma ótima estratégia para a pesquisa, pois ao utilizá-la o pesquisador poderá obter mais respostas do que a proposta inicial. Além disso, há a probabilidade de se surpreender com as conclusões ou com as novas relações de abordagens possíveis de realização. (SAD; SILVA, 2008, p.32), No decorrer do trabalho vamos mostrar que apesar de atribuírem a Bhaskara a autoria da fórmula, ele não foi o autor da mesma, pois há 400 anos antes dele ela já havia sido descoberta pelos babilônicos e somente anos depois ele teve sua contribuição nas equações indeterminadas, onde encontramos relatado em seu livro Bijaganita sobre álgebra. Na verdade foi apenas aqui no Brasil no ano de 1960 que passaram a atribuir a ele a autoria da fórmula de resolução da equação do segundo grau, além disso, não se encontra nem um registro na literatura internacional que foi ele o autor da mesma. O presente trabalho de conclusão de curso encontra-se dividido em três grandes capítulos. No primeiro capítulo abordamos a história sobre a vida de Bháskara, enfatizando as obras publicadas, o motivo do mérito da escolha dele para evidenciar a fórmula matemática e a mitologia existente por trás da realidade do surgimento de tal processo de resolução das equações quadráticas. No segundo capítulo enunciaremos a fórmula de Bháskara e algumas demonstrações, como método do Árabe Al Khowarizmi, que Bháskara utilizava em sua época, método de Viète, com o intuito de mostrar a evolução que a mesma teve 12 para chegar ao que hoje conhecemos como fórmula geral para a resolução das equações do 2º grau. E no último capitulo faremos algumas aplicações da fórmula, mostrando sua aplicabilidade na construção civil, na física e na engenharia envolvendo problemas do cotidiano. 13 1 HISTÓRIA SOBRE A VIDA DE BHÁSKARA De acordo com relato histórico, Bháskara nasceu na cidade de Vijayapura, em 1114. Descendente de uma família de astrônomos, o matemático estudo astronomia e astrologia, dando ênfase á matemática. “Em suas obras, descreveu Matemática conhecida na Índia, acrescentando observações próprias. Naquela época, as obras dos matemáticos gregos já eram conhecidas pelos hindus”. (Bongiovanni, Vissoto e Laureano, 1995, p.65). Entre os séculos 500 á 1150 d.C. Registros históricos mostraram que no campo matemáticos a civilizações hindu teve grande desenvolvimento. Diferentemente dos Gregos que visavam por clareza e lógica nas demonstrações de suas equações matemáticas, os hindus possuíam uma forma empírica, expressa por versos que não raramente eram imbuídos de uma linguagem mística e obscura, sendo pouco utilizadas as demonstrações das equações, as quais quando apresentadas, não dispunham de números imaginários, mas forma sincopada (por meio de abreviações) (FRAGOSO, 1999, p.29-31). Para Sardinha (et al, 2011), Fernandes (2005) e Rouse Ball (1960); Bháskara nasceu em 1114 em Vijayapura, Índia, e morreu em 1185 em Ujjain, também na Índia. Família tradicional de astrólogos indianos, ele seguiu a tradição profissional da família, porém com uma orientação cientifica, dedicando-se mais a parte matemática e astronômica. Então ele se preocupava mais com o calculo do dia e hora da ocorrência de eclipses ou das posições e conjunções dos planetas, que dá sustentação à Astrologia. O mesmo foi reconhecido muito cedo e com isso conseguiu o posto de diretor do Observatório de Ujjain, que, na época, era o maior centro de pesquisas matemáticas e astrológicas da Índia, fama desenvolvida por excelentes matemáticos como Varahamihira e Brahmagupta, que ali tinham trabalhado e construído uma forte escola de astronomia matemática. Ele viveu a maior parte de sua vida na região de Sahyadri1. Segundo (ANDRADE; FRAZÃO; AGUIAR, 2014). Suas obras representaram a culminação de contribuições hindus anteriores. Seis trabalhos seus são conhecidos Siddhantasiromani, Lilavati, Bijaganita, Goladhyaya, Granaganita, no entanto o sétimo trabalho é Bijaganita é “[...] uma mera 14 cópia do que já tinham escrito outros matemáticos”, corroborando assim, com outros autores, como Guelli (1995, p.36). Filho de um astrólogo famoso chamado Mahesvara, tornou-se conhecido pela complementação da obra do conterrâneo Brahmagupta, que ali se dedicou no trabalho, arquitetando uma escola de astronomia, onde se especializo em álgebra, embrenhando-se seus estudos. (ANDRADE; FRAZÃO; AGUIAR, 2014). Sad e Silva (2008), afirmam que os documentos históricos são resultados da sociedade e não podem permanecer passivos (presos ao passado). Daí a importância da análise coletiva, possibilitando o resgate para a divulgação científica do conhecimento. 