Relatório 5 CN - Interpolação - Domingos

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15 de agosto de 2021 
 
CÁLCULO NUMÉRICO 2020.2 
RELATÓRIO TÉCNICO 5: INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL 
TURMA: ENGENHARIA DE PETRÓLEO – EPET019 – B – TARDE 
ALUNO: DOMINGOS CLEMENTE PEREIRA 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
O Cálculo Numérico é uma metodologia para resolver problemas matemáticos por meio de uma máquina 
calculadora ou um computador, sendo de grande importância pois, embora os métodos analíticos usualmente 
nos forneçam a resposta em termos de funções matemáticas, existem problemas que não possuem solução 
analítica. Mas, mesmo nestes casos podemos obter uma solução numérica para o problema. Uma solução via 
Cálculo Numérico é um conjunto de dados numéricos que fornecem uma aproximação para a solução exata 
do problema, aproximação esta que pode ser obtida em grau crescente de exatidão. 
Na área da Engenharia de Petróleo, os métodos de interpolação podem ser utilizados em simulações para 
resolver problemas de modelos computacionais. A interpolação, nesse caso, permite a geração de superfícies 
as quais irão interpolar os resultados através de funções matemáticas que sem os métodos numéricos seriam 
quase impossíveis de se resolver. 
 
2. FORMULAÇÃO MATEMÁTICA 
Na matemática, Interpolação linear é um método no qual instanciamos um novo conjunto de dados 
utilizando interpolação polinomial em vista de construir novos pontos de dados no alcance de pontos já 
conhecidos. A Interpolação Polinomial é utilizada como uma aproximação para uma função f(x), 
principalmente, nas seguintes situações: 
1. A expressão analítica de f(x) não é conhecida, isto é, sabe-se apenas seu valor em alguns pontos. Esta 
situação ocorre muito frequentemente na prática, quando se trabalha com dados experimentais) e necessita-
se manipular f(x) como, por exemplo, calcular seu valor num ponto, sua integral num determinado intervalo, 
etc. 
2. f(x) é extremamente complicada e de difícil manejo. Então, às vezes, é interessante sacrificar a precisão 
em benefício da simplificação dos cálculos. 
Interpolar um função f(x) consiste em aproximar essa função por uma outra função g(x), escolhida entre uma 
classe de funções definida a priori e que satisfaça algumas propriedades. A função g(x) é usada para 
substituir a f(x). Isso é necessário quando são conhecidos somente valores numéricos da função para um 
conjunto de pontos e precisa calcular o valor da função em um ponto não tabelado. 
Na interpolação polinomial, a função procurada é um polinômio de grau menor ou igual à n. Logo, dada 
uma tabela: 
 
 
Com isso devemos encontrar o polinômio Pn(XK) = f(XK) para k = 0, 1, ..., n. Dessa forma, Pn(XK) pode 
ser escrito como: Pn(XK)=a0 +a1X + ... + anX
n. Dessa forma, devemos encontrar α0, α1, . . . , αn tais que 
pn(xk ) = α0 + α1xk + . . . + αnx n k = yk , ∀k = 0, 1, . . . , n, que corresponde à um sistema linear com n + 
1 equações e n + 1 incógnitas.
https://pt.wikipedia.org/wiki/Interpola%C3%A7%C3%A3o_polinomial
3. MÉTODOS NUMÉRICOS 
Serão apresentados três métodos de interpolação, por meio deles se deve encontrar o mesmo 
polinômio como resultado. 
 MÉTODO DE VANDERMONDE 
Através do Método de Vandermonde, resolvendo sua forma matricial se obtém o polinômio. Dessa 
forma, deve-se encontrar a0, a1,.., an, tais que : Pn(XK)=a0 +a1XK + ... + anXnK = f(XK) que corresponde 
a um sistema linear. 
Sua foma matricial é: 
 
V= α = y= 
 
 * = 
 
 
Resolvendo a matriz acima pode-se mostrar que det(V) é diferente de 0 (zero) se os pontos x0, x1, 
. . . , xn forem distintos, consequentemente, o sistema Vα = y admite uma única solução. Então a 
solução será Pn(XK). 
 
 MÉTODO DE LAGRANGE 
Na forma de Lagrange, as funções base, denotadas por L0, L1, . . . , Ln, são tais que a matriz do 
sistema é a identidade 
Note que obtemos a matriz identidade impondo Li(xk ) = 1, i = k, 
 0, caso contrário. 
Agora, essa condição é satisfeita quando 
 
Usando os polinômios L0, L1, . . . , Ln como funções base, encontramos o sistema linear LK(x) = y. 
Na forma de Lagrange, o polinômio Pn(XK) é representado como sendo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MÉTODO DE NEWTON 
No método de Newton, escolhemos funções base de modo que o sistema linear resultante seja 
triangular inferior. Consequentemente, na forma de Newton, o polinômio interpolador é: 
 
Sendo f[Xn] operador de diferenças divididas, que pode ser calculado como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. APLICAÇÕES 
O problema forneceu os seguintes valores: 
 
 
Os cálculos foram realizados por meio do aplicativo Symbolab e do aplicativo da calculadora HP Prime, 
para facilitar o processo. Após isso, aplicados os métodos de interpolação. 
 MÉTODO DE VANDERMONDE 
Na figura abaixo é possível observar os cálculos realizados manualmente, para encontrar o 
polinômio para a interpolação. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Manualmente foi obtido o polinômio acima. Como o VCN não trabalha com o Método de Vandermonde, não 
foi possível conferir os cálculos pelo software. 
 
