Gabarito Análise Matemática 2008/2

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Gabarito das Autoatividades
ANÁLISE MATEMÁTICA 
(MATEMÁTICA)
2008/2
Módulo: VI
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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UNIDADE 1
TÓPICO 1
1 A conjectura “Dado um número n primo, então o número na forma 2n – 1 
é primo” é falsa. Encontre um número n que realmente refute tal conjectura. 
(Sugestão: substitua n pelos números primos: 2, 3, 5... até encontrar um que 
resulte em um número composto.)
R.: 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 (logo, é um número composto).
2 Identifique a hipótese e a tese em cada um dos teoremas a seguir:
R.: Teorema 1: O quadrado de um número ímpar é sempre um número ímpar.
Hip: x é ímpar.
Tese: x² é ímpar.
Teorema 2: A soma de dois números pares é um número par.
Hip: a,b são números pares.
Tese: (a + b) é um número par.
Teorema 3: A soma de três números naturais consecutivos é um número 
múltiplo de três.
Hip: a,b,c são números consecutivos.
Tese: (a + b + c) é múltiplo de três.
Teorema 4: O produto de dois números ímpares é um número ímpar.
Hip: a,b são números ímpares.
Tese: (a.b) é um número ímpar.
3 Agora que você já determinou a hipótese e a tese dos teoremas da questão 
1, prove cada um dos teoremas.
R.:
GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
ANÁLISE MATEMÁTICA 
4 GABARITO DAS AUTOATIVIDADES UNIASSELVI
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(3) sejam a, b, c números consecutivos e, suponhamos, sem perda de gen-
eralidade, a < b < c = (b – 1) + b + )b + 1) = 3b a + b + c é múltiplo de 3.
4 Prove que a diferença entre um número par e um número ímpar é sempre 
um número ímpar.
R.:
5 Você já deve ter usado a fórmula de Bhaskara para resolver uma equação de 
2º grau. Agora é hora de demonstrá-la. Sendo assim, prove que:
 “Se ax2 + bx + c = 0, com a = 0, é uma equação de 2ª grau, então a solução 
dessa equação é ”. (Sugestão: utilize a forma direta.)
R.: Temos ax2 + bx + c = 0, dividindo por a, x2 + x + = 0 x
2 + x = – , com-
pletando o quadrado do 1º termo da igualdade, temos:
TÓPICO 2
Com base nas demonstrações estudadas até aqui e com muita persistência 
e criatividade, demonstre as seguintes propriedades, usando as dicas que 
apareceram durante esse tópico.
1 A ∩ A = A
R.:
⇒
b
a
b
a
c
a
c
a⇒
Portanto
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TÓPICO 3
1 Use o princípio da indução para provar que a soma dos n primeiros números 
naturais ímpares é n2.
R.: 
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2 Use o princípio da indução para provar que:
a) P(n): 20 + 21 + 22 + 23 +...+ 2n-1 = 2n - 1, para n ∈ N
R.:
b) P(n): (a -1)(a0 + a1 + a2 +...+ an) = an+1 - 1, para a,n N
R.:
3 Use o método da indução para provar a famosa desigualdade de Bernoulli: 
 (1 + a)n ≥ 1 + n.a, para a > -1 e n ∈ N.
R.: para n = 1 temos (1 + a)1 ≥ 1 + 1.a ⇒ 1 + a ≥ 1 + a
Supondo verdadeiro para n, vejamos para n + 1:
(1 + a)n ≥ 1 + n.a (multiplicando por (1+a) que é positivo)
(1 + a)n(1 + a) ≥ (1 + n.a)(1 + a)
(1 + a)n+1 ≥ 1 + a + n.a + n.a2 = 1 + (n + 1)a + n.a2
Como n.a2 é positivo. Temos:
(1 + a)n+1 ≥ 1 + (n + 1)a
:
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4 Demonstre as propriedades relacionadas à adição e multiplicação:
a) distributividade: m.(n + p) = m.n + m.p
R.:
b) comutatividade: adição: m + n = n + m
 Multiplicação: m.n = n.m
R.: (adição) para n = 1 : m + 1 = s(m) = 1 + m
Supondo válida para n : m + (n + 1) = (m + n) + 1 = (n + m) + 1 = n + (m + 
1) = n + (1 + m) = (n + 1) + m
(multiplicação) para n = 1 : m . 1 = m = 1 . m
Supondo válida para n : m . (n + 1) = Mn + m = n + m = (n + 1) . m
5 Prove que todo conjunto não vazio finito X ⊂ N contém um elemento 
máximo.
