Gabarito Geometria - Módulo IV3 - UNIASSELVI NEAD

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Gabarito das Autoatividades
GEOMETRIA
(MATEMÁTICA)
2010/1
Módulo IV
3UNIASSELVI
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES
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GABARITO DAS AUTOATIVIDADES DE 
GEOMETRIA
UNIDADE 1
TÓPICO 1 
1 Para saber se você entendeu o assunto estudado neste tópico, faça uma 
relação com cinco objetos do seu cotidiano que deem ideia de pontos, retas 
e planos.
R.: A resposta desta atividade é pessoal. Porém, citam-se alguns objetos 
como sugestão:
● Ideia de ponto – a bolinha do dado indicando o número um, as bolinhas nas 
peças de um dominó, a luz do timer da TV, o ponto final de uma frase etc.
● Ideia de reta – o fio elétrico de um poste a outro, um fio de cabelo, a faixa 
branca do asfalto, as linhas da folha do caderno, um fio de arame da cerca 
etc.
● Ideia de plano – o piso da casa, a parede da sala, a tela da TV, uma folha 
A4, o vidro da janela etc.
2 Classifique cada afirmação a seguir em V para verdadeira ou F para falsa, 
de acordo com os estudos realizados neste tópico:
a) (V) Por um ponto passam infinitas retas.
b) (V) Por dois pontos distintos passa uma reta.
c) (V) Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta.
d) (F) Por três pontos dados passa uma só reta.
e) (F) Três pontos distintos são sempre colineares.
f) (V) Três pontos distintos são sempre coplanares.
g) (F) Quatro pontos, todos distintos, determinam duas retas.
h) (V) Por quatro pontos, todos distintos, pode passar uma só reta.
i) (F) Três pontos, pertencentes a um plano, são sempre colineares.
TÓPICO 2
Questão única – Classifique cada afirmação, a seguir, em V para verdadeira 
ou F para falsa, de acordo com os estudos realizados neste tópico:
a) (F) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.
b) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
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c) (V) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
d) (F) Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.
e) (V) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.
f) (F) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
TÓPICO 3
1 Classifique cada afirmação, a seguir, em V para verdadeira ou F para falsa, 
de acordo com os estudos realizados neste tópico:
a) (F) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice.
b) (F) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
c) (V) Dois ângulos suplementares são adjacentes.
d) (F) Dois ângulos adjacentes são complementares.
2 Encontre as medidas dos ângulos a seguir:
a) A medida do ângulo que vale o dobro do seu complemento.
R.: 60º
b) A medida do ângulo igual ao triplo do seu complemento.
R.: 67,5º
c) A medida do ângulo, sabendo que um quarto do seu suplemento vale 
36º.
R.: 360
d) A medida do ângulo que somado ao triplo do seu complemento dá 210º.
R.: 300
TÓPICO 4
1 O mapa, a seguir, mostra quatro estradas paralelas que são cortadas por 
três avenidas transversais. Algumas das distâncias entre os cruzamentos 
dessas avenidas e estradas estão indicadas no mapa (em km), mas as outras 
precisam ser calculadas. Complete o mapa com as distâncias que faltam.
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R.:
Então: x = 10, y = 30 e z = 22,5
2 Dados quatro números a, b, c e d, dispostos em duas razões, dizemos que 
formam uma proporção se o produto dos meios for igual ao produto dos extre-
mos, assim: . Nas relações a seguir, diga se são ou não proporções:
R.:
a)
c)
b)
d)
não
não
sim
sim
Observe que são proporcionais quando for possível simplificar (b e d).
3 Pegue uma folha de caderno pautada. As linhas do seu caderno são parale-
las. Trace duas retas transversais a estas linhas. Agora, com o auxílio de uma 
régua meça a distância de uma linha a outra sobre a diagonal. (as medidas 
a, b, c e d conforme representado na figura a seguir). Se você quiser pode 
medir linhas alternadas, não é necessário que as linhas sejam consecutivas. 
Verifique a proporcionalidade dos segmentos.
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R.: Caro(a) Professor(a)-Tutor(a) Externo(a). Essa resposta é pessoal. Apro-
veite a oportunidade para socializar as diferentes respostas.
