Capitulo_3_-_Sistemas_julio

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REVISADO E INSERIDO – STELA – 26.01.2010 
Capítulo 3 - Sistemas de Equações Lineares: definições, métodos de 
resolubilidade e aplicações. 
 
Introdução 
 
Neste capítulo, continuaremos nossa abordagem relacionada à Álgebra 
Matricial e, consequentemente, aos conceitos base da Álgebra Linear. Em 
particular, trataremos dos Sistemas de Equações Lineares e alguns métodos 
de resolubilidade dos mesmos. Dentre os métodos, serão abordados os de 
Escalonamento e a Regra de Cramer. Métodos estes muito aplicados nos 
estudos referentes ao tema e tratados aqui por meio de objetos de seu 
conhecimento tais como as matrizes e suas operações, bem como os 
determinantes. 
 
 
OBJETIVOS 
 
 Entender o conceito de equações lineares e de sistemas de equações 
lineares. 
 Verificar quando uma determinada equação é linear ou não. 
 Determinar quando um conjunto de números é uma solução de sistema 
de equações lineares. 
 Relacionar a abordagem de sistemas de equações lineares com 
conceitos vistos nas unidades anteriores como é o caso de matrizes e 
de determinantes. 
 Aplicar os métodos de escalonamento e a Regra de Cramer, para 
determinar soluções de sistemas lineares. 
 Conceituar e determinar soluções, referentes aos sistemas de equações 
lineares homogêneos. 
 Analisar e resolver situações-problema diversas, envolvendo sistemas 
de equações lineares. 
 
 
ESQUEMA 
 
 Equações Lineares; 
 Sistemas de Equações Lineares; 
 Regra de Cramer; 
 Sistemas Equivalentes; 
 Operações Elementares; 
 Sistemas Escalonados; 
 Um Pouco de Aplicações Relacionadas a Sistemas Lineares; 
 Sistemas Lineares Homogêneos; 
 Resumo; 
 Sugestões de Leituras; 
 Referências. 
 
 
3. 1 Equações Lineares 
 
Primeiramente, você sabe o que é uma equação linear? 
Pois bem, de um modo geral temos a seguinte definição: 
 
EDITORAÇÃO, INSERIR DEFINIÇÃO EM UMA CAIXA: 
 
Definição: Equação linear é toda equação da forma 
bxaxaxaxa nn  ...332211 em que 1 2 3, , ,..., na a a a são 
números reais, que recebem o nome de coeficientes das 
incógnitas 1 2 3, , ,..., nx x x x , e b é um número real chamado 
de termo independente. 
 
Veja, a seguir, alguns exemplos de equações lineares: 
Exemplo 1) 3 5 4 10x z y   
Exemplo 2) 5 6 5 5 2t g h z      
 
Você deve perceber que o Exemplo 1 se trata de uma equação linear, pois os 
coeficientes 3,5 e 4 , são números e referem-se respectivamente às 
incógnitas ,x z e y , cujo termo independente é o número real 10 . Já o Exemplo 
2, antes de identificarmos seus coeficientes, suas incógnitas e seu termo 
independente, necessitará de uma transformação algébrica, veja: 
5 6 5 5 2 5 6 5 2 5t g h z t g h z             
E assim, seus coeficientes serão 5,6, 5  e 2 , com respectivas incógnitas 
, ,t g h e z , e termo independente 5 . 
 
Observe, agora, algumas equações que não são lineares. 
 
Exemplo 1) 3 3 5sx z x   
Exemplo 2) 
2 5 6 6 j r t   
Exemplo 3) 3 4 8h d f    
 
Nestes casos, o Exemplo 1 não será uma equação linear, pois o coeficiente da 
incógnita x (ou incógnita s ) é igual a s (ou x ), ou seja, não é necessariamente 
um número real. Já o Exemplo 2, não é uma equação linear, pois a incógnita j 
está elevada à potência 2 e, pela definição dada anteriormente, todas as 
potências das incógnitas devem ser iguais a 1 e no Exemplo 3, podemos 
pensar na potência da incógnita h sendo 
1
2
, ou seja  
1
2h h e pelo mesmo 
motivo do Exemplo 2, esta também é não-linear. 
 
EDITORAÇÃO, INSERIR MARCADOR DE REFLEXÃO PARE E PENSE NO 
PARÁGRAFO A SEGUIR 
Pense! 
Será que você conseguiria exemplificar uma equação linear e uma não linear 
neste momento? Certamente que sim, não é mesmo? Procure então neste 
[w1] Comentário: Equação não-
linear é uma equação que não satisfaz 
a condição de ser linear. 
momento estabelecer algumas equações lineares e não lineares diferenciando-
as e justificando a linearidade e a não linearidade de cada uma destas. 
 
Atividade 1 – Determine duas soluções para a equação linear 2 3 1x y z   . 
 
Agora vejamos o que é um Sistema de Equações Lineares (ou simplesmente 
Sistema Linear), objeto principal de estudo desta unidade. 
 
3. 2 Sistemas de Equações Lineares 
Sistemas de equações lineares ou simplesmente sistemas lineares são um 
conjunto de equações lineares, ou seja, é a reunião de duas ou mais equações 
lineares. Logo, sua representação geral pode ser dada da seguinte forma: 
 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
    

    


     
 
Neste caso, temos um Sistema de Equações lineares de m equações e n
incógnitas, já que, para cada um dos m termos independentes, 1 2, ,..., mb b b 
temos, uma equação e para cada equação temos n incógnitas 1 2, ,..., nx x x . 
 
A solução de um sistema linear é a n-dupla ordenada de números reais 
 1 2 3, , ,..., nr r r r que é, simultaneamente, solução de todas as equações do 
sistema. 
 
Podemos relacionar um sistema de equações lineares, por meio de uma 
equação matricial da seguinte forma: 
 
Considere as matrizes 
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
...
...
...
...
...
n
n
n
m m mn
a a a
a a a
A a a a
a a a
 
 
 
 
 
 
  
, 
1
2
3
n
x
x
X x
x
 
 
 
 
 
 
  
 e a matriz 
1
2
3
m
b
b
B b
b
 
 
 
 
 
 
  
, 
 
Nestas condições, resolver o sistema de equações lineares acima se reduziria 
na resolução da equação matricial AX B , fato este que poderá ser verificado 
ao efetuar a multiplicação da matriz A pela matriz X e igualando o resultado à 
matriz B . 
 
De fato, observe: 
11 12 1 1 11 1 12 2 1
21 22 2 2 21 1 22 2 2
31 32 3 3 31 1 32 2 3
1 2 1 1 2 2
...
...
...
...
...
Como 
n n n
n n n
n n n
m m mn n m m mn n
a a a x a x a x a x
a a a x a x a x a x
A X a a a x a x a x a x
a a a x a x a x a x
A
       
       
     
           
     
     
            
11 1 12 2 1 1
21 1 22 2 2 2
31 1 32 2 3 3
1 1 2 2
, temos que .
n n
n n
n n
m m mn n m
a x a x a x b
a x a x a x b
X B a x a x a x b
a x a x a x b
     
     
   
       
   
   
        
 
E usando a igualdade de matrizes, obtemos equivalentemente o sistema inicial: 
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
...
n n
n n
m m m mn n m
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
    

    


     
 
Vejamos alguns exemplos de sistemas lineares e de soluções de sistemas 
lineares. 
 