R.: Seja X ⊂ N finito e suponha por absurdo que X não tenha elemento 
máximo. Podemos escrever X = {x1, x2, ..., xn} tal que x1 < x2 < ... < xn. 
Como xn não é máximo por hipótese, então, existe xn + 1 X. ABSURDO, 
pois sem um elemento máximo, X seria infinito.
6 Prove que o conjunto P dos números primos é infinito.
R.: Suponha por absurdo que P seja finito, portanto, P = {p1, p2, ..., pn}, 
onde p1 < p2 < ... < pn são todos os números primos existentes. Como o 
número Q = p1, p2, ..., pn é composto e Q > pn para todo n N, então, o 
número Q + 1 é primo, pois nenhum pn P divide (Q + 1), e (Q + 1) P, 
pois (Q + 1) > pn para todo n N. ABSURDO! Portanto, P é infinito.
UNIDADE 2
TÓPICO 1 
1) Sejam a, b, c e d elementos de um corpo X, com b ≠ 0 e d ≠ 0, prove as 
seguintes propriedades.
:
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2 Dados A, B ⊂ R não vazios e limitados, seja A + B = {x + y | x ∈ A, y ∈ B} e 
A – B = {x – y | x ∈ A, y B}, prove que:
a) A + B é limitado
R.: Como A e B são limitados, faça i1 = inf(A), s1 = sup(A), i2 = inf(B), s2 = 
sup(B). Agora, pegue i = inf{i1,i2} e s = s1+s2, então, A+B será limitado inferi-
ormente por i e superiormente por s, com efeito, seja a ∈ A + B, então, a = x 
+ y com x ∈ A, y ∈ B, como i1 ≤ x ≤ s1 e i2 ≤ y ≤ s2, teremos que inf{i1,i2} i1+i2≤ 
x + y≤s1+s2 ,ou seja, i ≤ a ≤ s, logo A + B é limitado.
b) A – B é limitado
R.: Mesma coisa que a letra a, mas faça i = i1 – i2 e s = sup{s1,s2}
c) sup (A + B) = sup A + sup B
R.: seja c = sup (A + B), então, c ≥ x + y, ∀x ∈ A, y ∈ B. Em particular, c ≥ 
sup(A) + sup(B). Por outro lado, sup A + sup B ≥ x + y, ∀x ∈ A, y ∈ B, em par-
ticular, sup A + sup B ≥ sup (A + B) = c. Portanto, sup (A + B) = sup A + sup B
d) inf (A + B) = inf A + inf B
R.: Basta agir de maneira análoga à letra C para demonstrar esse exercício.
e) sup (A – B) = sup A – sup B
R.: Basta agir de maneira análoga à letra C para demonstrar esse exercício.
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f) inf (A – B) = inf A – inf B
R.:Basta agir de maneira análoga à letra C para demonstrar esse exercício.
3 Prove que supremo do conjunto é o 
número 1.
R.: É evidente que todo a ∈ A é menor que 1, logo 1 é cota superior de A. 
Então, temos que provar que nenhum número c < 1 é cota superior de A. 
Para isso, vamos mostrar que existe n, tal que , pois isso garantirá 
que sup A = 1.
Assim: Por-
tanto, sup A = 1, pois nenhum número real c < 1 é cota superior de A.
4 Dado o conjunto , prove que o ínfimo de 
A é 0 e o supremo de A é 1/2.
R.: É evidente que todo a A é maior que 0, logo 0 é cota inferior de A. En-
tão, temos que provar que nenhum número c > 0 é cota inferior de A. Para 
isso, vamos mostrar que existe n, tal que , pois isso garantirá que 
inf A = 0. 
Assim: 
 Portanto, inf A = 0, pois nenhum número real c > 0 é cota inferior 
de A.
É fácil verificar que 1/2 é cota superior de A. Sabemos 1/2 ∈ A e 
para todo n > 1. Logo, 1/2 é o maior elemento de A e, por conseguinte, 1/2 
= sup A. 
TÓPICO 2
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1 Determine, caso exista, o limite superior e/ou inferior de cada uma das 
sequências: (Dica: desenvolva alguns termos da sequência para ver seu 
comportamento.)
2 Quais das sequências do exercício 1 são limitadas? Justifique sua resposta.
R.: As sequências: A,C,D e F são limitadas, pois têm limites inferior e superior.
3 Se existir, qual o limite de cada sequência do exercício 1?
R.:
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a) e
b) + ∞ 
c) 0
d) 1
e) Não existe limite, pois há duas subsequências (x2n e x2n-1) com limites 
distintos.
f) 1
4 Classifique cada sequência do exercício 1 com relação à sua monotoni-
cidade.