4 Crie você uma figura, com três retas paralelas e duas transversais. Com 
o auxílio da régua, meça três medidas, entre as paralelas. Agora, utilizando 
o Teorema de Tales, encontre a medida que está faltando. Feito isso, com a 
régua, confirme o resultado que você encontrou. 
R.: Caro(a) Professor(a)-Tutor(a) Externo(a). Essa resposta é pessoal. Apro-
veite a oportunidade para socializar as diferentes respostas.
TÓPICO 5
1 Quantos metros quadrados tem um quilômetro quadrado?
R.: 1000 x 1000 = 1 000 000 m2.
2 Quantos metros quadrados tem uma quadra de esportes com 100 m de 
lado?
R.: 100 x 100 = 10 000 m2.
3 Um litro tem quantos cm3?
R.: 10 x 10 x 10 = 1 000 cm3.
4 Quantos cm3 tem um mililitro (ml)?
R.: 1 x 1 x 1 = 1 cm3.
5 Quantos litros tem um m3?
R.: 1 000 litros (exemplo p. 41).
6 Transforme 864 m em km.
R.: 864 x 1 000 = 0,864 km
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7 Transforme 864 m em cm.
R.: 864 x 100 = 86400 cm
8 Certamente você já ouviu falar da prova de 500 milhas de Indianápolis. O 
piloto que faz o percurso total percorre quantos quilômetros?
R.: 1 milha = 1,6093 km, assim: 500 x 1,609 = 804,5 km
9 Os disquetes de microcomputadores são de 3,5”. Ou seja, cada disquete 
mede 3 polegadas e meia de diâmetro. O sinal ” indica a medida polegada. 
Como uma polegada mede aproximadamente 2,54 cm, qual é o diâmetro de 
um disquete? 
R.: 3,5 x 2,54 = 8,89 cm
10 O romance de ficção científica, escrito no século XIX por Júlio Verne, 
intitulado Vinte mil léguas submarinas, descreve um fantástico submarino 
movido por uma forma de energia muito semelhante à que é usada hoje nos 
submarinos atômicos. Quantos quilômetros são 20.000 léguas?
R.: 1 légua = 5,555m, assim: 20 000 x 5,555 = 111 100 km.
UNIDADE 2
TÓPICO 1
1 Determine a soma dos ângulos internos de um hexágono convexo.
2 Determine a medida do ângulo interno e externo de um triângulo equilá-
tero.
R.:
R.:
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3 Calcule a soma dos ângulos internos de um decágono.
4 O retângulo é um polígono regular? Justifique sua resposta.
R.: Não, porque não possui todos os lados iguais.
5 Encontre o valor de x e determine a medida dos ângulos de cada polígo-
no a seguir:
a)
Si = 360
90 + 60 + 2x + x = 360
150 + 3x = 360
3x = 360 – 150
3x = 210
x = 
x = 70º 
Então os ângulos medem: 60, 90, 70 e 140 graus.
b) A figura representa um pentágono, portanto a soma dos ângulos internos 
é (n-2).180, isto é, 5400. Então temos:
R.:
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Si = 540
90 + 105 + 70 + x + x = 540
265 + 2x = 540
2x = 540 – 265
2x = 275
x = 
x = 137,5º 
Os ângulos medem: 90, 105, 70, 137,5 e 137,5 graus. 
c) A figura representa um hexágono, portanto a soma dos ângulos internos 
é (n-2).180, isto é, 7200. Então:
Si = 720
(x + 20) + x + (x + 30) + 130 + 120 + 150 = 720
3x + 450 = 720
3x = 720 – 450 
3x = 270
x = 
x = 90º 
Os ângulos medem: 150, 120, 130, 90, 110 e 120 graus.
d) Na última figura temos um pentágono, do qual conhecemos dois ângulos 
externos. Então:
Si = 540
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Assim, os ângulos internos do pentágono medem: 90, 120, 120, 90 e 120. E 
os dois ângulos externos medem 60 graus.
6 Calcule o número de diagonais de um pentágono.
R.: 
O pentágono tem 5 diagonais.
 
7 Quantas diagonais partem de cada vértice de um icoságono?
R.: De cada vértice de um polígono partem n – 3 diagonais. Então de cada 
vértice de um icoságono partem 20 – 3 = 17 diagonais.
8 Calcule a medida do ângulo interno e a medida do ângulo externo do 
pentágono regular.