1.1 LIVROS PUBLICADOS As obras escrita por Bhaskara são: Siddhantasiromani (são representadas com conteúdo astronômicos dividido em partes). Goladhyaya: são atribuídas as (esferaceleste). Granaganita: são atribuídas as (matemáticas dos Planetas). Lilavati. Bijaganita A obra Siddhantasiromani foi escrito em 1150 e está dividido em duas partes: Goladhyaya-Esfera Celeste e Granaganita-Matemática dos Planetas. Esses dois livros tratam sobre trigonometria e matemática aplicada à astronomia. Nesta obra encontram-se a soma e diferença de senos de dois ângulos. Comentou em uma das suas obras, a astronomia composta de quatro partes: a primeira, o Lilavati, versa sobre aritmética; a segunda Bijaganitas sobre álgebra; Goladhyaya sobre a esfera (o globo celeste); e, Grahaganita versa sobre o movimento planetário. Igualmente, Fernandes (2005) expõem que a obra mais famosa de Bhaskara foi traduzida pelo inglês Henry Thomas Colebrooke, em torno de 1817, mas aparentemente não houve comercialização massificada do livro. 15 Figura 1: Manuscrito precioso da obra Lilavati. Fonte: Livros raros e manuscritos da Universidade de Columbia – USA. Conforme Fragoso (1999, p.30-32), Lilavati (significa formosa e bela, em sânscrito, ou seja, “a linda menina dos olhos fascinantes”), é a sua obra mais importante e leva o nome de sua filha. Ela foi composta em forma de poema com 278 versos e possui finalidade lúdica. Este livro ganhou grande popularidade na Índia durante o tempo de Akbar (1556-1605). Foi sob a ordem deste imperador que Abul Faizi, o poeta da corte, preparou a tradução integral, o Tarjamah-i-Lilavati em 1587 d.C. (BAG, 1980). Conforme Fragoso (1999, p.30-32), a obra escrita em versos possui bases poéticas e é intitulada com o nome de sua filha o que a envolveu em um véu de lendas e estórias que intentam explicar os motivos que o levaram a escrever tal homenagem. Uma das lendas mais conhecidas e difundidas foi a de que: Lilavati ‘a linda menina dos olhos fascinantes’. Expõe à lenda que astrólogos predisseram data e hora propícias para o seu casamento. Como o tempo era marcado através do relógio d’água (dois recipientes com água disposta em níveis distintos, onde a água passa de um para o outro marcando assim o horário) naqueles dias, Lilavati, ansiosa, debruçou-se sobre um dos recipientes e, por obra do destino, uma das pérolas que adornava seus cabelos caiu interrompendo o fluxo d’água e, desse modo, sem a referida cronometragem, ela não se casou. Em sua tristeza, seu pai, Bháskara, resolveu imortalizá-la através do título de sua obra, pois criam que quando se atribuía o nome de uma pessoa em um livro, esta viveria para sempre. (FRAGOSO, 1999, ps.31-32). Além disso, segundo Ricardo (2013), Bhaskaracharya, ao lançar o seu horóscopo, isso era a apresentação do momento, mas propício para o casamento seria uma hora específica em um determinado dia. Bhaskaracharya. 16 Afirmam que no antigo Egito e Babilônia já eram empregado “relógio de água”, baseado no escoamento de um filete de água, através de um pequeno orifício no fundo de um recipiente, para outro recipiente contendo uma escala graduada. Baseado nesse princípio Bhaskara, também empregou na época para justifica a marcação do tempo. Figura 2: Relógio de água Fonte: Livro Didático, Física I, 2013. Graças a essa história sobre a homenagem feita a filha, Bháskara ficou amplamente conhecido, inclusive entre as pessoas de pouco conhecimento no campo da Matemática diz Silveira (2001). Ainda segundo a autora, na obra Lilavati Bháskara trata de aritmética, e é na obra intitulada Bijaganita definida como sendo: [...] um livro sobre Álgebra [os indianos foram os pais da Álgebra e a chamavam de Outra (=Bija) Matemática (=Ganita), pois nasceu depois da matemática tradicional que se dedicava aos cálculos aritméticos e geométricos]. Bháskara