1º ANO - Sequencias e Progressões

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Progressões aritméticas 
e geométricas
Quem levou vantagem?
 Denise e Pedro são colegas. No ano
passado, cada um recebia 200,00 reais de
mesada. Este ano, eles fizeram aos pais
propostas diferentes. A mesada começaria
pequena e aumentava mês a mês.
Quem levou vantagem?
 Denise queria receber 10,00 reais em
janeiro e, a cada um dos meses seguintes,
30,00 reais a mais que no mês anterior.
 Já a proposta de Pedro era receber só 1 real
em janeiro e, em cada um dos meses
seguintes, o dobro do mês anterior.
Quem levou vantagem?
 Os pais acharam as propostas interessantes
e toparam. No acumulado do ano, Denise e
Pedro levaram vantagem?
 A resposta a essa pergunta você vai
encontrar no estudo das progressões.
Sucessão ou seqüência 
Sucessão ou seqüência
 O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista
dos seis primeiros classificados no campeonato
brasileiro de futebol, edição 2007.
Classificação Time
1 Primeiro lugar São Paulo (SP)
2 Segundo lugar Cruzeiro(CZ)
3 Terceiro lugar Grêmio (GE)
4 Quarto lugar Palmeiras (PA)
5 Quinto lugar Fluminense (FL)
6 Sexto lugar Santos (SN)
(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)(CZ, FL, GE, PA, SN, SP)
Sucessão ou seqüência
 Veja os elementos da sucessão ou seqüência.
(SP, CZ, GE, PA, FL, SN)
 Cada time é um termo da seqüência;
 O critério ordem de classificação identifica qual 
é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o 
sexto;
 Na representação de uma sucessão, os termos
aparecem entre parênteses, ordenados e
separados por vírgulas.
Sucessão ou seqüência
 Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número
de alunos do 1º. Ano que perderam média em
Matemática, em cada uma das três etapas de 2007.
1 2 3
Etapa 1.ª 2.ª 3.ª
No. de alunos 18 15 11
Os números da última linha formam a seqüência ou 
sucessão (18, 15, 11)
 O critério ordem cronológica identifica qual é o 
primeiro, o segundo e o terceiro termo;
Definição
 Sucessão ou seqüência é toda lista de
termos em que se distinguem, a partir de
um determinado critério bem definido, o
primeiro, o segundo, o terceiro, etc.
Numa seqüência, duas coisas são importantes:
 Os termos que a compõem;
 A ordem em que eles aparecem, a partir de um 
critério pré-estabelecido;
Seqüências numéricas
 Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São
aquelas cujos termos são números reais.
Uma seqüência pode ser finita e infinita.
 A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência 
numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro).
 A seqüência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números 
naturais pares é uma seqüência infinita. Não 
existe o maior número natural par.
Seqüências numéricas - representação
 De modo geral os termos consecutivos de uma
seqüência numérica são indicados por uma letra
minúscula, acompanhada de um índice.
 a1 → primeiro termo
 a2 → segundo termo
 a3 → terceiro termo
 a4 → quarto termo
........................................
 an → enésimo termo ou termo geral
O índice indica a 
posição do elemento 
na seqüência.
Seqüências numéricas - representação
 De modo geral os termos consecutivos de uma
seqüência numérica são indicados por uma letra
minúscula, acompanhada de um índice.
 (a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma secessão 
finita
 (a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma secessão 
infinita
Exemplo
 Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos
números naturais ímpares, temos:
a1 = 1
a3 = 5
a6 = 11
Sucessão definida pelo 
seu termo geral 
Definição
 Uma sucessão numérica é uma função de variável
natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos
números reais. O domínio da variável n é
 O conjunto N*, se a sucessão é infinita;
 O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é 
finita, com n termos.
Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an.
Exemplo
 Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos
números naturais ímpares, temos:
n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1
n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3
n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5
n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7
n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9
..................................................
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...)
Termo geral
 Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu
termo geral an. No caso, o enésimo termo é
expressão em função da variável natural n ≠ 0.
Exemplo
 O termo geral de uma sucessão é an = n
2 + 2n. Obter
os termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus
termos e identificar a posição.
Em an = n
2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7.
n = 2 ⇒ a2 = 2
2 + 2.2 ⇒ a2 = 4 + 4 = 8
n = 7 ⇒ a2 = 7
2 + 2.7 ⇒ a2 = 49 + 14 = 63
Fazendo an = 48, n
2 + 2n = 48
⇒ n2 + 2n – 48 = 
0
⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6
⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48.
