5 Eletromag_Lei de Coulomb e Campo Eletrico_ Parte 1

Prévia do material em texto

CCE0159- Eletromagnetismo
Aula 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1/3
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
𝑄1
+
𝑸𝟓
+
𝑭𝟏𝟓𝑄2
−
𝑭𝟐𝟓
𝑄3
+
𝑭𝟑𝟓
𝑄4
−
𝑭𝟒𝟓
FORÇA EXERCIDA POR UM SISTEMA DE CARGAS
Princípio (ou teorema) da Superposição
Generalizando: a força resultante numa determinada
carga será a soma das forças individuais de cada carga
agindo sobre ela. A presença das cargas 𝑄2, 𝑄3 e 𝑄4 não altera a força
mútua existente entre as outras duas (𝑄1 e 𝑄5), mas
acrescenta (vetorialmente) a sua própria contribuição. A
essa propriedade chama-se Princípio da Superposição.
Seja uma carga 𝑸𝟓
+ localizada em um ponto genérico
no campo formado por outras quatro cargas.
𝑭𝟓 = 𝑭𝟏𝟓 + 𝑭𝟐𝟓 + 𝑭𝟑𝟓 + 𝑭𝟒𝟓
A força resultante que age sobre 𝑸𝟓
+ é:
F. Repulsão: 𝑭𝟑𝟓 e 𝑭𝟏𝟓
F. Atração: 𝑭𝟐𝟓 e 𝑭𝟒𝟓
𝑭𝒙𝒚 =
8,89 × 109 𝑞𝑥𝑞𝑦
𝑟𝑥𝑦
2 a𝑟𝑥𝑦
Eletromagnetismo
Exemplo 1 - Três cargas puntiformes estão sobre o eixo 𝑥; 𝑞1está na origem, 𝑞2 está em 𝑥 = 2,0 𝑚 e 𝑞0 está em
uma posição 𝑥 (𝑥 > 2,0 𝑚). Determine a força elétrica total em 𝑞0 devida a 𝑞1 e 𝑞2 se 𝑞1 = 25𝑛𝐶, 𝑞2 =
− 10𝑛𝐶, 𝑞0= 20𝑛𝐶 e 𝑥 = 3,5𝑚. Utilize 𝑘 = 8,89 × 10
9 Τ𝑚 𝐹.
Princípio (ou teorema) da Superposição
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
3,5m
Solução:
As forças que agem em 𝑞0 são: 𝐹10 na direção 𝑎𝑥 e 𝐹20 na direção −𝑎𝑥
𝐹10 =
(8,89 × 109)(25 × 10−9)(20 × 10−9)
3,52
𝑎𝑥 = 0,37 × 10
−6 𝑁 𝑎𝑥
𝑭𝟏𝟎𝑭𝟐𝟎
𝐹20 =
(8,89 × 109)(−10 × 10−9)(20 × 10−9)
1,52
(−𝑎𝑥) = 0,80 × 10
−6 𝑁 (−𝑎𝑥)
𝐹𝑅𝑒𝑠 = 𝐹10 + 𝐹20
𝐹𝑅𝑒𝑠 = 0,37 × 10
−6 𝑁 𝑎𝑥 + 0,80 × 10
−6 𝑁 (−𝑎𝑥)
𝐹𝑅𝑒𝑠 = 0,43 × 10
−6 𝑁 (−𝑎𝑥)
Aplicando o Teo. da superposição:
𝑅20 = 0 − 3,5 𝑎𝑦 = −3,5𝑎𝑦 → 𝒂𝟐𝟎= Τ−3,5𝑎𝑥 3,5 = −𝒂𝒚
𝑅10 = 3,5 − 0 𝑎𝑥 = 3,5𝑎𝑥 → 𝒂𝟏𝟎= Τ3,5𝑎𝑥 3,5 = 𝒂𝒙
𝑭𝟏𝟐 = 𝑘
𝑞1𝑞2
𝑟12 2
a𝑟12
Exemplo 2 – Sejam três partículas de cargas 𝑄1 = 1𝜇∁, 𝑄2 = −2𝜇∁ 𝑒 𝑄3 = 3𝜇∁,
localizadas nos vértices de um triangulo retângulo cujos lados medem a = 1m e b = 1
m, conforme a figura. Calcule o módulo da força resultante sobre a partícula de carga
negativa. Utilize 𝑘 = 9 × 109 Τ𝑚 𝐹.