R.: 
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TÓPICO 2
1 Classifique as afirmações, a seguir, sobre os pontos notáveisde um triân-
gulo, em V para as verdadeiras ou F para as falsas:
a) (V) O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo.
b) (V) O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita no triângulo.
c) (V) O incentro é interno ao triângulo.
d) (V) O baricentro é interno ao triângulo.
e) (F) O ortocentro é interno ao triângulo.
f) (F) O circuncentro é interno ao triângulo.
2 Com os segmentos de 8 cm, 5 cm e 18 cm é possível construir um triân-
gulo? Por quê?
R.: Não, porque em todo triângulo cada lado é menor que a soma do outros 
dois e 18 é maior que a soma dos outros dois.
3 Classifique as afirmações em V para as verdadeiras ou F para as falsas:
a) (F) Todo triângulo isósceles é equilátero.
b) (V) Todo triângulo equilátero é isósceles.
c) (V) É possível construir um triângulo retângulo e isósceles.
d) (F) Um triângulo escaleno pode ser isósceles.
4 Determine os valores de x e y, no triângulo equilátero a seguir:
Calculando o valor de x
2x +1= 3x – 3
2x – 3x = - 3 – 1 
-x = -4
x = 4
R.:
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Calculando o valor de y
y = 2x + 1 
y = 2.4 + 1
y = 8 + 1
y = 9
5 Responda como são classificados:
a) Os triângulos com 3 lados iguais?
R.: Equiláteros.
b) Os triângulos com 2 lados iguais?
R.: Isósceles.
c) Os triângulos com 3 lados diferentes?
R.: Escalenos.
d) Os triângulos com 3 ângulos iguais?
R.: Acutângulo.
e) Os triângulos com 2 ângulos iguais?
R.: Isósceles.
f) Os triângulos com 3 ângulos diferentes?
R.: Retângulo.
TÓPICO 3
1 Os triângulos da figura a seguir são semelhantes, mas estão em posições 
diferentes. Sabemos que triângulos semelhantes têm medidas proporcionais. 
Com base nisso, calcule as medidas x e y.
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x ≅ 36,64 e y ≅ 40,71
2 Num triângulo retângulo, como são chamados:
a) Os lados que formam o ângulo reto?
R.: Catetos.
b) O lado oposto ao ângulo reto?
R.: Hipotenusa.
3 Se o perímetro de um triângulo equilátero mede 75 cm, quanto mede cada 
um de seus lados?
R.: Lembre-se: o triângulo equilátero tem três lados iguais.
Perímetro = soma dos lados.
75 ÷ 3 = 25 cm
4 Se o perímetro de um triângulo isósceles mede 100 m e a base mede 40 
m, quanto mede cada um dos outros lados?
R.: Lembre-se: o triangulo isósceles tem dois lados iguais. 
100 – 40 = 60 ÷ 2 = 30 cm
5 Encontre o perímetro do triângulo ABC em cada um dos seguintes casos:
a) Um triângulo equilátero ABC com AB = x + 2y; AC = 2x – y e BC = x + y 
+ 3.
R.: 45.
b) Um triângulo isósceles ABC de base BC, com AB = 2x + 3; AC = 3x – 3 e 
BC = x + 3.
R.: 39.
6 No ΔABC, o ângulo A = 70º, AC = 3 m e AB = 5 m; em outro ΔXYZ, o ângulo 
Y = 70º, YZ = 5 m e XY = 3 m. Justifique a semelhança entre os dois triângulos 
e diga quais os ângulos e lados congruentes. 
R.: São semelhantes por LAL, com: AB ≡ YZ; Â ≡ Y ; AC ≡ YX. 
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TÓPICO 4
1 Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Explique 
isso.
R.: Sim, é possível. Quando a corda que determina o segmento for um 
diâmetro do círculo. Assim, teremos um segmento que é um semicírculo e 
poderíamos ter um setor com essa área. 
2 Em que caso um setor circular é um semicírculo?
R.: Quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo.
3 Numa mesa circular, uma pessoa fica bem acomodada ocupando cerca 
de 70 cm da borda deste móvel. Quanto maior o número de pessoas, maior 
deverá ser o diâmetro desta mesa. Para acomodar confortavelmente 4 pes-
soas, qual deverá ser a circunferência da mesa? Você é capaz de resolver 
este problema?