gasta a maior parte desse livro mostrando como resolver equações. Embora não traga nenhuma novidade quanto à resolução nas equações determinadas, ele traz muitos novos e importantes resultados sobre as indeterminadas. Para os matemáticos, é exatamente nas suas descobertas em equações que reside sua importância histórica. (SILVEIRA, 2001). O livro mais famoso de Bhaskara Akaria é o Lilavati, obra elementar dedicada a problemas simples de aritmética, geometria plana (medidas e trigonometria elementar) e combinatória. Sendo a mais conhecida o "Lilavati". Bháskara escreveu também um livro chamado Bijaganita, que mostra como resolver equações. Foi o primeiro livro a reconhecer que um número positivo pode ter duas raízes, uma positiva e outra negativa. Escreveu várias obras assim como: "Bijaganita" (Compêndio de Aritmética), "Goladhia" (Teoria da Esfera), “Siddhanta http://www.territorioscuola.com/wikipedia/pt.wikipedia.php?title=Aritm%C3%A9tica http://www.territorioscuola.com/wikipedia/pt.wikipedia.php?title=Geometria http://www.territorioscuola.com/wikipedia/pt.wikipedia.php?title=Trigonometria 17 Siromani (Jóia de precisão), “Karanakutuhala” (Cálculo de Maravilhas da Astronomia)”. 1.2 MAS POR QUE LOGO PARA BHÁSKARA? Esse ilustre matemático resolveu vários problemas complicados, alguns dos quais envolviam equações de 2º grau. No entanto, muito antes dele, a resolução da equação já era conhecida. Acerca da adequação denominação fórmula resolutiva das equações de 2º grau, que aqui no Brasil tem por nome de fórmula de Bháskara, no dicionário presente na obra, quem seria esse personagem. Encontramos o seguinte esclarecimento: Bháskara matemático indiano que viveu por volta do ano 1100. Fez várias descobertas, mas não é de sua autoria a fórmula que leva seu nome e resolver a equação de 2º grau. Na verdade, a resolução da equação já era conhecida antes (IMENES; LELLIS, 2002, p. 326) Realmente, o texto apresenta os fatos históricos no qual os autores demonstram a fórmula de Bháskara e apresentam argumentos sobre a mesma, procuram contestar essa autoria. Na verdade, para esses autores, a fórmula parece estar mais relacionada à Al-Khowarizmi do que a Bháskara: Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bháskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2° grau, a autora nega os créditos à Bháskara com relação às contribuições para as equações determinadas dizendo que o que ele traz na obra Bijaganita é “uma mera cópia do que já tinham escrito outros matemáticos”, corroborando assim, com outros autores, como Guelli (1995, p.36) apud Fragoso (1999, p.34) que diz que mesmo com todo o seu talento, Bháskara não pode dar o passo fundamental no desenvolvimento das equações do 2º grau. Garbi (1997, p. 23) apud Fragoso (1999, p.34) esclarece ainda que “A fórmula de Bháskara não foi descoberta por Bháskara. Conforme ele mesmo relatou no século XII, a mencionada fórmula fora encontrada um século antes pelo matemático hindu Shidhara e publicada em uma obra que não chegou até nós”. 18 1.3 MITO OU REALIDADE: BHÁSKARA FOI REALMENTE O AUTOR DA FÓRMULA? O primeiro registro sobre equações de segundo grau que se tem notícia em tábua de argila, cuja apresentação era oratória através de palavras, considerada como uma “receita matemática” infalível para solucionar tal tipo de equação e que fornecia somente uma raiz positiva, (as raízes negativas só entraram no contexto matemático a partir do século XVIII). Os historiadores encontraram indícios de que, na civilização da babilônia; em 1700 a.C., já eram resolvidas algumas equações do 2º grau. Depois dessa época remota, parece ter sido Al-Khowarizmi, no século XVI, quando o maior especialista no assunto. (...) depois do século XVI, quando os matemáticos já sabiam calcular com letras, somar monômios, polinômios e fatorar, eles obtiveram a fórmula de Bháskara, seguindo as ideias de Al-Khowarizmi. (IMENES; LELLIS, 2002, 8ª série, p.124). A história em diferentes pontos de vista de autores que põem em destaque osmatemáticos que se destacaram no âmbito da educação. O questionamento levantado por Imenes e Lellis torna-se ainda mais interessante se consideramos que diz respeito a uma designação que