Os módulos das forças
que atuam na carga
negativa são:
𝐹12 = 𝑘
𝑄1𝑄2
𝑏2
(−𝑎𝑦)
𝐹32 = 𝑘
𝑄3𝑄2
𝑎2
(𝑎𝑥)
Solução :
As direções das forças são:
𝐹 = 𝑘
𝑄3𝑄2
𝑎2
(𝑎𝑥) + 𝑘
𝑄1𝑄2
𝑏2
(−𝑎𝑦) =
= 9 × 109
3 × (−2 × 10−6)
12
(𝑎𝑥) + 9 × 10
9
1 × (−2 × 10−6)
12
(−𝑎𝑦)
|𝐹| = 56.920 (N)
𝐹 = −54 × 103(𝑎𝑥) + 18 × 10
3(𝑎𝑦)
𝑅12 = 0 − 0 𝑎𝑥 + (0 − 1)𝑎𝑦 = −𝑎𝑦
𝑅32 = 1 − 0 𝑎𝑥 + (1 − 1)𝑎𝑦 = 𝑎𝑥
𝐹 = 𝐹32 + 𝐹12
Eletromagnetismo
𝑘 = 9 × 109 𝑚/𝐹(0, 0)
(0, 1) (1, 1)
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Campo elétrico 
Uma pequena carga de teste 𝑞0 na
vizinhança de um sistema de cargas
𝑞1, 𝑞2, 𝑞3,, .... 𝑞𝑛, experimenta uma
força elétrica resultante Ԧ𝐹 que é
proporcional a 𝑞0.
A carga de teste 𝑞0 também exerce
uma força em cada uma das cargas da
vizinhança, e cada uma dessas forças
é proporcional a 𝑞0.
Eletromagnetismo
ൗ𝑬 = 𝑭 𝒒𝟎
𝑭 = 𝑞0𝑬
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
É manifestação da força elétrica de uma carga em outra, em forma
de linhas de força.
O módulo do campo elétrico 𝑬 é
chamado de intensidade do campo
elétrico
A razão ( ൗ𝑭 𝒒𝟎) é o campo elétrico
naquele ponto.
F. Repulsão: 𝑭𝟎𝟏 e 𝑭𝟎𝟑
F. Atração: 𝑭𝟎𝟐
O cálculo do campo elétrico num ponto P qualquer devido à presença de uma
carga 𝒒𝟎.
𝑬 =
1
4𝜋𝜀0
𝑞
𝒓2
𝒂𝑟 =
𝑘. 𝑞
𝒓2
𝒂𝑟 =
𝑭
𝒒𝟎
𝒂𝑟
Onde:
As unidades de 𝑬 : newtons/coulomb (N/C) ou, volts por metro (V/m).
Cálculo do campo elétrico 
Eletromagnetismo
𝑘 =
1
4𝜋𝜖0
= 8,99 × 109 ≈ 9 × 109 𝑚/𝐹 𝑁.
𝑚2
𝐶2
𝜖0 = 8,854 × 10
−12 ≅
10−9
36𝜋
𝐹/𝑚
𝑭𝟏𝟐 =
𝑞1𝑞2
4𝜋𝜖0 𝑟12 2
a𝑟12 =
9 × 109 𝑞1𝑞2
𝑟12 2
a𝑟12 ≈
9 × 109 𝑞1𝑞2
𝑟12 2
a𝑟12
ou
e chamando 𝑞1 = 𝑞0 e 𝑞2 = 𝑞
Como:
o vetor 𝒓 é a distância da carga q a um ponto P.