R.: Para acomodar 4 pessoas, a circunferência da mesa deverá ter 280cm, 
portanto, o diâmetro da circunferência será de 89,17 cm, aproximadamente. 
4 Justifique por que o diâmetro é a maior corda da circunferência.
R.: Porque é a corda que passa pelo centro da circunferência, onde a distância 
entre os dois extremos é maior. 
TÓPICO 5
1 Pense num paralelogramo com as medidas da base e da altura, respecti-
vamente indicados por b e h. Se construirmos um outro paralelogramo que 
tem o dobro da base e o dobro da altura do primeiro paralelogramo, qual será 
a relação entre as áreas dos dois paralelogramos?
R.: Sugestão: para entendermos melhor a situação construa um paralelo-
gramo.
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1º – A = b . h = bh
2º – A = 2b . 2h = 4bh
A área dos segundo é o quádruplo da área do primeiro.
2 Calcule a área de um losango que possui suas diagonais medindo 10 cm 
e 16 cm (em centímetros quadrados).
R.: 
3 Um dos lados de um retângulo mede 10 cm. Qual deve ser a medida do outro 
lado para que a área deste retângulo seja equivalente à área do retângulo 
cujos lados medem 9 cm e 12 cm (em centímetros quadrados)?
R.: 
S = b.h 
108 = b . 10
b = 
b = 10,8cm²
4 Calcule a área de um triângulo retângulo que possui como medida de sua 
hipotenusa e de um dos seus catetos, respectivamente, 10 cm e 8 cm (res-
posta em centímetros quadrados).
R.: 
Hip² = cat² + cat²
10² = 8² + cat²
100 = 64 + cat²
cat = 6
Conhecidos os dois catetos, podemos calcular a área
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5 A figura a seguir representa as dimensões de uma sala que vai ser assoa-
lhada com tábuas de 20 cm de largura por 3,5 m de comprimento. Quantas 
tábuas são necessárias?
R.: A área da sala é de 49 m². A área de uma tábua é de 0,7 m², então são 
necessárias 70 tábuas para assoalhar a sala.
6 Para refazer o jardim de sua residência, o Sr. Júlio resolveu comprar blocos 
de grama para colocar entre as árvores e as flores. A grama é vendida em 
blocos que medem 50 cmx30 cm. Quantos blocos, no mínimo, o Sr. Júlio 
deve comprar para cobrir uma área de 165 m2?
R.: 1600 ÷ 1500 = 1100 blocos
Serão necessários 1100 blocos de grama com as dimensões descritas. 
7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho da 
malha tem um cm de lado e, portanto, 1 cm2 de área. 
Com base nestes dados, calcule a área da região 
limitada pela linha escura. 
R.: Cada quadradinho tem 1 cm² de área. Existem 
14 quadradinhos inteiros (1).
Considerando duas semicircunferências com 1 cm 
de raio, temos uma área de: (2).
2 - 1,57 = 0,43 cm2 (3).
Então: fazendo 1 + 2 + 3 temos:
14 + 1,57 + 0,43 = 16cm2.
16 cm2 
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TÓPICO 6
1 Em uma cidade, há um terreno abandonado. Esse 
terreno tem a forma de um trapézio retangular cujas 
bases medem 18 m e 12 m e cuja altura mede 30 m. 
João amarrou seu cavalo, ponto P, a uma corda de 
12 m de comprimento, para pastar. De acordo com a 
figura ao lado, calcule a área (em metros quadrados) 
de pasto que o cavalo não pode comer.
R.: Primeiro calculamos a área do trapézio: 450 
m2. 
Finalmente fazemos a diferença entre as duas áreas: 450 - 113 = 337 cm2 é 
a área que ele não pode comer.
2 No semicírculo ao lado temos BC = 10 cm e AB 
= 8 cm. Qual o valor aproximado, em centímetros 
quadrados, da área sombreada? Sabendo-se 
que o triângulo ABC é um triângulo retângulo.
R.: 
Calculamos a superfície do triângulo ABC inscrito na semicircunferência: 
24 cm2. 
a² = b² + c²
10² = 8² + c²
100 = 64 + c²
36 = c² 
c = 6
Agora ¼ da circunferência de raio 12: aproximadamente 113 cm2.