parece ser utilizada apenas por livros didáticos brasileiros, apesar de não mencionarem tal fato. Trata-se, portanto, de um elemento histórico associado à história da educação matemática brasileira. A famosa fórmula para resolução das equações quadráticas não foi criada por Bhaskara II, “Ele nem sabia o que era uma fórmula, pois a mesma só surgiu 400 anos depois da sua morte, consequentemente, não poderia ele ter descoberto fórmula nenhuma”. Na época em que o matemático viveu, as equações eram resolvidas através de Regras: [...] uma descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema, por exemplo, as equações que na época de Bháskara, tipicamente, tinham a forma de poesias que iam descrevendo as operações a realizar para resolver o problema, porém ele ajudou a criar essa fórmula, com suas descobertas e as de outros cientistas. Segundo Vailati (2007, p. 5-6), diz que “[...] somente no Brasil em 1960, à fórmula geral para a solução das equações do 2.º grau está ligada ao matemático hindu Bháskara II”. Vailati concorda com Silveira (2001) que esse equívoco que liga 19 Bháskara as equações quadráticas, ocorre apenas no Brasil. E a mesma foi batizada de fórmula de Bhaskara, depois que foi criada os matemáticos quisera fazer uma homenagem para Bhaskara e atribuíram a ele o nome dele a fórmula. Historicamente existem registros de sua existência cerca de 400 anos antes, em textos escritos pelos babilônios. Naquela época não existia a simbologia utilizada hoje, ou seja, não havia a fórmula atual, mas sim uma espécie de "receita" de como proceder para encontrar as raízes da equação quadrática. Afirma Vailati (2007, p.5-6) que “[...] a equação quadrática é resultante de um processo longo de sistematização do conhecimento iniciado pelos babilônicos (2000 a.C) e culminando na Renascença Europeia (Séc. XV e XVI)”. Logo, percebe- se que mais de um matemático contribuiu para que sua dita fórmula resultasse na fórmula que conhecemos hoje. [...] fez grandes contribuições e essas estão expostas no Bijaganita. Pode- se dizer que essas contribuições, principalmente a invenção do método interativo do chakravala e sua modificação do clássico método kuttaka correspondem ao ápice da matemática indiana clássica, podendo-se acrescentar que é somente com Euler e Lagrange que voltaremos a encontrar desenvoltura técnica e fertilidade de ideias de porte compatíveis. (Silveira, 2001). As contribuições de Bháskara para a matemática são notáveis como demonstra a autora acima mencionada, contudo, por virtude de uma associação pouco conveniente não se pode desmerecer seus méritos com relação as suas contribuições a matemática. Essa nomenclatura não é vista em outros países, mesmo porque a mesma não foi descoberta por ele. Nesses textos o que se tinha era uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina o procedimento para determinações das raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos. Babilônios, egípcios e gregos utilizavam técnicas capazes de resolver esse tipo de equação anos antes de Cristo, e, por essa razão, não chegaram a desenvolver um método genérico aplicável à resolução de qualquer tipo de equação de 2º grau. Entretanto, se considerarmos que todos apresentaram métodos diferenciados de completar quadrados e que a generalização do método apresentado por Bháskara, cuja autoria é atribuída ao matemático hindu Shidhara, iniciado pela multiplicação de todos os membros por 4a, leva à nossa atual fórmula de resolução, podemos levantar essa hipótese. Um fato curioso que o próprio 20 Bháskara reconhecia a autoria da fórmula. Para maiores de talhes veja o artigo mencionado anteriormente, de Carvalho (et al, 2008): Muitos foram os matemáticos que se destacaram na época, com base na abordagem realizada por nós, particularmente em grandes partes dos livros didáticos e da literatura pertinente, pudemos identificar até o momento alguns ilustres matemáticos mencionados por autores diversos e de época diversa, dentre os quais se destacam o hindu Shidhara, Bháskara, Al- Khowarizmi e François Viète. Bagdá Século IX. O sábio muçulmano Al-Khowarizmi descobriu um brilhante método para comprovar geometricamente as raízes das equações do 2º grau. O árabe