Alguns Campos Elétricos na Natureza
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Exemplo 3 - Encontre o campo elétrico E no ponto (0, 3, 4) m, em coordenadas cartesianas, devido a uma
carga pontual Q = 0,5𝜇∁ localizada na origem.
𝑟 = 0 − 0 𝑎𝑥 + 3 − 0 𝑎𝑦 + (4 − 0)𝑎𝑧 = 3𝑎𝑦 + 4𝑎𝑧
𝐸 = 180 (𝑉/𝑚) Direção: ar = 0,6𝑎𝑦 + 0,8𝑎𝑧
Solução:
𝑟 = 02 + 32 + 42 = 5
ar =
𝑅
𝑅
=
3𝑎𝑦 + 4𝑎𝑧
5
= 0,6𝑎𝑦 + 0,8𝑎𝑧
𝐸 = 9 × 109 .
0,5 × 10−6
52
0,6𝑎𝑦 + 0,8𝑎𝑧
𝑧
𝑦
𝑥
𝐐 = 𝟎, 𝟓𝝁∁
3
4 (0, 3, 4) 
𝐸?
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
𝐸 = 𝑘
𝑄
𝒓2
𝒂𝑟 ar =
𝑅
𝑅
𝐸 = 𝑘
𝑄
𝒓2
𝒂𝑟
Obs: observe que ar = 𝟏
𝐸 = 180 0,6𝑎𝑦 + 0,8𝑎𝑧 (𝑉/𝑚)
ER - Calcule o campo E em (0, 0, 5) m devido às cargas 𝑄1 = 0,35μC em (0, 4, 0) m e
𝑄2 = - 0,55μC em (3, 0, 0) m, conforme mostrado na figura.
Eletromagnetismo
Solução: As cargas vão convergir para o ponto
z = 5 e pelo teo. da SP neste ponto, tem-se
pela regra do paralelogramo o valor de 𝐸:
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2
𝟎, 𝟎, 𝟓
𝒂𝑟1 =
−4𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧
41
𝑅1 = 0, 0, 5 − 0, 4, 0 𝑅1 = 41= −4𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧
𝐸1 =
0,35 × 10−6
4𝜋 8,854 ×−12 41
.
−4𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧
41
= −48𝑎𝑦 + 60𝑎𝑧 𝑉/𝑚
𝐸2 =
−0,55 × 10−6
4𝜋 8,854 ×−12 34
.
−3𝑎𝑦 + 5𝑎𝑧
34
= 74,9𝑎𝑥 − 124,9𝑎𝑧 𝑉/𝑚
𝐸 = 𝐸1 + 𝐸2 𝐸 = 74,9𝑎𝑥 − 48𝑎𝑦 − 64,9𝑎𝑧
Exercício resolvido para estudo - comentado
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
𝐸 = 𝑘
𝑄
𝒓2
𝒂𝑟 ar =
𝑅
𝑅
Cálculo de R1: Módulo de R1: Direção (versor) de R1:
𝑅2 = 0, 0, 5 − 3, 0, 0 = −3𝑎𝑥 + 5𝑎𝑧 𝒂𝑟1 =
−3𝑎𝑥 + 5𝑎𝑧
34
𝑅2 = 34
Cálculo do campo 𝐸1:
Para 𝑸𝟐 a situação é análoga para 𝑸𝟏 (acima):
Então o campo resultante no ponto (0, 0, 5) é:
Para 𝑸𝟏:
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Direção do Campo Elétrico
O campo elétrico se manifesta em forma de linhas de força.
Linha de força de um campo elétrico é definida como uma
curva tangente em cada ponto à direção do campo neste
ponto.
A linha de força fornece a direção e o sentido do campo no
ponto, indicado por sua orientação.
Se nos pontos A, B, C, D...o vetor campo elétrico é
respectivamente 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4... a linha de força que passa por
todos esses pontos é a linha ABCD... tangente a 𝐸1, 𝐸2, 𝐸3, 𝐸4...