R.:
a) Crescente.
b) Não decrescente.
c) Decrescente.
d) Não é monótona.
e) Não é monótona.
f) Não é monótona.
5 Quais das sequências do exercício 1 são convergentes?
R.: As sequências A, C, D e F são convergentes. 
6 Quais das sequências do exercício 1 admitem uma subsequência conver-
gente? Justifique sua resposta apresentando a subsequência e o seu valor 
de convergência.
R.: A letra E admite uma subsequênciaconvergente. 
x2n será convergente para 0.
x2n-1 será para 2.
7 Seja (xn) uma sequência cujo termo geral é . Sabe-se que 
. Encontre o número de elementos da sequência (xn) que estão 
fora do intervalo 
R.:
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Portanto, há 703 números da sequência (xn) fora do intervalo.
8 Verifique se cada uma das sequências a seguir é limitada inferiormente e/
ou superiormente. Justifique rigorosamente sua resposta.
 logo, A é limitada inferiormente.
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Por outro lado, para saber o máximo, precisamos derivar a função e igualar 
a zero:
TÓPICO 3
1 Sabendo que , determine a partir de qual termo 
xn > 9/10.
R.: 
A partir de n = 11 teremos 
2 Sabendo que
 Determine:
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3 Prove que para todo p N, tem-se 
R.:
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R.: 
UNIDADE 3
TÓPICO 1
1 Prove que diverge.
R.: Para mostrar que diverge, podemos calcular o limite da sequência an, se 
der diferente de 0, está pronto. O que não é o caso, aqui o limite de an = 0. 
Também poderíamos achar o termo geral da série e calcular o seu limite, caso 
não exista limite dessa série, ela seria divergente, contudo, não iremos por 
esse caminho, porque o termo geral da série é difícil de ser obtido.
Usaremos, então, o teorema 1 (critério da comparação), ou seja, basta mostrar 
que an > c.bn para n suficientemente grande com bn sendo divergente. Sabemos 
que a série harmônica diverge, então:
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2 A série tem termos alternadamente 
positivos e negativos e seu termo geral tende para zero. Entretanto é divergente. 
Por que isto não contradiz o Teorema 3?
R.: Embora a sequência an acima tenda para 0, ela não é monótona decrescente 
(basta verificar que a5 = 2/4 > a4 = 1/3) e, por isso, não se aplica ao teorema.
3 A série converge ou diverge?
R.: Aqui, por sorte, podemos encontrar o termo geral da série, o que facilita 
muito o trabalho, uma vez que a partir do termo geral só precisamos calcular 
o limite.
4 Determine para quais valores de x cada uma das séries a seguir é con-
vergente:
R.: O primeiro caso só será convergente se xn for uma série geométrica (olhe 
a OBS a seguir).
No segundo caso, como nn será maior que xn (mesmo quando for geométrica), 
ela só será convergente se for igual a 0.
No terceiro, pelo mesmo motivo do segundo, x pode ser qualquer número.
Na quarta, como n! é maior que xn (mesmo quando geométrica), a série só 
convergirá se for 0.
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Na quinta, é como na primeira... xn tem que ser uma geométrica.
OBS.: Uma ajuda que você, Professor(a)-Tutor(a) Externo(a), pode dar aos 
acadêmicos é informar que embora 
Para valores muito grande de n, temos que nk << an << n! << nn, onde o 
símbolo “<<” significa: muito menor.
5 Dadas as séries , com , 
mostre que lim an = lim bn = 0. Calcule explicitamente as n-ésimas reduzidas 
sn e tn destas séries e mostre que limsn = limtn = +∞, logo as séries dadas são 
divergentes. (Lembre-se de que já vimos como mostrar que o limite de uma 
sequência é determinado valor c no Tópico 2 da Unidade 2. Vale a pena dar 
uma revisada se for preciso.)
R.:Primeiramente, mostraremos que o limite de 
 é igual a zero.
 para todo mas como é monótona de-
crescente, a sequência se aproximará do limite pela direita, logo, usaremos 
apenas a desigualdade de 
Repetindo o processo para bn e considerando apenas que bn < ε pelo mesmo 
motivo justificado anteriormente, teremos:
Isso justifica que o limite de an e bn é zero, porque para qualquer ε > 0 que 
pegarmos, basta aplicar as “fórmulas” conseguidas anteriormente, que ter-
emos o índice n0, onde a partir daí a sequência entrará na vizinhança de 0 
com raio ε > 0.
Temos os seguintes termos gerais: e 
, logo, precisamos mostrar que para qualquer c ∈ R, 
conseguimos encontrar valor de sn e tn maiores que c. Se conseguirmos mos-
trar isso, estará provado que o limite tende a infinito.