EDITORAÇÃO, INSERIR MARCADOR DE EXEMPLO: 
Exemplo 1 
 Considere o sistema de equação linear 
7
2 5 32
x y
x y
 

 
. Pode-se perceber que o 
par ordenado  1,6 é solução para o sistema, já que:
 
1 6 7
2 1 5 6 2 30 32
 
     
 
 
Poderíamos pensar nesta situação por outro aspecto, que é o seguinte: Se 
procuramos os valores que satisfazem simultaneamente às equações de reta 
7x y  e 2 6 32x y  , o que queríamos seria a determinação do ponto de 
interseção de ambas retas, e assim poderíamos utilizar qualquer meio 
algébrico para determinarmos tal ponto. 
Observe graficamente este fato: 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2 
Considere o sistema de equações lineares 
3
2 3 5 0
2 2 2 40
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
A terna ordenada  1,1,1 não é solução do sistema, já que os valores de 
1, 1, 1x y z   não satisfazem a todas as três equações. De fato, vejamos: 
1 1 1 3
2 1 3 1 5 1 0
2 1 2 1 2 1 6 40
  
     
      
 
12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
x
y
(1,6)
1
x+y=7
2x+5y=32
 
 
Logo, o ponto dado não será uma soluçãopara o sistema. Mas será que o 
mesmo possui solução? Pensando a priori, geometricamente, no problema, 
podemos chegar a uma conclusão sobre este fato: 
Vejamos: 
 
 
 
 
 
 
 
Temos dois planos paralelos não coincidentes, o que nos leva a concluir que o 
sistema é impossível, isto é, mais do que concluir que o ponto  1,1,1 não é 
solução do sistema, poderíamos concluir, pela representação gráfica anterior, 
que o mesmo não possui solução. Fato este que poderia ser justificado 
também algebricamente, verificando apenas a inexistência de  , ,x y z que 
verifique simultaneamente as equações 3x y z   e 2 2 2 40x y z   . 
 
Atividade 2 – Considere o sistema de equações lineares: 
2 3 0
2 5
2
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
 
Nestas condições, faça o que se pede: 
 
a) verifique se a terna ordenada  2, 1,1 é uma solução do sistema; 
b) verifique se a terna ordenada  0,0,0 é uma solução do sistema. 
 
 
Dentre os vários tipos de sistemas de equações lineares, podemos destacar os 
sistemas cujo número de equações é igual ao número de incógnitas e cuja 
matriz A , formada pelos seus coeficientes, tenha determinante diferente de 
zero. Chamaremos aqui este tipo de sistema de Sistema Normal. Assim, temos 
a seguinte definição: 
 
Sistema Normal – É todo sistema que: 
 
 
 
 
 
 
 
Veja, a seguir, por meio de um exemplo, como determinar se um sistema linear 
é normal: 
 
 
Para determinar se um sistema é normal, devemos confirmar duas verdades 
que são: 
1ª) m n 
m = 3, n = 3  m = n, confirmamos a primeira verdade. 
2ª) det A  0. Como 
1 1 0
2 3 1
3 0 1
A
 
  
 
  
 , temos: 
 
 tem o mesmo número de equações  m e de incógnitas  n ; 
 o determinante da matriz dos coeficientes associada ao sistema 
linear é diferente de zero. 
Isto é, se m n edet 0A . 
 
 
 
 
0
2 3 2
3 4
x y
x y z
x z
 

  
  
det A = 
1
2
3
 
0
3
1
 
0
1
1


 = -4 que é diferente de 0. Portanto, o sistema é normal. 
 
Veja, a seguir, um exemplo de um sistema que não é normal: 








5
5
3
wt
zy
yx
 
 Pare e pense! 
 
 
Será que você já sabe por que este sistema não é normal? 
 
Provavelmente, você percebeu que o número de equações é 3 , 
isto é, m=3 e que o número de incógnitas é igual a 5 , ou seja, 
n=5, sendo assim, m  n. Logo, o sistema não é normal. 
 
 
Falaremos agora da Regra de Cramer que é um dispositivo para o 
 cálculo de um sistema normal. 
 
3.3 Regra de Cramer 
Basicamente, esta regra se resume em determinar os valores solução do 
sistema normal utilizando a seguinte fórmula, envolvendo determinantes: 
 1,2,3, ,ixi
D
x i n
D
  
Onde n é o número de equações e, conseqüentemente, de incógnitas do 
sistema; det D A é o determinante da matriz incompleta associada ao 
Gabriel Cramer (1704-
1752) 
Matemático suíço. Foi 
professor de Matemática e 
de Filosofia da 
Universidade de Genebra. 
Dedicou especial atenção 
à teoria das curvas. 
Ocupou-se, também, da 
origem, a forma dos 
planetas e dos seus 
movimentos. É famosa a 
regra que permite a 
resolução dos sistemas de 
equações lineares que tem 
o seu nome, a Regra de 
Cramer. 
 
 
 
 
sistema, e 
ix
D é o determinante obtido pela substituição na matriz incompleta, 
da coluna i pela coluna formada pelos termos independentes. Entenda aqui, 
matriz incompleta do sistema, à matriz quadrada formada pelos respectivos 
coeficientes das incógnitas. 
 
A regra de Cramer é um instrumento importante e simples para a resolução de 
sistemas normais. Veja a seguir a resolução de dois exemplos. 
 
Exemplo 1 - Resolva o sistema de equações lineares: 





332
72
yx
yx
 
Neste caso temos, 
2 1
2 3
A
 
  
 
, 
x
X
y
 
  
 
 e 
7
3
B
 
  
 
. 
 
Devemos primeiramente analisar se o sistema é normal. Já que 2m n  , 
basta calcular o determinante da matriz A : 
det A 
2
2
 
1
3
8  . Como det 0A , temos que o sistema é normal. 
 
Agora, apliquemos a regra de Cramer. 
 
Substituindo, na matriz dos coeficientes A  


2
2
 
1
3

 
, a coluna C
1
(coluna 1) 
pela coluna formada pelos termos independentes  B , encontramos: 
 
D x = 
7
3
 
1
3
 
D x = +(7. -3) – (1. 3)  -21 – 3 = -24 





3)1(3)3(2
71)3(2
 
 





33
77
 
 
 
Substituindo, agora, C
2
(coluna 2) pela coluna dos termos independentes  B , 
encontramos: 
D y = 
2
2
 
7
3
 
D y = +(2. 3) – (7. 2)  6 – 14 = -8 
Assim: 
 
 
e 
 
 
 
Logo, ( , ) (3,1)x y  é a solução do sistema dado. 
 