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Sendo assim a área do triangulo retângulo 
Calculamos a área de ½ círculo: 39,25 cm2. 
Finalmente, fazemos a diferença entre as duas áreas: 39,25 -24 = 15,25 
cm² é a área da superfície sombreada.
3 Calcule a área da sacada de um apartamento apresentada na figura abai-
xo.
R.: 
Calculamos a área da circunferência e lembre-se que temos 2/4 de circun-
ferência com 1,5 m de raio. 
Então: 3,5 cm2.
Um retângulo de 3 x 1,5 = 4,5 m2. 
Então, soma-se as áreas 3,53 + 4,5 = 8,03 
Assim a área da sacada é aproximadamente 8 m2.
4 O comprimento da linha do Equador da Terra tem aproximadamente 40.000 
km. Qual é o raio da Terra?
R.: 
C= 2 r 
40000 =2 . 3,14 .r
40000 = 6,28 r
r = 6369,43
Aproximadamente 6369 km.
5 Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a 
área de cada fatia.
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R.: , assim dividimos o total por 6 = 706,5 ÷ 6 
= 117,75
Cada fatia tem 117,75 cm2.
6 Num círculo de raio r = 10 cm, calcule:
a) o comprimento de um arco com α = 45º
b) a área de um setor circular com α = 60º
c) a área de um setor circular com α = 120º
R.: 
a) Primeiro encontramos o valor da circunferência:
 C= 2 r 
C = 2.3,14.10
C = 62,80
Então, multiplica-se pelo ângulo correspondente e divide-se por 360.
C =62,80 *45 / 360 = 7,85 cm 
7 Observe a figura ao lado. Cada quadradinho tem 
uma unidade quadrada de área. Encontre a área da 
superfície contornada pela linha escura.
R.: 
Cada quadrinho tem uma unidade quadrada de 
área. Então, a figura tem 16 cm2 .
b)
c)
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UNIDADE 3
TÓPICO 1 
1 Classifique as afirmações, a seguir, em V para as verdadeiras ou F para 
as falsas:
a) (V) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) (V) Duas retas ou são coplanares ou são reversas.
c) (F) Duas retas distintas determinam um plano.
d) (V) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) (V) Duas retas não coplanares são reversas.
2 Num poliedro convexo de 10 arestas, o número de faces é igual ao número 
de vértices. Quantas faces tem esse poliedro?
R.: 
F + V = A + 2
F + V = 10 + 2 
F + V = 12
Como o número de faces e vértices são os mesmos 12 dividido por 2, esse 
poliedro tem 6 faces.
3 Num poliedro convexo o número de arestas excede o número de vértices 
em 6 unidades. Calcule o número de faces desse poliedro.
R.: 
A = V + 6
F + V = A + 2
F + V = V + 6 + 2 
F =V – V +8
F = 8
8 faces.
4 Classifique as afirmações, a seguir, em V para as verdadeiras ou F para 
as falsas:
a) (V) Planos secantes são dois planos distintos que se interceptam.
b) (F) Dois planos se interceptam num único ponto.
c) (V) Dois planos concorrentes no espaço são planos cuja intersecção é 
uma reta.
d) (F) Dois planos concorrentes formam um triedro.
e) (V) Planos paralelos no espaço são planos que não têm interseção.
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5 Considerando o que estudamos até aqui, responda às seguintes pergun-
tas:
a) O que são pontos colineares?
R.: Pontos colineares pertencem à mesma reta.
b) O que são pontos coplanares?
R.: Coplanares são pontos que pertencem ao mesmo plano.
c) O que é uma figura plana?
R.: É uma forma que pertence a um só plano.
d) O que são retas reversas?
R.: São retas que estão em planos distintos.
e) Quais as posições relativas de duas retas?
R.: Duas retas, no espaço, podem ser: 
TÓPICO 2
1 Como se chama o prisma que possui 8 faces?
R.: Octaedro
2 Quais são os elementos de um prisma?
R.: Faces (duas bases congruentes e n faces laterais), arestas e vértices.
3 Existe um prisma cujas arestas laterais medem 5 cm e a altura é 6 cm?
R.: Não, pois os prismas são sólidos geométricos que possuem duas bases 
congruentes contidas em planos paralelos distintos e as demais faces laterais 
constituídas por paralelogramos.