por volta do ano 825 escreveu um livro cujo título pode ser traduzido por “a ciência das equações”. Ainda no século IX, ele apresentou e resolveu equações de 2º grau com uma incógnita usando áreas de quadrados e retângulos. Atualmente, esse procedimento é conhecido como método de completar quadrados. Figura 3: Rosto do matemático Al-Khowarizmi Fonte: Livro Didático, Matemática Uma aventura do pensamento 1997. Foi também um brilhante representante, que se baseando no trabalho dos gregos, criou metodologias para a resolução de equações do 2º grau. As representações geométricas utilizadas por Al-Khowarizmi são influenciadas por Euclides. Conforme o livro da história da matemática, de Carl Boyer, não se percebe elementos da matemática grega clássica no processo de Al Khowarizmi utilizaram para resolver uma equação do 2º grau. Já em outros trechos da obra de Al 21 Khowarizmi há, Segundo Boyer, “a provável influência da matemática babilônica antiga, da matemática indiana medieval e da matemática grega clássica”. Figura 4: Processo geométrico de completação de quadrado. Fonte: Construção dos Acadêmicos. O método funciona da seguinte forma: Primeiro, ele desenha um quadrado cuja área representa o termo . Termo é interpretado como a área de um retângulo de lados e . Al-Khowarizmi dividiu esses retângulo em quatro retângulos de área iguais. Em seguida, aplicou cada um desses quatro retângulos sobre os lados do quadrado de área . A área da figura formada é igual a . Como , a área dessa figura é Em seguida, completou o quadrado: A área deste quadrado é igual a: Portanto, o lado do quadrado é , e assim o famoso sábio mostrou que 1 é uma raiz da equação: Em Nova York – 1930, numa tabuleta desenterrada no vale da Mesopotâmia e que data do período entre 1950 a.C e 1600 a.C. Foi confirmado o que muitos matemático já desconfiavam: os Babilônios sabiam resolver equações do 2º grau 22 através de um procedimento que tinha, com pequenas modificações, a fórmula que usamos atualmente. A resolução da equação , que, na nossa linguagem de hoje, é uma equação do tipo , é encontrada através de uma descrição em palavras, que segue fielmente a fórmula: (os babilônios não conheciam raízes negativas). Experimente resolver a equação (somente a raiz positiva) pela receita dos babilônios. Depois, substituir na fórmula quadrática atual, Descobrirá que as duas fórmulas são exatamente iguais. Foi o matemático francês François Viète (1540-1603), quem deu um tratamento mais formal e algébrico (ganharam símbolos, as letras) para a fórmula geral das equações do 2º grau. Viète é o responsável pela modernização da álgebra, seus trabalhos foram desenvolvidos por outro francês, denominado René Descartes. As equações quadráticas são usadas na resolução de problemas do dia a dia, como: massa corpórea, otimização, cálculo de áreas em movimentos uniformemente variados, entre outros. Figura 5: Rosto do Matemático François Viète Fonte: Gravura, séc. XIX. Escola Francesa. Coleção particular. 23 Podemos observar que a expressão matemática utilizada atualmente para aresolução de uma equação quadrática não deve ser atribuída somente a uma pessoa, mas a vários pesquisadores que através de inúmeros trabalhos, a desenvolveram. Observe que o desenvolvimento da Matemática está ligado a uma sequência de fatos que estão correlacionados entre si. Por mais que temos uma expressão definitiva para a resolução de equações do 2º grau, seria contundente dizermos que muitos ainda pesquisam e trabalham nessa expressão, no intuito de descobrirem novas maneiras de descobrir suas raízes. Quase mil anos depois da criação do método árabe o matemático francês François Viète foi fundamental para criação do sistema moderno de notação matemática, que abriu as portas para novos métodos e para releitura dos métodos antigos. O mesmo tinha a preocupação de padronizar a escrita algébrica em que a mesma permitiria identificar as variáveis, os números e as operações de maneira simples e prática. Com isso, muito do que era escrito verbalmente ganhou a forma algébrica a qual se usa atualmente é o caso da famosa fórmula para extração das raízes de uma equação quadrática, fórmula que curiosamente é atribuída a Bhaskara. O