Podemos tirar a prova real dos valores encontrados substituindo-os no sistema. 
Veja a seguir: 





332
72
yx
yx
 
 
 





336
716
 
 
 
 
D
D
x x 3
8
24



x 
D
D
y
y
 1
8
8



y 
As duas sentenças matemáticas são válidas. 
Portanto, os valores encontrados formam uma 
solução para o sistema. 
 
 
Exemplo 2 - Resolva o sistema de equações lineares abaixo: 








623
02
3
zyx
zyx
zyx
 
Neste caso temos 
1 1 1
2 1 1
3 1 2
A
 
 
  
  
, 
x
X y
z
 
 
  
 
 
 e 
3
0
6
B
 
 
  
 
 
. 
Como no exemplo anterior, antes de aplicarmos a regra de Cramer, precisamos 
verificar se se trata de um sistema normal. Como neste exemplo m = n = 3, 
basta verificarmos se det 0A . Assim temos: 
 
         
 
1 1 1
det 2 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 1 1 1 3 1 1
3 1 2
1 1 2 2 3 0
A D

                      

      
 
Logo o sistema é normal. 
 
Agora apliquemos a regra de Cramer: 
 
Para determinar xD , devemos substituir a primeira coluna pelos termos 
independentes: 
 
D x = + ((0. 1. -1) + (-1. –1. 6) + (1. 3. -1)) – ((-1. 3. 2) + (0. -1. -1) + (1. 1. 6)) 
           
3 1 1
0 1 1 3 1 2 0 1 1 1 1 6 6 1 1 0 1 2 1 1 3 3
6 1 2
xD

                          

 
 
Para determinar yD , devemos substituir a segunda coluna pelos termos 
independentes. 
 
D y = 
1
2
3
 
6
0
3
 
1
1
2
     1.0.2 2.6.1 3. 1 .3 1.0.3 1. 1 .6 2.3.2 3         
 
Para determinar zD , devemos substituir a terceira coluna pelos termos 
independentes. 
 
D
z
 = 
1
2
3
 
1
1
1


 
3
0
6
      1.1.6 2. 1 .3 3. 1 .0 3.1.3 1.0.1 6.2. 1 3         
 
Assim, teremos: 
3
1
3
xDx x
D
    
3
1
3
yD
y y
D

     
3
1
3
zDz z
D
    
 
Logo, ( , , ) (1, 1,1) x y z   é a solução desse sistema. 
 
Tirando a prova real, temos: 








623
02
3
zyx
zyx
zyx
 








6)1(2)1()1(3
01)1()1(2
31)1(1
 








6213
0112
3111
 








66
00
33
 
 
Vejamos agora, outros conceitos e propriedades, envolvendo os sistemas de 
equações lineares. 
 
Atividade 3 – Resolva o sistema de equações lineares abaixo utilizando a 
Regra de Cramer: 
 
2 0
3 4 5 10
1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
3. 4 Sistemas Equivalentes 
Dando sequência ao nosso estudo de sistemas de equações lineares, 
gostaríamos de convidá-lo(a) a investigar os sistemas I e II: 
 (I) 
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 (II) 
5 12
2 2 9
2 5
x y z
x y z
x y z
   

  
   
 
As três sentenças matemáticas são válidas. 
Portanto, os valores encontrados são a solução. 
 
Encontrando suas soluções, utilizando, por exemplo, a Regra de Cramer 
apresentada anteriormente, temos os valores 1 ; 2 ; 3x y z   , como solução 
do sistema I. E como solução do sistema II, os valores 1 ; 2 ; 3x y z   . 
 
 
 
 
 
 
 
Observe como isso nos mostra uma grandeferramenta na resolução de 
sistemas lineares, pois, dado um sistema linear qualquer, se conseguíssemos 
um sistema equivalente a esse, mais simples de ser resolvido, facilitaria muito 
os nossos cálculos. 
 
Mas, você deve estar curioso para saber como podemos gerar 
sistemas equivalentes de um sistema de equações lineares qualquer, 
não é mesmo? 
 
Essa pergunta será respondida, após definirmos alguns objetos que nos 
ajudarão na construção destes tipos de sistemas. Espere um pouco! 
 
Vimos anteriormente que, dado um sistema de equações lineares qualquer, 
podemos relacioná-lo a uma matriz formada pelos coeficientes de suas 
incógnitas e seus termos independentes. Por exemplo, considere o sistema de 
equações lineares I o qual exemplificamos anteriormente. 
 Isso mesmo! Ambos os sistemas têm o mesmo conjunto 
solução. Portanto, esta classe especial de sistemas, ou seja, que 
possui esta propriedade é chamada de Sistemas Equivalentes. 
Sendo assim, os sistemas I e II são Equivalentes. 
 
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
A matriz que será relacionada a esse sistema, da forma exposta acima, será: 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 
 
  
 
 
Você deve ter percebido que acrescentamos na matriz um segmento vertical 
pontilhado. Tal segmento serve para nos orientar sobre quais serão os 
coeficientes de incógnitas e quais serão os termos independentes, visto que, 
em algumas classes especiais de sistemas, poderemos desprezar seus termos 
independentes, nessa relação com suas matrizes ampliadas. Abordaremos tais 
sistemas, mais adiante. 
 
3.5 Operações Elementares 
Agora, definiremos as Operações Elementares aplicadas sobre uma matriz ou 
sobre um sistema de equações lineares. Estas operações são as ferramentas 
que necessitaremos na geração de Sistemas Equivalentes, pois elas, quando 
aplicadas nas linhas (ou colunas) do sistema ou sobre sua matriz ampliada, 
não alteram suas soluções. Estas operações são: 
 
1ª) Troca de linhas (ou de colunas); 
2ª) Multiplicação de uma linha (ou coluna), por uma constante diferente de 
zero; 
3ª) Substituição de uma linha (ou coluna) por ela mesma previamente 
multiplicada por uma constante diferente de zero e somada a uma outra linha 
(ou coluna) previamente multiplicada por uma constante diferente de zero. 
 
Essa matriz recebe o nome de Matriz Ampliada do 
Sistema. 
Vejamos alguns exemplos de aplicações de operações elementares, 
analisando o sistema e sua matriz ampliada. Usaremos ainda o sistema 
anterior: 
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 
 
  
 
 
Trocando a 1ª linha pela a 3ª linha. 
2 5
2 3 9
6
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
1 1 2 5
2 1 3 9
1 1 1 6
 
 
 
  
 
 
Multiplicando a 2ª linha por -1. 
2 5
2 3 9
6
x y z
x y z
x y z
  

    
   
 
1 1 2 5
2 1 3 9
1 1 1 6
 
   
 
  
 
 
Substituindo a 2ª linha por ela mesma somada à 1ª linha multiplicada por 2. 
2 5
0 1
6
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
1 1 2 5
0 1 1 1
1 1 1 6
 
 
 
  
 
 
Sendo assim, todos os quatro sistemas obtidos são equivalentes, isto é, 
possuem como solução 1 ; 2 ; 3x y z   . Você poderá confirmar isso, 
verificando que os valores 1x  , 2y  e 3z  , solução do sistema inicial, 
satisfazem identicamente todas as equações obtidas nos sistemas acima. 
 