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4 Em qualquer prisma, quantas arestas partem de um mesmo vértice?
R.: 3 arestas, podemos verificar no exemplo do octaedro da atividade 1.
5 Calcule a diagonal da face e a diagonal do prisma, de um cubo de lado 5 
cm.
R.: 
d =
A diagonal da face é cm, e a diagonal do prisma é cm 
6 Calcule a medida da diagonal e a área total de um cubo de 2,5 cm de 
aresta.
R.:
Área total = (2,5)² . 6
 6,25 . 6
 37,5 cm²
 A diagonal do cubo é cm , e a área total é 37,5cm2
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7 Calcule a medida da aresta de um cubo de 36 m2 de área total da sua 
superfície.
R.: 
8 Calcule a diagonal, a área e o volume do paralelepípedo retângulo de 
dimensões 6 cm,
2 cm e 3 cm.
R.: Lembre-se de como é um paralelepípedo, cada área é multiplicada por 
dois.
Área = 
 6 . 2 = 12 . 2 = 24
 6 . 3 = 18 . 2 = 36
3 . 2 = 6 . 2 = 12
Assim: 24 + 36 + 12 = 72 cm²
V = área base x altura
V = 2 . 3 . 6
V = 36 cm³
Diagonal 
A diagonal mede 7 cm, a área mede 72 cm² e o volume é 36 cm3
9 O trapézio representado na figura a seguir é base de um prisma reto de 
altura 10 cm. Calcule a área total e o volume do prisma.
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A área total é a soma das áreas laterais com as áreas das bases 116,46 + 
12,10 = 128,56 cm².
V = área base x altura
V = 6,05 * 10 = 60,50 cm³ 
A área total é 128 cm2, aproximadamente. O volume do prisma é 60 cm3, 
aproximadamente. 
TÓPICO 3 
1 Quantos vértices, arestas e faces tem uma pirâmide octogonal?
R.: A pirâmide octogonal tem 9 vértices, 16 arestas e 9 faces.
Soma das áreas da base
= 6,05 * 2 = 12,10 
Áreas Laterais
5.10 = 50
2.10 = 20
2.10 = 20
10. = 26,46
Soma das áreas laterais 
50 + 20 + 26,46 = 116,46 
R.:
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2 Numa pirâmide quadrangular regular, cuja aresta da base mede 5 cm e cuja 
altura mede 8 cm, calcule o apótema da base e o apótema da pirâmide.
R.: No caso da base quadrada o apótema da base é a metade da medida.
a² = b² + c²
a² = 8² + 2,5²
a² = 64 + 6,25
a² = 70,25
a = 
a = 8,38
a ≅ 8,4
O apótema da base mede 2,5 cm. O apótema da pirâmide mede 8,4, apro-
ximadamente.
3 Calcule a área lateral, a área total e o volume da pirâmide hexagonal regular 
com 4 cm de aresta da base e 10 cm de aresta lateral.
R.: 
Cálculo da área lateral 
h² = c² + c²
10² = 2² + c²
100 = 4 + c²
100 – 4 = c²
96 = c²
c = 
c = 9,79
c ≅ 9,8
O valor de “c” é a altura de uma 
das faces da pirâmide. 
Área lateral: . Como temos 6 laterais: 19,6 . 
6 = 117,6cm²
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Cálculo da área da base
h² = c² + c²
4² = 2² + c²
16 = 4 + c²
16 – 4 = c²
12 = c²
c = 
c = 3,46
c ≅ 3,5
área base como 
utilizamos a base dividida em 6 triângulos 
equiláteros (três lados iguais), multipli-
caremos por 6, pois a base equivale a 6 
triângulos equiláteros 7.6 = 42cm².
Área total = área lateral + área base = 117,60 + 42 = 159,60 cm²
Volume da pirâmide = 
4 Dado um tetraedro regular de aresta a, calcule:
R.: Tetraedro Regular
a) A área total (At)
R.: Área total é .
b) A medida h da altura
R.: Altura é 
c) O seu volume (V).
R.: Volume é 
5 Sabendo que a aresta de um tetraedro regular mede 3 cm, calcule a medida 
de sua altura, sua área total e seu volume.
R.: Tetraedro Regular (neste caso estamos resolvendo pelas fórmulas apre-
sentadas na atividade anterior).
