Eng._MARCO_STIPKOVIC_FILHO

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Eng. MARCO STIPKOVIC FILHO 
PIoL Ph:no do DcplO . de J\kcinlc~ da 
1-:5<:01.1 d~ Engenharia Mauá 
Prol: 	Tllul;tr Ol' Elemenlo~ lIc Máquina' do 
E~~ola de Eng.:nharaJ ~Lckenzlc 
ProL Regl:nle d~ MáqUinas Op('rulrizc~ da 
Facu ldade L1~ Engenharia F .. \.r\.P. 
Prol'. Tilul~r de Projtdl1 L1c J\!;iquin,l' .lil 
l~uld3d.: de Tc(nologia de São Paulo (FATt:C) 
ENGRENAGENS 
GEOMETRIA 
DIMENSIONAMENTO 
CONTROLE 
GERAÇÃO 
, 
• , ,.. ~~ AC':"",eITn 
• 
NEW-YORK ·sr. LOUIS ·SAN FRANCISCOsÃo PAULO 
AUCKLANO·BOGOTA·DÜSSELDORF'JOHANNESBURGRIO DE JANEIRO 
BELO HORIZONTE I<UALA LUMPUR· LONDON ·MADRID .,...E:l(lCO 
PORTO ALEGRE 
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RECIFE 
PERNAMBUCO 
Impresso no Br~i1 
Prinfl'd in BrClzil 
Prefácio 
A realização deste trabalho teve como objetivo maior dar 
atendImento técnico e didático ao estudo especifico das engrenagens 
e suas apltcações. 
Originou-se de experiencl3S vivIdas no âmbito do magistério. no 
desenvolvimento profJSS.ionaJ ligado aos projetos de sistemas engrenados 
e apoiado em obras de autores consagrados citados bibliograficamente. 
Longe de caracterizar-se como um tratado sobre a matéria, tem 
modesta pretensão de contribUir na fonnação. em nlvel técnico-superior 
dos estudantes de engenharia e de escolas técnicas, auxUíando-os, até 
mesmo, em suas futuras atividades prolissionais. 
Aborda, em linhas gerais, problemas relativos a geometria do 
engrenamento, aspectos de seu d.tmensionamento, J tecnologia de sua 
geração e os recursos utilizados em seu controle. 
Finalmente tomo extensivo meus agradecimentos a todos que, 
direta ou indiretamente, contriburram para concretização desta obra. 
o AUTOR 
Sumário 
CAPJTULO I 
Conceitos Básicos ..... . . .... . . .. . .... .. .. ... . .. .. . .. 1 
I . Ti pos de Transmissões engrenadas . . ......... . ..... .. ... .. I 
2. Lei do Engrenamento . . . . ..... . . . .. . .. .. . .... . ... •. . . I 
3. Linha de Engrenamento . .. . . . . . . . . . . . . • . . • • . . • . • . . • • . . 3 
CAPfTULO 11 
Engrenagens CiHndricas de Dentes Retos . . . . .... . .......... 7 
1. Características geométricas ( Formulário) .. . . .. . . ..... . ... .. 7 
2. Correção de engrenagens . . . . . .. ... . . . . . . . .. .. . • . • • •.. 9 
3. Grau de recobrimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . • • • . • 12 
4. Forças no engrenamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 
5. Distribuição dos esforços do engrenamento sobre eixos e mancais . . 17 
6. Dimensionamento Engrenagens cil índricas de dentes retos 21 
6.1 - Dimensionamento pelo critério de pressão . .. . . . . . . . . . . .. 22 
6.2 - DImensionamento pelo criténo de resistência .. ... ....... 26 
7. Módulos normalizados . .• . , . • . . . . . . . • . 31 
CAPfTU LO 1\ \ 
Engrenagens Cilíndricas de Dentes delicoidais . . . . . ... . . . ... . . 32 
I. Caracterisl1cas geométncas (Formulário) • . .. .. .. .. .. .... •... 32 
2. Numero Z/I de dentes tomados na normal •. •• . . . •.•••.. . ••.• 34 
3. Grau de recobrimenLo . . . . • . . . • . .. .. . .. . . •• .... .• . .. . . 3S 
4. Esforços no engrenamenLo (Engrenagens cilíndricas helicoidais) . . . • . 37 
5 Distribuição dos esforços do engrenrunento sobre elXOS e mancais . . . 39 
6. Dimensionamento de engrenagens cilinuricas helicoidais. . . . . . . . .. 40 
6.1 - Critério de pressão ..... . .' . . . . . . . . .. . . . . . .... . . . 41 
6.2 - Critério de resistência . . . • . . . • . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41 
CAPJTULO IV 
Engrenagens Cônicas de Dentes Retos •• ....... • ... .. .•... . , 43 
1. Características geométricas I,Formulário) ... . . .•• . . . • .. • . . . .. 43 
2. Forças no engrcnamen ro •... . , . . . • • . • . . . . • • • . . . . . . . . . .. 48 
3. Distribuic;ão de esforços sobre eixos e mancais . .• . . . . . . . • . . . •. 49 
4. Dimensionamento das engrenagens cônicas de dentes reios , ... . . •. 5I 
4, J - Critério de pressão • . . . •••. . . . . , .. . .. .... .•.. . .. 51 
.1 - Critério de resistência . .. .. .. •. . ....•. ... • ... . .... , 51 
CAPrTUlO v 
Trammissào Curoa- Parafuso Sem Fim ... .. .. . ..•....•..... 53 
I . Cnracteristicas geométricas (Formulário) ... . . . . .. .. . ....... . 53 
~ . Grau de recobrimento médio d0 engrenamcnto cOroa sem fim ..• 55 
3. Número minimo de dentes ..... . .. . . . . . . ....•.. . ... . . .. 56 
4. Correção ue dentes .............. . . . . ..•. . •.. . . .. . . . .. 5ó 
5. Esforços no engrenamento coroa sem lim ... . ...••. . . . . " . . . 57 
h. Distribuição dos esforços sobre os mancais c eiXLlS ..•..• 58 
7. Oimeusionamento ue engrenamenlO coroa·sem fi m , .... . .. .. . 59 
7.1 - Determinação do torque no eixo do parafuso sem fim ..•. 59 
7. :!. - Estabelecimento ua relação dc multiplicação ..... . 60 
7.3 - Fixaçãu do número de entradas do parafuso sem fim .. .. , , . 60 
7.4 - Definição do número de uCnles para a coroa , . . ..... . 60 
7.5 - Fixação da disLância entre centros .. .. , ' , . . , , . , . . , 60 
7.6 - SeJcçãl) UOS materÍ3is para corOa e sem fim ..•. . . " . . . . . 6 1 
7.7 - Fix.açàQ da tells:Jo ou pressão de contato ....•. . . ... , . . . 6~ 
7.8 - Fixação de caracterisllcas búsicas do sem fim . , . , . .. . " . . . 63 
7.9 	 - Determinação do rendimenlll par coroa-scm fim •.. . , . . .. . 64 
. 10 - Determinação da veloCIdade peri rérlca da coroa .. ' , . , . " " . . 65 
7. 11 - Determina~'ão da velocidade de deslizamento entre 
coroa-sem Iim .••...........•.......•...... . ... 65 
7. 12 - Verificação dJ corou ,:i Resistencia ......... . " . . .... ,. {)b 
. 13 - Cálculo da superfície de troca de éal or ou de refrigeração 
ôo par coro:j·sem fim (Redutores de velocidade) ........ . 66 
8. ExercíCIOS de aplicação ... , ...... , .••.......••. . , . . .. . . 68 
8.1 -	 Engrenagens cil índricas retas ............. . . ........ . 68 
8.2 -	 Eugrcnagem ctlíndrica helicoidal ... _ . •.•..• . . , . • . . .. .. 7 1 
8.3 -	 Engrenagens cônicas de dentes retos •...... . ••..•.. . •.. 7-+ 
8.4 - Transmissão coroa parafuso .sem 11m . . ................ . 76 
CÃprTULO VI 
Controle de Engrenagens , ............... . _ . . . , . . . . . . . . . 81 
I . COlIsíderações sobre o controle das engrenagens .....•..••.••.. 81 
1.1 - Câlibrc de duplo cursor para engrenagens .• . ' .......... 81 
1.2 -	 A evolvente de circulo •.....•.•...•.•. . .........•. 84 
1.3 -	 Micrômetro de discos para medida It' .. . . . .. . ....•.•..• 88 
1.5 - Detenninação da medidil 11' para engrenagens cil indricas com 
IA - Determinação d:l medida cOlda (IV) para a engrenagem cilíndrica 
ue dentes relos ..........•........•.... . ..•. , ... 00 
dentes helicoidais . .. ... . ..• , . , • • . . . • • . . • . • • • . . • .. 9 
2. Controle de engrenagem cilindrica através de roletes calibrados . . • •. 101 
2.1 -	 Controle da rouü cilíndrica com dentes retos no lado externo; 
perfil a evolventecom número par de dentes e com dois coletes .. 10 t 
2.2 - Control\! de engrenagem cil índrica de dentes relOS ex lern:llllen te ! 
com número ímpa.r de denlt!s e com dOIS roletes •...• . . . .. 1O-t 
2.3 - Controle da engrenugem cil indricu com dentes retos externamellte 
com número ímpar de L1ellles e com lrés roletes . •...•. , 105 
2.4 - Controle de engrenagem cíl imlrica com dentes re lOS in ternos com 
números par de den tes e com dOIS roletes .••. . ....•. , ... t05 
2.5 -	 Controle de engrenagem cilíndrica de dentes retos internos com 
número ímpar de den tcs e com dois ruletcs •••.•••.. . . . _ . 107 
~ .6 - Controle de engrenagem cllindrica com dentes hc:licoidais exter­
narmeme. com número par ue dentes e com dOIS roletes . . . . .. 107 
2.7 - Controle da engrenagem cilíndrica com dentes helicoidais exter­
namente com nÚmerí) ímpar de uentes e com dois roleles . . . .. 110 
3. Medida do p3SS0 •••••••••••••• , ... . . . . . . . ..... .. . . .. lia 
3. 1 -	 .'\parelho de medi'ião meC:llllc;J ..•••.••. . ' . . . . • • . . • • • .• 110 
CAPrTUlO VII 
Geração de Engrenagens . . . ... . . . . .•.. . .. . . ... .. . ...... 113 
I . Corte do dente com fresa de forma .. .. ..... . ...........•.. 113 
2. Corte ue dentes por geraçãll ..... , ..... ... . .•.••..••.••• 114 
.3 . Engrenagem de den tes rc tos . . ..•... . ... . .. .. .. . . . .. . . . .. 117 
4 . Engrenagem dlindrica helicoidal (Fellows) . . , .. .. .. . . .. , . .. . . I~O 
5 Geração com cremai hei ra de corte (Maag) . . .. . .. "" ' . . ... . • . 121 
6. i\ Cremalheira de corte , . . . . . .. . .. .. . . .. . 1~3 
7 Geraçâu com sem·l1m cortador ou caracol de corte .. . . , . .. . •.. . 127 
~ . Características do cortador caracol. . .... . • .. ... . . .. . 128 
9. Geração de coroas parJ trabalho acoplado com roscas sem-fim . .. ,. 132 
9 .1 - Filetes Irapezoldms .. . , .... . . .. . .. . . . ..• ... 132 
9 . ~ - Ftlelcs gerados por um tronco de cone de revolução .. . . , ..• 133 
9.3 - f-i1eles de superncies helicoidaIS desenvolvidas (Helicóide) .•... 133 
9.3.1 . - Com avanço radial . . . , . . .. . • , . . . . .... . 134 
9 .3.2 , - Com avanço tilngenclal . ' . . . • . .. . • ' . .. , . .. . . . 135 
CAPíTULO I 
CONCEITOS BÁSICOS 
.1 - TlPOS DE TRANSMISSÕES ENGRENADAS: 
Quando se pretende fixar num projeto de transmissão engrenada um 
detenninado tipo de engrenamento, entre as diferentes formas COnstrutivWi exis­
tentes, é necessário que se considere claramente as condições de funcionamento, 
a adequação da melhor disposição construtiva e, ainda avaliar seu custo aproxi­
mado comparando-o a priori, com outras possíveis soluções. 
A pnmeua distinção que se pode fazer é relativa ao posicionamento 
de seus eixos, ass.im sendo. temos: 
engrenagens com eixos paralelos. 
- engrenagens com elXOS que se cortam. 
- engrenagens com eixos que se cruzam. 
Cada qual, naturalmente, atenderá determinadas faixas de potênctas, de 
velocidades e relações de multiplicação. 
Os quadros representados por (I), (11) e (UI) nos orientarão mais clara· 
mente sobre os diferentes tipos existentes. 
2 - LEI DO ENGRENAMENTO: 
A relação das velocidades angulares w. e W2 das rodas L e 2 é chama­
da de relação de multiplicação. e expressa por: 
W. /I. 
"'~ = 17l 
Onde, n. c nl são respeclivamente as rotações dos eixos da roda 1 e 2. 