interessante é que Bhaskara não descobriu ou desenvolveu esta fórmula. Na verdade, as fórmulas surgiram na Matemática a aproximadamente de 400 anos depois da sua morte, portanto, a fórmula não é dele! "[…] Na sua época, e possivelmente resolver as equações e também muito antes, os indianos usavam regras descrição por extenso dos procedimentos para resolver um problema", Silva (2008, p. 28), em forma de receitas, que iam descrevendo as operações a realizar. Quem "descobriu" (coloco entre aspas, pois, como disseram, as notações surgiram 400 anos após a morte de Bhaskara) a fórmula foi Sridhara, 100 anos antes de Bhaskara. Portanto, já era do seu conhecimento. O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir as equações quadráticas a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma. Isso ajuda o indivíduo entender a equação. Quem decorou a fórmula, sabe que é igual a menos mais ou menos raiz quadrada de ao quadrado menos quatro vezes vezes c e tudo dividido por 24 dois . Bom, para entender melhor, vamos passo a passo da fórmula nas demonstrações no próximo capitulo. A resolução de equação quadráticas foi abordada, no decorrer da história, por diversos povos, como os árabes, hindus e babilônios. Cerca de 2000 a.C. já resolviam equações quadráticas, em alguns casos com o auxílio de figuras e outros objetos. No século XV, na obra Summa, o carmelitano Italiano Luca Pacioli (1445- 1509) apresentou diversos problemas envolvendo a equação quadrática. 25 2 O ENUNCIADO DA FÓRMULA DE BHÁSKARA E ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES As equações do 2º grau são resolvidas através de uma expressão matemática atribuída ao matemático indiano Bháskara. Mas analisando a linha cronológica dos fatos, identificamos diversos homens ligados ao desenvolvimento da Matemática, contribuindo na elaboração de uma forma prática para o desenvolvimento de tais equações: A utilização das equações quadráticas se dá da seguinte forma: “Na engenharia é usada para estudar lançamentos, trajetória de parábolas e materiais; em física nos movimentos uniformemente variados, lançamentos, queda livre, entre outros; em administração ou economia, pode ser usada para descobrir o lucro máximo de uma empresa” (CARVALHO, 2008). Pois bem, analisando seu resultado no gráfico (as equações e funções são estudados pelos gráficos, e vice-versa), pode ser aplicado em vários fatos. O lançamento de um projétil (bala de canhão) descreve o trajeto de uma equação do segundo grau. Assim, dependendo do ângulo que fizer, pode-se saber aonde a bala vai cair. Neste caso, da onde a bala sai é um dos resultados da equação, e aonde ela cai, é o outro resultado de x. E ainda, como a equação descreve uma parábola, pode-se determinar a altura máxima que pode alcançar. Outro exemplo é se, em uma empresa, os lucros seguirem o padrão de uma equação quadrática. Assim, pode-se saber quando os lucros vão atingir lucro máximo (se os lucros estiveram aumentando), e o que fazer para não decair. As equações quadráticas incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula denominada de Bhaskara (lê-se Báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a três termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela. Eis a seguinte fórmula geral: 26 2.1 DEMONSTRAÇÃO DO ÁRABE AL-KHOWARIZMI (MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADO) Seja a equação: 0 . Primeiramente, vamos dividir todos os coeficientes da equação por temos: Passando o termo para o segundo membro, teremos: Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos o quadrado de a ambos os membros da equação para completando o trinômio quadrado perfeito temos: Fatorar o primeiro membro e retirando m.m.c. do segundo. Temos: Extraindo a raiz quadrada (supondo Isolando o , temos: Valores de é: Ou Onde (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau, definido por: 27 2.2 DEMONSTRADA PELO MÉTODO DE VIÈTE. Generalizando o conceito de completar quadrado, podemos chegamos a uma formula para resolver equação dos 2º grau. Consideramos a equação geral do 2º grau de coeficiente com Seja a seguinte equação: Sejam as raízes dessa equação. Substituindo na equação, temos: Vamos resolver a equação em. Vamos