PARE E PENSE! 
 
Como poderemos encontrar um sistema equivalente mais fácil? 
Analise os quatro sistemas do exemplo anterior. 
Qual é o mais fácil de ser solucionado? 
Certamente você concluiu que seria o último não é mesmo? Visto que 
eliminamos, de certa forma, uma das incógnitas na segunda equação do 
sistema. E a idéia, que será abordada agora, é essa mesma: dado um sistema 
de equações lineares, procurar, por meio de operações elementares, fazer 
aparecer o maior número de zeros em sua matriz ampliada, mas, para fazer 
isto, teremos, basicamente, duas linhas de raciocínio. 
 
A primeira seria procurar zerar os termos abaixo da diagonal principal (entenda-
se como termos da diagonal principal os elementos da matriz que ocupam a 
posição i=j , ou seja, linha do termo igual à coluna do termo) e a segunda linha 
de cálculo seria além de zerar os termos abaixo da diagonal principal, por meio 
de operações elementares, zerar também os termos acima, transformando os 
termos da diagonal principal todos iguais a 1. 
 
Tais processos recebem o nome de Redução à Forma Escada e Método de 
Gauss-Jordan, respectivamente. Sendo assim, estudaremos tais métodos, 
aplicados a alguns exemplos. 
 
 
3.6 Sistemas Escalonados 
Um sistema de equações lineares é ou está escalonado se aplicamos um dos 
métodos citados anteriormente. 
Vejamos alguns exemplos: 
 
Exemplo 1 
Aplicação da Redução à Forma Escada 
 
Considere ainda o sistema de equações lineares inicial: 
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 
 
  
 
 
Trabalharemos apenas sobre sua matriz ampliada: 
2 2 2. 1
1 1 1 6 1 1 1 6
2 1 3 9 0 3 1 3
1 1 2 5 1 1 2 5
Linha Linha Linha 
   
      
   
       
 
3 1 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
1 1 2 5 0 2 1 1
Linha Linha Linha 
   
       
   
       
 
3 2. 2 3. 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
0 2 1 1 0 0 1 3
Linha Linha Linha 
   
       
   
        
 
 
Relacionando a última matriz obtida ao sistema cuja matriz ampliada é esta, 
temos o sistema equivalente ao inicial: 
6
3 3 3
3
x y z
y z
z
  

   
   
 
 
Assim, resolvendo a terceira equação e substituindo os valores encontrados 
nas demais, temos que 3z  , 2y  e 1x  , que era exatamente a solução 
esperada, por se tratar de sistemas equivalentes. 
 
Vejamos agora o segundo método. 
 
Exemplo 2 
Aplicação do Método de Gauss-Jordan 
 
Consideraremos ainda o mesmo sistema. 
6
2 3 9
2 5
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
1 1 1 6
2 1 3 9
1 1 2 5
 
 
 
  
 
 
Como este método é uma continuação de interações sobre as matrizes que 
estão sendo geradas, para aplicarmos, teremos que passar por todos os 
passos anteriores. Sendo assim, vejamos como este é aplicado: 
2 2 2. 1
1 1 1 6 1 1 1 6
2 1 3 9 0 3 1 3
1 1 2 5 1 1 2 5
Linha Linha Linha 
   
      
   
       
 
3 1 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
1 1 2 5 0 2 1 1
Linha Linha Linha 
   
       
   
       
 
3 2. 2 3. 3
1 1 1 6 1 1 1 6
0 3 1 3 0 3 1 3
0 2 1 1 0 0 1 3
Linha Linha Linha 
   
       
   
        
 
1 3. 1 2
1 1 1 6 3 0 4 15
0 3 1 3 0 3 1 3
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha Linha 
   
       
   
         
 
1 1 4. 3
3 0 4 15 3 0 0 3
0 3 1 3 0 3 1 3
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha Linha 
   
       
   
         
 
2 2 3
3 0 0 3 3 0 0 3
0 3 1 3 0 3 0 6
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha Linha 
   
       
   
         
 
1
1 1
3
3 0 0 3 1 0 0 1
0 3 0 6 0 3 0 6
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha   
       
   
         
 
1
2 2
3
1 0 0 1 1 0 0 1
0 3 0 6 0 1 0 2
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha
   
     
   
         
 
3 1. 3
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 0 2 0 1 0 2
0 0 1 3 0 0 1 3
Linha Linha
   
   
   
       
 
 
Relacionando esta última matriz a um sistema,temos o seguinte sistema 
equivalente: 
1
2
3
x
y
z



 
 
 
Tal método é muito interessante e muito aplicado em resoluções de sistemas, 
pois ele nos mostra diretamente qual é a solução do mesmo. 
Falando ainda sobre esses métodos, vejamos outros exemplos de sistemas de 
equações lineares, que podemos solucioná-los por tais métodos. 
 
Você já aprendeu que dado um sistema de equações lineares, este pode ou 
não ter solução. Como ficaria este estudo utilizando os métodos acima? 
Vejamos: 
 
Considere o sistema de equações lineares abaixo: 
1
2 3 4 0
x y z
x y z
  

   
 
 
Encontrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos: 
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 3 4 0 0 5 6 2
Linha Linha Linha    
      
 
1 5. 1 2
1 1 1 1 5 0 1 3
0 5 6 2 0 5 6 2
Linha Linha Linha 
   
   
   
 
1
1 . 1
5
1 0 1 3
5 0 1 3
5 5
0 5 6 2
0 5 6 2
Linha Linha
 
        
 
 
1
2 . 2
5
1 0 1 3
1 0 1 3
5 5
5 5
0 1 6 2
0 5 6 2
5 5
Linha Linha
 
      
   
    
 
 
Relacionando a última matriz ao seu sistema, temos: 
3
5 5
6 2
5 5
z
x
y z

 

  

 
 
Assim, o sistema terá como soluções: 
3
5 5
z
x   , 
6 2
5 5
y z   e z z . Como o 
valor de z poderá ser qualquer número real, tal sistema admite infinitas 
soluções. 
Sistemas que possuem esta propriedade são chamados de sistemas possíveis 
e indeterminados, ou seja, se o sistema possuir infinitas soluções este é 
denominado quanto à sua classificação como sendo possível e indeterminado. 
 
No caso do sistema possuir apenas uma única solução, classificamo-lo como 
sendo possível e determinado. 
 