Convenção Linhas de Força
Eletromagnetismo
As linhas de força de uma carga puntiforme
terão direção radial apontando para "fora" se
for positiva ou para "dentro" se for “negativa" .
a) Representação do campo elétrico através de linhas de força,
para o caso de uma carga pontual;
b) Visualização das linhas de força através de fiapos de tecidos
suspensos em óleo (Foto da “Princeton University, New Jersey,
USA,”). O campo elétrico do objeto carregado no centro induz
cargas opostas nas extremidades de cada pedaço de fibra,
fazendo com que eles se alinhem paralelamente ao campo.Carga positiva Carga negativa
Direção do Campo Elétrico
+
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
As mesmas linhas de campo elétrico, de um
dipolo elétrico (uma carga + e uma -),
mostradas por pedaços de fibra em óleo.
Observe que as linhas de campo assumem
forma diferente se comparada com cargas
igualmente positivas.
Duas linhas de 
campo que se 
cancelam
Há um número infinitamente maior de linhas emanando das duas cargas,
duas das quais são linhas de campo que se cancelam. Estas linhas de
campo terminam no ponto equidistante entre as duas cargas.
Linhas de campo elétrico devidas a duas cargas puntiformes positivas 
As setas teriam sentidos contrários se ambas as cargas fossem negativas.
Direção do Campo Elétrico:
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Linhas de Campo para Duas Esferas Condutoras
Exemplo: As linhas de campo elétrico para duas
esferas condutoras estão mostradas na Figura. (a)
Qual é o sinal da carga em cada esfera e (b) Quais
são as magnitudes relativas das cargas nas esferas?
(c) As cargas nas esferas são iguais ou diferentes em
magnitude?
SOLUÇÃO:
Na esfera maior: como 11 linhas de campo saem da esfera maior
e3 linhas terminam (ou chegam) nela, o número resultante de
linhas que saem dela é 8.
Na esfera menor: como 8 linhas de campo saem da esfera menor
e nenhuma linha termina (ou chega) nela, o número resultante de
linhas que saem dela é 8.
Como ambas as esferas têm mais linhas de campo saindo delas do
que terminando nelas, ambas estão carregadas positivamente.
Como ambas as esferas têm o mesmo número resultante de
linhas saindo delas, as cargas nas esferas são iguais em
magnitude.
Eletromagnetismo
(a) sinal da carga em cada esfera: 
(b) magnitudes relativas das cargas nas esferas:
(c) cargas nas esferas:
Direção do Campo Elétrico:
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Campo Elétrico em uma Linha entre Duas Cargas Puntiformes Positivas
Exemplo: Uma carga puntiforme positiva 𝑞1 = 8nC está no eixo 𝑥 em 𝑥 = 𝑥1 = −1,0𝑚, e uma segunda carga
puntiforme positiva 𝑞2 = 12nC está no eixo 𝑥 em 𝑥 = 𝑥2 = 3,0𝑚. Determine o campo elétrico resultante (a)
no ponto A sobre o eixo 𝑥 = 6,0 𝑚 e (b) no ponto B sobre o eixo 𝑥 em 𝑥 = 2,0 𝑚 .
Solução: 𝑬 = 𝑘
𝑞
𝒓2
𝒂𝑟
(a) no ponto A sobre o eixo 𝑥 = 6,0 𝑚:
𝐸𝑅𝐸𝑆 =
8,99 × 109 . (8 × 10−9)
(6 + 1)2
.
7𝑎𝑥
7
+
8,99 × 109 . (12 × 10−9)
(6 − 3)2
.
3𝑎𝑥
3
= 1,47𝑎𝑥 + 12𝑎𝑥
𝐸𝑅𝐸𝑆 = (13,47 Τ𝑁 𝐶)𝑎𝑥
Eletromagnetismo
𝑬𝑅𝐸𝑆 = 𝑬1 + 𝑬2
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Campo Elétrico em uma Linha entre Duas Cargas Puntiformes Positivas
(b) no ponto B sobre o eixo 𝑥 em 𝑥 = 2,0 𝑚:
𝐸𝑅𝐸𝑆 = (−100 Τ𝑁 𝐶)𝑎𝑥
𝐸𝑅𝐸𝑆 =
8,99 × 109 . (8 × 10−9)
(3)2
.