eliminar o coeficiente de fazendo: Substituindo na equação: Simplificando e tirando o mínimo de toda a equação: Como afirmamos que: 28 Então: 2.3 DEMONSTRAÇÃO DO MÉTODO QUE BHASKARA UTILIZAVA NA SUA ÉPOCA Consideramos a equação do 2º grau de coeficiente com Primeiramente, vamos dividir todos os coeficientes da equação por temos: Bhaskara dava uma arrumada assim nos termos: Em seguida desenha um quadrado representado na figura 8. É divide-se novamente um quadrado onde seus lados são representados por Como mostra abaixo a figura 6. Figura 6: Planificação da demonstração de Bháskara Fonte: Construção dos Acadêmicos E os dois retângulos são representados seus lados e outro quadrado maior com lados representado por como mostra figura 7. Figura 7: Planificação da demonstração de Bhaskara Fonte: Construção dos Acadêmicos 29 Calculando área dos quadrados e do retângulo temos como ilustra figura 8 . Figura 8: Planificação da demonstração de Bhaskara Fonte: Construção dos Acadêmicos Seguindo, ele retirava as linhas do quadrado menor ficando assim a expressão de acordo com figura 9. Figura9: Planificação da demonstração de Bhaskara Fonte: Construção dos Acadêmicos Substituía a expressão no lugar de · Figura 10: Planificação da demonstração de Bhaskara Fonte: Construção dos Acadêmicos Próximo passo do método é somar 30 Agora vamos para equação final, como é um quadrado dizemos a área é ·, portanto temos: Fatorar o primeiro membro e retirando m.m.c. do segundo. Temos: Retirando a raiz quadrada (supondo . Isolando o , temos. Valores de é: Ou 31 3 ALGUMAS APLICAÇÕES DA FÓRMULA DENOMINADA DE BHASKARA A utilização da equação do segundo grau se dá da seguinte forma: Na engenharia é usada para estudar lançamentos, trajetória de parábolas e materiais; em física nos movimentos uniformemente variados, lançamentos, queda livre, entre outros; em administração ou economia, pode ser usada para descobrir o lucro máximo de uma empresa (CARVALHO, 2008). Pois bem, analisando seu resultado no gráfico (as equações e funções são estudados pelos gráficos, e vice-versa), pode ser aplicado em vários fatos. O lançamento de um projétil (bala de canhão) descreve o trajeto de uma equação do segundo grau. Assim, dependendo do ângulo que fizer, pode-se saber aonde a bala vai cair. Neste caso, da onde a bala sai é um dos resultados da equação, e aonde ela cai, é o outro resultado de x. E ainda, como a equação descreve uma parábola, pode-se determinar a altura máxima que pode alcançar. Outro exemplo é se, em uma empresa, os lucros seguirem o padrão de uma equação quadrática. Assim, pode-se saber quando os lucros vão atingir/atingiram lucro máximo (se os lucros estiveram aumentando), e o que fazer para não decair. As equações de 2º grau incompletas podem ser resolvidas facilmente, apenas utilizando raiz quadrada. Já no caso das equações completas, é necessário utilizar uma fórmula matemática: a fórmula de Bhaskara (lê-se Báscara). Uma equação de 2o grau pode ser reduzida a três termos principais. O termo que possui a variável ao quadrado, a variável e o termo sem ela. Eis a seguinte fórmula geral: 32 3.1 APLICAÇÕES NA CONSTRUÇÃO CIVIL Figura 11: Ilustração de um Deposita Fonte: Construção dos Acadêmicos 2015. Vamos supor que um construtor precise construir uma calçada na frente e no lado esquerdo de um depósito. O depósito tem 18 m de frente, e 30 m de lado. E o construtor tem de piso disponível para a construção dessa calçada. Surge a pergunta: Qual deve ser a largura da calçada para que não sobre e nem falte piso? Olha o tanto que a fórmula de Bhaskara será importante para esse tipo de cálculo: Agora é só aplicar a fórmula denominada de Bhaskara, e encontraremos a largura certa para a calçada. 