Vejamos ainda, outro tipo de situação que pode ocorrer numa resolução de um 
sistema de equações lineares: 
1
2 2 2 0
3 5 7
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 
 
Encontrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos: 
 
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 0 0 0 0 2
3 1 5 7 3 1 5 7
Linha Linha Linha 
    
     
   
       
 
3 3. 1 1. 3
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 0 0 2
3 1 5 7 0 4 8 4
Linha Linha Linha 
    
   
   
        
 
1
3 . 3
4
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 0 0 2
0 4 8 4 0 1 2 1
Linha Linha
    
   
   
         
 
1
3 . 3
4
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 0 0 2
0 4 8 4 0 1 2 1
Linha Linha
    
   
   
         
 
3 2
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0 2 0 1 2 1
0 1 2 1 0 0 0 2
Linha Linha
    
     
   
       
 
 
Relacionando a última matriz a seu sistema, temos que: 
1
0 2 1
0 0 0 2
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 
 
Observando a terceira equação obtida, concluímos que não existirá nenhum 
valor de x , y e z , que será solução da mesma, já que 0 0 0 2x y z   implica 
0 2 , o que sabemos não ser verdade. Sendo assim, tal sistema não admite 
nenhuma solução. 
 
Tais sistemas são classificados como sistemas impossíveis. 
Resumidamente, temos que: quanto às soluções do sistema, o mesmo pode 
ser: 
Sistema Possível
(Possui solução)
Sistema Impossível
(Não possui solução)
Determinado
Possui uma única solução.
Indeterminado
Possui infinitas soluções.
 
 
Atividade 4 – Resolva o sistema de equações lineares abaixo, utilizando um 
dos métodos de escalonamento: 
 
2 3 9
2 0
3 4 5
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
 
 
Esperamos que você tenha entendido os métodos e exemplos abordados. 
Passaremos agora às aplicações. Caso tenha ficado alguma dúvida retome as 
páginas anteriores e refaça os exemplos. Se preciso for, utilize qualquer 
bibliografia que agrega em seu corpo tais conceitos, pode ser até mesmo, 
algum livro do Ensino Médio. 
Veja agora, como exemplo, onde podemos encontrar os sistemas de equações 
lineares, e usar os métodos que estudamos anteriormente para obter solução 
para uma determinada situação-problema. 
 
3.7 Aplicações relacionadas aos sistemas lineares 
Na maioria das bibliografias dedicadas a este assunto, existem várias 
situações-problema em que podemos utilizar, como ferramenta para solução, 
os sistemas lineares. Vejamos algumas destas aplicações: 
 
No campo da matemática aplicada, um dos principais desafios é a passagem 
da coleta de dados para a descrição matemática dos mesmos por meio de 
funções, com a maior precisão possível, para posterior generalização. Por 
exemplo, suponhamos que quiséssemos determinar um polinômio do 2º grau 
que passe pelos pontos,  1,3 ,  2,4 e  3,7 . Este processo é chamado de 
interpolação polinomial. Neste caso, vejamos como é feita tal busca: 
 
Nosso polinômio procurado é da forma 2y ax bx c   . Assim temos: 
1 3x y   ; Logo, temos que: 23 1 1 3a b c a b c         ; 
2 4x y   ; Logo, temos que: 24 2 2 4 2 4a b c a b c         ; 
3 7x y   ; Logo, temos que: 27 3 3 9 3 7a b c a b c         . 
 
Como tal função polinomial estará determinada, quando encontrarmos os 
coeficientes , e a b c , temos que resolver o seguinte sistema: 
3
4 2 4
9 3 7
a b c
a b c
a b c
  

  
   
 
Utilizando por exemplo a regra de Cramer, temos que: 
1 1 1
4 2 1 det 2
9 3 1
A A A
 
 
     
 
 
; Como det 0A e o número de incógnitas do 
sistema  3n  é igual ao número de equações do sistema  3m  , portanto o 
sistema é normal, e assim podemos usar este método de resolução. 
Continuando o processo, temos: 
3 1 1
2
4 2 1 2 1
2
7 3 1
a
a
D
D a
A

      

; 
1 3 1
4
4 4 1 4 2
2
9 7 1
b
b
D
D b
A
      

; 
1 1 3
8
4 2 4 8 4
2
9 3 7
c
c
D
D c
A

      

. 
Logo, o polinômio procurado é: 2 2 4y x x   . Interessante não é mesmo? 
É importante observar que o melhor sistema obtido por este processo será 
aquele que é possível e determinado, isto é, possui uma única solução. A ideia 
para obtermos tal sistema é a seguinte: 
 quando temos três pontos – interpolação por um polinômio de grau 2; 
 quando temos quatro pontos – interpolação por um polinômio de grau 3; 
 quando temos cinco pontos – interpolação por um polinômio de grau 4; 
 e, de um modo geral, se tivermos n pontos - interpolação por um 
polinômio de grau 1n , e neste caso geral, é possível mostrar que o 
sistema relacionado com a interpolação possuirá uma única solução, isto 
é, há um único polinômio interpolado. 
 
Atividade 5 – Utilizando o método de interpolação polinomial, determine um 
polinômio de grau 2, que passe pelos pontos  1,6 ,  2,3 e  2,11 . 
 
Atividade 6 – Um biólogo colocou três espécies de bactérias (denotadas por I, 
II e III) em um tubo de ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes 
diferentes de alimentos (A, B e C). A cada dia serão colocadas 2500 unidades 
de alimento A, 4500 unidades do alimento B e 2000 unidades do alimento C. O 
consumo diário de alimento pelas bactérias (em unidades por dia), está 
mostrado na tabela abaixo. Nestas condições, determine quantas bactérias de 
cada espécie podem coexistir no tubo de ensaio e consumir todo o alimento. 
 
 
 Bactéria 
Espécie I 
Bactéria 
Espécie II 
Bactéria 
Espécie III 
Alimento A 1 2 1 
Alimento B 2 1 3 
Alimento C 1 1 1 
 
 
Atividade 7 - Suponha que o Sr. Joaquim tenha juntado em seu cofre algumas 
moedas de 5 centavos, de 10 centavos e de 25 centavos. No total, há 400 
moedas e a quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do total de 
moedas de 5 centavos. Além disso, sabe-se que o valor total de moedas é de 
50,00 reais. Nestas condições responda, qual é o número de moedas de cada 
tipo? 
 
Vejamos agora outra aplicação. 
 
Uma das várias aplicações cabíveis ao tópico de sistemas lineares e, portanto 
aqui, é o de estudo de circuitos elétricos simples. DenominamosCircuitos 
Elétricos Simples (CES) aos circuitos planos que possuem em sua estrutura 
apenas fontes (baterias) e resistores. Veja um exemplo típico de um circuito 
simples: 
 
 
Onde E representa a força elétrica, R a resistência (ou resistor) e i 
representa a corrente elétrica. 
 
Considerando as Leis de Kirchhoff bem como a Lei de Ohm, podemos analisar 
o circuito elétrico por meio de sistemas. 
 
Recordemos brevemente tais leis: 
 
Lei de Ohm: 
A Força elétrica (E) necessária para fazer com que a corrente (I) passe pelo 
resistor (R) é igual ao produto de I por R, ou seja, E RI . 
 