Sucessão definida por 
uma lei de recorrência 
Lei de recorrência
 Seqüências numéricas costumam ser definidas, às
vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são
dados.
 Um dos termos (em geral, o primeiro);
 Uma lei que permita obter cada um dos demais 
termos, recorrendo-se a termos anteriormente 
calculados.
Exemplos
 Obter os cinco primeiros termos da sucessão
numérica infinita, definida pela lei de recorrência.
a1 = 3
an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1
(3, 7, 15, 31, 63)
n = 1 ⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1 ⇒ a2 = 7
n = 2 ⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒ a3 = 15
n = 3 ⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 + 1⇒ a4 = 31
n = 4 ⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 + 1⇒ a5 = 63
Exemplos
 Descubra uma lógica de formação em cada sucessão,
e ache seus dois próximos termos.
a) (2, 7, 12, 17, ...)
b) (1, 8, 27, 64, ...)
c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...)
d) (3, 6, 12, 24, ...)
e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...)
f) (0, 3, 8, 15, 24, ...)
22 e 27.
125 e 216.
1 e 162.
48 e 96.
21 e 34.
35 e 48.
Exemplos
 Descubra uma lógica de formação em cada sucessão,
e ache seus dois próximos termos.
g) 1
4
2
9
3
16
4
25
, , , , ...
h) 1
3
4
7
11
18
29
47
, , , , ...
5
36
6
49
,
76
123
199
322
,
i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna, ...)
João, Camila
Progressões aritméticas
Progressão aritmética
 Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou
apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia
pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção.
15 19 23 27 31 35 ...
+4 +4 +4 +4 +4 +4
(15, 19, 23, 27, 31, 35, ...)
A constante 4 é 
a razão da 
seqüência.
Definição
 Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica
em que cada termo (a partir do segundo) é a soma
do antecessor com uma constante r, chamada razão
da P.A.
 Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência
an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r
 Portanto, a razão r é a diferença entre um termo 
qualquer e o anterior.
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ...
Exemplos
 (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente,
porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão
é:
r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3
Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente.
Exemplos
 (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é
decrescente, porque cada termo é menor que o
anterior. Sua razão é:
r = 5,5 – 6 = –0,5= 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5 
Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente.
Exemplos
 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque
tem todos os termos iguais. Sua razão é:
r = 3 – 3 = 0 
Em geral, se r = 0 a P.A. é constante.
Exemplos
 Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m
e a razão da P.A.
Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4 
Se ela é uma P.A., deve ser: a2 – a1 = a3 – a2
⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1)
⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5
⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4
Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3.
Observação
 Da definição de P.A. decorre que, de três termos
consecutivos o termo do meio é a media aritmética
dos outros dois.
Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,
a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ 2a2 = a1 + a3
a2 =
a1 + a3
2
Termo geral de uma P.A.
Termo geral da P.A.
 Numa progressão aritmética o primeiro termo e a
razão sãofundamentais. Conhecendo-os fica fácil
escrever toda a progressão.
 Vamos analisar um processo geral para se obter um
termo qualquer de uma progressão aritmética, a
partir do primeiro termo e da razão.
Termo geral da P.A.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
+r +r +r +r +r +r
Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-
ca somar a razão.
 De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1 + r
 De a1 até a3 temos 2 saltos
⇒
a3 = a1 + 2r
 De a1 até a4 temos 3 saltos
⇒
a4 = a1 + 3r
E assim por diante.
Termo geral da P.A.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
+r +r +r +r +r +r
De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, 
são (n – 1) saltos.
an = a1 + (n – 1)r
an é o enésimo termo
n é a posição do termo
–r –r –r –r –r –r 
Observação
 O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se
tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o
esquema a seguir.
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
+r +r +r +r +r +r
 Saltar para o termo seguinte é somar a razão; 
saltar para o termo anterior é subtrair a razão. 
–r –r –r –r –r –r 
Exemplos
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
+r +r +r +r +r +r
 De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos 
a15 = a1 + 14r ou a1 = a15 – 14r
 De a8 para a12 são 12 – 8 = 4 saltos 
a12 = a8 + 4r ou a8 = a12 – 4r
–r –r –r –r –r –r 
Exemplos
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
+r +r +r +r +r +r
 De a10 para a13 são 13 – 10 = 3 saltos 
a13 = a10 + 3r ou a10 = a13 – 3r
 De a23 para a37 são 37 – 23 = 14 saltos 
a37 = a23 + 14r ou a23 = a37 – 14r
Exemplos
 Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo
e o termo geral an.