Essas rodas dentadàs giram em torno dos centros O. e O2 • de tal for­
ma que seus flancos se tocam continuadamente (ver figo 1). 
A roda dentada 1 gira com velocidade angular Wl e, no ponto de con­
tato B dos flancos, transfere à roda dentada 2 uma velocidade angular instan­
tãnea W2 
2 ENGRENAGENS 	 [Cap. l 
Fig. 1 
"q".//':\ , 
o, /.' 
,// r2 
.;r-- __ O2~1:_ .~ _ 
.:.2.---- -;:==::::­"l~"./~ , fi 	 ><.,/ 
,7/ / '-·..... w2 
RELAÇÕES DE VELOCIDADE 
CHAJ\lIANDO DE 17 a tangente comum aos flancos no ponto 8. NN 
a normal comum também em 8 e. respectivamente QI e Ql as distâncias de 8 
li OI e O2 e gl e g2 as normais a Nfl desde OI e O,. a velocidade instantânea 
das rodas dcntad1l.'l I e 2 em B será: 
VI = '-'I • ~I 
e 
V2 =w, . Q2 
Projetando-as 	nas direções da tangente e normal comuns, teremos: 
CI 81 C2 g,eVI =1'; V, =1;" 
Sendo admitido que as codas dentadas se tocam continuadamente, de­
ve-se fazer CI == C2 ; portanto: 
gl - " 81V1- - '2­~I Ql 
ou ainda: 
81 n g,QWI I ~ = W2 "2 Q2 
ou seja: 
'-'Igl = W2g1, 
de onde: 
w.1 , e g1 
'-'l gl 
Cap. lJ Conceilos básicos 	 3 
Por semelhança de triângulos. temos: 
'I 81r;: == g2 ' 
concluindo-se, portanto que: A relação de ' multiplicação I pode ser expressa por: 
i = ~ = .!!.L = !2. = g2 
'-'2 fll 	 'I gl 
Assim. sendo. a lez do engrellamento poderá ser enunciada da seguinte forma. 
DWlS curvas quaisquer podem ser admitidas como flancos de dentes. 
sempre que a 1I0rmal comum NN às cun'as em um panca de contato qualquer 
(8J, paw! <.'orztinuadamenre por C. chamado de pala e que diJoide o segmento 
OI e O2 na relação im'ersa das velocidades QnguLares. 
(3)- UNHA 	DE ENGRENAMENTO 
Auxiliado pela lei do engrenamento, pode-se afmnar que. um ponto 
qualquer do flanco de um determinado dente (EI ), entrará em contato com 
um outro ponto (E-z) do outro flanco (contra flanco), quando a noonal comum 
a esses flancos passar por C (fig. 2) 
A linha de engrenamento é o "lugar geométrico de todos os pontos 
de engrenamento de um par de flancos em contato", 
De acordo com essa afirmação é possível. dado um dos flancos e mais 
os círculos primitivos I e 2, construir geometricamente por sucessão de pontos 
a linha de engrenamento e o contra flanco (2), como ilustra a figo 2, 
"tf10 
.' 
t."CI"'~ 
,-\,,\l~ 
-
,lia' oJ.fl-"""111 J 
""" ,,11'4 ". 
"'-, 
'l.cu~,(·r"C':
,,1"" t'''· 
ríg.2 I 
DESIGNAÇÃO DESENHO POSiÇÃO 
DE EIXO OBSERVAÇÕES 
DENTES RETOS 
PARALELOS 
DENTES 
INCU ADOS 
PARALELOSHELlCOI DAL) 
CREMALHEIRA 
PARALELOS 
POSIÇÃODESIGNAÇÃO DESENHO DE EIXO 
ENGRENAGENS CRUZADOSCILf DRlCAS 
DENTES 
HEUCOIDAJS 
CORTAM-SEDENTES RETOS 
DENTES CORTAM-SEINCLINADOS 
Podem ser montadas COm Um 
ou mais pare engrenados. 
A relação de tran:;missão 
máxima por par não deve 
e ceder a J : 8. 
Podem transmitir potências 
da ordem de 20 000 - 2S 000 CV 
Com velocidades tangenciais 
de até 150 ~OO m/s. 
Apresentam alto rendimento 
95- 99%. 
.OBSERVAÇÕES 
Utilizada para transmitir 
pequenas potências e pequenas 
distâncias de centro a centro. 
Apresentam rendimentos 
próximos das engrenagens 
cilíndricas helicOIdais e 
aplicam-se para relação de 
multiplicação dE: até 1 : 5 
São empregada nos casos 
de necessidade de cruzamento 
de eixos. 
Atingem relações de 
multiplicação até 1 : 6 
Às vezes são mon Lados no 
sistema engrenado com outros 
pares de engrenagens cilíndricas 
retas. 
Para melhorar a capacidade 
de carga e ainda o rendimento, 
atenuando o problema de 
roído, utilizam-se de dentes 
espiraIS ou hipOldais 
(com deslocamemo). 
O seu rendimento é comparável 
às engrenagens cilíndricas. 
o 
C 
» 
C 
J:J 
O 
= 
~ 
li 
s
.. 
s: 
B
.. 
DESIGNAÇ-O 
DESIGNAÇÃO 
DENTEs 
CIl ESPIRAIS 
-< ~ 
Z 
-O 
u 
CIl 
Z 
tl.I () 
-<
Z 
~ 
c.:> 
z DENTESUJ 
HIPOlDAIS 
ENGRENAGENS 
COROA / SEM FJM 
DESENHO 
DESENHO 
CORTAM E 
REVERSOS 
ou 
COM DES· 
LOCAMENTO 
CRUZADOS 
r\nonn" ... ~r\""'" 
OBSERVAÇÕES 
São empregados nos casos 
de necessidade de cruzamento 
de eixo. 
ALmgem relações de 
multiplicação até 1 : 6. 
As vezes são mon tadas em 
sistemas engrenado com 
outros pares de engrenagens 
cilíndricas retas. 
Para melhorar a capacidade 
de carga e ainda o rendimento 
atenuando o problema de ruído 
utilizam-se de dentes espiraisou hipoidais (com 
de locamento). 
O seu rendimento é comparável 
às engrenagens cilindncas. 
Empregam-se para relações 
de transmissões, em um só par, 
variando de I : 10 até 1 : 100. 
Apresentam baixos rendimentos 
variando de 45% até 95%. 
Podem transnutir potências 
até 1000 CV com velocidades 
tangenciaj máXimas de 
60-70 m/sego aproximadamente. 
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8 ENGRENAGENS [Cap. 2 
Denominação Símbolo Fórmula 
dNúmero de dentes Z Z =....!Lm 
Módulo lo d·m m=­ ou m =­ ;:011' 
Passo ( 1J)
-,. 
lo = lo lo ::; m • 11' 
Espessura no primitivo $0 =$0 - to So =2 (com f~ de flanco nula) 
Vão entre dentes no ~::;2u lo to primitivo =2 (com r~ de flanco nula) 
Diâmetro primitivo do do =m·:: ou d _ 2· ao 
-
OI - (i + I) 
d +d 
Distância entre centros ao a ::; OI °2 jZI +Z2)° 2 - - -2--' m 
Altura comum do dente h 11 =. 2m 
Altura da cabeça do dente 
o:c'1 ~ C\-v.J...) 
hk hk =m 
~ra do p6 do dente 
'c1.J 
h, Ir, :: 1,2 • m 
~ 
~ .. 
Altura do den}e Iv) hz ": ::; 2.2 . m 
Folga da cabeça Sk Sk = 0,2 . fi! 
Díámetro externo ou dk 
dk = do t 2 • hc ou da cabeça dk = (z t 2) • I'l 
Diâmetro do pé do dente dI di = do - 2 • hl 
Diâmetro de base dg d, ::; 40 • cos ao 
Ãngulo de preMão ao 20° 
'9Engrcn.llJ'!IIJ dlindriCl.ll de dentes ~toCap. 2) 
Símbolo F6nnulaDenominação 
• _ Z2 _ dOa _ 111 
1- - - -­Relação de transmissão Zl do n2 
I 
bLaIgura do dente 
Passo medido na linha 
de engrenamento le 
te::; to' cos ao 
_ _ E.E2 
Grau de recobrimento e t:--­te 
Nota : lndice 1 para pinhão e 2 para engrenagem ou coroa 
2 - CORREÇÃO DE ENGRENAGENS 
Nos engrenamentos a evolvente sabemos que o comportamento das en· 
cnagens com relação à. variação de centro a centro é insensível. 
A figuro 2 nos orientará mais claramente no entendimt:oto do que é a 
correção. Observa-se pela figura 3 caracterização dos deslocamentos da crema· 
lheira geradora do perfil e o reflexo que isto causa na forma geométrica do dent~___ 
positiva e negatiVII 
II 
10 	 ENGRENAGENS [Cap. 2 
A anotação pos!Uva (+ x . m) e a negativa (- x • m) detenrunam. res­
pectivamente o recuo da ferramenta (cremalheira) e o avanço da mesma. Este 
procedimento causará, naturalmente, as formas representadas na figura 2. e tem 
vitaJ importância sob o ponto de vista do dimensionamento da engrenagem. 
Sabemos, outrossim, que existem três possibilidades de engrenamento: 
engrenamento Zero 
engrenamento Vzero 
engrenamento V 
CURVA, LltllTE 
\+1 
+ 0, 5 
C) 
\~ 
c;,)o 
... 
~ 
~ 
C) 
.... 
x--+ O 
... 
C) 
~ 
C) 
... 
~ 
Lo,. 
- 0,':1 
y 
I 
I 
I 
I 1 
I 
I
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-J 
Fh:. 3 	 F. lor de corrc(ào em funç50 elo numero II ~ \lentel para 
com O:n .. 20° 
Engren.gens cilíndricas de dentes tetosCap. 21 
No engrenamento zero ocorre a condição de identidade entre o centro 
a centro te6nco e que vaJe 
m(zs + Z2) 
ao = 2 
com o centro a centro proposto, admitida folga de flanco nula. 
No engrenamento Vzero ocorre que no par engrenado as duas engrena­
gens ou engrenagem e pinhão são corrigIdas de taJ forma que, a soma algébric. 
das correções é nula. Justificam-se essas correções para atender condições de 
projeto e dimensionamento. 
No engrenamento 1', o centro a centro calculado não confere com o 
proposto. nesse caso, portanto, haverá necessidade de compensar essa diferença 
positiva ou negativa corrigmdo-se somente pinhão ou engrenagem ou até mesmo 
ambos. 
Convém lembrar que existirá uma limitação no vaJor dessa correção em 
função do número de dentes. Sabemos que, independentemente da existência ou 
não da correção, existem limitações geométricas e de geração de perfis que nos 
impõe um número mínimo de dentes para os engrenamentos a evolvente. A$ 
correções poderão alterar essa condição. Observada a figura 3 teremos essa po­
sição aclarada. A figura 3 representa uma curva que delimita a correção mál'Cima 
(positiva ou negntsva) em função do número de dentes. 
Será interessante agora que fixemos na forma da tabela n<? 2 envolvi­
mento desse problema 
Tabela n9 2 -: Fórnudtirio para perjis corrígidos 
FórmulaSímboloDenominação 
., h
Número 	mínimo de dentes 
Zg == senl- ao 'm
k 
para engrenamento a Zg para hk 	 == I . /11 e !lo == :Woevolvcntc c;om 0:0 =~Oo 
Zg == 17 
=; ~ 5/6 Zg para
Número 	minimo de hk = I . UI e !lo -= 20°dentes pr-.itico z; == 14 
Número mínimo de dentes parll Qo == 20° 
levantado em conta 0 
 e .\' 	 ::: +OAl m
·nliO 
aspecto da correção = 7 z mlI1 
-
-1 
- ----
12 ENGRENAGENS [Cap. Cap 21 EngrenagellS cilindrlC31 de dente<; ret05 13 
SímboloDenominação Fórmula 
Correção 
 ±.t" • m = ± eM±X· m 
(I) - pinhão 
x(l) ou x(2) (2) - engrenagem (coroa) 
Fator de correção 
para 11" = I . m e ao =20° 
x min X - 14 - :
min ---17­
So:= ~o =SO +(2x, In Igao) 
lo para 10 =-:; ­
Espessura do dente -
:ló =m( t + .' • x . tg ao) 
IpJ1.1 rolgôl nula no tlanco) 
Só 
al< =00 + (x, +X1)·m 
valendo para 
corrigida 
Dístâncía entre centros 
ai' 
'1 • XI +x~ ~ 0015 
.. "I +:, ~ , 
fnoml.l VIr-. 870) 
tJ > 14 
, 
(- +.,.)Engrenamenlo zero 
ao := '"I 2 '"2 • mZ1 > 14(distância entre centros) (ao = :!O0) 
(z \ + Zl) _Engrenamento Vzero =\ +=2 =28 ao := 2 • til 
(distância entre centros) 
 (ao = 20°) XI + X2 = O 
dk.< =m(zl +1+2XI ') 1 · . 
valendo para 
da cabeça 
Diãmetro externo ou 
tik\< 
., • .\"1+ ;\'1.,;::: 001­
- =, + .1, "" , :> 
inorma DlN 870) 
cioNovo ângulo de pressão tOS a", =ã; . cos aoQ",para engrenamenlo V 
_.