33 3.2 APLICAÇÃO EM UM ENIGMA DA VIDA REAL Figura 12: Frota de Kombi Fonte: Prefeitura Municipal de Itararé Tenho uma frota de Kombi, e alugo cada Kombi para 12 passageiro mais. Se o número for exatamente 12, cada um pagará R$10,00. Haverá um abatimento de R$ 5,00 para cada passageiro que exceder os 10. Como a capacidade de cada avião é de 16 passageiros, qual deverá ser o número de passageiros em cada avião, a fim de que eu obtenha a maior receita possível, ou seja, a receita máxima? Qual o valor da máxima rentabilidade? Resolução: Seja R= Rentabilidade. Logo, R= Número de passageiras vezes pagamento por passageiro. Se o número de passageiros passarem de 10 para 11, então: Valor da passagem =10–5(11–10) =10–50(1). Se o número de passageiros passarem de 10 para 12, então: valor da passagem =10–5(12–10)=10–5(2). E assim por diante. Se o número de passageiros for x, então: Valor da passagem =10–5(x–10) =10–5x+50= 60-5x. Como x corresponde ao número de passageiros, e a receita é igual ao número de passageiras vezes pagamento por passageiro, logo: R=x(60–5x) ou R(x) =– Vamos achar o valor de x que dá o máximo à – de duas maneiras: a) Por meio da fórmula de Bhaskara. 34 a) Vamos tirar de – , os dados necessários para usar na fórmula de Bháskara: Dados: – Substituindo os dados na fórmula de Bháskara, obtém-se: Como o valor máximo (VM) de R(x) é dado pela média entre as duas raízes, logo: Portanto, Gráfico do Valor Máximo Arrendado Fonte: Construção dos Acadêmicos 2015. 35 3.3 APLICAÇÕES NA FÍSICA As equações do 2º grau estão presentes em inúmeras situações cotidianas, a exemplos das seguintes: Movimento de um projétil - Você já deve ter estado na beira de um rio ou de um lago e atirado uma pedra para o centro da água ou então jogada um objeto ou dado uma bicuda para o alto em uma bola. Note que como será a trajetória desse movimento? Uma parábola, a função do 2° grau que descreve este movimento. A trajetória de um projétil perceba o movimento descrito, uma parábola. A equação do segundo grau é forte presença ai. Por exemplo, para calcular a altura máxima atingida você precisa calcular o delta, para descobrir o ponto de partida e chegada é necessário resolver a equação e achar os valores de x. Exemplo 1: Um skatista Desliza em MUV obedecendo à função , sendo medido em metros e em segundos. Em que instante o skatista muda de sentido? Solução: A equação do movimento é 2º grau, então ela apresenta uma parábola crescente , a transformação de sentido do skatista dará no momento em que ele atingir o ponto mínimo da parábola. Observe a figura 14 do movimento do skatista : Figura 14: Do Movimento do Skatista. Fonte: Construção dos Acadêmicos 2015. 36 Devemos calcular o ponto mínimo da parábola, assim: Exemplo 2: Um garoto com estilingue atira uma pedra como mostra figura 15, descrevendo a função , sendo em metros e em segundos. Calcule o ponto máximo de altura atingida pelo projétil. Figura 15: Um projétil Fonte: Construção dos Acadêmicos 2015. Solução: A função do movimento da pedra descreve uma parábola decrescente (a < 0), o ponto máximo da parábola será a altura máxima atingida pela pedra. Vamos calcular o ponto máximo da parábola assim: 37 CONSIDERAÇÕES FINAIS Apesar de não haver nenhum registro na literatura internacional que foi Bháskara quem descobriu a fórmula para resolução das equações do segundo grau, não podemos negar sua grande contribuição para a resolução de cálculos das raízes das equações indeterminadas. Também vale ressaltar que mesmo não sendo ele o autor, a fórmula que foi bastante aperfeiçoada por diversos matemáticos chegou até nós nos ajudando a compreender as diversas formas de demonstrá-la e como aplicá-la no nosso cotidiano. Portanto, destacou-se à verdadeira história de quem realmente foi o autor da fórmula, pois é preciso assegurar que os conceitos históricos e procedimentos matemáticos estudados estejam em sintonia com o conhecimento aceito como válido, assim a perspicáciae o conhecimento sobre várias vertente de nosso tema. E desejamos que, em futuros trabalhos, possamos ampliar esse saber matemático para que nós mesmos e outros pesquisadores também possam se beneficiar desse conhecimento. 38 REFERÊNCIAS ANDRADE, M. R. Bháskara: biografia de Bháscara. In: E-Biografias, [S. l.], 2014. Disponível em:<http://www.e-biografias.net/baskhara/> Acesso em: 15 agosto 2015. ANDRADE, M. R.; FRAZÃO, G. F.; AGUIAR, L. Albert Einstein: biografia de Albert Einstein. In: E-Biografias, [S. l.], 2014. Disponível em: <http://www.ebiografias. ANTONIO, N. Y.; ELIZABETH S.; VICENTE P. F. Matemática. Ensino Médio. Volume Único. 1ª ed. São Paulo: Scipione, 2008. BAG, A. K. 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