Na sucessão, a1 = –2 e r = 4 – 1 = 3 
a15 = a1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42 ⇒ a15 = 40
an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3
⇒ an = –2 + 3n – 3 ⇒ an = –5 + 3n
Exemplos
 A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma
P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir
deles, a razão da P.A.
Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10.
a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8
a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43
a10 = a3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43
⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5
Exemplos
 Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e
que têm dois algarismos?
O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior 
é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99)
Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99.
an = a1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3
⇒ 99 = 12 + 3n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n
⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30
Soma dos termos na P.A.
Soma dos termos na P.A.
 O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes
contribuições ao desenvolvimento das idéias
matemáticas.
 Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um
fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de
dez anos de idade.
 Certo dia, numa aula de matemática, o professor
pediu que seus alunos obtivessem a soma dos
números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava
Gauss.
Soma dos termos na P.A.
 S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100?
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100
101
101
101
101
S = 101 . 50 = 5 050
 Observe que as parcelas da soma de Gauss formam 
uma P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1).
Soma dos termos na P.A.
 Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é
válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n
termos,
a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ...
(a1 a2 a3 a4 ... an-3 an-2 an-1 an)
Sn = (a1 + an). n
2
n termos
Sn =
a1 + an
2
.n
Exemplos
 Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares,
sem adicioná-los um a um.
Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da 
P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...) 
a30 = a1 + 29r ⇒ a30 = 1 + 29.2 ⇒ a30 = 59 
S30 =
a1 + a30
2
.n =
1 + 59
2
. 30 ⇒ S30 = 900
Exemplos
 Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que
as parcelas formam uma P.A.
Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A. 
an = a1 + (n – 1).r ⇒ 62 = 2 + (n – 1).3 
S21 =
a1 + a21
2
.n =
2 + 62
2
. 21 ⇒ S21 = 672
⇒ 62 = 2 + 3n – 3 ⇒ 63 = 3n ⇒ n = 21
Exemplos
 Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira
fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante.
Sempre ele planta uma roseira a mais na fila
seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras.
Determinar o total de filas e o número de roseiras na
última fila.
A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. 
(3, 4, 5, ..., x).
an = a1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1 
⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2
Exemplos
 Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira
fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante.
Sempre ele planta uma roseira a mais na fila
seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras.
Determinar o total de filas e o número de roseiras na
última fila.
A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. 
(3, 4, 5, ..., x).
Sn =
a1 + an
2
.n ⇒
3 + x
2
. n = 150
⇒
3 + n + 2
2
. n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17
Progressões geométricas
Progressão aritmética
 Um laboratorista pesquisou uma cultura de bactérias,
em uma lâmina. Ele percebeu que, a princípio, havia
apenas 5 bactérias. A cada hora, no entanto, a
quantidade delas dobrava.
05 10 20 40 80 160 ...
.2 .2 .2 .2 .2 .2
(5, 10, 20, 40, 80, 160, ...)
A constante 2 é 
a razão da 
seqüência.
Definição
 Progressão geométrica (PG) é toda sucessão
numérica de termos não-nulos em que cada termo (a
partir do segundo) é produto do seu antecessor com
uma constante q, chamada razão da P.G.
 Para n > 1, uma P.G. obedece à lei de recorrência
an = an - 1 . q ⇒ an/an - 1 = q
 Portanto, a razão q é o quociente entre um termo 
qualquer e o anterior.
q = a2/a1 = a3/a2 = a4/a3 = ...
Exemplos
 (2, 6, 18, 54, 162) É uma P.G. infinita e crescente,
porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão
é:
q = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54 = 3
 Em geral, se a1 > 0 e q > 0 a P.G. é crescente.
 Em geral, se a1 < 0 e 0 < q < 1 a P.G. é crescente.
Exemplos
 (40, 20; 10, 5, ...) É uma P.G. infinita e decrescente,
porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão
é:
q = 20/40 = 0,5= 10/20 = 5/10 
 Em geral, se a1 > 0 e 0 < q < 1 a P.G. é 
decrescente.