- - ----
. 
// 
o, 
I 
/ 
Fig. 4 - Grau de recobrimento 
3 - GRAU DE RECOBRIMENTO 
o grau de recobrimento é o número que detennina quantos pares de 
O grau de recobrimento deverá ser sempre maíoT ou igual a um (1),dentes se encontram engrenados simultaneamente. 
Com o auxílio da figura 4 será mais fácil relacionar o grau de reco­
E = E.El ;;;t ]brimento peja expressão; I~ 
lsto para não prejudicar a continuidade de moyimento no engrenamento. 
Da geometria temos; 
lO 
2 
10 
..... 
:'!i
...~ 
6 
5 
4 
3 
2 
1 9. 
1 
FítI· 5 - Dingrnma 
c:om Il'o "" 
Engrenagens clJíndlicu de dentes retos 15Cap.2114 ENGRENAGENS [c.p. 2 
Faz-se o desdobramento do grau de recobrunento em duas parcelas re­
feridas respectIvamente ao pinhão (z.) e à coroa (Z2)I~k ~ + J~k -r2 ' - Qo • sen 0:0y' I. g. 2 Ir.
*= para engrenamento normal lO • COS 0:0 EC Ele
*=. =__2 _ e *=2 
te te~ ---7 + frI -,.2' - Q~ • sen O:wj ~. g, v' KII2 g2
e=-'---'------:----"'---------- para engrenamento V. 
lO • COS 0:0 
f == fi + El -J 
Existe, entretanto, o diagrama da figura 5 que nos orienta COm respeito 
ao grau de recobrimento no engrenamento normal com 0:0 = 20°. 
4 - FORÇAS NO ENGRENAMENTO 
No dentado a envolvente, decompondo-sea força ou pressão normal Pn ' 
EJ(il) c­ cuja direção forma com a tangente às circunferências primitivas o ângulo de f 1(2)= 
\ r. 
 engrenamento (ângulo de pressão), em duns componentes, uma tangencial Pu e 
outra radial Pro passando ambas pelo ponto C~ somente a componente tangencial 
Pu transmitirá força, pois que a radial Pr não produzirá rotação alguma. ç: E,+ '2 
Utilizar-nos-emos da figura 6 para equacionar as diferentes expressões 
'llle relacionam U) C('mpllIlCl1tc~ tlu trall~lllls)ão . aS \'clllciuatles lJngcncia.is. os 
momentos e n potência transferida. 
~ , 
" '~a~ r-Qo I ao 
\ 
I / \ o,,--~­
I I ' 
I ,/ 
,--Y~ u--t-~--Tz;j---- ­0,&0 0,&5 0,10 0.7S qso 0,8S 0,9 O Q9S 
l b .1 
para dClermínaçúo do ,gnu de rc:cobrimento pllra c:ngrenarnc:nlo normal 
2no Fi Oi'~ lfjl'\Jio,'J,-, J". ""1'1[,,1)' num p~r ... n~r.:l1 ..d 
E, 
-'. 
4~ t- ­
_~~ -=--1 
-IF---+t­
------
f.NGRI:.-NAGENS 	 [üp. 2 
Fazen!lo 
Pu Corça tangencial em Kp 
p, Corça normal (atuando na linha de engrenamelllo) em Kp 
[l. foreja radial em Kp 
rv - potência em CV 
rotação em Lp.m. 
d · momento torçor em Kp • em 
velocidade tangencial em m/s 
li diâmetro primitivo em em 
a.. 	 ãngulo de pressão 
Teremos enquadradas, agora, as seguintes' expressões: 
r - Velocidade tangenâl1/ (I') 
I' = 7r ' do . 11 _ do • 11 . (I)60 X 100 ' -19TO (mjs) 
11 - Força rangendo/ (Pu) 
M ."Pu ' 75 ,; N (Kp) ou P = cJ - (Kp) (lI)
u do 
11I Momellw torçor (Md) 
Ma " 7162041- (Kp . em) (1lI)J 
Relacionando as expressões OI) e (1lI) teremos: 
p = 71 620 • N . 2 (Kp) (IV)
1/ 	 ri • do 
Ao:. três componentes relacionam·se em funçãO do ângulo de pressão ao 
por: 
p =~ (Kp) IV) e [ P, o Pu • ' ... (Kp)n COS 00 
Engrenagcni cUíndTicas de dentes relosCapo 21 
5 - ' DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS DO ENGRENAMENTO SOBRE 
EIXOS E MANCAIS 
De acordo com as figuras de 1 li 10 procuraremos em cada caso detrr. 
minar o valor da componente IPI) que atuará sobre o eixo . 
\ o 
... .,r----- ~ .... ~ ...... 
,., .........
\ 
" 
" . 
""". ZlPL,~sPN_~, 
• 1 (r -~; I ~we 
\ \, I 	
_\'0, _ \\\ 
I /
z,' 	 1,=PN/1 
/' 
,,/ 
---------~ 
Flg. 7 Distribuição ue ~,rorçu' p.lr;, um pilr 111 1.= I 
Pu a = 0'0 para engrenamento zero 
P" =cos a 
 ~ o valor de a será: 
P, =Pu . tg a o: =0:", para engrcnamenlO V 
------- ..... 	
----- .. -.... 
/,,- "',~
, 	 " ".p.L. p •. , .. ,,__ 
- -t'",PN ;'{\~ 	 I,.,(/\~ . .'~!"I 	
, 
C ---;!:2- .".. ,I,''' ­Z; t ­
\ , I I : 
" , ---_.,-" 
:'
, 
,. " 
Pi , " 2P', 
hg. 8 l~ ngrc.n:III1CI110 li . 	 l2 . 1.) u.Ilnhado\ - .ll '* Zl "'!= 1-, 
Pl2 = 2 ['u 
19 
18 ENGRENAGENS [Cap. 2 
- --- .... _- ............
-~----- -- -- \
---- --" / /" -',,- \ 
" \ " I \ 
'
/ 'I ! \ 1
.
)z. 
': -- o. J!I
' ., ,
z.\ ( ! "'P ' 
' , p. > ,
• / ,N __
' ,
, N\ 
' 
" , , -~ , ',---- ­
' ............ --- --- ---- / -------
Fig. 9 - Engrenamento z .. Z2. z] alinhados - II * l2. zl "* z3 e Zl =z3 
P = OLI 
Na figura 10 temos uma dupla redução, isto é, sobre o eixo dois (2) 
existem duas engrenagens montadas Z2 e Z3' 
z,
--------......... ,..".-------- -1l~PN.
,,- --... 
"1 ~p. 
" z, '" " 
--,,'~N' r.-- ­
" ---~ ~ \ ,I •\it I 'I' \/ \Li( --' J } z.\ I 
, 
I 
I " ',----" 
I, 
I I 
I
" I , 
,PN1 -" ............ I , """ , 
........... -... - ----,;'" 
Fig. 10 - Dupla redução (ZI. ll) 1Z3. Z4) 
Relacionaremos a seguir. para diferentes disposições, a distribuição de 
esforços transferidos aos mancais. 
Na figura 11 e 12, os esforços são detenninados para uma engrenagem 
bi.apoiada. respectivameme. em balanço (figura 11), entre apoios (figura 12). 
Cap. 2J Engrenagens cilíndricas de dentes retos 
\" 
Fig. 11 - F\lorço~ tran\milido$ ao\ mancais com l'ngrenagem em bJlanço. 
PL, 
Fig. 12 - E~orços tr1Iosmitidos aos mancais com engrenagem entre dois apoios. 
Em ambos os casos, as componentes PL e PL que atuam respectiva·I 11 
mente sobre os mancais J e II são expressas em função da componente normal 
Pn por. 
p ., p,I I 
p =- ri " e p' n I 
LI e LO ~ 
Nas figuras 13 e 14 são representadas duas engrenagens montadas sobre 
o eixo. No caso da Ogura 13 uma delas está em balanço e a outra bi-apOlada 
e. na figura 14 ambas estão bi-apoiadas. 
Notar·se-á também que as componentes PL I: PL estão projetadas se­gundo as direções tangencial e radial 1 II 
[NC,RfS,\GE:I/S ICap.2 
L~ ~~ -~""'1
.----1 ~ .. --- I.
.______tl 
- __ ~,~rr_ " 
PUi 
Fig.13 L\ 1 'tll~ll\ 11.111'111111.1,,, .111' /1l.1lh.ll' pl" dll~\ "n~"'I1~;!"'I1\ ,' I1m IInw '!c'IJ\ em b;lhanço 
Flg. 14 bftuço\ IrJII,mllh.l." <tu' maneJa- pur IlUJ~ "llglcllolgen\ hl·apuludu'. 
São válidas. portanto, as expressões: 
p = rp~ + p! 
LI LI"I L) 
, u 
PL ;::; ,,(PI + PI .e 
" 1L lIu 
DII forma como estão orielltados os esforços, os valores das com n­
les radiais ,c· tangenciais são dados ptlr" 
Engrenagens cilíndrica. de dentes retosI 21(31" 21 
P I!rv - P'l . 211P '1L = PJ - P, :- (A)QJ, '1 '2 
.1 
• 
Pu I . QIV + PU2 ' Q" 
=P, + P, = (B)PL Qlu UIli, 
P'I • .Q) ± P'l . QIlI
n' (e)PL =P" ± Pu ~11, 'I '2 
_ Pu'). ~1Il ± PU, • Q)
PL = Pu ± Pu - Q (D) 
U2 UI 11 ti 
As expressões (A) e tB) são válidas Jl1dlStmLamellte para as liguras 13 
e 14. entretanto. para as expressões (C) e (D) obedecem os sinais: 
(+) para figura 13 
expressão (e)(- ) para figura 14 
e, 
(+) para figura ) 4 
expressão (O)( -) para figura 13 
6 - DIMENSIONAMENTO - ENGRENAGENS 
oLíNDRIeAS DE DENTES RETOS 
o dimensionamento das engrenagens cilíndricas de dentes retos poderá 
ser feito por dois pnncipais critérios, o critério de resistência e o critério da 
pressão (pitting). 
Convém sempre. entretanto. analisar preliminarmente qual o critério de 
cálculo e qual o de Ilerificação, isto é. através das características de naturez.a 
geométricas da engrenagem ou do pinhão pode-se. a priori, determinar qual IJ 
critério de cálculo. Nos casos por exemplo. em que o dente apresentar ai to 
índice de adelgaçamento do dente no engastamento da coroa é. sem dúvida. in­
teressante fLX ar-se como critério de cálculo o' critério de resistência fazendo-st: 
u seguir uma veril1cação pelo critério de pressão. 
Em algum casos especiais também. faz-se a veritlcação au crnério de 
nscagem. A ri~cagcrn constitui·~e num fenômeno de desgaste do nanc!) do denie 
dJSlilllo do que OCOrrC' por prcssiío (pltllllg nu plpocamento) e, deTermlnad.) pelo 
tu Ja DCh l.ulaJu lwn de óleo mOlelor n .. COnl:iICl cnlre flancQs dos 
'jp. 21 l·. ngrcnugcn~ cilíndricas dI: "'cnlc\ rCI\)~ 23ICap. 2ENGRENAGE.!I;S22 
De Jcordo com a fórmul:l de Hcrtz. a pressão máxima P
nlfu verifica-se6.1 _ DIMENS10NAMENfO PELO cRrrtRIO DE PRESSÃO 
110 centro de uma pequena faixa de contato \!l1tre dois cilindros paralelo:; e é 
uadu por: Esse cálculo deverá levar em conta a pressão determmada no contato 
entre os flancos dos dentes de duas rodas dentadas engrenadas (I) e (2) e, ain­
, 0.35 . f' \da, sua duração ou vida expressa em horas efetivas de trabalho. . 1...,1... + 1 •II;lIa.T b ~ ' rl - 'l' lKg/ l!m~ I ~ (,), + f:.~~ )Para alLxiliar esse estudo vamos nos apoiar na figura L 
onde: 
l'" == esforço normal às superfícies em contato (Kg) 
h = largura da supl.'rfícic de contato (cm.! 
FI,~ = módulos de elasti\.!idade IKg/cmll 
ri ) = mias de curvatura dos cilIndros em contato [em] 
Para a aplicação da expressão de Hertz às engrenagens cilíndricas de 
dentes retos com traçado a ~~volvente pode-se fazer: 
dP,
ri =-..,- sen ao 
e d 
r1 = ~2 sen ao 
A relação (i) de multiplicação do par engrenado vale : 
d 
i =J1. 
dp , 
Resultará, portanto: 
J (...L +.1.) == __=---_ f i ~ 1 ) 2' '1 -'2 d sen ao IPI 
o sinal (+) para convexidade e (-) paraconcavidade. 
