Aula 3 - Revisão das Medidas de Dispersão

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Disciplina: Análise Estatística
Aula 3: Revisão das Medidas de Dispersão
Apresentação
Na aula 2, você compreendeu as formas de calcular as medidas de posição central e suas relações, bem como as
medidas de ordenamento.
Nesta aula, você verá como encontrar as medidas de dispersão, complementando a informação contida nas
medidas de tendência central. Com a ideia de amplitude total e interquartil, desvio médio, variância e desvio
padrão, bem como o coeficiente de variação, sendo possível ver o quanto os dados estão afastados da média.
Essa visão da dispersão permite ter um melhor entendimento do comportamento dos dados obtidos. Será visto
nesta aula como calcular as medidas de dispersão em Excel.
Na interpretação e análise dos dados estatísticos, é necessário conhecer como os dados se comportam e se
distribuem ao longo da relação em estudo.
Objetivos
Aprender a calcular as medidas de dispersão com a ideia de amplitude total e interquartil, desvio médio,
variância e desvio padrão, bem como o coeficiente de variação;
Aprender a calcular as medidas estatísticas em Excel.
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Medidas de Posição Central
Em uma dada distribuição amostral é possível fazer várias observações no intuito de entender o
comportamento dos seus valores. Normalmente as medidas de posição não são suficientes para dar o
comportamento de uma distribuição de dados, sendo necessárias informações adicionais que permitam
uma melhor análise do fenômeno a ser estudado. É importante levar um ponto em consideração durante
a análise dos dados, a dispersão ou variabilidade. A dispersão ou variabilidade indica a maior ou
menor diferença entre os valores de uma variável, dado da distribuição, e sua medida de posição,
normalmente a média.
Estudaremos as seguintes medidas de dispersão:
1
Amplitude
2
Desvio médio
3
Variância e desvio padrão
4
Coeficente de variação
Amplitude
Amplitude Interquadril
Com o objetivo de determinar onde se situam os 50% valores centrais, pode calcular a Amplitude
Interquartil (IQR):
IQR = Q3 – Q1
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Amplitude Total
Numa amostra de n valores ordenados, onde n é a quantidade total de dados, definimos como
amplitude total (R) a diferença entre os valores máximo (H) e mínimo (L) da relação.
R = x – x = H – L

Exemplo
Amplitude total: sabendo-se que a quantidade de garrafas de refrigerantes vendidas no mercado,
durante uma semana, foi de 10, 12, 13, 14, 15, 16 e 18 garrafas, temos para a amplitude total:
n = 7;
H = x = x = 18;
L = x = x = 10
Amplitude total: R = 18 – 10 = 8
Desvio Médio Absoluto
O desvio (d ) mede a diferença entre cada valor e a média aritmética. O desvio médio absoluto (MAD)
é obtido dividindo o somatório dos módulos de cada desvio pela quantidade de dados (n para amostra e N
para população).
 (Amostra)
 (População)
A soma de todos os desvios é igual à zero:
máx mín
máx 7
mín 1
i
MAD =   =  
∑| |di
n
∑| |xi − x̄
n
MAD =   =  
∑| |di
N
∑| |xi −μ
N
∑   =  ∑   −   =  0di xi x̄
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A amplitude total, pela influência dos valores extremos, que muitas vezes podem não representar o
comportamento da distribuição dos dados, são considerados instáveis.
Variância
A variância é uma medida estatística que não recebe essa influência, pois leva em consideração
todos os valores no seu cálculo. Ela é a média aritmética dos quadrados dos desvios:
 (População)
Quando o cálculo é feito em cima da amostra, troca-se o denominador n por (n – 1):
 (Amostra)
Simplificação
A fim de simplificar os cálculos e evitar os arredondamentos causados pelo fato da média ser
normalmente fracionário, pode-se usar a igualdade:
Com a simplificação a variância fica na forma:
 (População)
 (Amostra)
Os dados podem ser agrupados numa tabela de distribuição de frequência ou numa tabela de distribuição
por classes:
= ∑     =  σ2 ( )di
2
n
∑ (  −  )xi x̄
2
n
=   =  S2
∑ ( )di
2
n−1
∑ (  −  )xi x̄
2
n−1
∑  (   −   = ∑   −xi x̄)
2
x2i
(∑ )xi
2
n
=    (∑   − )σ2 1
n
x2i
(∑ )xi
2
n
=    (∑   − )s2 1
n−1 x
2
i
(∑ )xi
2
n
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Dados agrupados sem intervalos de classe
Para os dados agrupados numa tabela de distribuição de frequência a variância é calculada da
seguinte forma:
ou
=     =  σ2
∑  . ( )di
2 Fi
2
∑  . (  −  )xi x̄
2 Fi
n
= [∑(  .   )− ] = [n .  ∑(  .   )− ] σ2 1
n
x2i Fi
(∑  .  )xi Fi
2
n
 1 
n2
x2i Fi (∑  .    )xi Fi
2
= [∑(  .   )− ] = [n .  ∑(  .   )− ] s2 1
n−1 x
2
i Fi
(∑  .  )xi Fi
2
n
 1 
n . (n−1)
x2i Fi (∑  .    )xi Fi
2
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Dados agrupados com intervalos de classe
Para os dados agrupados numa tabela de distribuição por classes as fórmulas são as mesmas:
Entretanto:
x = ponto médio das classes;
L = Limite superior da classe;
L = Limite inferior da classe.
O fato de a variância ser calculada a partir dos quadrados dos desvios gera um número com a
unidade quadrada em relação a variável em estudo, que é um inconveniente. Esse inconveniente
criou a necessidade de uma nova variável denominada desvio padrão definida como a raiz
quadrada da variância e representada por s (amostra) e σ (população), com mais utilidade e
interpretação prática.

