AD2_GA1_2021_1_Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Anaĺıtica I
2a Avaliação a Distância
1o Semestre de 2021
Código da disciplina: Matemática, Engenharia de Produção e Engenharia Mete-
reológica EAD 01052
F́ısica EAD 01078
Questão 1 [2,5 pontos] Questão 1: Considere a reta r que passa por P = (6, 4) e é paralela ao
vetor −→u = (2,−1). Considere também um triângulo ABC retângulo em A = (2, 1), cujos vértices
B e C pertencem à reta r. Sabendo que Proj−→u
−−→
AB = 2−→u , encontre B e C, e faça um esboço que
contemple todos os elementos mencionados no enunciado.
Resolução:
Como r passa pelo ponto P = (6, 4) e é paralela ao vetor −→u = (2,−1), podemos escrever suas
equações paramétricas da seguinte forma:
r :
{
x = 6 + 2t
y = 4− t , onde t ∈ R.
Como B ∈ r, existe um t ∈ R tal que
B = (6 + 2t, 4− t), (1)
o que implica que
−−→
AB = (4 + 2t, 3− t).
Além disso,
Proj−→u
−−→
AB = 2−→u ⇐⇒ 〈−−→AB ,−→u 〉 = 2||−→u ||2.
Assim,
2(4 + 2t)− (3− t) = 2(4 + 1)⇐⇒ t = 1.
Substituindo o valor de t na descrição das coordenadas do ponto B, em 1, encontramos B = (8, 3).
Note que, como ABC é um triângulo retângulo em A, então os vetores
−−→
AB e
−−→
AC são perpen-
diculares. Isso implica que 〈
−−→
AB ,
−−→
AC 〉 = 0. Como encontramos B anteriormente, temos que
−−→
AB = (6, 2). Vamos agora encontrar −−→AC .
Note que C ∈ R, então existe um s ∈ R tal que
C = (6 + 2s, 4− s), (2)
o que implica que
−−→
AC = (4 + 2s, 3− s).
Sendo assim,
〈
−−→
AB ,
−−→
AC 〉 = 0⇐⇒ 6(4 + 2s) + 2(3− s) = 0⇐⇒ s = −3.
Substituindo o valor de s na descrição das coordenadas do ponto C, em 2, nos leva à C = (0, 7).
O esboço pedido pode ser encontrado na figura 1:
Geometria Anaĺıtica I AD1 1/2021
Figura 1: Triângulo da questão 1.
Questão 2 [4,0 pontos] Considere uma elipse E1 cujos elementos satisfazem as seguintes condições:
• Os vértices do eixo focal e do eixo não focal formam um losango cuja diagonal menor é um
segmento paralelo ao eixo OX que mede 8 unidades de comprimento.
• O ponto médio da diagonal maior é o ponto (-2,3).
• Os focos e um dos vértices do eixo não focal formam um triângulo isósceles cujos lados iguais
medem 7 unidades de comprimento, cada um.
(a) [1,5 ponto] Determine a equação reduzida de E1, seu centro, os vértices do eixo focal, os
vértices do eixo não focal, as equações dos eixos focal e não focal e a excentricidade. Justifique
suas respostas em função dos dados do problema e os conceitos relacionados a uma elipse.
Atenção: Respostas sem justificativa, nem cálculos, se for o caso, não serão consi-
deradas integralmente.
(b) [1,5 ponto] Identifique a cônica E2 representada pela equação geral a seguir, determine sua
equação reduzida, seu centro, os vértices do eixo focal, os vértices do eixo não focal, as
equações dos eixos focal e não focal e a excentricidade.
16x2 + 49y2 + 64x− 294y − 279 = 0
(c) [1,0 ponto] Apresente um esboço das cônicas E1 e E2 contendo todos os seus elementos,
incluindo as retas correspondentes aos eixos focais e não focais.
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Resolução:
a) • Centro: C = (−2, 3), pois as diagonais do losango estão sobre os eixos focal e não focal e
o ponto médio coincide com a interseção dessas retas,
• a = 7, a soma das distâncias dos focos a um dos vértices não focais, que está sobre a
elipse, é igual a 14 e este valor é dobro de a,
• b = 4, que é a metade do comprimento da diagonal menor do losango, que está sobre o
eixo não focal,
• c =
√
a2 − b2 =
√
49− 16 =
√
33
• excentricidade: e = c
a
=
√
33
7 ,
• Eixo não focal: y = 3, visto que a diagonal menor, que é paralela a OX, está sobre o eixo
não focal,
• Eixo focal: x = −2, pois contém o centro é perpendicular ao eixo não focal,
•
(y − 3)2
49 +
(x+ 2)2
16 = 1,
em função dos valores do a e b, das coordenadas do centro, do eixo nao focal ser paralelo
ao eixo OX e, consequentemente, do eixo focal ser paralelo ao eixo OY,
• Vértices do eixo focal:
A′1 = (−2, 3 + 7) = (−2, 10)
A′2 = (−2, 3− 7) = (−2,−4)
• Vértices do eixo não focal:
B′1 = (−2− 4, 3) = (−6, 3)
B′2 = (−2 + 4, 3) = (2, 3)
• Focos:
F ′1 = (−2, 3 +
√
33)
F ′2 = (−2, 3 +
√
33).