Sabemos ainda que o esforço tangenciaJ (Pu') relaciona-se com o esforço 
normal (Prv) através de' 
Pu =PN cos ao 
A pressão [Po max] que se estabelece para o par engrenado será. por­
tanto:, 
0.35 JPu . • i ~ I IKg/cm1 1POmax b - d+ i ) cos ao . sen ao p1 
Fij! I 1 
24 	 ENGRENAGENS [Capo 2 
De acordo com estes dados, o esforço noanal (PN) transferível será 
expresso por: 
K . b (Kgl
P.v 	= 1 (l- + 1-)
T'I r~ 
Onde lKJ representa o coeficiente teórico de pressão de contato de 
rodamento. 
, 	 . 1..( _1 +_1_) K =2,86 Pmax 2 EI E 
2 
A pressão no ponto C de contato entre os flancos dos dentes valerá~ 
Pu i ± IK ---~--­ b • d . - i- -­o - cos ao . sen ao 
PI 
Para ãngulo de pressão ao = 20°: 
3,12 • Pu • i ~ 1 [Kg/cm1 1 
Ko = b • d I 
PI 
Esse valor de Ko deverá ser menor ou igual a pressão admissível 
Ko ~ Kadm 
Assim sendo: 
Ko
P,- 1,.86. "21 (E,I + E,I) 
Pode-se expressar lanlbém a pressão POmar por: 
-~ 
. =J ;;; I '1Po u. i ~ [Kg/
mIU • b . d I em 
Pl 
onde, Po mar ~ Padnr;ssfll~1 
O fator lf] equivalerá a: 
I 0.35f= J ( 1 1
'2 E + E) cos 0'0 sen 0'0 
I 	 ~ , 
Engrenagel1s cUíndric:u de dentes retos 
Para um ãngulo de pressão ao = 20° teremos para diferentes pares en­
grenados os segujntes valores de (fJ. 
Op.2] 	 15 
valores de UI 
pinhão de aço lEl =2,1 X 10+6 Kg/cm'] 
engrenagem de aço lEI = 2,! X 10+6 Kg/cm2 1 1512 
pinhão de aço [E I = 2,1 X 10+6 Kg/cm1 ] 
engrenagem de ferro fundido [E, = 1,05 X 10+6 Kg/cm1 ] 1234 
pinhão de ferro funclido [E I = J ,05 X 10+6 Kg/ em1 I 
engrenagem de ferro funclido lEl = ) ,05 X 10+6 Kg/cm'l 1069 
. De outro lado, momento (MIL) = transferido ao eixo da engrenagem (1) 
(pinhão] será: 
.J. 
d p1M ""PU - ­'i 2 
sendo Pu = PN • cos ao 
Resultará portanto' 
M'1bct;,1 	 =2[2 1 • i~ I [cm3] 
P 1(2)adm 
para lko '" 20°; 
b 	 . d2. = 6,25 Mil • i j 1 [cm3] 
PI K 1(2)adm 
Sendo: 
M'l = 71620 ~ [Kg. em) 
N = potência em [CVl 
ti. = rotação do eixo (1) [rpm] 
teremos. 
N i ± 1bd l = 447.500 . -.- [cm3 ] 
PI K l(21adm tIl I 
~-­
ENGRENAGENS [Capo 226 
3o produto 1/1I'P1 I representa exatamente o volume aproximado Icm ] 
do pinhão [engrenagem (l)] capaz de transmitir uma potência N{cv). suportando 
uma pressão KJ d [Kg/cm1 ] . 
a /li 
Nota: O sinal (-) em [ i ~ 1 ] representa um engrenamento interno. 
. I 
Analisaremos agora o problema que envolve a duração expressa em hcr 
ras de funcionamento em função da pressão admissível no contato e o número 
que determina a sucessão dos contatos expresso em milhões de rotações. 
A pressão admissível [Padm 1 depende da dureza e da duração em mi­
ll1ões de rotação. 
_ 48.1 . HB IKg/cm2 J 
Padm = Wll6 
onde: HH é a dureza brinell [Kg/mrn2 l. 
w= 60 . li • h 
1000000 
n =r.p.m. 
It =duração ou vida em horas de funcionamento. 
Da mesma forma : 
"" 6800 HB2 • .!. [...L + _1 I lKg/cm2 ]K
aJm - Wll3 2 EI E2 
Fixado. portanto, O KaJm através dessas mdicações poderemos sempre 
estimar a duração expressa em horas de um sistema engrenado. 
6.2 - DIMENSIONAMENTO PELO CRIT~RIO DE RESISTrNCIA 
O esforço normal PN que atua na linha de engrenamento detcrminará 
na sccção engastada lAB] do dente na coroa, esforços fletorcs e cortante devido 
3 ação da componente l'H. esforços de compressão devido a ação da componente 
PR , como mostra a figura (2). 
Observar-5e-á pela figura (2) que o esforço PN normal aplJca-se ao vértice 
do dente, início do engrenamento, com o propósito de determinar os maiores 
esforços considerados" 
A componente PH • por sua vel.. aplica·se no ponto extremo da parábola 
de igual resistência a uma distância lll] do engastamento do dente na coroa 
[secção AB]. 
O esforço cortanle representado por PN sen (' [Kg] será desprezado 
nes~a nnálise. 
En~n38ens cilíndriC3.5 dI!" dente$ reloso,p. 21 27 
c:: 
Q.. ~~. 
PARAS OtA O( IGUA L JUSI srêNC IA 
/ 
OlÁ GRAMA ru rOR 
p(jb=~ 
b. S2 
DIAGRAMA Dl COMPR(SSÃO 
<:Til=-2 
bs 
s 
.c 
I·ig . ~ 
Da ação desses esfoTl;os na secção AB igual (s • b) onde: 
b = largura da engrenagem [em] 
e 
s =espessura do dente no engastamento [em1 
t~remos agindo as seguintes tensõcs; 
28 ENGRENAGENS [Cap. 2 
PH • h . 6 [Kg/cm2 ]devido PH ~ Flexão ub = b. S2 
PR [Kg/cm1 ]devido P R ~ compressão Ud =-,;-:-s 
De acordo com a figura (2) do lado (B) de tracionamento teremos uma 
tensão máxima resultante. 
P • COS fic - c 6P} Nftuzx(B) - b - 0d = N' I • sen fi 
b • Sl b • s 
No lado (A) da compressão essa tensão máxima valerá: 
6P • h . sen fi PN • cos fi a == a + o = -N +-Ll_--:-__ 
/IIQ.T(A) b d b • S2 b . s 
Sabemos, outrossim, que os materiais em geral comportam-se melhor às 
tensões de compressão do que às de tração, pennitindo-nos portanto afirmar que 
o início de fissuramento no engastamento, por efeilo de fadiga, dar-se-á do lado 
(B) tracionado. 
A tensão máxima poderá assumir o valor: 
Pu . sen fi • 11 • 6 Pu • COS E 
amax =- b. s'l • cos ao cos ao . b • s 
Pu 
onde: e Qo == ângulo de pressãoPN cosao 
ou ainda. 
P a =- __u_ . (m . sen € • 11 • 6 _ m . cos fi) 
ma b. m cos ao . Sl COS CIo • s 
m = módulo [em] m = ~ onde t == passo [em} 
Chamaremos de fator de forma [q] os valores de natureza geométrica 
enquadrados no paréntesis 
m . sen fi • Iz • 6 111' "os fiq = .:..:..::....--==.:..-=-~::--.=;,. " 
COS CIo • 52 COS CIo • s 
Engrenagens cillndricas de dentes retos 29Capo 2] 
Resultando ' 
I a_ <u:mq I 
Introduz-se ainda um fator de carga fel =0.80 até 1,50. 
Esse fator de carga dependerá naturalmente do regimen de utilização da 
engrenagem c da incidência de aplicação da carga máxima. 
Para exempltficar tomMemos os seguintes extremos. 
e = 0,80 para util.i2.ação e mcidêncla da carga máxJInu continuadamente. 
e =- 1 ,50 para pouco uso e pequenas incidências de cargas máximas 
Portanto: 
o - Pu' q 2 
mwc - b 
. e Kglcm. m 
Devendo, sempre ser: 
U ~ 
max 
ubadm 
Os valores correspondentes ao fator de forma [q) para ângulo de preso 
são ao =:; 200 sem correção são apresentados a seguJf. 
PARA ENGRENAMENTO EXTERNO 
100 I 00 
2.6 12.45 
PARA ENGRENAMENTO INTERNO 
00n9 de dentes lZ] 
2.45fator [q) 
Os valores do fator de forma [q'J a1teram·se quando a engrenagem for 
corrjgida. 
Os novos valores assumidos pelo fator de forma [q] estão indicados no 
diagrama abaixo em função da! correções para diferentes números de dentes lZ]. 
31 
.-----­
30 ENGRENAGENS [Cap. 2 
Flg. 3 
Relativamente às tensões de flexão admissíveis [u 1para efeito de b 
dimensionamento poderão ser obtidas da tabela abaixo. adm 
Tensão admissível de flexão ab [Kg/cm1 ] adm 
MATERIAL 
bronze f05foroso 600 - 700 
ferro fundido cinzento 350 - 450 
ferro fundido nodular 550 - 700 
Aço fundido 700 - 900 
Aços Carbono 1010 - 1020 700 - 900 
ABNT 1045 - 10501 850 - 1200 
cromo-Niquel 1400 - 2000Aços 
ligado 1500 - 2000 
teriais sintéticos (RESINAS) 300. - 400 
Cap. 2] Engrenagens cillndric:as de dentes reto. 
Concluindo, poderemos agora, equacionar os valores correspondentes à 
componente tangencial Pu' o momento torsão Mt e a potência transmitida N 
1(2) 
a 
badm [ ]Pu =-q- ' b . m ' e Kg 
a b . ' ín ~· e . d 
b adm ,.. p 1(2) [Kg!cm]
=-q-' 2 
Ub b ' m • e . d • n1(2) 
- adm • P1(2) (CV)N 
--q- "I '71.c"n . 
7 - MÓDULOS NORMALIZADOS 
Os valores dos módulos [m] dados em mm apresentam-se normalizados 
segundo a Norma DIN 780. 
Assim sendo, temos: 
de m =0,3 até m = 1,0 mm de 0,1 mm em 0,1 mm 
de m = 1,0 até m =4,0 mm de 0.25 mm em 0.25 rnm 
de m =4.0 até m =7,0 mm de 0,5 mm em 0.5 mm 
de m =7,0 até m = 16.0 rnm de 1,O mm em 1,0 mm 
de m = 16,0 até m =24,0 mm de 2,0 mm ~m 2,0 mm 
de m =24,0 até m =45,0 mm de 3,0 mm em 3.0 mmde m = 45,0 até m =75,0 mm de 5.0 mm em 5.0 mm 
Nos países que adotam o sistema inglês de medida define-se o Diametral 
Pitch [Dp1que expressa o número de dentes por polegada do diâmetro primitivo 
e, ainda o Circular Pitch [Cp] que expressa o comprimento do passo em pole­
gadas medido sobre a circunferência primitiva. 
Desta forma: 
r D.~25.4 I =~C ~ m e p 25,4 
onde m =módulo em mm. 
33 Oap. 3) EngrenllgellJ dlíndricu de dentes hcllcoidlW 
CAPITULO li' 
,
ENGRENAGENS CILINDRICAS 
DE DENTES HELICOIDAIS . 
I. CARAcrERÍSTICAS GEOMÉTRICAS (fORMULÃRlO) 
..,,<~'I. .~
'··1...\~r~ . ~, ,,~~ 
'Y"''-.,-~ ............ 
',,-~ 
AI "-. 
C> 
~ 
Denominação Símbolo Fórmula 
Número de dentes Z do ,/ 
ms 
Módulo frontal ou 
circunferencial ·mr 
tso 
-
1r 
= 
mn
-­ o; m . sec (30
cos (30 n 
/ 
Módulo nonnal ou 
Módulo do cortador , m 
" 
tno 
1T 
, 
Passo frontal ~º =~o, ms • 1T 
Passo normal , t"o 
Prl 
== tn o mn . 7T 
Espessura do dente frontal Sso == 8so 
[soT para folga de flanco nula 
Espessura do dente normal Sno =8no tnoT para folga de Oanco nula 
Vão entre dentes frontal ~o == 2to tso2"" para folga de flanco nula 
Vão entre dentes normal ~IIO =2no tnoT para rolgn de flanco nula 
Diâmetro primitivo ~ do Z • "'$ ou do. 2ao = (i + 1) 
Ângulo de hélice 
......... 