Leitura
Clique aqui <galeria/aula3/anexo/a03_06_01.pdf> para ler mais sobre Dados não
Agrupados e Agrupados Sem Intervalos de Classe.
= [n .  ∑(  .   )− ] σ2 1
n2
x2i Fi (∑  .    )xi Fi
2
= [n .  ∑(  .   )− ] s2 1
n . (n−1)
x2i Fi (∑  .    )xi Fi
2
=xi
 − Ls Li
2
i
s
i
σ =      e     s =σ2
−−
√ s2
−−√
http://estacio.webaula.com.br/cursos/gra256/galeria/aula3/anexo/a03_06_01.pdf
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Coeficiente de Variação
O coeficiente de variação mede a homogeneidade dos dados, ou seja, mostra a magnitude do desvio
padrão em relação à média dos dados como porcentagem. Permitindo caracterizar a dispersão dos dados
em função do valor médio. Quanto maior o valor do coeficiente de variação, menos homogêneo será o
conjunto.
 (População)
 (Amostra)
Quando é necessário comparar duas amostras com média e desvio padrão diferentes, podemos comparar
os coeficientes de variação. Quanto maior o valor, menor será a homogeneidade da distribuição, ou seja,
apresenta o maior grau de dispersão.
Tomemos os resultados das medidas de altura e pesos de um mesmo grupo de pessoas tiradas de uma
sala de aula.
s
ALTURA 176 cm 5,0 cm
PESO 69kg 2,0kg
A fim de comparar a dispersão das duas relações de medidas, utilizaremos o coeficiente de dispersão.
CV = × 100 σ 
μ
CV = × 100 s 
x̄
C = = 0, 0284VALT
 5 
176
C = = 0, 0290VPESO
 2 
69
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Podemos observar que neste grupo de pessoas, a relação de distribuição das alturas apresenta
um menor grau de dispersão do que os pesos.
Usando o Excel
Seja uma distribuição amostral composta de sete números (n), representando o tempo (em minutos) de
execução de uma prova.
X = (85, 86, 88, 88, 91, 94, 104)
Usando as fórmulasprontas do Microsft Excel para determinar a variância e o desvio padrão da amostra e
da população, teremos:
O comando VARP(NUM1;NUM2...) calcula a variância da população, bastando marcar as células que
contêm os dados.
Com o comando VARA(NUM1;NUM2;...) calcula a variância da amostra, bastando marcar as células
que contêm os dados com o mouse, ou indicar o intervalo na função como mostrado no exemplo.
População: DESVPADP(NUM1;NUM2;...)
Amostra: DESVPAD(NUM1;NUM2;...)
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Referências
BRUNI, Adriano Leal; PAIXÃO, Roberto Brazileiro. Excel aplicado à gestão empresarial. 1.ed. São
Paulo: Atlas, 2008.
CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil. 19.ed. São Paulo: Saraiva, 2009.
KAZMIER, Leonard J. Estatística aplicada à Economia e Administração. 4.ed. Porto Alegre: Artmed,
2007.
Próximos Passos
Análise dos dados através de gráficos;
Uso do Excel 2007 para a montagem dos gráficos (de colunas, de barras, de linhas, de dispersão e
de Pareto) a partir de uma relação de dados.
Explore mais
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