 MÉTODO DE LAGRANGE 
Com a realização dos cálculos para esse método, foi obtido: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
O polinômio encontrado através do método de Lagrange é muito próximo ao polinômio 
encontrado através do método de Vandermond. Conferindo no VCN, o resultado obtido foi o da 
figura abaixo: 
 
Figura 4 
Como o polinômio obtido por meio do VCN usando o método de Lagrange é aproximadamente 
igual ao encontrado manualmente através do segundo método apresentado, e, sendo o primeiro 
método aproximadamente igual ao segundo apresentado, dessa forma, foi confirmado que os 
polinômios obtidos tanto no método de Lagrange quanto no método de Vandermonde estão 
corretos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MÉTODO DE NEWTON 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 6
Como esperado, o polinômio encontrado através do Método de Newton é aproximadamente igual 
aos polinômios encontrados usando os outros dois métodos anteriores apresentados, apesar de se 
notar uma pequena diferença nos valores obtidos no terceiro método, isso se deve aos 
arredondamentos feitos durante o processo. 
 RESISTÊNCIA APROXIMADA DE UM FIO DE DIÂMETRO 2,75 
Tendo um fio de diâmetro x = 2,75, para obter a resistência desse fio, basta aplicarmos o valor de x 
nos polinômios obtidos. Dessa forma, tivemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 
Os valores da resistência do fio foram bastante aproximados, era esperado esse resultado 
aproximado por conta dos polinômios serem também aproximados. Com isso é possível afirmar 
que cálculos realizados estavam corretos e a interpolação foi feita de forma correta. Abaixo 
podemos ver a comprovação dos resultados pelo VCN:Figura 8 
 
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Portanto, com o que foi disposto acima, consegue-se notar a importância dos métodos numéricos para 
realizar a interpolação aproximando polinômios, onde por outros meios seria inviável de se calcular, 
sendo vital para o processo. 
Com isso, foram obtidos os resultados esperados pois todos os métodos resultaram em polinômios 
aproximadamente iguais. Mas, dentre os métodos utilizados, o método de Vandermont é o mais 
simples de se seguir, chegando ao resultado mais rapidamente. 
 
Por fim, calculando a resistência aproximada para um fio de diâmetro 2.75, foi possível se certificar 
da eficiência dos três métodos pois, aplicando esse valor de diâmetro em cada um dos polinômios 
obtidos, o resultado foi semelhante entre os métodos, a diferença notada se deu por conta de 
arredondamentos realizados durante o processo para se encontrar os polinômios. Portanto, com 
essas considerações feitas, é possível afirmar que os três métodos abordados são eficientes e 
alcançam o objetivo esperado. 
 
6. BIBLIOGRAFIA 
SANTOS, Bruna L. B. et al. Metodologia generalizada para estimativas do comportamento de 
problemas de engenharia utilizando interpolação multivariável. 9º PDPETRO, Maceió, p. 1-7, 
nov./2017. Disponível em: 
<http://www.portalabpg.org.br/site_portugues/anais/anais9/repositorio/trabalho/4502082608201 
78721.pdf>. Acesso em: 13 de ago. 2021. 
 
VALLE, Marcos Eduardo. Interpolação polinomial. Universidade Estadual de Campinas – UNICAMP, 
Departamento de Matemática Aplicada. Disponível em: 
<https://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula15.pdf>. Acesso em: 14 de ago. 2021. 
 
PILLING, Sergio. Interpolação numérica. Universidade do Vale da Paraíba – UNIVAP, São José dos Campos. 
Disponível em: < https://www1.univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pdf>. Acesso em: 14 de ago. 2021. 
 
FERREIRA, José Álvaro Tadeu. Interpolação polinomial. 26p, Universidade Federal de Ouro Preto, 2013, 
Ouro Preto. Disponível em: < http://www.decom.ufop.br/gustavo/bcc760/notas_interpolacao.pdf>. Acesso 
em: 14 de ago. 2021. 
 
https://www.ufsj.edu.br/portal2-repositorio/File/nepomuceno/mn/12MN_Interpola.pdf 
 
http://wwwp.fc.unesp.br/~adriana/Numerico/Interpolacao.pdf 
 
http://www.portalabpg.org.br/site_portugues/anais/anais9/repositorio/trabalho/4502082608201
http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula15.pdf
http://www.ime.unicamp.br/~valle/Teaching/MS211/Aula15.pdf
http://www.decom.ufop.br/gustavo/bcc760/notas_interpolacao.pdf
	 MÉTODO DE VANDERMONDE
	 MÉTODO DE LAGRANGE
	 MÉTODO DE NEWTON
	 MÉTODO DE VANDERMONDE (1)
	 MÉTODO DE LAGRANGE (1)
	 MÉTODO DE NEWTON (1)
	 RESISTÊNCIA APROXIMADA DE UM FIO DE DIÂMETRO 2,75