130 
do 200
sec(3o = --= .Z·m" ZI,mn(I+1) 
Distância entre centros ao ZI +Z2 2 , ms 
Altura da cabeça do dente hfc "k =mn Norms DIN 867 e 862 
Altura do pé do dente hf Ii,= 1,2m" Norma DIN 867 e 862 
Altura total do dente hz h = 2 2m Norma OtN 867 e 862 z ' n 
Folga da cabeça Sk Sk =O,2mn Norma OtN 867 c 862 Fig, I - Engr'mugem cilÍndrica helicoid:ú 
ENGRENAGENS [Cap. 3
34 
\, 
\ 
Denominação Símbolo Fórmula 
Diâmetro externo dk do +2 • Izk == Z . ms + 2 mn 
Diâmetro do pé do dente df do - 2 hf 
Diâmetro de base d g do • cos et so 
Raio imaginário medido , 'o/cos ~o '0 
no plano normal '• == cos1 Pon 'o/I 
Número de dentes imaginário Z Z 
2rn Z 
==--==---
n /I mn cos3 ~o 
Ãngulo de pressão normal etno :20° DIN 867 
Ãngulo de pressão frontal 
tg etno 
et tg etso == cos ~o{o 
Relação de multiplicação i 
Z2 dOI "1 
TouToun 
I ~ 1 
Largura da engrenagem b 
Avanço do dente S b • tg 130 
Grau de recobrimento 
€s € =L= 
b • sen /30 
frontal J (so mn • 7T 
Ed:l 
Grau de recobrimento s so -- onde C = c • cos et.o 
normru 
€ 
ISe e 
passo frontal 
Grau de recobrimento total Eg €-=€+€g 5 
2 - NÚMERO Zn DE DENTES TOMADOS NA NORMAL 
Para a obtenção direta do número Z" de dentes, medidos num plano 
normal numa circunferência imaginária de raio 'n' uUliza·se do diagrama abaixo 
(fig. 2), para diferentes ;ingulos de hélice {jo. 
f.lIgrenagen5 cilíndricas de dentes helicoidais 35Cap. li 
400 1 
I 
...'" 
25 
20 
15 
111111 111111111111111 I 
30 O~*tmW:tt'"' 
25O.I:=i~::t:t::-. 
111 = 
1 I I I 1111111 I 1 1/1' I 
7 
17. 
17!7'1/! 
10~ 
\I 1 1 111111 1 1 1 1 I 
I 
1 
3 
CO S f30 
I 
Lr 1 I 1 1 1 1I11111II1111111 ~ I 1 I 1 1 11111111 I I ! I II 
8 10 15 2 O 25 3 O LO 5 O 6 O70 80 90 100 150 
z -
Fig. 2 
3 -- GRAU DE RECOBRIMENTO 
o grau de recobnmento paro um engrenamento com engrenagens cilin­
dricas helicoidais é obtido da composição do grau de recobnrnento le I do den· 
tado normal com as medidas do perfil frontal e do grau de recobrimento [esI 
que representa o avanço das linhas representativas dos flancos dos dentes. Re­
sulta: 
€I( '" e + €Sl 
ENGRENAGENS 	 [Cap. 3
36 
o grau de recobrimento f, obtém-se da relação: 
ElE'). EOIE02 confonne ilustra a figo 3.f=--=--­
t t
li se O 
Do outro lado, a obtenção do grau de recobrimento Es pode-se fazer 
com a ajuda do gráfico representado pela figo 4, apresentando-o em função do 
módulo normal [mil], da 13Igura [b) de engrenagem, para diferentes ângulos de 
hélice ~o. Esses valores podem ser expressos por: 
Jr:c - r2 ' + J1 - r2' - ao sen a 
E = I gl 1. g'). - SO 
t -cosaSo So 
e 
S 	 b·senJ1o 
E =-= 
s t m·rrSo 11 
0,._ _ ___ 
\ 
/ ~ : 
~______ • _____ • ______L_ 
Fig. 3 _. Grau de rccobrim<!nto [e) 
Engre",lgcns cilíndricas de dl'ntcs helicoidais 	 3
011" 31 
SO I I ~;.--+.I~rtl~-rrt~~L+44~~~
T I l
 
f-I--; I 1 _f- ll iJ 1 1 V 
~~ 	 ~ li I ~ 
4, = 11'" / 1 T I 
_ 	
II I. (i/I ~ lL I I 
f-- 1. :1.11 	 I I ) 
-	 1/~ t, ~/ti-r~~+-~~~/A-~~~/~U 
~ 1/ I
40 ~ s -NTH~+MII~~~ 
I 	 I1 J /I I 
I 
, 	 I
3S 	 I I I 1> 1 II I 
I , I 1-,1 
, • I ~ fi o f ~~ l/ ;/
f 
 I I I -J-~..., f- -\7 
I j- ." ~ 
30 I ... " 	 1/1
'\o '.I /l I , / o /I ~bv~-rÁ~~~~~' ~' 
I I o V 
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I 	 o './e'" 	 2, I 	 J 1/ '.I ,'.I ~y o -#-V+-l~~6:1" I 	 1/ 7 Iof;) h,~I7+-+-Io 
7 7 1."/?f--l-l-I--I 
20 	 I : I '.I / ,
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_ 7 / / / V '", ~ ~ " b . '.71 ~9 If 
t,. mil " -+­I!I~ ;J'./ 	 T­I I • I I 
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o 	 2 3 4 s 6 
E, --J:> 
Fig. 4 - Grau d~ rccobruncnlo €s 
4 --	 ESFORÇOS NO ENGRENAMENTO [Engrenagens cilíndricas helicoidais] 
Para as engrenagens cilíndricas helicoidais a componente principal PN 
que atua nonnalmente ao flanco do dente decompõe-se em três direções, uma 
tangencial [Pu 1. uma radial [PR1e uma axial (Pa] ' 
A figura 5 evidencia claramente o relacionamento entre elas e os ângu­
los de pressão e de hélice, juntamente com outras grandezas geométricas. 
38 	 ENGRENAGENS (Cap. 3 
I 
• 1--'-' 
\{(±" 
/ . -:~. _I 
• --- - .. I i 'll'tlD.. 
",,/
• 
o 
a 
Fi~. 5 - OhtribulÇâo dos e\(or"os no engrcnamenlo com cilÍndricas heliCOidais 
A componente tangencial [PtJ L e responsável pelo torque, relaciona-se 
da seguinte forma: 
Pu == 75/,' [kgl 
Eogrenmgcns cíJíndrícas de dentes helicoidab~p, 3) 	 39 
onde: N:= potência em CV lransferida 
11 = velocidade perirérica em m/s 
ou ainda: 
Md • 2 [kg] 
PU:= 	 do 
onde : 	 Md = momento torçor [kg eml 
do :: diâmetro pnmitivo 1em J 
P := 7 I 620 . N • 2ou, 	 lkg]U n . do 
N == potência em CV 
17 = número de r.p,m. 
A componente axial vale: Po =Pu tg íJo [kg] 
Pu . tg ali 
P :: P tg ao = o lkg]e a componente raelial: R U COS 130 
S - DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS DO ENGRENAMENTO SOBRE 
EIXOS E MANCAIS 
Para melhor entendimento, vamos tomar um eixo montado com uma 
engrenagem cilíndrica helicoidal. biapoiado com a' engrenagem situada no 19 ca­
so entre apoios e no 29 caso em balanço. com representações respectivas de 
acordo com as figuras 6 e 7. 
P, 
~"P,I. 
P" , 
Fi>! 6 I nl!ro:n'llIl!m cilíndriclI l'llI'" ;IP\l'O~ 
40 41 ENGRENAGENS 	 [Cap.3 
\.1' p. 
r­
- ·1 
P•• 
r. 
_ I ::::::­ ·t· 1_--------------
Fig. 7 - Engrenagem cillndrica em balanço 
Dcacordo com as figuras, teremos: 
PL I 
= ~ 
U 
+ (PIR - PI / a 
~=~+~±~fu U · R 
sinal (+) para figo 7 
sinal (-) para figo 8 
Sendo que os valores respectivos das componentes tangenciais, radiais 
e axiaiS, nos mancais I e U são: 
P 
I.. 
_ 
-
Pu - QU. 
2 . 
p
1 
a 
_ 
-
Pa "O 
~ 
• 
, PIR 
PR '~n 
=-­ Q 
e 
p
"U 
_ 
-
PU - QI. 
I! 
P 
u 
P 
_ a 
-
. 'o 
Q 
PR • 2. PIlp. =--2 
n 
6 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILINDRICAS HELICOIDAIS 
o dimensionamento cWs engrenagens cilíndricas helicoidais desenvolve-se 
de fonna análoga ao das engrenagens cilíndricas de dentes retos. 
Engrenagcn$ cilíndricas de denteJI helicoidais Cap. 31 
Nas mesmas expressões finais de cálculo ou de verificação, tanto no cri­
tério de pressão como no de resistência, são as mesmas, corrigidas de um fator 
que envolve o ângulo de hélice ([30)' 
Assim sendo, temos:6.1 - CRITÉRIO DE PRESSÃO 
Mt l i ± 1 (cm l )bd2 =2 • [2 	 '--.. ­PI 	 IP~ (2) adm • !fJp 
ou ainda, 
bd2 	 7j 620 • N i ± 1= 2 • r (cm l )PI l • !lI _ oI) 	 --, ­P 1(2) adm "'p 
onde: 	 b = largura do pinhão (em) 
d :: diâmetro primitivo do pinhão (cm) p I 	 . 
[ = fator que envolve características elásticas do par 
N :: potência em (CV) 
i :: relação de multiplicação 
Pl(2) = pressão admissIvel de contato (kg/cm2 ) 
IP :: fator de correção de hélice 
p 
/lI = rotação pinhão (r.p.m.) 
o fator (lP ) é dado em função de ~o através da seguinte tabela: p 
45° 
Nestes casos também a pressão admissível de contato (Padm) deverá ser 
estabelecida em função das características do material e da vida expressa em horas. 
6.2 	- CRITÉRIO DE RESlSTÉNCL4. 
P • q 
(kg/cm2 )a 
max -
-	 b • mTl 
II 
• ,e ' !fJ, 
t.71 
42 ENGRENAGENS (Cap. 3 
Sendo que: 
I °max ~ °adm 1 
onde: P =esforço tangenclaJ (kg) 
u 
q == fator de fonna 
b == largura do pinhão (cm) 
mn =m6dulo normal (cm) 
e = fator de carga 
'Pr =fator de correção de hélice 
Nestes casoS pam a determinação do fator de forma (q), utilizam-se os 
mesmos valores das engrenagens cilíndricas de dentes retos, entretanto, deve-se 
tomar como número de dentes, o valor de 
Zn 
Z 
=­ cosJ Po 
onde: Z = número de dentes 
~o == ângulo de hélice 
Zn == número de dentes tomados na normal 
O fator ('Pr) é dado em função de (jo através da segulnte tabela. 
'P, 
~ 
1.36 
~o 
cAPfrULO IV 
ENGRENAGENS CÔNICAS 
.DE DENTES RETOS 
1 - CARACTEIÚSTICAS GEOMID'RICAS (Formulário) 
O fonnulário abaixo refere-se às engrenagens cônicas de dentes retos. 
Utilizar-nos-emos da figo 1 que mostm um par engrenado. 
Denominação Símbolo Fórmula 
I 
do,
Número de dentes ZI =m IZ1(2) 
toMódulo m m =­fi' 
d R_lL 
m =...!!l ==~. m 9! O 8 • mMódulo médio mm m Z Ra ' 
Passo to = to to =m· fi' 
Espessura So = Tlo IXIm folga de flanco nula 5'0 =Sono primitivo 
Vão entre os den· 
 to110 = 2" com folga de flancn nula Ia == Qotes no primitivo 
Diâmetro primitivo dol==m.Z,dOI ('1). 
d == do - 1/;-,. sen li, eDiâmetro m , t-'ll­
dm 1('1)pómitivo médio d = d I • im2 m 
Altura comum h h=-2·mdo dente 
Altura da cabeça 
do dente 
 hk "Ir =m 
~ 
- --
44 45 
Denominação 
Altura do pé 
do dente 
Altura do dente 
Folga na cabeça 
Símbolo 
hr 
hz 
Sk 
EngrenllFlUi C:Ônica.s de dentes ~tosENGRENAGENS [c.p. 4 cap. 4] 
Fórmula 
hf =l.l-1.3.m "' IFi ­
h "; 2,1 - 2,3 • m 
Sk ==0,1 -0,3· m 
Denominação 
Número de dentes 
equivalentes 
Raio primitivo 
da engrenagem 
equivalen te 
Símbolo 
Zel(2) 
'el(2) 
F6rmula 
z =~ e z ==~ 
el cos 61 e2 COS Ó, 
para 8 = 90° Z =Z .(~
e2 ti 
dOI 
rei = 2 cos 81 
Diâmetro externo 
ou da cabeça 
Ângulo de pressão 
Abertura angular 
entre eixos 
Conicidade da 
engrenagem relati· 
va ao primeiro 
Conicidade de en· 
grenagem relativa 
ao diãmeiro 
externo 
Geratriz relativa 
ao diâmetro 
primitivo 
Geratriz relaLiva 
ao diâmetro pri­
m.itivo médio 
Largura do dente 
d" 1(2) 
Qo 
8 
6 1(2) 
Ôk 1(2) 
Ra 
Rm 
b 
==do +2·m·cosli l ==m·(Zl +2cos8 1 )dk t 1 
d do,. + 2·m·cos 82 =m'(Z2 + 2cos 82 )
k2 : 
para lj := 90° -+ cos 82 = sen 6 1 
Qo ;: 20° Norma DIN 867 
6 = 8 1 + 62 
sen 6 tg 62 == Z 
cos 6 + Z~ 
para ô = 90°, tg 82 = ~: :=. i 
e 161=6-62 1 
ô == ÓI + kkt 
hk monde tg k:.- =­
RI) R(1 
para /) = 90° ..... 19 k == ~ ~+Z; 
R = dOI I) 2. sen 6 1 
para lj =90° 
R ­ jZ'i +Z~ '-d NI) - m • 4 - 01' -4­
R ==d .}1 + P I 
m ml 4 
para 6 = 90° 
b~lR ~8·m3' ti 
Relação de 
mul tiplicação 
dt;2 
. Z2 d02 ri} sen Ôl/=-:-=- ::;---
Zt dOI "'2 sen 81 
para 8 = 90° -+ i = 19 61 
-ig. 1 
(02 
'm2 
' " 
" '~.. 
..4... 6 
" 
" 
_I 
/" 
..
.. 
./" 
.....,; 
z. -----.
-
... 
a 
a 
....
.. 
<:> 
.. 
a 
Q 
I 
/ 
/ / V 
49 48 ENGRENAGENS 	 (Cap.4 
OBSERVAÇÕES 
a) E.xistem tabelas que fornecem diretamente os valores da tg 02 ~2 
em função direta do conhecunento de Z2 e Z 1 • I 
b} É possível também a obtenção dos valores dos números de dentes 
eqUivalentes Ze através de diagramas, conhecidos os valores do nÚIDeco (Z)
l 
de dentes da en8J,nagem cônica considerada e da abertura angular ou conicidade 
Ó112) como mostra a figo 2. 
2 - FORÇAS NO ENGRENAMENTO 
Para facilidade da distribuição dos esforços no engrenamento de um par 
cônico de dentes retos, apoiar-nos-emos na figura 3 onde se destacam claramente 
as componenles radiais, axiais e tangenciais. 
A componenle nonnal Pn que atua na linha de engrenamento decom­
pôe-se em outras duas Pu e P,; sendo Pu a componente tangencial e P, a com­
ponente radial à engrenagem equivalente e que dá origem às componentes P, 
(radial) e Pa (axial). 
O relacionamemo dessas componentes entre si e com a potência trans­
ferível, velocidades ou momentos e rotações faz-se através das seguintes expressões: 
Força tangenc131 (Pu) 
P = 75 • N (kg) 
u V 
m 
sendo: 
d . n 
Vm ~n1n (m/seg) 
ou: 
P Md· 2 =71 620 . -N • 2 (kg) 
U d n . .d 
m m 
Onde: 
Pu = força tangencial em Kp 
Pn = força normal em Kp 
Po = força axial em Kp 
Pr = força radial em Kp 
N = potência transferida em CV 
1 :: rotação em r.p.m. 
Md =momento torçor em Kp . em 
V .= velocidade tangencial em m/seg 
Vm =: velocidade .tangencial média em m/seg 
=diâmetro primitivo médio wn emdm 
do = diãmetro primitivo em em 
Engre~M cônlcu de dentes retos c.p. 4] 
E. ainda temos: 
Pa 	 = Pu • tg ao • sen Ol(2) (kg) 
1(2) 
P, = Pu • tg CXo • COS Õ1(2) (kg)
1(2) 
Para os casos onde o = 90° a componente axial de uma engrenagem é 
igual à componente radial da outra e vice-versa. 
3 - DISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS SOBRE EQCOS E MANCAIS 
15 
c. 
Fig.4 
so 	 ENGRENAGENS [Cap.4 
" "LU
'" 
Flg.5 
As figuras 4 e 5, representam respectivamente a distribUlção dos esforços 
para situações de eixo bi-apoiado com en~renagens em balanço e entre apoios. 
Resultará: 
P '" .jP[ + (P, - )~--,L 	 PII u 	 "r a 
e 
=.;pu + (PU ± Pu )l~PL fi u r a 
Sendo que: 	 sinal + para figo (5) 
sinal - para figo (4) 
P - 2 Pu .21Onde: PI ;= U n Pu 
/I 2 11 'l 
P ;= P, . 211 Pu., =P, ~ 21 
Ir ~.' 
p. r P ., 
_ a 1llI ~ a m.P 	 Pu 
- 2a 2 a 
Engrenagenl cônlcu de dente, retos 	 SIClp. 41 
4 - DIMENSIONAMENTO DAS ENGRENAGENS CÓNICAS DE 
DENTES RETOS 
O dimensionamento das engrenagens cônicas de dentes retos faz-se de 
fonna análoga às engrenagens cilíndricas de dentes retos. 
Utilizam-se dos dois critérios convencionaís de pressão e de resistênC13, 
com o cuidado de Identificar a engrenagem cônica como uma engrenagem cilin­
drica de dentes retos equivalentes. 
4.1 - CRI~RIO DE PRESSÃO: Apresentaremos diretamente as expressões fi· 
nais de cálculo, assim sendo, temos: 
Md1 • COS 6 l ;2 + 1 cmJbd? = 2 • ['1 
. --;2­
ml '2. 
Pl(2) adm 
ou 
--... 
b • d 2 ;= 2 • [2 • 71 620 • N • cos 6 1 P + 1 CJTI3 , 
. -j2­ml 	 :1
"1 . P](2) adm 
Os valores das pressões admissíveis P1(2) adm e dos coeficientes f são os 
mesmos assumidos para os casos de engrerl3gens cilíndricas. 
4.2 - CRITÉRIO DE RESIS~NCIA: Da mesma foona, a tensão máxima será 
expressa por: 
Pu • q 
Observando sempre: [u~::':'JUf1Ul)C b. m • e 
In 
O fator de forma (q) deverá ser tomado da mesma forma que para as 
engrenagens cilíndricas baseado, entretanto, no número equivalente de dentes 
(Ze ) e que vale: . 
l(2) 
Z1(2) 
Ze1(2) cos 61(2) 
o fator de carga (e) variará entre 1,25 e 1,75 pod6tldo, entretanto, pa­
ra os casos gerais ser tornado (e =1,5). 
O momento torçor poderá ser dado por: 
S2 ENGRENAGENS[Cap.4 
I M a"m • hnm • e . d 1 CAPíTULO VdI m, (kg em)q'2 
-,e, a potência: ~________________________________ 
Uadm • b • m . e • d 
(CY) TRANSMISSÃON = m ml q • 2 . 71620 COROA - PARAFUSO SEM FIM 
I . CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS (FORMULÂRIO) 
1 
1/ 
Denominação 
Número de' dentes da coroa 
Número de entradas do 
sem fim 
.,;, T 
1-' t 
.,---. Il I l-
Módulo• 
<> ...
: ~ ~ ~ 
Flg 1 
5(mboJo 
Zc 
Nerf 
m 
Fórmula 
dZc = pc
m 
N f=Hes t 
H =avanço 
r = passo sem fun 
m '" ~ 
54 ENGRENAGENS [Cap• .s 
Denominação Símbolo Fórmula 
Passo do sem flm t r =m • 'Ir 
Módulo normal 
Avanço do sem fun 
mn 
H 
mn =m • cos 
H =N esf • t 
À 
Passo normal In t n =m n • 11' =_t_ COJl À 
Ângulo de hélice À mNesftg À = 
des! 
Diâmetro primitivo 
do sem fun dp1f 
mn • Nesf dpsf = sen À 
Diâmetro primitivo 
da coroa dpc dpc =Zc • m 
Altura da cabeça do dente 
Altura do pé do dente 
he 
hp 
para À < ISo 
para À > 15° 
pata À < 15° 
para À > 15° 
he =m 
he = mn 
h = 1.2mp 
hp = 1.2mn 
Altura total do dente h 
pata À < 15° 
pata À> 15" 
h =2.2m 
h <= 2.2mn 
Diâmetro externo do sem fim delf desf <= dspf + 2he 
Diãmetro interno ou 
diâmetro do pé do sem fun dls! dls! =dp1f - 2hp 
Diámetro externo da coroa 
(aproximado) 
d 
ee 
dte ~ dce + m onde 
dee =diâmetro da cabeça da 
coroa (externo) dado por: 
(dee = dpe t 2he) 
Diâmetro interno do 
pé da coroa die d;c = dpc - 2hp 
Relação de multiplicação i 
. T'/eif
l "'-­T/c 
T/e,! '" r.p.rn. do eixo sem fim 
T'/c = r .p.rn· do eixo da coroa 
Cap. s1 Tl5n&11ÚS1iD CIOlOl'pat'IIUIO Jem ftrn 
Denominação Símbolo 
Distância entre centros Ao 
Largura Útil da coroa b 
Largura da coroa bo 
Comprimento do sem fim L 
Flg. 2 
2 - GRAU DE RECOBRIMENTO MtOIO DO 
SEM f]M e OBTEDQ DA RELAçÃO: 
EEaE 
cos À /n 
reSUltando, através do awu1lo da figo 2 em: 
J r~ - ('fJl • COi Cloji - J,:c - ('pc'
€ "" 
cosàof' cos2 X • t 
ss 
Fórmula 
_ dpsf t dpcAo ---2 
•
p1f + 1b = 2 jd
·mm . 
bo ~ b + m 
L ~ 2 • (1 + $c) m 
Lmínimo > 10 • m 
ENGRENAMENTO COROA 
cos r:t.oj)2 + hclsen ao.i 
56 E!\GRE.'líAGENS {capo 5 
ollde (Xo/ ~ ângulo de pressão (rontal. 
(\0 = ãngulo de press:io normal 
19 (Xor "" tg ao À '-' ângulo de inclin:lção do mele ou dal.!OS À 
hélice 
3 - NúMERO MINlMO DE DENTES . 
o número mínimo estabelecido pela relação ' 
2 ' he 
z = ,
m{lIimo m' sen- (XoJ 
4 - CORREÇÃO DF. OENTES 
Para 11 caso de t:ngrenamento coroa sem fIm o valor correspondente ao 
dcslocamcl1lo do perfil (x ' /11) C dado pela expressão: 
_ sen" (xII!' Lc . m , 
(x • m = "c - . ~ ) 
A fig o3 nos orienta mais claramente sobre (l exposto. É o novo centro 
a centro corrigido IA I') Será dado por­
. Z( m + Jps,t + x 	 ' m)(A,. = .. 
cf 
10- ~ 
1·1l!. l 
Capo sI Tran~ml!lSào coroa-parafuso sem fim 	 S7 
" 
5 - ESFORÇOS NO ENGRENAMENTO COROA-SEM FIM 
1>,'"" 
\ / ~ P. 
, -W~\ \ H 
' -
1. 
....... 
\ 
A 
,,~ 
Pu, 
Fig.4 
No engrenamento coroa-sem fim as forças decompõe-se segundo ilustra 
a fig. 4: 
Temos que: 	 Pn = esforçQ nouna! de engrenamento (kg) 
~Úc = esforço tangencial da coroa (kg) 
PI1 ; esforço axial do sem fim (kg) 
PUs! = esforço tangencial do sem fun (kg) 
P, ,,; esforço radiaJ (kg) 
Esses esforços rc)açiou!lm-se através de: 
p-' = P,/' cos ao ". cos " - P,Pn.- · sen " 
rt,r !% Pn • COS 0'0 • sen ).. + P,Pn ' cos À 
1', ao• !CCIO (XUl' P(I 
59 S8 	 ENGRENAGENS r~p. s 
fazendo: 	cos ao ~ j e /.l:= tg p 
onde: 	 1.1 = coeficiente de atrito e. 
p = ângulo de atrito. 
teremos: 
PUs!=Pa • tg (À+ p) 
A componente tangencial da coroa será: 
PUC =P =PUsf • cotg (À - p)a 
sendo. 
Pa 
PUs! =cotg (À - p) 
Relacionando-se agora com a potência transferida em (CV) e a rotação 
em r p.m., terem03: 
p _ 71 620 . N . 2 .1-(kg) 
Uc -	 11' d TI 
c pc 
onde: 	 N =potência em CV 
Ilc = rotações (r.p.m.) da coroa 
d =diâmetro primitivo da coroa (em) 
pe 
1/ == rendimento 
6 - DISTRIBUIÇÃO DOS ESFORÇOS SOBRE OS MANCAIS E EIXOS 
Determinaremos os esforços com auxflio da figo 5. De acordo com a 
inclicação da figura os mancais receberam índices I e 11 para o sem fim e m 
e rv para a coroa 
Temos: 
MANCAL I MANCAL rvMANCAL IIIMANCAL li 
P . r
_ Pa • r
esl PUs[ • rl!,C_ PUs! 	• recPu '= 	 Q p~! Pm ­ J>rvPI - e Q 	 ~, 2,a 	 2, Qa 	 $ 
I 
IP • 2mP, • io P, • 2. P, . ~V P _ 	 rPu,. := 2$ PJJJ = IV - IPI r 2, r 	 ll,r ll, 
I 
PUeP _ PC/si • ~I • 21vPUrl • 	211 P ~ rUe: • .12 m IPI := ~ nu - Q 'uIv = {ir ~IVU• rU $ I 
--_. ­ . ­
,
Cap. s1 Tr.:llum,Wio c:oroa-puafluo sem fim 
Sendo que. as reações de apoio serão dadas por: 
=-Ipt + (P ± E- )2' _Pll 1I u 11 ~ 
P'J. = -IPa + (PU ± Pn )2' 
rI U fi r 
P2 == Jp~ + (Pm ± Pm )2'm U Q ,. 
P2 =Jp'tv + (PIV ± PIV )2' ­IV Q Q r 
Fig.5 
7 - DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAMENTO - COROA-SEM FIM 
Para o dimensionamento do par coroa-sem fun procuraremos estabelecer 
Um roteiro de cálculo, com uma saqüência mais ou menos lógica, fazendo quan­
do necessário comentários e anexando infonnações: 
Assim sendo, temos: 
7.) - Determinação do torque 00 eixo de parafuso sem fim: 
M, = 71 620 ~ (kg em) 
onde 	 N =potência em CV 
Ir =número de r.p.m. du eixo sem fim 
61 
60 	 ENGRENAGENS (Cal). 5 
7.2 - Estlilelecimento da relaçao de m~tipHcação: 
i == rotação do eixo do sem fuo = Ns[ 
rotação do eixo da coroa Nc 
7.3 - Fixação do o6mero de e:Jitradas do parafuso sem fim: 
Nas transmissões coroa·sem fIm, pode-se. dependendo da relação de mui· 
tiplicação (I). estabelecer uma, duas, tJês e até quatro entradas ao parafuso 
sem fim. 
Sabemos que as relações de multiplicação para os pares coroa·sem fim 
podem variar de 10 até 100 aproximadamente. 
Assim sendo, para 06 números de (I) mais próximos de 10 utilizaremos 
um maior número de entradas, 3 ou 4 enlIadas e, para os valores de (I) próxi. 
mos de 100 trabalha-3l! com 1 (uma) entrada. 
O recurso de se trabalhar com "ma ou mais entradas é aquele de per­
DÚtir sempre para as pequenas relações de multiplicação principalmente. um nú­
mero minimo de dentes converuente para a coroa. 
7.4 - Defmição do mhnero de dentes para a coroa. 
{ J Zc ::; número de dentes da coroaI Zc:: N~lf . Ni!lf ::; número de entradas do sem flIl1 
7.5 - Fixação da djltlndl entre centros. 
A ftxação da distância entre centros de um par coroa-sem fun pode ser 
feito através de dois critérios. 
1. 	 ImposilJôes de natureza construtiva. 
2. Por 	compuação, consultando literatura especifica ou ainda <:3tálogos 
de fabricações similares. 
Entretanto, apresentamos uma expressão que fixa essa distãncia entre 
centros em função de diferentes valores, tais como, características dos materiais. 
número de dentes, esforços, coeftclentes de concentração de carga e dinâmicos. etc. 
Essa expressão poderá também ser utilizada como critério de verificação. 
Temos: Ao =( ~ + I) 540;f-zc )x M,c X Kc X Kd 
3 ac:ont m4:címa\11' X 
Nota: Essa expressão ti válida para: 
Módulo de eluticldade do sem f11ll (3&0) E1! = 2,1 X 106 kg/cm1 
Módulo de eluticidade da coroa (bronze·.1 EM ~ (0.9 - 1.2) X 106 kg/cm2 
..... 
Cap.5] Trlll1smissão COlO3opa.rafUlO lIem fim 
onde: 
Ao "" distância entre centros 
Zc = número de dentes da coroa 
q' = número de dentes aparente do sem flIl1. ou melhor, representa o 
número de módulos contidos no diâmetro primitivo do sem Om. 
UCOfll. máxima = tensão de confato máxima (kg!crn2 :) 
M ,C =: torque no eixo da coroa 
Kc =fator de concentração de carga 
Kd ~ fator dinâmico de carga 
O fator de concentração de carga (Kc) poderá ser tomado Kc =: 1 quan­
do houver uma regularidade de aplicação de i;arga. Nos casos.onde a carga é 
variável. os valores de Kc podem assumir valores superiores. atingindo índice até 
próximm de Kc == 2. 
Os valores do valor dinâmico (Kci) assumem valores em função das ve­
locidades tangenciaiB da coroa. Assim sendo, temos: 
Kd = 1,0 - 1,1 pl Vcoroa ~ 3 m/s 
Kd::; 1,1 - 1.2 pl Vcoroa > 3 m/s 
Esses valores comparativamente às engrenagens helicoidais são Inferiores 
em virtude da transmissão coroa-sem fim desenvolver-se mais suavemente. 
7.6 - Seleção dos materiais para coroa e sem fIm. 
De maneira geral os materiais utilizados pata o parafuso sem f11ll e a 
coroa são: 
Para parafuso sem fim: - Aços carbono 
ABNT 1010 - 1020 cementados 
- Aços carbono ABNT 1045 - 1050 
- Aços temperados 
As respectivas tensões admissíveis variarão em função das velocidades 
de deslizamento do parafuso sem fim expr~ em m/s. 
Assim sendo. temos: 
VELOCIDADE DE DESUZAMENTO (m/s) 
MATERIAL DO 
< 0.5 0,5 - /,0SE.\f FIM 2.0 - 3,0 4,0 6.0 
VALORES DE u
adm (kgJcrn1 ) 
Aço ABNT 1020 16002000cementado 900 .­ -I 200 
1500Aços ABNT 1045 1800 700 
-] 10{l­ -
Aços temperado! 
- 2200-
 1800 1200 
-
63 
62 	 ENGRENAGENS [Cap. S 
Os materiais utilizados normalmente para a fabricação das coroas são 
bronzes fundidos em areia, coqullhas e até centrifugadas. Para efeito de resistén­
C1a podemos admitir os seguintes valores para as tensões- admissíveis: 
BRONZE FUNDIDO EM AREIA kgJcm2(1odmOU COQUILHA - SAE 65 
BRONZE CENTRIFUGADO 
= 2000 	kg,lcm2GodmDIN Bz 	 12 
7.7 	- Fixação da tensão ou pressão de contato: 
Nos dimensionamentos coroa-sem fim, praticamente, os cálculos de re­
sistência ou pressão, são voltados ã coroa. O sem fim estará fatalmente bem dj· 
meruüonado quando atender as condições normaís deste tipo de engrenamento. 
Faz-se entretanto, algumas verificações, como por exemplo, o flexiona· 
menta devido à ação das componentes do engrenamento que podem, admitido 
o sem fllll bi-apoiado, causar uma flexa inadmissível prejudicando o par engre­
nado em funcionamento. 
Desta forma, a tensia de contato estabelecIda para a coroa é dada em 
função da velocidade de deslizamento entre coroa e sem fllll, dos materiais e 
durezas (fiE) correspondente. 
Corrige-se ainda esta tensão através de um fator de atuação de carga 
(K). Portanto: 
(1 - =o' X Kconto mdxima conto adm. 
onde aco"t máxima = tensão de contato máximo (kg/cml ) 
0::Ont. adm. = tensão de contato admissível (kg(c.ml ) 
K :; fator de atuação de carga 
Esse fator K é dado por: 
K;; Jl~7 ' 
onde 
N ;; número de ciclos aplicação de carga. N = 60 • H . n • 
sendo 
TI = número de r.p.m. 
H =­ número de horas de solicitaçãd 
i = número de vezes que o dente engrena numa volta 
~p. 5} TllIl/wnissão OOroa-para(WIO sem fim 
7.8 - Fixação de característiC8.!l básiC8.!l do sem fim. 
No caso de engrenamento coroa sem fIm, o diâmetro primitivo do sem 
fIm é expresso pelo produto do módulo (m) por Um número (q) que representa 
o número de vezes que o módulo é contido no dJâmetro primitivo do sem fim. 
Por analogia a um pinhão de engrenagem cilíndrica esse nÚmero (q) se­
ria aproximadamente o número (Z) de dentes desse pinhão. 
(dpr( =m • q)onde: 
dpsf = diâmetro primitivo do sem fim em (mm) 
m =módulo (mm) 
o módulo frontal do sem flm será: 
1
rtlf =- m • tg {3 -=:: rtl ­ tg À 
onde : 
À =- ângulo de inclinação do filete 
fJ =complemento do ângulo de inclinação do ruete 
Como entretanto o sem fl1ll pode ser construído com maís de uma en­
trada o valor do seu diâmetro prirrútivo passa a ser expresso por: 
N 	 N 
d = rtl~ fazendo-se' ~;; q'ps! 	 tg À ' • tg À 
detennina-se o diâmetro do sem fim pela relação: (d ! -=:: m • q). 
pr 
O valor de (ql tem relacionamento estreito com o rendimento do par 
coroa sem fim, definido de forma análoga ao do rendimento de Um parâmetro 
de um parafuso de filetagem comum. 
_ tg À 
f'/ - t8 (X + p) onde p == ângulo de atrito. 
Sabemos outrossim, que os rendímentos pares coroa sem fim são relati­
vamente baixos, variando com a condição de atrito e com o ângulo de inclinação 
do filete. 
Através do diagrama é possível avaliar o rendimento do parafuso 5em 
fim (Ver gráfico ã parte). 
Para efeito de orientação os melhores rendimentos sitlJil1Tl.:;e no faixa 
de 15° à 20°, dependendo naturalmente, seu valor do mgulo de IIln'lO• 
file Ie. seus va­Como (q') tem dependência do õngulo de .inclianção do · 
lores oscilMn entre 6 e 13. (q' ~ 6 a 13). 
/ 
TJ/m lax 
64 ENGRENAGENS r~,,· s Cap. s] TDlDSITIlmo tOIo"paI1Ir mfim 65 
j.J. :: t gr 
100 
/0 
gO 
60 
10 
60 
t:1 
O 50 
~ 
~ 
.... 
l: ~O 
Q 
~ 
.... 
Q: 30 
20 
ro 
0'1 ' 1I111' ! 1"1111111'1 ;1 !" III IIll1',.!lll l 
2-3 O' 5 10 1 S 20 2 S 30 3 S ~O ~s 
r\NGULO DA HÊLICE IÀ )0 
7.9 - Determinação do rendimento par coroa-5em fim. 
Através da tabela ebaíxo recomendam-se valores do ângulo de atrito (p) 
parli diferentes velocidades de deslizamento. (V desl) dada em m/s. 
V desl. em m/s p = ãngulo de atrito 
0,1 - 1.5 
2 
2,5 
3 
4 
7 
6°(}()' -2"50' 
2"30' - 2(;00' 
2"10' - /"40' 
2°00' - 1°20' 
1°40' - 1"20' 
J020' - 1"00' 
~ importante que se considere também o grau de acabamento principal­
mente da superfície de flletagem do sem fun. 
Fixados portanto os ângulos de inclinação À e o ângulo de atrito con­
venientes p. o rendimento do par coroa-sem ftm será detenninado por: 
tg À 
11 tg p, + p) 
7.10 - Determinação da velocidade periférica da coroa. 
A velocidade periférica da coroa será dada por: 
1T - d • N c 
Vper = 60 t'IOOO 
d (' ~ diâmetro primitivo da coroa (mm)p
N =rotação (r.p.m.) da corO:l 
c 
Corno: (dpc: :: m- Zc.) onde: m : módulo em (mm) 
Zc =número de dentes da coroa 
v - 7T • Zc • m • Nc ( /)teremos: pér - 60 X 1000 m s, 
.11 - Determinação da velocidade de deslizamento entre coroa-sem fim. 
A velocidade de deslizamento do par coroa-sem fun é a mesma do en­
grenamento de engrenagens cüindricas helicoidais com eixos cruzados a 90<' e, 
dada pela relação: 
11' d nV desl 60 • 1000 • cos À 
onde: 
d :: diámetro do pinhão (mm) 
n = rotação do pinhio (r.p.m.) 
À =IínguJo de hélice .­
67 
66 ENGRENAGENS [Cap. 5 
Para o caso de engrenwnento coroa-sem fun o diâmetro do pinhão (d) 
equivalerá ao diâmetro primitivo do sem fim, que por sua vez será: (d::::: m . q') 
Resultando na expressão seguinte: 
m.N f .J .V desl ::::: ( S ). (N )1 + q'l (m/s)In .Xí't. tsf 
onde: 
m = módulo em (mm) 
N
sf = número de r.p.m. do sem fun 
=número de entradas do sem fim
N
elf 
Convém sempre verificar a compatibilidade entre esses valores determi­
nados com o utilizado anteriormente quando da fixação das condições de trabalho. 
7.12 - Verificação da coroa à Resistência. 
A tensão no engrenamento coroa-sem fun é s6 verificada para a coroa 
pois comparativamente ao sem fim, este tem uma resistência mecânica muito 
mais acentuada. 