 Em geral, se a1 < 0 e q > 0 a P.G. é decrescente.
Exemplos
 (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.G. infinita e constante,
porque tem todos os termos iguais. Sua razão é:
q = 3/3 = 1 
Em geral, se q = 1 a P.G. é constante.
Exemplos
 (3, –6, 12, –24, 48) É uma P.G. finita e oscilante,
porque ela alterna termos positivos e negativos. Sua
razão é:
q = –6/3 = 
Em geral, se q < 0 a P.G. é oscilante.
12/–6 = –24/12 = 48/–24 = –2 
Exemplos
 Se (x, x + 3, 2x + 14) é uma P.G., obter o valor de x.
Na sucessão, a1 = x, a2 = x + 3 e a3 = 2x + 14 
Se ela é uma P.G., deve ser: a2/a1 = a3/a2
x + 3
x
=
2x + 14
x + 3
⇒ (x + 3)2 = x(2x + 14)
⇒ x2 + 6x + 9 = 2x2 + 14x ⇒ x2 + 8x – 9 = 0
⇒ x’ = –9 ou x” = 1
(1, 4, 16)
q = 4
(–9, –6, –4)
q = 2/3
Observação
 Da definição de P.G. decorre que, de três termos
consecutivos o termo do meio é a media geométrica
dos outros dois.
Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3,
⇒ (a2)
2 = a1 . 
a3
a2
a1
=
a3
a2
Termo geral de uma P.G.
Termo geral da P.G.
 Numa progressão geométrica o primeiro termo e a
razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil
escrever toda a progressão.
 Vamos analisar um processo geral para se obter um
termo qualquer de uma progressão geométrica, a
partir do primeiro termo e da razão.
Termo geral da P.G.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
.q .q .q .q .q .q
Agora “saltar” de um termo para o seguinte significa
multiplicar pela razão.
 De a1 até a2 temos 1 salto ⇒ a2 = a1.q
 De a1 até a3 temos 2 saltos
⇒
a3 = a1.q
2
 De a1 até a4 temos 3 saltos
⇒
a4 = a1.q
3
E assim por diante.
Termo geral da P.G.
 Observe a seqüência de termos abaixo.
a1 a2 a3 a4 a5 a6 ...
.q .q .q .q .q .q
De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, 
são (n – 1) saltos.
an = a1.q
n–1
an é o enésimo termo
n é a posição do termo
:q :q :q :q :q :q 
Observação O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se
tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o
esquema a seguir.
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
.q .q .q .q .q .q
 Saltar para o termo seguinte é multiplicar pela 
razão;
 saltar para o termo anterior é dividir pela razão. 
:q :q :q :q :q :q 
Exemplos
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
.q .q .q .q .q .q
 De a1 para a18 são 18 – 1 = 17 saltos 
a18 = a1.q
17 ou a1 = a18:q
17
 De a5 para a11 são 11 – 5 = 6 saltos 
a11 = a5.q
6 ou a5 = a11:q
6
:q :q :q :q :q :q 
Exemplos
a8 a9 a10 a11 a12 a13 ...
.q .q .q .q .q .q
 De a13 para a16 são 16 – 13 = 3 saltos 
a16 = a13.q
3 ou a13 = a16:q
3
 De a11 para a37 são 37 – 11 = 26 saltos 
a37 = a11.q
26 ou a11 = a37:q
26
Exemplos
 Na P.G. (3, 6, 18, ...) achar o oitavo termo e o termo
geral an.
Na sucessão, a1 = 3 e q = 6/3 = 2 
a8 = a1
.q7 = 3.27 = 3 . 128 ⇒ a8 = 384
an = a1.q
n–1 ⇒ an = 3.2
n–1
Exemplos
 Obter a razão q e o termo a12 da P.G. crescente na
qual a6 = 12 e a10 = 48.
De a6 até a10 são 10 – 6 = 4 saltos.
⇒ a10 = a6.q
4
⇒ 48 = 12.q4 ⇒ q4 = 4 ⇒ q = ± √2
para q = –√2, a P.G. seria oscilante, logo q = √2
⇒ a12 = a10.q
2 = 48.(√2 )2 ⇒ a12 = 96
Exemplos
 Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de
fevereiro, cada sócio do clube inscreve,
mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano
haverá, 81 920 sócios?
Veja o que ocorre, por exemplo, até março.