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Altura = 
Área Total = 
Volume é cm³
Altura = ; área total = ; volume = .
Se resolvêssemos pela demonstração da imagem.
Altura da face 
a² = b² + c²
3² = 1,5² + c²
9 = 2,25 + c²
9 – 2,25 = c²
c² = 6,75
c = 
c = 2,59
c ≅ 2,6
A altura da face lateral, como a pirâmide, é um tetraedro e os triângulos 
laterais são iguais ao triângulo da base, por isso, precisamos dividir a altura 
encontrada por um terço para obter a medida do apótema da base.
Apótema base = 
2,6² = 0,86² + c²
6,75 = 0,74 + c²
6,75 -0,74 = c²
6,01 = c²
c = 
c ≅ 2,45
Área base = 
Área total = 3,9 * 4 = 15,60 cm²
Volume da pirâmide = 
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6 A aresta lateral de uma pirâmide quadrangular regular mede 15 cm e a 
aresta da base 10 cm. Calcule seu volume.
R.: Pirâmide Quadrangular 
Área base 
a² = b² + c²
15² = 5² + c²
225 = 25 + c²
225 - 25 = c²
c² = 200
c = 
c = 14,14
c ≅ 14,14 altura da lateral
14,14² = 5² + c²
199,94 = 25 + c²
199,94 – 25 = c²
174,94 = c²
c = 
c = 13,226
c ≅ 13,23
Área base = 10 * 10 = 100
Volume = área* altura = 
 
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TÓPICO 4 
1 O que é um cilindroequilátero?
R.: Cilindro equilátero é um cilindro cuja secção meridiana é um quadrado e, 
portanto, apresenta g = h = 2r, ou seja, o diâmetro da base é igual a altura. 
2 Um restaurante costuma usar grandes panelas em dias de muito movimen-
to. Para encher de água uma dessas panelas, o cozinheiro utiliza latas (ou 
galões) de 18 litros. Quantos desses galões são necessários para encher 
completamente uma panela cilíndrica, de 60 cm de diâmetro e 50 cm de 
altura? (Use = 3,14)
R.: 
Como cada galão tem 18 litros: 141,3 / 18 =7,85, são necessários, aproxi-
madamente, 8 galões de água.
3 Qual é o volume da grafite de um lápis de 17 cm de comprimento, se a 
grafite tem 2 mm de diâmetro? (Use = 3,14)
R.: 
O volume da grafite é, aproximadamente, 0,53 cm3. Lembrando que precisa-
mos trabalhar com medidas equivalentes, ou seja, cm em cm, mm em mm, 
m em m.
4 Para fazer 1 m3 de concreto, gastam-se 9 sacos de cimento. Um prédio 
está apoiado sobre 12 colunas cilíndricas de concreto, cada uma com 5 m de 
altura e 40 cm de diâmetro da base. Quantos sacos de cimento foram gastos 
na construção destas colunas? (Use = 3,14)
R.: 
 
Assim, se para 1 m³ foram utilizados 9 sacos de cimento, para 7,54 m³ serão 
usados 67,86 sacos de cimento, aproximadamente 68 sacos para construir 
as colunas.
5 Um vaso cilíndrico tem 30 dm de diâmetro interior e 70 dm de profundidade. 
Quantos litros de água o vaso pode conter, aproximadamente? (Use = 3,14)
R.: . 
49555 litros de água 
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6 Um suco de frutas é vendido em dois tipos de latas cilíndricas: uma de raio 
r, cheia até a altura h. Outra de raio r
 2
 e cheia até altura 2h. A primeira é 
vendida por R$ 3,00 e a segunda é vendida por R$ 1,60. Qual é a embalagem 
mais vantajosa para o consumidor?
R.: Primeira lata
 
Segunda lata 
A primeira embalagem é mais vantajosa para o consumidor, pois o volume 
da primeira em relação à segunda é o dobro. Já o valor não, pois a segunda 
lata custaria 3,20 para obtermos a mesma quantidade.
TÓPICO 5 
1 Calcule a altura de um cone circular reto, cuja geratriz mede 25 cm e o 
diâmetro da base mede 14 cm.
R.: Cone circular reto
A altura mede 24 cm.
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2 O volume de um cone circular reto é de 27 dm3 e a altura é de 9 dm. Qual 
é a medida do raio da base?