O cálculo ou verificação do dente da coroa é feito de forma análoga ao 
das engrenagens cilíndricas helicoidais e, a tensão resistente será expressa por: 
p • q 
~ - ~ )kg/ 1
~-h.m.e.~ ~ 
r 
onde: 
b = largura da coroa em centímetro (em) 
P ::::: esforço tangencial na coroa (kg)
tg 
m =módulo em centímetro (cm) 
e = fator de carga 
q = fator de carga (dado para a condição de engrenagem helicoidal e 
de acordo com a correção (± x) 
~r ::::: fator de correyão devido ao ângulo de hélice. 
O valor dessa tensão resistente deverá ser: (ores ~ 0adm coroa) onde. 
0adm coroa '" tensão admissível (kg/cml ) para material da coroa. 
7.I 3 - Cálculo da superfície de troca de calor ou de refrigeração do par coroa-sem 
fim (Redutores de velocidade). 
Como foi visto, o rend1ffiento na transmissão coroa-sem fim é relativa­
mente baixo comparado aos demais sistemasengrenados . 
Essa perda é transformada em calor. No caso de caixas redutoras fecba­
das coroa·sem fun, é extremamente importante. a consideração desse aspecto, pois, 
é necessário que se crie suficiente superfrcie para a troca desse calor com o meio 
ambiente. 
-
Cap. 5] Transmissão coroa-parafuso sem fim 
Os redutores modernos coroa sem f.un, levando em conta esse problema 
são construidos com paredes nervurados recebendo inclusive refrigeração de ar 
proveniente de um rotor ventilador montado na extremidade oposta da tornada 
de força do eixo do parafuso sem fim. 
A figo 1 abaixo mostra-nos um redutor coroa sem ftm nervurado. 
Fig. 1 - REDUTOR COROA SEM FIM NERVURADO COM VENTILADOR 
Normalmente, para efeito de cálculo, fixa-se a temperatura do ar cir­
cundante em 20°C e a temperatura máxima do óleo lubrificante e refrigerante em 
tomo de 60° a 70°C. 
Existem cálculos dimensionais modernos onde o aquecimento é fator 
predominante. 
A potêneta perdida em (CV) devida ao rendimento do par coroa-sem 
fun, converte-se na quantidade de calor Q (kcal/h) através da relação. 
Q :: 63-2 Np (kcal/h) 
onde Np :: ?oténcia perdida (CV). 
Desta foona, em regimes de temperaturas, a superfície de troca de calor 
em transmissão fechada, em banho de óleo, é obtida através do balanço tér­
ITÚco que deverá ser estabelecido. 
Ainda deve-se considerar uma outra perda de calor, pela agitação que o 
sem fim ou a coroa determina sobre o óleo. refrigerante e lubrificante. 
Para o caso do sem 1ÍD1 submergido no óleo, teremos: 
(N = 1,2 X 10"'. X V tg sf X L.Jp. V tg sl)
. ag . 
69 
I 
6b 	 El"GIU?"'IAGE!l:S Ic.~p. 5 
onde: 
,:: perua de potência por ugilaçãü do ól~o em (C 
V • Ig if .= vllloc~dlJde tangencial do Iicrn fim fm/seg) 
L =: comprimellll1 dosem fim (parte filel;,da) em em 
J.I = viscosidlJde dínãmica do 6leo ã temperatura t"C (cenlipoisesl 
Para cálcu10s aproximados. pode-se fixar preliminarmellte os seguintes 
rendimentos para esse tipo de transmissão dado em função do número de elitra· 
das do !'.em fim. 
NÚMERO DE ENTRADAS RENDIME;-"'TO 
DO SEM FIM TOTAL APROXI~1ADO 
0,7 - 0.75 
2 0,75 0.82 
3 a 4 0.82 - 0.92 
De qualquer fonna esse rendimento total será expresso por: 
TI = tg h . N 
10m! tg (h + p) X (1 - ;/) 
nde: 
Nag =: perda de potência por agitação do óleo em (CV) 
N =poténcia total da transmissão em (CV) 
ti - EXERClclOS DE APLICAÇÃO 
8.1 - ENGRENAGENS CILINDRICAS RETAS 
1. 	 VeriftCltT a~ len~õcs rc,i,lel1lc~ dQ pinhão c dn corOJl para um pAr engrenado quclroln't­
mil.: uma potência .V ~ 15 CV. 
'1 • 1S dentes 
l2 = 59 denle\ 
1/1 .. 6 mm 
mlllcri.tJ do pính:ío: nço SAL 1060 
material 11:1 engrenagem: rem) fundido 26 kg[mm1 
rOLO,:io tio I'IXO do pinhão: "1 .. 500 Lp.1TI 
coneç:ill plJ~itlvu ~oment~ no pinhão de, +O.s 111 
h ~ 60 mm 
cc = 225 mm 
 ~'cl2'{-
DE'fP.R~II~AçAn no ESFORÇO TANGENOAL 
.. v 
onde FI, "--7r 
~, 
I" . , . D·.tI 
~~ 
'" m • Z I 6 XIS ., QOL 
I 
IJ .. m . L 2pJ 
C.aJ'. 51 Tmnsmiss.lo coro:t-parot'uso sem fim 
r:'liGRE."A.\fLNTO ~ 
Xt m = U.5 X 6 3 mm 
3.14 X 0.090 X 500 ~"
V 
= 60 _._Hl In/' 
F 	 _ 75N 
I - --I ;5 X I ~ _ 477 k..F, . 2.31i ­
VERWICAÇÃO rHS ll'l.lSÕIS 
F • q 
ama.\ = h • 
t 
111 • T 
J - 1.35 para n pmhJo 
f = I 50 rar,l u (('rua 
DETER,\!I:\A(,' . .\O DOS r A roRES DI FORMA 
p.m! plnh:io /.1 , 15 dcnIC~} 1/1 = 2,65 (GRAFICOI
\1 	 = 10.5 
para coroa /, ,,59 dentl'~ } q, " 2.75 
x; 	~ 0.0 hem corr~rãoJ • 
p"ra pmh:io 477 X 2.65 '= 260 kglcfTI1 
Uma\ = 6 X 0.6 X 1.35 
/\1,'0 SAL 	 10611 - ct adm = 1500 k!-!/cm l 
°ma\ < a,ulm 
Portal1to l' 'atl\fatôrio. 
para coroa 477 X '2.75 .. 243 kg/cm ZUma, 1'.,0 X 0.1'. X 1.5 
tí.:rw funtlidu 26 kWlllm 1 
 0atllll ;: 500 k~h:ml UmJ:\ < f.l admPortanlu ~allsf;lJ', .1 contlll:;JO 
2, 	 V~ril1~a! pl'lll 'TII':riq iJ,' prc"Jo o par ~nj!ren:Jdo com aI \cguintc\ C'Jra~l.:rÍ5licas , 
DADOS 
\' ~ 15 CV 
Pinhão: 	 ZI = 15 
m = f) mm 
h ,,(,I) 10m 
matuwl .. aço i\BNT-I060 
/; t '" .2,1 • Ifi" kll.'~·m' 
"I = 500 r .p.m, 
('nm;t" 	 /., = 59C; " 1,05 " 106 I..gJI.:mZ 
mJkrlll1 = ferro funtlidu 
Llklllu~ Ui)) díãnwtros prunillv'ls 
d_ " 1/1 .7. 1 
71 70 	 ENGRENAGENS 
[Cap.s 
2. 	 Cálculo da distância centro a centro do par 
d + d 
cc _ PI P2 90 + 354 _.lli 
por - 2 2 - 2 
cepar =222 
3. 	 Cálculo da correção: 
225 - 222 =x • m 
x 'm =3 
3 
x 	=6 =+0,5 
x = (XI + xl) Xl" O 
{ XI .. 0,5 
4. 	 Cálculo do momento tonor no pinhão: 
1011, = 71 620-,NI, 
15 ....L
,1.1'1 =71 620 :mo- = 71 620 ' 100 
MI I =2148,6 kp • em 
5. 	 Dimensíonarnento - critério de pressão 
"Somente do pinhão" 
bd2 =2[2.~,~
PI pl
I 	 adm 
I .. ICE, e E1 ) ~ tabela I'" 1234. 
b :: 60 mm =6 cm 
d I .. 90 mm =9 em
p 
MIl = 2148,6 kp 'cm 
; = ~~ '" 3,933 ~ 4 
Re~ta nessa expressão levantar valor da pressão, confrontando·a em seguida com a pres­
são tolerável para o /TUlterial para um detemúnado número de horas de vida. 
Dd .02[2 "'ti 1+1'
r'Q rol '" • -- , - ­bdp~ f 
Podml .. J2 • (1234)2 .2148,6 ,~ =103 • v'i6.ã3 9: 4080 kg/cm2 
6 • 92 .. 
l[;adm I '" 4080 kg/cm I 
Vamos verificar em seguida qual a VÍda em horas pam esta condição de engrenamento, 
admitindo como pres-io o valor obtido pelo cálculo. 
Padm = 4080 kg,Icm1 
Padm ,. 49 '. f!B 
W 
HB : 200 kFJcm' (aço ABNT-I060) 
4080 =49 • 200 
W' .­
W1/6 _ 49 X 200 .9800 "" , 4' 1 
- 4080 - 4õBõ - - , ­
U6W :: 2.421 I\' = 201.356 
C.ap. 51 Tnllllmlssio coroa-puúuso Item nm 
IV _ 60 1/ ItComo; 
-lõ6 
teremo~ ' 
11 	 _ W '106 201,356· 106 
- 60· 1/" 60 X 500 
h =6712 hom 
8.1 - ENGRENAGEM CILINDRJCA HELICOIDAL 
Fig . I 
Dudo o C'ngrcnamcnlo e~qucmatÍU1do na figura v~rific.i-Io Quan to à re!Ístêncla e • pn:~são . 
DADOS : Material 
,\, = 50 CV pinhão SAE4340lO 
"1 	 =: 1000 r.fI .m. coroa = SAE 4340
',, 4 
(1 '" :100 
a:
"0 ,, 20° fcvolvcntel . CL' = 180 mm 
b '= 80 mm coruiderar rendimento /I 
ROTEIRO DOS CÁLCULOS 
\ . 	Rxa~'Üo do número til' dCl1t~ 
r:;,.:Inlmol parll o pinhão Z I " 18 dentes 
i 	= 4 portanto Xl" 72 dc:nl 
1 .. /8 dentes 
Z, 	 =- 72 dentes 
73 12 	 ENGRENAGENS [Cap.s 
2. 	 Determinação do módulo frontal ms 
(Z,+Z~) 2·cc 
a: -= ms 2 mr = Z I ~ Z2 
_ 2 • 180 1M!_ 
ms - 18 + n ~ 90 - 4 
ms '" 4 mm 
3. 	 Determinação do módulo normal Inn 
In
 
n 
In 	 =-- m = m, cos/3 13 = 200 ; cos 200 = 0.939 
S 	 co~ 13 n 
m., 	'" 4 • 0.939 '" 3.756 
m	 = 3,756 mmn 
4. 	 Fixação do módulo m norma.lizado m = 3,75 mm
n 	 n 
5. 	 Recálculo do módulo frontal ms 
Inn 3.75 
 I Ins -= 3.98 mmms ;: cos 13 = 0,939 -= 3,98 
6. 	 Cálculo da distância centro a centro do par a: ' 
, Z I + Z2 18 + 72 X 
cc=m	 ( 2 )=3,98( .~ ):3.9845-179.10 s 
cc' '" 179.1 mm 
7. 	 Determinação do rator de correção :c 
XI = fator de correção dO. pínhão 
:c =:c I + X'Z { %2 	 -= fatol de correção da coroa E: 
e
.\' In" 	'" cc - cc' ~ x TII	 '" 180 - 179,1 = 0,9n I 
x m	 = + 0.9 (correção positiva) 
n 	 ~ 
x = 3~~5 	 '" 0,24 
Para este caso faremos 
Xl • 0,24 
X2 = O 
8. 	 Verificação do pinhão quanto à resistência 
a = FI • q <; Oadm 
b • m" • e • 'l'R 
I11lIterial do pinhão SAE 4340 aadm -= 1700 kg/em1 
a) Determinação da forç:J tangencial Ft 
FI 	=!/!1- d ="',' Z, '; 3.98 • 18 '" 71,64 mm p, p, 
d = 71,64 mm '" 7,164 em 
Pt 
Capo. 5] 	 TransmWio coroa-panflUO sem Om 
Mr 	= 71620 N 
n 
Mr = 71 62~ 1&2& = 3581 kg em 
Fr = 2 i]lll E!: 1000 kJl 	 I[ FI 	= 1000 kg 
b) Determinação do fator de fonna q 
q '" F (Zi e x) ZI = número de dentes imaginário 
. Z 18 J.L
ZI = -=-- = 0,828 .. 21,7 
cos 
l 13 0,9393 
Zi = 22 dentes 
Entrando no Jlláfico de q com 
qZi:22 }