(2 − (−1))𝑎𝑥
3
+
8,99 × 109 . (12 × 10−9)
(1)2
.
(2 − 3)𝑎𝑥
1
= 7,99𝑎𝑥 − 108𝑎𝑥
𝐸𝑅𝐸𝑆 = 𝐸1 + 𝐸2
Eletromagnetismo
Solução:
𝑬𝑅𝐸𝑆 = 𝑬1 + 𝑬2
𝑬 = 𝑘
𝑞
𝒓2
𝒂𝑟
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Eletromagnetismo
Linhas de campo elétrico devidas a um dipolo elétrico
Dipolo elétrico: Sistema formado por duas cargas iguais 𝑞 de sinais
contrários, separadas por uma pequena distância 𝑳.
Direção do Campo Elétrico:
Distribuição das linhas de força num dipolo.
Sua magnitude e orientação são descritas pelo momento de dipolo 𝒑.
𝒑 é um vetor que aponta da carga negativa −𝒒 para a carga positiva
+ 𝒒 e tem módulo igual à 𝒒Ԧ𝐋:
𝑳 é a posição da carga positiva em relação à carga negativa e 𝒒 é o
módulo de uma das cargas.
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Um campo elétrico externo uniforme não exerce
força resultante em um dipolo, mas exerce um
torque que tende a girar o dipolo para alinhá-lo
com a direção do campo externo 𝑬.
O torque 𝝉 calculado em relação a posição de
qualquer uma das cargas tem módulo:
𝜏 = 𝐹1𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃
Como Ԧ𝐹 = 𝑞𝐸, 𝜏 = 𝑞𝐸𝐿𝑠𝑒𝑛𝜃
e como, do slide anterior, 𝒑 = 𝒒𝑳 , então:
𝝉 = 𝒑𝑬𝒔𝒆𝒏𝜽
Portanto, o torque é o produto vetorial de 𝒑 com 𝑬. 𝝉 = 𝒑 × 𝑬
Um dipolo em um campo elétrico uniforme experimenta forças
iguais com sentidos opostos que tendem a girá-lo para que seu
momento de dipolo 𝒑 seja alinhado com o campo elétrico 𝑬.
Eletromagnetismo
Influência de um campo elétrico externoDireção do Campo Elétrico:
tem-se
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Se o dipolo gira de um ângulo 𝑑𝜃, o campo
elétrico realiza trabalho:
𝑑𝑊 = −𝜏𝑑𝜃 = −𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃
(O sinal de menos surge porque o torque se
opõe a qualquer aumento de 𝜃.)
Como o trabalho é oposto à variação de
energia potencial 𝑑𝑈 , então:
𝑑𝑈 = −𝑑𝑊 = +𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝜃
Integrando os dois lados, obtém-se:
𝑈 = −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑈0
Se escolhermos o zero da energia potencial U
em 𝜃 = 90°, então 𝑈0 = 0 e a energia potencial do
dipolo é
𝑈 = −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑈0
𝑈 = −𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃 + 0
𝑼 = −𝒑.𝑬
Eletromagnetismo
Influência de um campo elétrico externoDireção do Campo Elétrico:
(um produto escalar)
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
Exemplo - Uma molécula polar tem um momento de dipolo
de magnitude 20 𝑒. 𝑝𝑚 (pm = pico metro) que faz um
ângulo de 20° com um campo elétrico uniforme de
módulo igual a 3,0 × 103N/C (Figura).
Determine (a) o módulo do torque no dipolo e (b) a energia
potencial do sistema.
