TRIGONOMETRIA FICHA 01

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TRIGONOMETRIA 
 
Série: 
 
 
Turma: 
 
 
Aluno: 
Data: 
Professor: 
 
 
 
 
 
Número: 
 
 Disciplina: 
 
Valdemar Santos 
AFA-EFOMM 
MATEMÁTICA 
01. Dadas as funções   x
x
e
e
xf



1
1
, 
  0 Rx e   ,sen. xxxg  Rx , 
podemos afirmar que: 
a) ambas são pares 
b) f é par e g é ímpar 
c) f é ímpar e g é par 
d) f não é par e nem ímpar e g é par 
e) ambas são ímpares. 
 
02. Sejam a e b constantes reais positivas. 
Considere 1
2  tgtax e 
2222 secbtby  em que 
2
0

t . Então 
uma relação entre x e y é dada por: 
a)   axx
a
b
y  ,1
2
. 
b)   1 ,1
2
4
2
 xx
a
b
y . 
c)   Rxx
a
b
y  , 1
2 . 
d)   1 , 12 

 xx
a
b
y . 
e)   1 , 14
2
 xx
b
a
y . 
03. Sabendo-se que  é um ângulo tal que 
   º60cosº60sen2   , então tg é 
um número da forma 3ba em que: 
a) a e b são reais negativos. 
b) a e b são inteiros. 
c) .1ba 
d) a e b são pares. 
e) .1
22 ba 
04. Sabendo-se que x e y são ângulos do primeiro 
quadrante tais que e 
6
5
cos x 
5
4
cos y 
então se yx  e 
,sen
1
1 2
2
2







tg
tg
T temos: 
a)  está no 4º quadrante e 
3
2
T . 
b)  está no 1º quadrante e 
3
2
T . 
c)  está no 1º quadrante e 
10
11
3
2
T . 
d)  está no 4º quadrante e 
10
11
3
2
T . 
e) n.d.a. 
 
05. A expressão trigonométrica 
   22
2
222 1
4
sencos
1
xtg
xtg
xx 


 para 
 






 
2
 ,0 

x , ,
4

x é igual a: 
 
a)  x2sen b)  x2cos c) 1 
d) 0 e)  xsec 
 
06. Sejam a, b e c as medidas dos lados de um 
triângulo e A, B e C os ângulos internos opostos, 
respectivamente, a cada um destes lados. Sabe-se 
que a, b, c, nesta ordem, formam uma progressão 
aritmética. Se o perímetro do triângulo mede 15 cm 
e 
240
77coscoscos

c
C
b
B
a
A
, então sua 
área, em 
2cm , mede: 
a) 
4
715
 b)
3
54
 c) 
5
54
 
d) 
7
74
 e) 
4
53
 
07. Seja 






4
 ,
4

a um número real dado. A 
solução  00 , yx do sistema de equações: 
   
   
,
1sencos
cossen





yaxa
tgayaxa
 é tal que: 
a) tgayx 00 . . 
b) ayx sec. 00  . 
c) 0. 00 yx . 
d) ayx 200 sen.  . 
e) ayx sen. 00  . 
 
08. Seja  um número real tal que 
 212  e considere a equação 
01.2   xx . Sabendo que as raízes 
reais dessa equação são as cotangentes de dois 
2
 
 
 
 
 
dos ângulos internos de um triângulo, então o 
terceiro ângulo interno desse triângulo vale: 
a) 30º b) 45º c) 60º 
d) 135º e) 120º 
 
09. Seja 






2
 ,0

 , tal que 
msen   cos . Então, o valor de 
 


33 cossen
2sen

y , será: 
a) 
 
 2
2
4
12
mm
m


 
b) 
 
 2
2
4
12
mm
m


 
c) 
 
 2
2
3
12
mm
m


 
d) 
 
 2
2
3
12
mm
m


 
e) 
 
 2
2
3
12
mm
m


 
 
 
10. Seja  um valor fixado no intervalo 





2
 ,0

. 
Sabe-se que ga cot1  é o primeiro termo de 
uma progressão geométrica infinita de razão 
2senq . A soma de todos os termos dessa 
progressão é: 
a)  tgec .cos . 
b)  tg.sec 
c) .cos.sec  ec 
d) 2sec . 
e) .cos 2ec 
 
11. Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento 
AC mede 2 cm. Sejam  e , respectivamente, 
os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A 
área do triângulo é ( em 
2cm ) igual a: 
a) .2sencot.sen2 2  g 
b) ..2sen.sen2 2  tg 
c) ..2sencot.cos2 2  g 
d) .2sen.cos2 2  tg 
 e) .2cos.sen2 2  tg 
 
12. Seja RRf : a função definida por 
  .2cos2sen2 xxxf  Então: 
a) f é ímpar e periódica de período . 
b) f é par e periódica de período 
2

 
c) f não é par nem ímpar e é periódica de período 
. 
d) f não é par e é periódica de período 
4

 
e) f não é ímpar e não é periódica. 
 
13. Seja Ra com 
2
0

 a . A 
expressão 
 
























 aaa
2
sen
4
3
sen
4
3
sen

 
é idêntica a: 
a) 
ag
ag
2
2
cot1
cot2

. 
b) 
ag
ga
2cot1
cot2

. 
c) 
ag 2cot1
2

. 
d)
2
cot31 ga
. 
e)
ga
ga
cot1
cot21


. 
 
 
 
 
14. Sejam f, RRg : definidas por 
    .10 e 5cos33 xxgxxf  Podemos 
afirmar que: 
a) f é injetora e par e g é ímpar. 
b) g é sobrejetora e gof é par. 
c) f é bijetora e gof é ímpar. 
d) g é par e gof é ímpar. 
e) f é ímpar e gof é par. 
 
15. Considere RRf : definida por 
  .
2
cos3sen2 




 

x
xxf Sobre f 
podemos afirmar que: 
a) É uma função par. 
b) É uma função ímpar e periódica de período 
fundamental 4 . 
c) É uma função ímpar e periódica de período 
fundamental .3/4 
d) É uma função periódica de período fundamental 
.2 
 e) Não é par, não é ímpar e não é periódica 
 
3
 
 
 
 
 
16. Sendo  e os ângulos agudos de um 
triângulo retângulo, e sabendo que 
,02cos22sen2   então sen é igual 
a: 
a) 
2
2
 b) 
2
24
 c) 
2
84
 
d) 
4
84
 e) zero 
17. Sejam f e g duas funções definidas por 
    1 32  senxxf e  
1 3 2
2
1








xsen
xg , 
Rx . A soma do valor mínimo de f com o valor 
mínimo de g é igual a: 
a) 0 b) 
4
1
 c) 
4
1
 d) 
2
1
 e) 
1 
 
18. Seja a matriz 





cos390º º120sen
º65sen º25cos
. O 
valor de seu determinante é: 
a) 
3
22
 b)
2
33
 c)
2
3
 
d)1 e)0 
 
19. Se x, y e z são os ângulos internos de um 
triângulo ABC e ,
coscos
sensen
sen
zy
zy
x


 prove 
que o triângulo ABC é retângulo. 
 
20. O valor de xzy 2 para o qual os números 
12
sen

, x, y, z e sen75º , nesta ordem, formam 
uma progressão aritmética, é: 
a) 
43 b) 62 c) 26 
d) 
52 e) 
4
32 
 
21. Para todo Rx , a expressão 
      xxx sen 2sen 2cos 2 2  é igual a: 
a)       xxx 7sen 5sen 2sen 2 4  . 
b)     xxx 9sen 7sen 2sen 2 4  . 
c)       xxx 7sen 3sen 2sen 2 4  . 
d)     xxx 9sen 5sen 2sen 2 4  . 
e)     xxx 5sen 3sen 2sen 2 4  . 
 
 
 
 
 
 
22. Considerando as funções 
  





 
2
 ,
2
 1 ,1 :sen 

arc e 
    ,0 1 ,1 : cos arc 
assinale o valor de 


















5
4
cos 
5
3
sen cos arcarc . 
a) 
25
6
 b) 
25
7
 c) 
3
1
 
d) 
5
2
 e) 
12
5
 
 
23. Obtenha todos os pares   , yx , com 
  2 ,0 , yx , tais que 
   
2
1
sen sen  yxyx 
1cossen  yx 
 
GABARITO 
 
01. C 
02. D 
03. B 
04. E 
05. C 
06. A 
07. C 
08. D 
09. C 
10. C 
11. A 
12. C 
13. A 
14. E 
15. B 
16. C 
17. D 
18. E 
19. PROVE 
20. D 
21. B 
22. B 
23. 






