Leis de Kirchhoff: 
- A diferença de potencial total medida em qualquer ciclo é nula. 
- Em qualquer nó, a corrente total que chega neste é igual à corrente total que 
sai do nó. 
 
Entenda aqui, ciclo como sendo qualquer caminho fechado de um circuito 
elétrico simples e nó como sendo a junção de três ou mais caminhos do 
circuito. 
 
Por exemplo, considere o circuito elétrico simples abaixo: 
 
 
 
 
Temos neste circuito três ciclos e dois nós a saber: 
 
Ciclos: 
(1) a b c f a    (2) c d e f c    (3) a b c d e f a      ; 
 
Nós: 
 f : junção dos caminhos f a , f c e f e ; 
 c : junção dos caminhos c b , c f e c d . 
 
De posse destes conceitos, considerando o circuito anterior, podemos analisar 
uma situação-problema aplicada em CES. Vejamos: 
 
Considere o circuito elétrico simples dado anteriormente: 
 
 
Supondo 1 40E V , 2 40E V , 3 80E V , 1 10R   , 2 5R   , 3 20R   , 4 5R   
e 5 5R   , determinemos juntos os valores das correntes 1 2,i i e 3i . 
 
Utilizando a Lei de Ohm juntamente com a 1ª Lei de Kirchhoff apresentada 
anteriormente temos as seguintes equações lineares: 
 
 Ciclo a b c f a    
1 1 1 2 2 3 1 2 1 2 1 1 20 40 10 40 20 5 0 15 20 0E i R E i R i R i i i i i               
Simplificando um pouco mais, temos: 1 2 1 215 20 0 3 4 0i i i i      . 
 
 Ciclo c d e f c    
2 3 2 3 4 3 3 5 2 3 3
2 3
0 20 40 5 80 5 0
20 120 10 0
i R E i R E i R i i i
i i
             
   
 
Simplificando um pouco mais, temos: 
2 3 2 32 12 0 2 12i i i i      
 
 Ciclo a b c d e f a      
1 1 1 3 4 3 3 5 1 2 1 3 3 1
1 3
0 40 10 5 80 5 5 0
15 10 120
E i R i R E i R i R i i i i
i i
             
 
 
Simplificando um pouco mais, temos: 
1 3 1 315 10 120 3 2 24i i i i     
 
Observe que esta última equação é uma combinação linear das duas primeiras 
equações. Verifique isto! 
 
Portanto não é necessário incluí-la em nossa resolução do sistema, ou seja, 
podemos desconsiderá-la. 
 
Agora, aplicando a 2ª lei de Kirchhoff temos que: 
 
Nó c : 1 2 3i i i  
Nó f : 3 1 2i i i  (Que é uma equação equivalente à obtida no nó c). 
 
Assim, em resumo, temos o seguinte sistema de equações lineares: 
 
1 2
2 3
1 2 3
3 4 0
2 12
0
i i
i i
i i i
 

 
   
1 2 3
Trocando a 3ª linha com a 1ª linha
2 3
1 2
0
2 12
3 4 0
i i i
i i
i i
  

  
  
 
 
Utilizando o escalonamento, temos que: 
3 3. 1 3
2 3 3. 2
3 7
1 1 1 0 1 1 1 0
0 2 1 12 0 2 1 12
3 4 0 0 0 7 3 0
1 1 1 0 1 1 1 0
0 2 1 12 0 1 6 36
0 7 3 0 0 7 3 0
1 1 1 0
0 1 6 36
0 7 3 0
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
Linha
 
 
 
    
   
   
       
    
     
   
       
 
  
 
  
2 3
1
3 3
39
1 1 1 0
0 1 6 36
0 0 39 252
1 1 1 0 1 1 1 0
0 1 6 36 0 1 6 36
0 0 39 252 0 0 1 84
13
Linha Linha
Linha Linha


 
   
 
   
 
   
        
    
 
 
 
Assim, o sistema associado à matriz escalonada e consequentemente 
equivalente ao sistema inicial é: 
1 2 3
2 3 1 2
3
0
48 36
6 36 ,
13 13
84
13
i i i
i i i i
i

   

     

 

 e 3
84
13
i  . 
Ou seja, 1 23,69 , 2,77i A i A e 3 6,46i A . 
 
Como o sistema envolvido nessa situação-problema é normal (Verifique!), 
poderíamos ter usado outro método para resolver este problema, como a 
Regra de Cramer por exemplo, sendo assim, confirme o resultado obtido, 
usando tal método. 
 
Atividade 8 - Determine as correntes para cada um dos circuitos elétricos 
abaixo: 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
Atividade 9 – Determine o valor das correntes apresentadas no circuito abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vejamos agora outra classe de Sistemas de Equações Lineares. A saber, os 
sistemas lineares homogêneos. 
 
3. 8 Sistemas Lineares Homogêneos 
Um sistema de equações lineares é dito ser homogêneo, se todos seus termos 
independentes forem nulos, isto é, iguais a zero. 
Por exemplo, os sistemas abaixo são homogêneos: 
 
 
 
0
2 2 2 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 
0
2 3 0
2 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
0
2 3 4 0
x y z
x y z
  

   
 
O estudo desse tipo de sistema é interessante, pois se trata de sistemas que 
sempre serão resolúveis, isto é, dado um sistema linear homogêneo, existe no 
mínimo, uma solução para o mesmo, a saber, a solução nula. 
No caso dos três sistemas acima, claramente você pode observar que estes 
têm como solução comum os valores 0, 0x y  e 0z  . 
Mas, agora que sabemos o que é um sistema de equações lineares 
homogêneo e sabemos também uma de suas principais particularidades 
(sempre é resolúvel), como poderemos encontrar suas soluções? Para esta 
classe de sistemas, também analisamos suas soluções pelo Método de 
Redução à Forma Escada ou pelo Método de Gauss-Jordan. 
Vejamos alguns exemplos das possíveis situações que poderão ocorrer com 
relação a essa classe de sistemas: 
 
Exemplo 1 
Analisemos as soluções do sistema linear homogêneo abaixo: 
0
2 2 2 0
3 5 0
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 
Como os termos independentes, após aplicarmos qualquer operação elementar 
nas linhas da matriz ampliada deste sistema não alterarão, sempre será igual a 
zero, não é necessário apresentar, na matriz ampliada deste, a coluna dos 
termos independentes. Sendo assim, encontrando e trabalhando sobre sua 
matriz ampliada, temos: 
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1
2 2 2 0 0 0
3 1 5 3 1 5
Linha Linha Linha 
    
     
   
       
 
3 3. 1 3
1
3 3
4
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
3 1 5 0 4 8
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
0 4 8 0 1 2
Linha Linha Linha
Linha Linha
 

    
   
   
       
    
   
   
       
 
3 3. 1 3
1
3 3
4
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
3 1 5 0 4 8
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 0 0
0 4 8 0 1 2
Linha Linha Linha
Linha Linha
 

    
   
   
       
    
   
   
       