320240803. Março
8060202. Fevereiro
20–201. Janeiro
Totalnovosantigosmês
a1
a2
a3
Exemplos
 Em janeiro um clube tinha 20 sócios. A partir de
fevereiro, cada sócio do clube inscreve,
mensalmente, 3 novos sócios. Em que mês do ano
haverá, 81 920 sócios?
Os totais de sócios mês a mês formam a P.G.
(20, 80, 240, ...), de razão q = 4.
an = a1.q
n–1 ⇒ 81 920 = 20.4n–1
⇒ 4n–1 = 4 096 ⇒ 4n–1 = 46 ⇒ n – 1 = 6
⇒ n = 
7
O clube terá 81 920 sócios em julho (mês 7).
Exemplos
 Numa P.G. oscilante, a4 + a6 = 40 e a2 + a4 = 10.
Calcular o primeiro termo e a razão.
Vamos escrever cada termo em função do primeiro 
termo a1 e da razão q.
a4 + a6 = a1.q
3 + a1.q
5 = 40 ⇒ a1.q
3(1 + q2) = 40
a2 + a4 = a1.q + a1.q
3 = 10 ⇒ a1.q(1 + q
2) = 10
a1.q(1 + q
2) = 10
a1.q
3(1 + q2) = 40
⇒ q2 = 4 ⇒ q = ±2
P.G. oscilante q = –2, então a1 = –1.
Soma dos termos na P.G.
Soma finita dos termos de uma P.G.
 Podemos obter, também, a soma dos n termos de
uma P.G. finita, de forma bem simples. Não
precisamos para isso, conhecer os valores de todos
os seus termos a serem somados.
Soma finita na P.G. constante (q = 1)
 Os termos de uma P.G. constante (q = 1) são todos
iguais. Por isso, é extremamente simples calcular a
soma dos n primeiros termos.
 Na P.G. infinita e constante (3, 3, 3, 3, ...), a 
soma dos 8 primeiros termos é
S8 = 8.3 = 24
 A soma dos 20 primeiros termos é
S20 = 20.3 = 60
Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
 Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das
potências de 2, com expoentes naturais de um até
dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.
A expressão (21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210) representa a 
soma dos dez termos de uma P.G., onde a1 = 2 e q = 2.
S = 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210 (A)
2.S = 2.21 + 2.22 + 2.23 + ... + 2.29 + 2.210
(B)2.S = 22 + 23 + 24 + ... + 210 + 211
Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
 Vamos obter, de um jeito diferente, a soma das
potências de 2, com expoentes naturais de um até
dez: 21 + 22 + 23 + ... + 29 + 210.
Vamos subtrair, membro a membro (B) – (A).
2.S – S = 211 – 21 ⇒ S = 211 – 21
⇒ S = 2048 – 2 = 2046
Soma finita na P.G. não-constante (q ≠ 1)
 De maneira Geral. A soma dos n primeiros termos de
uma P. G., não-constante (q ≠ 1) é dado por
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an–1 + an
q.Sn = a1.q + a2.q+ a3.q+ ... + an–1.q + an.q
(1)
q.Sn = a2 + a3 + a4 + ... + an + an + 1 (2)
q.Sn – Sn = an+1 – a1 ⇒ Sn.(q – 1) = a1.q
n – a1
Sn = 
q – 1
a1.(q
n – 1)
(q ≠ 1)
Exemplos
 Calcular a soma dos oito primeiros termos da P.G.
(2, 6, 18, ...), sem adicioná-los um a um.
Na P.G., temos a1 = 2 e q = 3. queremos S8. 
S8 = 
q – 1
a1.(q
8 – 1)
= 
3 – 1
2.(38 – 1)
= 38 – 1 = 6 560
Exemplos
 Em janeiro, uma empresa fabricou 20 000 unidades
de um certo produto. Nos meses seguintes, a
produção cresceu 10% ao mês. Qual será a produção
acumulada de janeiro a abril?
A produção a cada mês é multiplicada por 1,1 (110%), 
logo forma uma P.G. de razão q = 1,1 e a1 = 20 000. 
S4 = 
q – 1
a1.(q
4 – 1)
= 
1,1 – 1
20 000.(1,14 – 1)
= 
0,1
20 000.(1,4641 – 1)
= 92 820
Somas convergentes 
numa P.G. infinita
Somas convergentes na P.G. infinita
 Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento
era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.