 
3
5
,
6
5
 ,
3
,
6
5
 ,
3
5
,
6
 ,
3
,
6
 

S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
01. A ilustração abaixo representa parte do gráfico 
de uma função ( ) .cos
x
f x a b
c
 
   
 
com 
período 8, sendo a, b ec números reais. O gráfico 
da função passa pelos pontos ( 0, 12 ) e (4, 2 ). 
Calcule a, b e c e indique 
10
abc
. 
 
 
 
 
02. Num triângulo acutângulo ABC, o lado oposto 
ao ângulo  mede 5 cm. Sabendo que: 
 
5
3
arccosˆ A e ,
5
2
arcsenĈ  então a 
área do triângulo ABC é igual a: 
a) 
2
2
5
cm b) 212cm c) 215cmd) 
252 cm e) 2
2
25
cm 
03. Para x no intervalo 





2
 , 0

, o conjunto de 
todas as soluções da inequação 
  0
2
3sen2sen 







xx é o intervalo 
definido por: 
a) .
210

 x 
b) .
412

 x 
c) .
36

 x 
d) .
24

 x 
e) .
34

 x 
04. Se a e b são ângulos complementares, 
2
 0

 a , 
2
 0 

 b , e 
3 
sen - sen 
sen sen 
 

ba
ba
, então 
 b
a
3 cos 
5
3
sen 





 é igual a: 
a) 3 b) 
3
3
 c) 2 
d) 
2
2
 e) 1 
 
05. O conjunto imagem da função 
    ,01 ,0: f definida por 
 
2
13
cos 


x
arcxf é: 
a) 






3
2
 ,
4
 ,0

 
b)   ,0  
c) 





4
3
 ,
4

 
d) 





3
2
 ,0

 
e) 





2
 ,0

 
 
06. Sobre a equação xgxtgx 6sen2cot  , 
podemos afirmar que: 
a) Apresenta uma raiz no intervalo 
4
0

 x . 
b) Apresenta duas raízes no intervalo 
2
0

 x . 
c) Apresenta uma raiz no intervalo 

 x
2
. 
d) Apresenta uma raiz no intervalo 
2
3
  x . 
e) Não apresenta raízes reais. 
 
07. Se 044cos 44  axsenx , então 
x8cos vale: 
a) 2a b) a c) 4a 
d) zero e) a + 4 
 
 
 
 
08. Considerando as funções 
  





 
2
 ,
2
 1 ,1 :sen 

arc e 
    ,0 1 ,1 : cos arc 
5
 
 
 
 
 
assinale o valor de 


















5
4
cos 
5
3
sen cos arcarc . 
a) 
25
6
 b) 
25
7
 c) 
3
1
 
d) 
5
2
 e) 
12
5
 
 
09. O valor de xzy 2 para o qual os números 
12
sen

, x, y, z e sen75º , nesta ordem, formam 
uma progressão aritmética, é: 
a) 
43 b) 62 c) 26 
d) 
52 e) 
4
32 
 
 
10. Encontre todos os valores de 






 
2
 ,
2
 

a para os quais a equações na 
variável real x, 
a
e
arc
e
arc
xx













2
12 tg
2
12 tg , 
admite solução. 
 
 
11. O intervalo RI  que contém todas as 
soluções da inequação 
62
1
 tg
2
1
 tg






 





  x
arc
x
arc 
é: 
a)   4 ,1  b)   1 ,3  
c)   3 ,2  d)   5 ,0 e)  6 ,4 
 
 
12. Obtenha todos os pares   , yx , com 
  2 ,0 , yx , tais que 
   
2
1
sen sen  yxyx 
1cossen  yx 
 
 
13. Determine a soma de todos os valores de x no 
intervalo  0, , quais são soluções da equação: 
 
3
2
1
1 3cot 3
cos 2
tg x g x
x
 
     
 
. 
 