b)
16x2 + 49y2 + 64x− 294y − 279 = 0
⇒ 16x2 + 49y2 + 64x− 294y = 279
⇒ 16(x2 + 4x) + 49(y2 − 6y) = 279
⇒ 16(x2 + 4x+ 4)− 64 + 49(y2 − 6y + 9)− 441 = 279
⇒ 16(x+ 2)2 + 49(y − 3)2 = 279 + 505
⇒ 16(x+ 2)2 + 49(y − 3)2 = 784
⇒ (x+ 2)
2
49 +
(y − 3)2
16 = 1
Logo, a cônica é uma elipse, que tem os seguintes elementos:
• Centro: C = (−2, 3)
• a = 7,
• b = 4,
• c =
√
a2 − b2 =
√
49− 16 =
√
33
• excentricidade: e = c
a
=
√
33
7 ,
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• Eixo focal, paralelo a OX: y = 3,
• Eixo não focal, paralelo a OY: x = −2,
• Vértices do eixo focal:
A′′1 = (−2− 7, 3) = (−9, 3)
A′′2 = (−2 + 7, 3) = (5, 3)
• Vértices do eixo não focal:
B′′1 = (−2, 3− 4) = (−2,−1)
B′′2 = (−2, 3 + 4) = (−2, 7)
• Focos:
F ′′1 = (−2 +
√
33, 3)
F ′′2 = (−2 +
√
33, 3)
Figura 2: Elipses da questão 2.
c)
Questão 3: [3,5 pontos] Sejam r1 :
{
x = 4 + 3t
y = 6 + 4t ∀ t ∈ R e r2 :
{
x = 4− 3t
y = −2 + 4t ∀ t ∈ R as
asśıntotas da hipérbole de foco F = (1,−8).
Encontre o centro, os vértices focais, os vértices não focais, os focos, a excentricidade, as equações
cartesianas das asśıntotas, a reta focal, a reta não focal e a equação da hipérbole. Fazer um esboço
da hipérbole indicando todos os seus elementos.
Resolução:
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Seja C = (h, k) o centro da hipérbole, então C = r1 ∩ r2.
Assim, (h, k) = (4 + 3t, 6 + 4t) para algum t ∈ R e (h, k) = (4− 3s,−2 + 4s) para algum s ∈ R,
assim as seguintes equações devem ser satisfeitas{
4 + 3t = 4− 3s
6 + 4t = −2 + 4s ⇐⇒
{
3t = −3s
4t = −8 + 4s ⇐⇒
{
t = −s
−4s = −8 + 4s ⇐⇒
{
t = −1
s = 1
Portanto, C = (h, k) = (1, 2).
Para encontrar a reta focal, observemos que ela contém o centro C e o foco F, assim a reta focal
é dada pela equação x = 1, e é paralela ao eixo OY. Desde que a reta não focal é perpendicular à
reta focal e passa pelo centro C, temos que a reta não focal tem por equação y = 2, e a equação
da hipérbole é da forma:
(y − 2)2
a2
− (x− 1)
2
b2
= 1
onde as asśıntotas têm equação
ax− by − a+ 2b = 0 e ax+ by − a− 2b = 0
as quais tem por vetores paralelos múltiplos dos vetores (b, a) e (b,−a) respectivamente e comparando
com os vetores paralelos das retas r1 e r2. Podemos disser que
(b, a) = λ(3, 4)
para algum λ ∈ R, assim, a = 4λ > 0 e b = 3λ > 0.
Desde que c = d(C,F ) = 2 + 8 = 10 ⇐⇒ c = 10 e c2 = a2 + b2, então
102 = (4λ)2 + (3λ)2
100 = 25λ2
λ = 2 =⇒ a = 8 e b = 6.
Assim, temos os seguintes:
Centro: C = (1, 2)
Vértices focais: A1 = (1,−6) e A2 = (1, 10)
Vértices não focais: B1 = (−5, 2) e B2 = (7, 2)
Focos: F1 = (1,−8) e F2 = (1, 12)
Reta focal: x = 1
Reta não focal: y = 2
Excentricidade e = c
a
= 108 =
5
4
Equação Cartesiana das Asśıntotas: 4x− 3y + 2 = 0 e 4x+ 3y − 10 = 0
A equação da hipérbole é
(y − 2)2
64 −
(x− 1)2
36 = 1
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Figura 3: Hipérbole da questão 3.
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