SOLUÇÃO:
Ԧ𝜏 = Ԧ𝑝 × 𝐸 = 𝑝𝐸𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑈 = − Ԧ𝑝. 𝐸 = 𝑝𝐸𝑐𝑜𝑠𝜃
(a) o módulo do torque no dipolo 
Ԧ𝜏 = 20 𝑒. 𝑝𝑚 3 × 103 𝑠𝑒𝑛20°
Ԧ𝜏 = 3,3 × 10−27𝑁.𝑚
(b) a energia potencial do sistema.
𝑈 = (0,02 × 10−9𝑚)(1,6 × 10−19𝐶) 3 × 103 (𝑐𝑜𝑠20°)
𝑈 = −9,0 × 10−27 𝐽Ԧ𝜏 = (0,02 × 10
−9𝑚)(1,6 × 10−19𝐶) 3 × 103 (𝑠𝑒𝑛20°)
Eletromagnetismo
Influência de um campo elétrico externoDireção do Campo Elétrico:
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
LEITURA OBRIGATÓRIA
ADENDO
Comportamento de dipolos em campo elétrico
Algumas moléculas têm momentos de dipolo permanentes devidos a uma distribuição não-uniforme de carga no
seu interior. Tais moléculas são denominadas moléculas polares.
Um exemplo é HCl (ácido clorídrico), que é, essencialmente, um
íon hidrogênio positivo de carga +𝒆 combinado com um íon cloro
negativo de carga −𝒆. O centro de carga do íon positivo não
coincide com o centro de carga do íon negativo e, portanto, a
molécula tem um momento de dipolo permanente. Outro
exemplo é a água (Figura).
Uma molécula de 𝐻2𝑂 tem um momento de dipolo permanente
que aponta no sentido do centro da carga negativa para o centro
da carga positiva.
Eletromagnetismo
LEITURA OBRIGATÓRIA
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
ER1 – Em um átomo de hidrogênio, o elétron está separado do próton por uma distância média de
aproximadamente 5,3 × 10−11m. Calcule a intensidade da força eletrostática de atração exercida pelo próton no
elétron.
𝑦
𝑥
𝑭𝟏𝟐 =
𝑞1𝑞2
4𝜋𝜖0 𝑟12 2
a𝑟21
𝑅12 = 0, 0, 0 − 5,3 × 10
−11, 0, 0 = −5,3 × 10−11𝑎𝑥 𝑎21 =
−5,3 × 10−11𝑎𝑥
5,3 × 10−11
= −𝑎𝑥𝑅21 = 5,3 × 10
−11
𝐅21 =
8,89 × 109 1,6 × 10−19 1,6 × 10−19
5,3 × 10−11𝑚 2
. (−𝑎𝑥) 𝐅21 = 8,2 × 10
−8 . −𝑎𝑥 𝑁
Solução :
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
Solução :
ER2 – Supondo duas cargas pontuais 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐 localizadas a uma distância 𝒅 uma da outra e fixas no eixo 𝒙. Colocando uma terceira
carga 𝒒𝟑 , em uma posição 𝒙 qualquer, verifica-se que a mesma permanece em repouso em relação às duas primeiras. Em que
condições este equilíbrio de forças pode ocorrer?
Como a carga está em repouso, a resultante das
forças sobre 𝑞3é nula.
𝐹23 = 𝑘
𝑞2𝑞3
𝑥 − 𝑑 2
a𝑥
𝑞1 𝑥 − 𝑑
2 = −𝑥2𝑞2
𝐹13 = 𝑘
𝑞1𝑞3
𝑥2
a𝑥
𝐹13 = −𝐹23 Esta condição de equilíbrio nos mostra que a solução só poderá
ser atingida para o caso das duas cargas fixas 𝑞1 e 𝑞2 tiverem
sinais opostos.
Eletromagnetismo
𝑥 − 𝑑 2
𝑥2
=
−𝑞2
𝑞1
𝑥 − 𝑑
𝑥
= −
𝑞2
𝑞1
𝑥 − 𝑥 −
𝑞2
𝑞1
= 𝑑
𝑥 =
𝑑
1 − −
𝑞2
𝑞1
𝐹3 = 𝐹13 + 𝐹23 = 0
⇒
⇒
⇒
𝐹13
𝐹23
𝐹3 = 𝐹13 + 𝐹23
∴
𝑘
𝑞1𝑞3
𝑥2
a𝑥 = −𝑘
𝑞2𝑞3
𝑥 − 𝑑 2
a𝑥
𝐹13 = −𝐹23
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
ER3 – A carga 𝑞1 = 25 𝑛𝐶 está na origem, a carga 𝑞2 = −15𝑛𝐶 está no eixo 𝑥 em 𝑥 = 2,0 𝑚 e a carga 𝑞0 =
20𝑛𝐶 está no ponto 𝑥 = 2,0𝑚, 𝑦 = 2,0𝑚. (a) Determine a intensidade, a direção e o sentido da força elétrica
resultante em 𝑞0 ; (b) Desenhe o valor da força resultante e suas componentes; (d) Determine o ângulo da força
resultante com o eixo 𝑥.
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
Solução :
Força resultante em 𝑞0: 𝐹𝑅𝐸𝑆 = 𝐹10 + 𝐹20
𝜃 = 45°
𝐹10 =
(8,99 × 109)(25 × 10−9)(20 × 10−9)
(2,0 2 𝑚)2
a𝑟10
a𝑟10 =
(2 − 0)𝑎𝑥 − (2 − 0)𝑎𝑦
2 2
=
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦
2
𝐹10 = 5,62 × 10
−7𝑁.
𝑎𝑥 − 𝑎𝑦
2
= 3,97 × 10−7𝑁 (𝑎𝑥 − 𝑎𝑦)
𝐹20 =
(8,89 × 109)(−15 × 10−9)(20 × 10−9)
2,0 𝑚 2
(a𝑟20)
a𝑟20 =
(2 − 2)𝑎𝑥 − (2 − 0)𝑎𝑦
2
= −𝑎𝑦
𝐹20 = −6,74 × 10
−7𝑁. (−𝑎𝑦)
𝐹𝑅𝐸𝑆 = 𝐹10 + 𝐹20
𝐹𝑅𝐸𝑆 = 3,97 × 10
−7 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 + (−6,74 × 10
−7)(−𝑎𝑦)
𝐹𝑅𝐸𝑆 = 3,97 × 10
−7𝑎𝑥 − 2,77 × 10
−7𝑎𝑦
𝑭𝑹𝑬𝑺 = 𝟒, 𝟖𝟒 × 𝟏𝟎
−𝟕 𝑵
𝐹10 = 5,62× 10
−7a𝑟10
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
(b) Desenho da força resultante e suas componentes:
(c) ângulo da força resultante com o eixo 𝑥:
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝐹𝑦
𝐹𝑥
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
−2,77 × 10−7
3,97 × 10−7
= −0,698
𝜃 = arctan −0.698 = −34,9°
Eletromagnetismo
AULA 5: Lei de Coulomb e Campo Elétrico
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
ER4 - Duas pequenas esferas, cada uma com massa 𝑚 = 1 grama, estão
suspensas próximas uma da outra por duas cordas de comprimento 𝑙 =
10 𝑐𝑚, como ilustrado na Figura a. Considere que as esferas estão colocadas
no vácuo e que experimentam uma atração gravitacional (𝑔 = 9,8 Τ𝑚 𝑠2).
Quando cada esfera é carregada com uma carga Q, elas se separam por uma
distância de 𝑑 = 1 𝑐𝑚, como ilustra a Figura b. Determine o valor de Q.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Solução :
A carga pode ser calculada a partir da distância de separação 𝑑.
A força gravitacional em cada esfera tem módulo igual a 𝑚𝑔 e aponta para baixo.
A força de Coulomb é de repulsão, tem módulo dado por 𝐹 = Τ𝑄2 4𝜋𝜖0 e
aponta na direção horizontal.
No equilíbrio, cada corda tem o seu eixo alinhado com a direção da força total,
correspondendo à soma vetorial da força gravitacional com a força elétrica de
Coulomb.