 
14. Resolva a equação 
(2 ) 2 (3 )tg tg tg    , sabendo-se que 
0, 2  . 
 
15. Calcule ( )sen x y em função de a e b , 
sabendo que o produto 0ab  , que 
senx seny a  e que cos cosx y b  . 
 
 
16. Resolva a equação 
2 11 cos3 3 3 0sen x x sen x   . 
 
 
17. Determine o conjunto imagem e o período de 
2( ) 2 (3 ) (6 ) 1f x sen x sen x   
 
 
18. Sabendo que 
2 1 1
6 2
tg x 
 
  
 
, para 
algum 
1
0,
2
x 
 
 
 
, determine senx . 
 
19. Se 1n o número de raízes da função 
 sen x no intervalo  0,10 , e seja 2n o 
número se soluções da função 
2( )sen x no 
intervalo  0,10 . Indique 1n + 2n . 
 Dado : 
2 2(3,1) 10 (3,2) 4       
 
 
20. Quantas soluções a equação 
4 6
2 ... 2
2 4
sen x sen x
sen x     , admite, no 
intervalo  0,20 ? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
 
 
 
 
01. Sabendo que 
22
22
sen 
nm
nm
x


 , com 
0 nm e 
2

 xo . Calcular x tg e 
xcos . 
 
02. Determinar a relação entre os 
parâmetros a, b, c, d para que o sistema 
abaixo tenha solução: 





dxbxa
cxbxa
 cossen 
sen cos
 
 
 
 
 
03. Sabendo que 
a
b
x  tg , para 
2
0

 x , provar que 
222
sen cos
ba
x
b
x
a
 . 
 
04. Sabendo que  
ba
ba
yx


 tg e 
  1 tg  zy , calcule  zx  tg . 
 
05. Os ângulos de um triângulo ABC, 
verificam a relação 
CBA tg tg tg2  , determine o valor 
de CB tg tg  . 
 
06. Sendo º180 cba e 
0cossen sen  cba , demonstre que 
0 tg tg2  cb . 
 
07. Sendo a tg e b tg as raízes da 
equação 02  qpxx , calcule o valor 
da expressão: 
       baqbabapba  22 coscossen sen
 
 
 
 
08. Sabendo que 
17
15
sen x , 
5
3
sen y , 
2
0

 x e 
2
3
  y , 
calcule  yx sen ,  yx cos e 
 yx tg . 
 
09. Sabendo que cba  º90 , 
simplifique a expressão: 
 cabacb tg tg tg tg tg tg  . 
 
10. Num triângulo ABC, 
2
cot
A
g , 
2
cot
B
g e 
2
cot
C
g estão em P.A. 
Demonstre que 3
2
cot
2
cot 
C
g
A
g . 
11. Prove que 
º2cosº28sen º32sen  . 
 
 
12. Sendo  cba , determine o 
valor de 
     
cb
cb
ca
ca
ba
ba
sen sen 
cos
sen sen 
cos
sen sen 
cos








. 
 
 
13. Sendo     1coscos2  axax , 
prove que 
a
a
x
2
2
2
tg31
tg1
tg


 . 
 
14. Sabendo-se que 
 
1
sen
sen
 tg
 tg
2
2


a
x
a
ba
, 
mostre que bax tg tgtg2  . 
 
15. Sabendo-se que cos cosx y m  
e sen sen x y n  . Determine o valor 
de 
 a)  cos x y 
 b)  cos x y 
 
16. Simplifique a expressão: 
   xxxE  º120senº120sensen 222
 
 
17. Determine o período da função 
   xxf 7cos 
 
18. Determine o período da função 
   xxf 12sen  
 
19. Determine o período da função 
  






5
8
 tg
x
xh 
 
7
 
 
 
 
 
20. Determine o período, a imagem e 
construa o gráfico das seguintes funções 
reais: 
a)   xxxf 2sen2cos 22  
b)   xxxg sencos3  c) 
 
xx
xx
xh
sencos
cossen


 
 
21. Calcule o período da função 
     xxxf 4cos3 tg  . 
 
22. Sabendo que 
7
1
 tg a e 
11
2
 tg b , 
calcular a  ba 2 tg . 
 
23. Se 
a
b
x  tg , calcule 
xbxa 2cos2sen  . 
 
24. A expressão 
2
2
11
2 sen cotg tg
2 2
1 tg
2
π x
x x
x
  
    
  

 é 
equivalente a: 
a) 
2cos sen cotgx x x    
 b)  sen cos tgx x x  
c) 
2 2cos sen cotgx x x    
 d) 
21 cotg senx x    
e)  21 cot sen cosx x x     
 
25. Sendo 
2
0 e 
5
12
cot

 xgx , 
calcule x2cos . 
 