Primeiro cortou-a ao meio, dividindo-a em dois pedaços 
de 8 m cada um e colocou-os lado a lado.
8 m 8 m
Depois cortou um dos pedaços ao meio novamente, 
obtendo 3 partes: 8m, 4 m e 4 m. Colocou-os lado a lado.
8 m 4 m 4 m
Somas convergentes na P.G. infinita
 Bruna pegou uma fita de papel, cujo comprimento
era 16 m, e resolveu fazer uma brincadeira.
Em seguida, cortou um dos pedaços menores ao meio, 
mais uma vez. Ficou, assim com 4 partes: uma de 8 m, 
uma de 4 m e duas de 2 m cada uma. Outra vez, elas 
foram postas lado a lado.
8 m 4 m 2 m 2 m
Bruna achou a brincadeira interessante e continuou com 
ela por muito tempo. Sempre um dos pedaços menores 
era dividido ao meio.
Somas convergentes na P.G. infinita
 Continuando infinitamente esse processo, observa-
mos:
 O total de pedaços obtidos é infinito;
 O tamanho de cada pedaço é cada vez menor (a
metade do anterior).
A soma, em metros, das infinitas partes é a soma dos 
termos de uma P.G. infinita:
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...
a1 = 8 e a q = 0,5. Quanto mais parcelas são somadas, 
cada vez mais a soma se aproxima de 16.
Somas convergentes na P.G. infinita
 Uma P.G. é convergente, se a soma dos seus infinitos
termos tender para um determinado número.
 Nesse caso, essa soma é simbolizada por lim Sn.
8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ...
 Lim Sn = 16
 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + ... = 16
A soma dos termos de uma P.G. infinita é 
convergente ⇔ 0 < | q | < 1.
Exemplos
 A soma 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... É convergente a
razão da P.G. q = 0,1 e 0 < q < 1.
 A soma 2 – 1 + 0,5 – 0,25 + 0,125 + ... É convergente
a razão da P.G. q = – 0,5 e 0 < | q | < 1.
 A soma 1 + 3 + 9 + 27 + ... Não é convergente a
razão da P.G. q = 3, q > 1.
Somas convergentes na P.G. infinita
 De maneira Geral. O limite da soma dos termos de
uma P. G. infinita é dado por
Sn = 
q – 1
a1.(q
n – 1)
qn → 0n →
∞
.......
0,55 = 0,031255
0,54 = 0,06254
0,53 = 0,1253
0,52 = 0,252
0,51 = 0,51
qnn
⇒
Sn = 
q – 1
a1.(0 – 1)
⇒
Lim Sn = 
1 – q
a1
Exemplos
 Na soma infinita 18 – 12 + 8 – 16/3 + ..., as parcelas
estão em P.G. Mostrar que essa soma é convergente
e calcular seu valor.
Na P.G. a razão q = –2/3. 0 < | q | < 1. A soma é
convergente
Lim Sn = 
1 – q
a1
= 
1 + 2/3
18
= 
5/3
18
= 18 . 
5
3
= 10,8 
Exemplos
 Utilizando a fórmula do limite da soma, achar a
fração geratriz da dízima periódica 2,533333...
A dízima é igual à seguinte soma infinita:
2,5 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 + ...
P.G. infinita: a1 = 0,03 e q = 0,1.
Lim Sn = 
1 – q
a1
= 
1 – 0,1
0,03
= 
0,9
0,03
= 1/30
2,53333... = 2,5 + 1/30 = 38/15
Exemplos
 Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de
um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura.
A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada
caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente
à anterior.
Qual deve ser a largura mínima da parede do
depósito, para que eu possa colocar lado a lado,
quantas caixas eu quiser?
Exemplos
 Colocam-se caixas cúbicas encostadas na parede de
um depósito, uma ao lado da outra, conforme figura.
A largura da maior é de 90 cm. A partir dela, cada
caixa tem a largura reduzida em 15%, relativamente
à anterior.
Qual deve ser a largura mínima da parede do
depósito,para que eu possa colocar lado a lado,
quantas caixas eu quiser?
As larguras das caixas formam a P.G. (90, 68, 57,8, ...) 
convergente de a1 = 90 e q = 0,85.
Lim Sn = 
1 – q
a1
= 
1 – 0,85
90
= 
0,15
90
= 600 cm