 
2 3
1 1 1 1 1 1
0 0 0 0 1 2
0 1 2 0 0 0
Linha Linha
    
    
   
      
 
Relacionando a última matriz a seu sistema equivalente, temos que: 
0
0 2 0
0 0 0 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
Implicando que 2y z e substituindo este resultado na primeira equação, temos 
que 2 0x z z   , o que nos dá 3x z . Sendo assim, o sistema possui infinitas 
soluções a saber, 3x z , 2y z e z z . 
Exemplo 2 
Analisemos as soluções do sistema linear homogêneo abaixo: 
0
2 3 0
2 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
Encontrando e trabalhando sobre sua matriz ampliada, temos: 
2 2. 1 2
1 1 1 1 1 1
2 1 3 0 3 1
1 1 2 1 1 2
Linha Linha Linha 
   
     
   
       
 
3 1 3
3 2. 2 3. 3
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
1 1 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
0 2 1 0 0 1
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
 
 
   
     
   
       
        
   
      
 
3 1 3
3 2. 2 3. 3
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
1 1 2 0 2 1
1 1 1 1 1 1
0 3 1 0 3 1
0 2 1 0 0 1
Linha Linha Linha
Linha Linha Linha
 
 
   
     
   
       
   
     
   
      
 
Relacionando a última matriz a seu sistema, temos que: 
0
0 3 0
0 0 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
Implicando que 0z  e substituindo este resultado na segunda equação, temos 
que 3 0 0y   , o que nos dá 0y  , e fazendo a substituição de 0z  e 0y  na 
primeira equação, temos 0 0 0x    , o que implica 0x  . Sendo assim, o 
sistema possui uma única solução à saber, 0x  , 0y  e 0z  . 
 
Atividade 10 – Para cada um dos sistemas lineares homogêneos dados 
abaixo, determine todas as soluções dos mesmos: 
 
a) 
3 0
2 5 0
x y
x y
 

  
 
 
b) 
3 2 0
5 0
2 0
x y z
x y z
x y
  

  
  
 
 
c) 
0
2 3 5 0
0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
Outro campo de aplicação de sistemas de equações lineares, mais 
precisamente, aplicações de sistemas lineares homogêneos é no 
balanceamento de equações químicas. 
 
Mas o que seria uma equação química balanceada? 
Sabemos que, num processo químico, as moléculas dos reagentes se 
combinam formando novas moléculas denominadas produto. Nestas 
condições, quando a equação algébrica que relaciona o número de reagentes 
e produtos na reação fornece o mesmo número de átomos à esquerda e á 
direita da equação, dizemos que a mesma está balanceada. O exemplo mais 
simples e standard que normalmente é utilizado para exemplificar isto é o da 
água. Sabemos que uma molécula de água é composta por 2 moléculas de 
hidrogênio e 1 de oxigênio. Considerando os gases hidrogênio ( 2H ) e oxigênio 
( 2O ) temos as seguintes equações balanceadas, todas produzindo moléculas 
de água ( 2H O ): 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
4 2 4
6 3 6
H O H O
H O H O
H O H O
 
 
 
 
 
Mas como poderíamos obter tais valores por meio de sistemas? 
 
Poderíamos pensar da seguinte forma: seja x a quantidade de moléculas de 
hidrogênio ( 2H ), y a quantidade de moléculas de oxigênio ( 2O ) e z 
a quantidade de moléculas de água ( 2H O ). Nestas condições, teremos: 
2 2 2xH yO zH O  
Ou seja, 2 2 2xH yO zH zO   . Logo, teríamos o seguinte sistema de 
equações lineares: 
2 2 0
e 
2 0 2
x z z
x z y
y z
 
  
 
. Como , ,x y z , os 
menores valores que balanceiam a equação química acima são: 2z  , 1y  e
2x  que corresponde à 1ª equação apresentada. 
Interessante, não é mesmo? 
 
Vejamos outro exemplo: Façamos juntos, o balanceamento da seguinte 
equação química: 
2 2 2 3 2FeS O Fe O SO   . Considerando a incógnita x como o 
número de moléculas de 2FeS , y como o número de moléculas de oxigênio 
( 2O ), z o de 2 3Fe O e 
w o número de moléculas de 2SO temos a seguinte 
equação química, relacionando o número de moléculas de cada componente 
da reação: 
 
2 2 2 3 2xFeS yO zFe O wSO   
Assim, de forma análoga ao caso anterior, podemos interpretá-la do seguinte 
modo: 
     
 
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
2 2 2 3 2
xFeS yO zFe O wSO
x Fe S y O z Fe O w S O
xFe xS yO zFe zO wS wO
xFe xS yO zFe z w O wS
  
     
     
     
 
E assim, considerando que a equação esteja balanceada, temos: 
 
2 2 0
2 2 0
2 3 2 2 3 2 0
x z x z
x w x w
y z w y z w
   
   
      
O que nos leva à resolução do sistema linear homogêneo 
2 0
2 0
2 3 2 0
x z
x w
y z w
 

 
   
. 
 
 
Resolvendo-o por escalonamento, por exemplo, obtemos o seguinte conjunto 
solução 
11
, , , ;
2 8 4
w w w
S w w
  
   
  
. De fato, veja o processo de 
escalonamento: 
 
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
2 0 0 1 0 Linha 2 = 2 Linha 1 - Linha 2 0 0 4 1 0
0 2 3 2 0 0 2 3 2 0
1 0 2 0
1 0 2 0 0
1
0 0 4 1 0 Linha 2 = Linha 2 
4
0 2 3 2 0
    
     
   
         

 
  
 
   
0
1
0 0 1 0
4
0 2 3 2 0
1 0 2 0 0 1 0 2 0 0
1 1 1
0 0 1 0 Linha 3 = Linha 3 0 0 1 0
4 2 4
0 2 3 2 0 3
0 1 1 0
2
1 0 2 0 0
1
0 0 1 0 Linha 2 = Linha 3
4
3
0 1 1 0
2
 
 
 
 
   
 
   
  
   
  
       
 
 
 
 
 
 
 
  
 
1 0 2 0 0
3
0 1 1 0
2
1
0 0 1 0
4
 
 
 
  
 
 
 
 
 
Considerando o sistema 
2 0
3
0
2
1
0
4
x z
y z w
z w

 


  


 
obtemos:
 
1
2 2
2 0 4 2
3 3 1 11
0 0
2 2 4 8
1 1
0
4 4
w
x z x w
x z
y z w y w w y w
z w z w
      

 
          
 
 
    
 . 
 
Obtendo, assim, o conjunto solução 
11
, , , ;
2 8 4
w w w
S w w
  
   
  
 esperado. 
 
Como procuramos, na prática, a equação balanceada mais simples, ou seja, os 
menores valores naturais de , ,x y z e w que balanceiam a equação dada, 
temos: 
 
2 2 2 3 24 11 2 8FeS O Fe O SO   
 
Observe que, para chegarmos a esta equação balanceada, escolhemos 8w  . 
Faça agora as próximas atividades envolvendo balanceamento de reações 
químicas. 
 