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6 Para que valores de x ∈ R a série converge? 
Qual sua soma?
R.: Essa série é geométrica (basta fazer ), portanto, ela irá con-
vergir quando |a| < 1, ou seja, 
Aqui, temos que tomar cuidado, porque a função é descontínua em x = -1.
, logo, não precisamos nos preocupar com 
a descontinuidade em (i).
Pela restrição (ii), notamos que , logo, fazendo a inter-
secção de (i) com (ii) obtemos que x > 0. 
Com essa série é geométrica, temos que sua soma é . Assim, substi-
tuindo a por , temos:
TÓPICO 2 
1 Prove que o fecho de qualquer conjunto é um conjunto fechado.
R.: Seja X ⊂ R um conjunto qualquer. Temos que provar que . Vamos 
supor por absurdo que , então, como é o conjunto dos pontos 
aderentes de , existe algum ponto a que é limite de uma sequência 
, absurdo, pois a é ponto aderente e contém todos eles. Portanto, 
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2 Prove que os únicos subconjuntos de R que são simultaneamente abertos 
e fechados são R e ∅.
R.: Seja ∅ um subconjunto próprio de R, tal que X é fechado e ab-
erto. Com isso, seu complementar também será aberto e 
fechado por causa do Teo 3. Sabemos que = ∅ e, por ambos serem 
fechados, . Por outro lado, seja a Fr (X) para qualquer 
> 0 o conjunto ( ) terá elementos de X e de Xc, e como Xc é 
fechado a Fr (Xc), ou seja, a e a , absurdo, pois como e 
Xc = , teremos que = ∅.
3 Prove que
R.: Por definição, é o conjunto de todos os pontos aderentes de X. E 
pelo Teo 2, os pontos aderentes de X só podem pertencerem a int(X) ou 
Fr(X). Logo, = int(X) + Fr (X).
4 Dê exemplos de um conjunto fechado ilimitado X e um conjunto limitado 
não fechado Y, cujos pontos são todos isolados.
R.: X = N (naturais), Z (inteiros) é fechado e ilimitado.
Y = é não fechado e todos os pontos de Y são isolados.
5 Prove que uma união finita e uma intersecção arbitrária de conjuntos com-
pactos é um conjunto compacto.
R.: União: Seja , onde todos os Fk são conjuntos com-
pactos e como todos os Fk são fechados, temos que X é fechado (Teo 4). 
Seja a R como os Fk são limitados, podemos escolher > 0, tal que 
, , ..., . Agora, 
fazendo , teremos que , para k = 
1, 2, ..., n, o que implica que , portanto, X é limitado 
(pois é limitado inferiormente por e superiormente por ). Como 
X é fechado e limitado, pela definição de conjunto compacto, X é compacto.
Intersecção
Seja , onde todos os Fk são conjuntos compactos e 
como todos os Fk são fechados, temos que X é fechado (Teo 4). Seja a 
 R como os Fk são limitados, podemos escolher valores > 0, tal que 
, , ..., ... Agora, 
fazendo , teremos que , para k = 
1, 2, ..., n,... o que implica que , portanto, X é limitado 
(pois é limitado inferiormente por e superiormente por ). Como 
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X é fechado e limitado, pela definição de conjunto compacto, X é compacto.
6 Prove que todo conjunto não enumerável X ⊂ R possui algum ponto de 
acumulação a ∈ X.
R.: Como X ⊂ R é não enumerável, então, ele é infinito. Se ele for limitado, 
está provado pelo Teorema 7. Caso não seja limitado, suponhamos por 
absurdo que X não tenha ponto de acumulação, então, todo ponto de X é 
isolado e X é discreto. Logo para todo ak X, podemos encontrar k > 0, tal 
que (ak – k, ak + k) 
⊂
 X = ak, para k = 1, 2, 3 ... Porém, como isso, podemos 
criar uma bijeção f: N → X (basta ver que k já está “contando” os intervalos 
e, consequentemente, os pontos de X). Absurdo, pois X é não enumerável. 
Portanto, tem que existir pelo menos um ponto de acumulação.
7 Verifique se o conjunto X definido a seguiré compacto 
R.: Para ser compacto, X tem que ser limitado e fechado. Nota-se, facilmente, 
que X é limitado inferiormente por -3 e superiormente por 1, logo X é limitado. 
E como X = {0} ele é fechado. Logo é compacto.
8 Dado o conjunto , determine: 
int(X), ext(X), fr(X), , responda se X é aberto ou fechado e se X é denso 
em relação a R.
R.: