APX1_GA1_gabarito_20201_1_revisado

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX1 - Questões no formato questionário – Geometria Anaĺıtica - 2021-1
Gabarito
Código da disciplina: Matemática EAD 01087
Dados para a questão 1 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [2, 16] ∩ Z.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa a.
• A questão pedirá para marcar a opção correta.
Questão 1 [2,0 pontos]: Considere os vetores unitários ~u, ~v e ~w, de tal modo que são satisfeitas
as seguintes condições: 〈~u+ ~v, 2~u− ~v〉 = a, ~w = m~u+ (a− 1)~v e 〈~w, ~u〉 = a2.
Determine o valor de a cos θ +m, tal que θ = ∠(~u,~v).
Opções de resposta:
(a) a2 + a− 1
(b) a2 + a+ 1
(c) a2 − 1
(d) a2 + a
(e) Nenhuma das demais opções de resposta
Resolução: Como 〈~u+ ~v, 2~u− ~v〉 = a, usando propriedades de produto interno, temos que:
〈~u+ ~v, 2~u− ~v〉 = a
2〈~u, ~u〉 − 〈~u,~v〉+ 2〈~v, ~u〉 − 〈~v,~v〉 = a
2||~u||2 + 〈~u,~v〉 − ||~v||2 = a
1 + 〈~u,~v〉 = a
〈~u,~v〉 = a− 1
Logo, cos θ = 〈~u,~v〉
||~u||||~v||
= 〈~u,~v〉 = a− 1.
Por outro lado,
~w = m~u+ (a− 1)~v
〈~w, ~u〉 = m||~u||2 + (a− 1)〈~v, ~u〉
a2 = m+ (a− 1)2
a2 − (a− 1)2 = m
2a− 1 = m.
Geometria Anaĺıtica I AP1 1/2021
Assim, a cos θ +m = a(a− 1) + 2a− 1 = a2 + a− 1
Dados para a questão 2 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [−15, 15]∩Z sendo a 6= 1 a 6= 2 e
a 6= 3.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa a.
• A questão pedirá para marcar a opção correta.
Questão 2 [2,0 pontos]: Considere os pontos A = (a, a − 1), B = (2, 2) e C = (2,−1). Seja r
a reta que passa pelos pontos A e B, e s a reta perpendicular à reta r que passa por C. Dentre as
opções a seguir, qual delas equivale à distância de s ao ponto D =
( 1
1− a,
−a
3− a
)
.
Opções de resposta:
(a) 0
(b) 1
(c)
1
|2− a|
(d)
a
|3− a|
(e)
1√
|2− a|
(f)
a√
|3− a|
(g) Nenhuma das demais opções de resposta
Resolução: Como
−→
AB = (2 − a, 3 − a) ‖ r e s ⊥ r, então −→AB = (2 − a, 3 − a) ⊥ s. Logo, a
equação cartesiana de s possui a seguinte forma:
(2− a)x+ (3− a)y = k,
para algum k real. Como C = (2,−1) ∈ s, então
(2− a)x+ (3− a)y = 1− a,
é a equação cartesiana de s.
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Assim,
d(D, s) =
∣∣∣∣(2− a)( 11− a
)
+ (3− a)
( −a
3− a
)
− (1− a)
∣∣∣∣√
(2− a)2 + (3− a)2
=
∣∣∣∣∣(2− a) + (−a)(1− a)− (1− a)21− a
∣∣∣∣∣√
(2− a)2 + (3− a)2
=
∣∣∣∣∣2− a− a+ a2 − 1 + 2a− a21− a
∣∣∣∣∣√
(2− a)2 + (3− a)2
=
∣∣∣∣ 11− a
∣∣∣∣√
(2− a)2 + (3− a)2
= 1
|1− a|
√
(2− a)2 + (3− a)2
Logo, a resposta correta é (g).
Dados para a questão 3 no modo questionário:
• a é o coringa da questão e poderá variar da seguinte forma a∈ [2, 11] ∩ Z.
• As opções de respostas serão geradas automaticamente pelo sistema usando o coringa a.
• A questão pedirá para marcar a opção correta.
Questão 3 [2,0 pontos]:
Dados os vértices A = (2a + 1, 1 − a), B = (a + 3, a + 6) e C = (a, a + 2) do triângulo ABC.
Determine a altura relativa ao lado BC do triângulo.
Opções:
(a)
10a+ 7
5
(b)
10a+ 8
5
(c)
10a+ 6
5
(d)
10a+ 9
5
(e)
10a+ 10
5
(f)
10a+ 11
5
(g) Nenhuma das demais opções de resposta
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Resolução: Para determinar a área do triângulo, primeiramente acharemos os vetores ~AB, ~AC,
det( ~AB, ~AC) e a norma do vetor ~BC.
~AB = (2− a, 5 + 2a)
~AC = (−a− 1, 1 + 2a)
det( ~AB, ~AC) = (2− a)(1 + 2a)− (5 + 2a)(−a− 1) = 10a+ 7
~BC = (3, 4) =⇒, || ~BC|| = 5.
A área do triângulo é determinado por:
Área = 12 |det(
~AB, ~AC)|
Área = 12 |10a+ 7|.
Por outro lado, a área é determinado pela altura h e a base, sendo que base é dada pela norma do
vetor ~BC = 5. Assim,
1
2 |10a+ 7| =
1
2 ||
~BC||h
|10a+ 7| = 5h
h = |10a+ 7|5
Resposta correta: (a)
noindentQuestão 4 [2 pontos]: Dentre as opções a seguir, qual delas representa a região abaixo:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 < 0
x2 − 2x+ 4y − 19 > 0
−x+ 2y − 7 ≤ 0.
Opções de resposta:
(a) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(b) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
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(c) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(d) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(e) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
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(f) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(g) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(h) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
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(i) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(j) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(l) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
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(m) No esboço, A = (1, 5), B = (3, 5), C = (−
√
5, 7−
√
5
2 ), D = (5, 1), E = (−1, 3) e F =
(
√
5, 7+
√
5
2 ).
(n) Nenhuma das demais opções de resposta
Atenção: Nas opções de resposta acima, as coordenadas dos pontos C e F aparecem trocadas:
aquelas apresentadas para F são na verdade as coordenadas de C e vice-versa.
Deste modo, além das respectivas respostas, apresentadas a seguir, será também aceita a opção (n),
”nenhuma das demais opções de resposta”.
Resolução:
A primeira das três inequações que compõem a região R, representa uma região delimitada pela
curva x2 + y2 − 4x− 4y − 2 = 0. Completando os quadrados dessa equação, encontramos:
(x− 2)2 + (y − 2)2 = 10.
Esta equação representa uma circunferência centrada em (2, 2) e raio
√
10.
Já a segunda inequação que compõe R, representa uma região delimitada pela curva x2− 2x+ 4y−
19 = 0. Completando os quadrados dessa equação, encontramos:
(x− 1)2 = −4(y − 5).
Esta equação representa uma parábola com vértice em (1, 5) com concavidade voltada para baixo.
E, a terceira inequação que compõe R, representa uma região delimitada pela curva −x+2y−7 = 0,
que é uma reta que passa pelos pontos (3, 5) e (−7, 0).
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A região R pode ser encontrada na opção (a), onde A = (1, 5), B = (3, 5), C = (
√
5, 7+
√
5
2 ), D =
(5, 1), E = (−1, 3) e F = (−
√
5, 7−
√
5
2 ) são os pontos de interseção entre as curvas mencionadas
anteriormente.
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 < 0
x2 − 2x+ 4y − 19 > 0
−x+ 2y − 7 ≥ 0.
RESPOSTA: (b)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 > 0
−x+ 2y − 7 ≤ 0.
RESPOSTA: (c)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 > 0
−x+ 2y − 7 ≥ 0.
RESPOSTA: (d)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 < 0
x2 − 2x+ 4y − 19 < 0
−x+ 2y − 7 ≤ 0.
RESPOSTA: (e)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 < 0
−x+ 2y − 7 ≤ 0.
RESPOSTA: (f)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y− 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 < 0
−x+ 2y − 7 < 0.
RESPOSTA: (g)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 < 0
x2 − 2x+ 4y − 19 < 0
−x+ 2y − 7 ≥ 0.
RESPOSTA: (h)
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Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 < 0
−x+ 2y − 7 ≥ 0.
RESPOSTA: (i)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 < 0
−x+ 2y − 7 > 0.
RESPOSTA: (j)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 > 0
−x+ 2y − 7 < 0.
RESPOSTA: (l)
Variação da região R:
R :

x2 + y2 − 4x− 4y − 2 ≤ 0
x2 − 2x+ 4y − 19 > 0
−x+ 2y − 7 ≥ 0.
RESPOSTA: (m)
Questão 5 [2 pontos]: Identifique a cônica descrita pela equação a seguir e determine seu centro,
vértices da reta focal e focos:
9x2 + 144y2 − 54x+ 576y = 639
Opções de resposta:
(a) Elipse,
Centro: C = (3,−2),
Vértices da reta focal: A1 = (−9,−2) e A2 = (15,−2),
Focos: F1 = (3−
√
135,−2) e F2 = (3 +
√
135,−2).
(b) Elipse,
Centro: C = (−3, 2)
Vértices da reta focal: A1 = (−15, 2) e A2 = (9, 2)
Focos: F1 = (−3−
√
135, 2) e F2 = (−3 +
√
135, 2)
(c) Hipérbole,
Centro: C = (−3,−2)
Vértices da reta focal: A1 = (−15,−2) e A2 = (9,−2)
Focos: F1 = (−3−
√
153,−2) e F2 = (−3 +
√
153,−2)
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(d) Hipérbole,
Centro: C = (3, 2)
Vértices da reta focal: A1 = (−9, 2) e A2 = (15, 2)
Focos: F1 = (3−
√
153, 2) e F2 = (3 +
√
153, 2)
(e) Elipse,
Centro: C = (2,−3),
Vértices da reta focal: A1 = (2,−15) e A2 = (2, 9),
Focos: F1 = (2,−3−
√
135) e F2 = (2,−3 +
√
135).
(f) Elipse,
Centro: C = (−2, 3)
Vértices da reta focal: A1 = (−2,−9) e A2 = (−2, 15)
Focos: F1 = (−2, 3−
√
135) e F2 = (−2, 3 +
√
135)
(g) Hipérbole,
Centro: C = (−2,−3)
Vértices da reta focal: A1 = (−2,−15) e A2 = (−2, 9)
Focos: F1 = (−2,−3−
√
153) e F2 = (−2,−3 +
√
153)
(h) Hipérbole,
Centro: C = (2, 3)
Vértices da reta focal: A1 = (2,−9) e A2 = (2, 15)
Focos: F1 = (2, 3−
√
153) e F2 = (2, 3 +
√
153)
(i) Nenhuma das demais opções de resposta
Resolução:
9x2 + 144y2 − 54x+ 576y = 639
⇒ 9x2 − 54x+ 144y2 + 576y = 639
⇒ 9(x2 − 6x) + 144(y2 + 4y) = 639
⇒ 9(x2 − 6x+ 9)− 81 + 144(y2 + 4y + 4)− 576 = 639
⇒ 9(x− 3)2 + 144(y + 2)2 = 639 + 657
⇒ 9(x− 3)2 + 144(y + 2)2 = 1296
⇒ (x− 3)
2
144 +
(y + 2)2
9 = 1
Logo, a cônica é uma elipse, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (3,−2)
• Eixo focal: y = −2
• a = 12
• b = 3
• c =
√
a2 − b2 =
√
144− 9 =
√
135
• Vértices da reta focal:
A1 = (3− 12,−2) = (−9,−2)
A2 = (3 + 12,−2) = (15,−2)
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• Focos:
F1 = (3−
√
135,−2)
F2 = (3 +
√
135,−2)
Resposta: (a)
Variação com outra equação de uma cônica:
9x2 + 144y2 + 54x− 576y = 639
Resolução:
9x2 + 144y2 + 54x− 576y = 639
⇒ 9x2 + 54x+ 144y2 − 576y = 639
⇒ 9(x2 + 6x) + 144(y2 − 4y) = 639
⇒ 9(x2 + 6x+ 9)− 81 + 144(y2 − 4y + 4)− 576 = 639
⇒ 9(x+ 3)2 + 144(y − 2)2 = 639 + 657
⇒ 9(x+ 3)2 + 144(y − 2)2 = 1296
⇒ (x+ 3)
2
144 +
(y − 2)2
9 = 1
Logo, a cônica é uma elipse, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (−3, 2)
• Eixo focal: y = 2
• a = 12
• b = 3
• c =
√
a2 − b2 =
√
144− 9 =
√
135
• Vértices da reta focal:
A1 = (−3− 12, 2) = (−15, 2)
A2 = (−3 + 12, 2) = (9, 2)
• Focos:
F1 = (−3−
√
135, 2)
F2 = (−3 +
√
135, 2)
Resposta: (b)
Variação com outra equação de uma cônica:
9x2 − 144y2 + 54x− 576y = 1791
Resolução:
9x2 − 144y2 + 54x− 576y = 1791
⇒ 9x2 + 54x− 144y2 − 576y = 1791
⇒ 9(x2 + 6x)− 144(y2 + 4y) = 1791
⇒ 9(x2 + 6x+ 9)− 81− 144(y2 + 4y + 4) + 576 = 1791
⇒ 9(x+ 3)2 − 144(y + 2)2 = 1791− 495
⇒ 9(x+ 3)2 − 144(y + 2)2 = 1296
⇒ (x+ 3)
2
144 −
(y + 2)2
9 = 1
Logo, a cônica é uma hipérbole, que tem os seguintes elementos:
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• Centro: C = (−3,−2)
• Eixo focal: y = −2
• a = 3
• b = 12
• c =
√
a2 + b2 =
√
9 + 144 =
√
153
• Vértices da reta focal:
A1 = (−3− 12,−2) = (−15,−2)
A2 = (−3 + 12,−2) = (9,−2)
• Focos:
F1 = (−3−
√
153,−2)
F2 = (−3 +
√
153,−2)
Resposta: (c)
Variação com outra equação de uma cônica:
9x2 − 144y2 − 54x+ 576y = 1791
Resolução:
9x2 − 144y2 − 54x+ 576y = 1791
⇒ 9x2 − 54x− 144y2 + 576y = 1791
⇒ 9(x2 − 6x)− 144(y2 − 4y) = 1791
⇒ 9(x2 − 6x+ 9)− 81− 144(y2 − 4y + 4) + 576 = 1791
⇒ 9(x− 3)2 − 144(y − 2)2 = 1791− 495
⇒ 9(x− 3)2 − 144(y − 2)2 = 1296
⇒ (x− 3)
2
144 −
(y − 2)2
9 = 1
Logo, a cônica é uma hipérbole, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (3, 2)
• Eixo focal: y = 2
• a = 3
• b = 12
• c =
√
a2 + b2 =
√
9 + 144 =
√
153
• Vértices da reta focal:
A1 = (3− 12, 2) = (−9, 2)
A2 = (3 + 12, 2) = (15, 2)
• Focos:
F1 = (3−
√
153, 2)
F2 = (3 +
√
153, 2)
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Resposta: (d)
Variação com outra equação de uma cônica:
144x2 + 9y2 − 576x+ 54y = 639
Resolução:
144x2 + 9y2 − 576x+ 54y = 639
⇒ 144x2 − 576x+ 9y2 + 54y = 639
⇒ 144(x2 − 4x) + 9(y2 + 6y) = 639
⇒ 144(x2 − 4x+ 4)− 576 + 9(y2 + 6y + 9)− 81 = 639
⇒ 144(x− 2)2 + 9(y + 3)2 = 639 + 657
⇒ 144(x− 2)2 + 9(y + 3)2 = 1296
⇒ (x− 2)
2
9 +
(y + 3)2
144 = 1
Logo, a cônica é uma elipse, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (2,−3)
• Eixo focal: x = 2
• a = 12
• b = 3
• c =
√
a2 − b2 =
√
144− 9 =
√
135
• Vértices da reta focal:
A1 = (2,−3− 12) = (2,−15)
A2 = (2,−3 + 12) = (2, 9)
• Focos:
F1 = (2,−3−
√
135)
F2 = (2,−3 +
√
135)
Resposta: (e)
Variação com outra equação de uma cônica:
144x2 + 9y2 + 576x− 54y = 639
Resolução:
144x2 + 9y2 + 576x− 54y = 639
⇒ 144x2 + 576x+ 9y2 − 54y = 639
⇒ 144(x2 + 4x) + 9(y2 − 6y) = 639
⇒ 144(x2 + 4x+ 4)− 576 + 9(y2 − 6y + 9)− 81 = 639
⇒ 144(x+ 2)2 + 9(y − 3)2 = 639 + 657
⇒ 144(x+ 2)2 + 9(y − 3)2 = 1296
⇒ (x+ 2)
2
9 +
(y − 3)2
144 = 1
Logo, a cônica é uma elipse, que tem os seguintes elementos:
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica I AP1 1/2021
• Centro: C = (−2, 3)
• Eixo focal: x = −2
• a = 12
• b = 3
• c =
√
a2 − b2 =
√
144− 9 =
√
135
• Vértices da reta focal:
A1 = (−2, 3− 12) = (−2,−9)
A2 = (−2, 3 + 12) = (−2, 15)
• Focos:
F1 = (−2, 3−
√
135)
F2 = (−2, 3 +
√
135)
Resposta: (f)
Variação com outra equação de uma cônica:
9y2 − 144x2 + 54y − 576x = 1791
Resolução:
9y2 − 144x2 + 54y − 576x = 1791
⇒ 9y2 + 54y − 144x2 − 576x = 1791
⇒ 9(y2 + 6y)− 144(x2 + 4x) = 1791
⇒ 9(y2 + 6y + 9)− 81− 144(x2 + 4x+ 4) + 576 = 1791
⇒ 9(y + 3)2 − 144(x+ 2)2 = 1791− 495
⇒ 9(y + 3)2 − 144(x+ 2)2 = 1296
⇒ (y + 3)
2
144 −
(x+ 2)2
9 = 1
Logo, a cônica é uma hipérbole, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (−2,−3)
• Eixo focal: x = −2
• a = 12
• b = 3
• c =
√
a2 + b2 =
√
144 + 9 =
√
153
• Vértices da reta focal:
A1 = (−2,−3− 12) = (−2,−15)
A2 = (−2,−3 + 12) = (−2, 9)
• Focos:
F1 = (−2,−3−
√
153)
F2 = (−2,−3 +
√
153)
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ
Geometria Anaĺıtica I AP1 1/2021
Resposta: (g)
Variação com outra equação de uma cônica:
9y2 − 144x2 − 54y + 576x = 1791
Resolução:
9y2 − 144x2 − 54y + 576x = 1791
⇒ 9y2 − 54y − 144x2 + 576x = 1791
⇒ 9(y2 − 6y)− 144(x2 − 4x) = 1791
⇒ 9(y2 − 6y + 9)− 81− 144(x2 − 4x+ 4) + 576 = 1791
⇒ 9(y − 3)2 − 144(x− 2)2 = 1791− 495
⇒ 9(y − 3)2 − 144(x− 2)2 = 1296
⇒ (y − 3)
2
144 −
(x− 2)2
9 = 1
Logo, a cônica é uma hipérbole, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (2, 3)
• Eixo focal: x = 2
• a = 12
• b = 3
• c =
√
a2 + b2 =
√
144 + 9 =
√
153
• Vértices da reta focal:
A1 = (2, 3− 12) = (2,−9)
A2 = (2, 3 + 12) = (2, 15)
• Focos:
F1 = (2, 3−
√
153)
F2 = (2, 3 +
√
153)
Resposta: (h)
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