01. Resolver as equações: 
a) 3 3 1cos cos
4
sen x x senx x  . 
b) 
1
1 2
1
tgx
sen x
tgx

 

 
c) 1 cos3 cos 2 cos2senx x x sen x x    
 
d)  
2
2 3 cos 2 5 cos 2
6
sen x x x
 
    
 
 
e) 2 17 3cos5 5 0sen x x sen x   
f)    2 1 3 cos 3sen x tgx senx x senx   
 
g) 3 3
1
cos 1 2
2
sen x x sen x   
h) 
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
3
cos cot sec cossecsen x x tg x g x x x
      
 
i) 4 4
5
cos
3 3 8
x x
sen   
j)  4 4 2 2
1
cos cos cos
2
sen x x sen x x senx x  
 
k)        1 cos cos 1 cos2 cosk x x k x x     
 
l) . .senax senbx sencx sendx , onde 
a, b, c e d são termos consecutivos 
de uma PA. 
m) 2 cos 2
2
x
x tg  
n) cot 2 2 1gx sen x  
o)  2cos cos cosx x   
p)        2 2sen sen sen sen sen               
; 
3
,
2

 
 
 
 
 
q) Achar cot gx da equação 
2 2cos ( ) cos ( )x x a     , 
onde 0 < a < 2. Analisar para que 
valores de  o problema tem 
solução. 
r) Achar o valor de 
2
x
tg , se 
7
cos
2
sen   e o ângulo  
se encontra nos limites entre 0 e 
45º. 
s) 2 12( cos ) 12 0sen x senx x    
t) 
2sec
21 2cossec
2
x
x   
u) 2
1
cot
1 cos
senx
g x
x



 
v) 22 3 3 2 2 3tg x tg x tg xtg x  
w) 2cot 2 3cot 3 2g x g x tg x  
x) 65cot 3 2tgx g x tg x  
y) 5 5
1 1
cos
cos
sen x x
x senx
   
8
 
 
 
 
 
z) 
24cos
4 4
cot
2 2
x
tg x tgxtg x
x x
tg g
    
     
    
 
aa) Para quais valores de a tem 
solução a equação 
2 2cos 2cossen x senx x x a   ? 
 
bb) Achar todos os valores de a, para 
os quais é solúvel a equação 
4 2 22cos 0sen x x a   . 
 
 
cc) cos7 5 3(cos5 7 )x sen x x sen x  
 
 
dd) 2 42 (7 2 ) (7 2 ) 0sen x sen x sen x sen x    
 
 
 
ee) 2 2
cos
, ( 2 )
cos
asenx b a x b
a b
b x a bsenx a
 
 
 
 
 
ff) 632cos cos6 1x x  
 
 
gg) 68 3cos2 2cos4 1 0sen x x x    
 
hh) 3 3cos3 cos 3 0x x sen xsen x  
 
 
ii) 8 8
17
cos
32
sen x x  
 
jj) 10 10 4
29
cos cos 2
16
sen x x x  
 
 
kk) 3 3 3 32 3 ( 2 3 )sen x sen x sen x senx sen x sen x    
 
 
ll) 2 2cos 1n nsen x x  
 
mm) 
3 3
2
10 2 10 2
x x
sen sen
    
     
   
 
 
nn)  
2
cos4 cos2 3 5x x sen x   
 
oo)  cos 2 cotsenx x tgx gx   
 
pp) ( 3 cos ) 4 2senx x sen x  
 
qq) Determinar os limites que se pode 
variar o parâmetro  para que a 
equação sec cossecx x   tenha 
uma raiz x que satisfaça a 
desigualdade 0
2
x   .