R.: 
O raio da base mede 3 dm.
3 Num cone circular reto, a altura é 3 m e o diâmetro da base é 8 m. Então, 
encontre a área total.
R.: 
Medida da Geratriz Área Lateral
Área Base
Área total = área lateral + área base
Área total = 62,80 + 50,24 = 113,04
4 Dois cones circulares retos têm a mesma base e a altura de um é o triplo 
da altura do outro. Encontre a relação entre os volumes dos dois cones.
R.: O cone que tem o triplo da altura do outro tem também o triplo do volu-
me do outro.
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5 Um triângulo retângulo isósceles, de hipotenusa 3 cm, gira em torno 
de um de seus catetos. Qual é o volume do sólido de revolução gerado por 
este movimento?
R.: 
Lembrando que um triângulo isósceles tem os dois catetos de mesma me-
dida, assim:
Cada cateto mede 3 cm.
Área Base
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6 As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular 
reto são iguais. O prisma tem 12 cm de altura e volume igual ao dobro do 
volume do cone. Determine a altura do cone.
R.: 
Volume prisma = área base x altura
Volume cone = 
Assim, se o prisma tem o dobro da medida do volume do cone:
Volume prisma = 
7 Calcule o volume de um lápis cilíndrico, apontado com um comprimento 
total de 16 cm, diâmetro de 7 mm e a altura do cone formado na parte apon-
tada de 2 cm.
R.: Lembre-se de transformar todas as medidas em uma só, ou seja, 2 cm 
= 20 mm, 16 cm = 160mm.
Volume do Cone
Volume do Cilíndro
Para sabermos o volume total, precisamos somar os dois volumes, assim:
5385,10 + 256,53 = 5641,63mm³;
Lembre-se? para transformar mm³ em cm³ a divisão é feita por 1000.
Então: 5641,63 / 1000 = 5,64
Aproximadamente 5,64 cm3.
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TÓPICO 6 
1 Qual a quantidade de chumbo necessária para a confecção de 100 bolinhas 
esféricas, maciças, de 1 cm de diâmetro cada uma?
Cada esfera tem um volume de 0,523 cm³ e para 100 = 52,33 cm³ de 
chumbo.
2 O diâmetro da Lua é, aproximadamente, ¼ do diâmetro da Terra. Determine 
o volume da Lua.
R.: Lembre-se de que a circunferência da Terra é de 40 000 km.
Diâmetro da Terra = 
Diâmetro da Lua = R = raio então 3,184,71/2 = 
1593
Volume da Lua
3 Numa indústria química, deseja-se instalar um reservatório esférico para 
armazenar determinado gás. A capacidade do reservatório deve ser de 33,5 
m3. Qual deve ser, aproximadamente, o raio desse reservatório?
O raio deve ter, aproximadamente, 2 metros de comprimento.
4 Uma fábrica de suco confeccionou suas embalagens em dois formatos: 
uma esférica de 8 cm de diâmetro e outra cilíndrica. Sabendo que as duas 
embalagens têm a mesma altura e a mesma largura, calcule seus volumes.
R.:
8 Calcule a capacidade (em mililitros) de uma casquinha de sorvete em forma 
de cone circular reto de 15 cm de altura e diâmetro da base de 6 cm.
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Volume da esfera = 267,95 cm3.
Volume do cilindro = 401,92 cm3.
5 Num recipiente de forma cilíndrica, com 4 cm de raio da base, há água até 
certa altura. Calcule a elevação do nível da água quando mergulhamos ali 
uma esfera de aço com 2 cm de diâmetro.
R.: 
6 Considere uma laranja como uma esfera com 6 cm de raio. Se a dividirmos 
em doze gomos (cunhas esféricas) praticamente iguais, qual será o volume 
de cada gomo?
R.: 
7 Qual é o comprimento aproximado de um meridiano terrestre?
R.: Considerando a Terra uma esfera perfeita, um meridiano é um círculo 
máximo que passa pelos polos, portanto, seu comprimento tem a mesma 
medida do equador, aproximadamente, 40 000 km.
Volume do cilíndro
Volume da esfera
R.:
Volume da esfera
Volume do cilíndro
Volume da esfera
Assim, como são doze gomos 904,32 ÷12 = 75,36 cm³ cada gomo.