A carga pode ser calculada a partir da semelhança entre os triângulos formados
pelas forças e pelas cordas.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Solução (Cont.) :
𝐹 =
Τ𝑚𝑔𝑑 2
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
Substituindo 𝐹 por Τ(𝑄2 4𝜋𝜖0 𝑑
2) e
tirando o valor de Q:
𝑄2 =
2𝜋𝜖0𝑑
3
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
. 𝑚𝑔
Com 𝜖0 = 8,854 × 10
−12 F/m, 𝑑 = 0,01 𝑚, 𝑙 = 0,1 𝑚 e 
𝑚 = 10−3 𝑘𝑔, obtém-se: 𝑸 = 𝟐, 𝟑𝟑𝟕𝟔𝒏𝑪.
𝑄 =
2𝜋𝜖0𝑑3. 𝑚𝑔
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
𝐹 𝒎𝒈
𝒍
𝒅
𝟐
𝐹
Τ𝑑 2
=
𝑚𝑔 2 + 𝐹2
𝑙
𝐹2. 𝑙2 = Τ𝑑 2 2 𝑚𝑔 2 + 𝐹2
𝐹2. 𝑙2 − Τ𝑑 2 2 = Τ𝑑 2 2. 𝑚𝑔 2
𝐹 =
Τ𝑚𝑔𝑑 2
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
Τ(𝑄2 4𝜋𝜖0 𝑑
2) =
Τ𝑚𝑔𝑑 2
𝑙2 − Τ𝑑 2 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
Solução :
ER-5 - Duas cargas puntiformes estão localizadas no lado direito do eixo Ox de um sistema de coordenadas cartesianas. A carga
𝑞1 = 1,0𝑛𝐶 está localizada a 2,0 cm da origem, e a carga 𝑞2 = −3,0𝑛𝐶 está localizada a 4,0 cm da origem. Qual é a força total
exercida por essas duas cargas sobre uma carga 𝑞3 = 5,0𝑛𝐶 localizada na origem? Despreze as forças gravitacionais.
Forca elétrica resultante sabre a carga 𝑞3 devido as outras duas
cargas (aplicação do princípio da superposição):
𝑞3 + é repelida por 𝑞1 (+) e atraída por 𝑞2 (-):
𝑭1 𝑒𝑚 3 = 112𝜇𝑁 (−a𝑥)
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Fig. a
𝐹3 = 𝐹13 − 𝐹23
Fig. b
𝐹13 𝐹23
a𝑟 13 =
−2𝑎𝑥
𝑎𝑟 13
=
−2𝑎𝑥
2
= −a𝑥
r13 = 0,0 − 2,0 = −2a𝑥
𝐅13 =
𝑞1𝑞3
4𝜋𝜖0𝑟2
a𝑟13
𝐅13 = 9 × 10
9
(1,0 × 10−9). (5,0 × 10−9)
0,020 2
. (−a𝑥)
𝑎𝑟 13 = 22 = 2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO
Solução (Cont.):
AULA 4: Lei de Coulomb e Campo Elétrico – Parte 1
Eletromagnetismo
Fig. a Fig. b
𝑭2 𝑒𝑚 3 = 84𝜇𝑁 (−a𝑥)
a𝑟 23 =
−4𝑎𝑥
𝑎𝑟 1 𝑒𝑚 3
=
−4𝑎𝑥
4
= −a𝑥
r23 = 0,0 − 4,0 = −4a𝑥
𝐅23 =
𝑞2𝑞3
4𝜋𝜖0𝑟2
a𝑟23
𝐅23 = 9 × 10
9
(3,0 × 10−9). (−5,0 × 10−9)
0,040 2
. (−a𝑥)
𝑎𝑟 23 = 42 = 4
𝐹13 𝐹23 𝐹3 = 𝐹13 − 𝐹23
𝐹3 = 112𝜇𝑁 (−a𝑥) − 84𝜇𝑁 (−a𝑥)
𝐹3 = 28𝜇𝑁 (−a𝑥)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA ESTUDO