Atividade 11 – Faça o balanceamento das equações químicas abaixo: 
 
a) 
2 5 2 2N O NO O  
b) 
2 2 6 12 6 2CO H O C H O O   
c)  4 3 3 2 22NH CO NH H O CO   
d) 
4 10 2 2 2C H O CO H O   
 
Para aprimorar um pouco mais seus conhecimentos sobre os assuntos tratados 
neste capítulo, você pode procurar buscar outras fontes e/ou formas de 
aprendizagem, como o estudo com outros estudantes, fóruns virtuais de 
discussões matemáticas, outras bibliografias, afinal de contas o ato de 
aprender deve estar sempre presente na vida de nós estudantes. Lembro-lhe 
de que, para entendermos um conceito matemático ou uma parte desta 
belíssima ciência, é preciso estudá-la e depois exercitá-la muito. Portanto, 
segue mais alguns exercícios de fixação de aprendizagens. 
 
Exercícios de Fixação de Aprendizagem 
 
Atividade 12 – Resolva os sistemas de equações lineares abaixo usando a 
Regra de Cramer: 
 
a) 
7 2 17
3 5 1
x y
x y
 

  
 b) 
2 2
2 3 9
3 3 2 3
x y z
x y z
x y z
  

  
    
c) 
10
3 2 10
x y
x y
 

  
 
d) 
2 2 6
2
2 2 3 7
x y z
x y z
x y z
  

  
    
e) 
4 3 18
3 5 1
x y
x y
 

  
 f) 
2 2
2 3 9
3 3 2 3
x y z
x y z
x y z
  

    
   
 
 
 
Atividade 13 – Escalone, resolva e classifique os sistemas de equações 
lineares abaixo: 
 
a) 
3 0
4 0
2 3 7 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 b) 
3 1
3 4 2
7 10 3 6
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 c) 
2 2
2 3
4 3
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
d) 
2 1
2 2
3 2 1
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 e) 
3 0
2 1
2 2 2
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 f) 
2 3 0
4 8 6 2
6 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
g) 
3 0
2 2 6 0
2 3 7 0
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 h) 
3 1
2 2 1
7 10 3 6
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 i) 
2 2
2 2 2 0
4 3
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
 
Atividade 14 – Resolva os sistemas abaixo, utilizando um dos métodos 
estudados e verifique a solução obtida substituindo a mesma nas equações: 
a) 
1
2 3 5
x y
x y
 

  
b) 
2 9
3 2
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
   

  
    
c) 
2 2 2
3 5 3
x y
x y
 

   
 
d) 
7 16
3 5 2 26
5 3 14
x y z
x y z
x y z
   

  
    
e) 
3 4 6
2 3 5
x y
x y
 

 
 b) 
29
2 3 1
4 3 2 1
x y z
x y z
x y z
   

   
   
 
 
 
Atividade 15 – Resolva os sistemas abaixo, usando a Regra de Cramer: 
 
a) 
2 3 0
4 8 6 2
6 0
x y z
x y z
x y z
  

  
    
 
 
b) 
2 2 6
2
2 2 3 7
x y z
x y z
x y z
  

  
   
 
 
c) 
2 3 0
2 9 5 2
6 0
x y z
x y z
x y z
  

   
   
 
 
Atividade 16 – Considere o sistema 
2 3 0
3 2
7 3 10
x y z
y z
y z
   

 
    
. A solução do mesmo 
é: 
a)  2,1, 3 
b)  1,1,1 
c)  0,6,0 
d)  0,0,0 
e)  1,1, 1  
 
Atividade 17 – Utilizando o método de interpolação polinomial, determine um 
polinômio de grau 2, que passe pelos pontos: 
 
a)  1,2 ,  2,17 e  2,9 ; 
 
b)  1,3 ,  2,3 e  2,7 ; 
 
c)  1, 3 ,  2, 3  e  2, 7 . 
 
Atividade 18 – Solucione as diversas situações-problema apresentadas 
abaixo: 
 
a) Para a festa de Natal, uma creche necessitava de 120 brinquedos. 
Recebeu uma doação de 370 reais. Esperava-se comprar carrinhos a 2 
reais cada, bonecas a 3 reais cada e bolas a 3,50 reais cada. Se o 
número de bolas deveria ser igual ao número de bonecas e carrinhos 
juntos, quantos carrinhos, bonecas e bolas deveriam ser comprados? 
 
b) Três amigos, em uma conversa sobre seus salários, descobriram que: 
 o dobro do salário do 1º, mais o salário do 2º, mais o triplo do salário do 
3º, dá para comprar um carro de R$ 7.000,00; 
 o salário do 1º mais duas vezes o salário do 3º é igual o salário do 2º; 
 metade do salário do 1º, mais metade do salário do 3º, é o valor de uma 
TV de R$ 1.000,00. 
Nestas condições, determine o salário de cada um dos amigos. 
 
 
c) Suponha que o Sr. Joaquim tenha juntado em seu cofre algumas 
moedas de 5 centavos, de 10 centavos e de 25 centavos. No total, há 
200 moedas e a quantidade de moedas de 10 centavos é o dobro do 
total de moedas de 5 centavos. Além disso, sabe-se que o valor total de 
moedas é de 30,00 reais. Nestas condições, responda: qual é o número 
de moedas de cada tipo? 
 
Resumo 
Neste capítulo foi abordado os sistemas de equações lineares. Dentre alguns 
dos conceitos apresentados, vimos que: 
 
 Equação linear é uma expressão do tipo 
bxaxaxaxa nn  ...332211 onde 1 2 3, , ,..., na a a a são números reais, 
que recebem o nome de coeficientes das incógnitas 1 2 3, , ,..., nx x x x , e b é 
um número real chamado de termo independente. E a solução da 
equação linear é toda n-dupla de números do tipo  1 2 3, , ,..., nx x x x que 
satisfaça identicamente a equação. 
 
Exemplo: 2 3 5 0x y z   , que possui como solução a terna ordenada 
 1,1,1 . 
 
 Sistema de equações lineares é um conjunto de equações lineares. E, 
por solução deste, todo elemento que satisfaz identicamente todas as 
equações ao mesmo tempo. 
Exemplo: 








623
02
3
zyx
zyx
zyx
 
 
É um sistema de equações lineares composto por três equações 
lineares. Sua única solução é a terna ordenada  1, 1,1 . 
 
Ainda sobre a(s) solução(ões) de sistemas propriamente dito os 
sistemas são classificados como: 
 
- possível e determinado: quando possui uma única solução; 
- possível e indeterminado: quando possui infinitas soluções; 
- impossível: quando não admite solução. 
 Veja exemplos no corpo deste capítulo. 
 
 Também vimos os seguintes Métodos de Resolubilidade de Sistemas de 
Equações Lineares, como o Processo de Escalonamento, também 
conhecido como Método de Gauss e/ou de Gauss-Jordan e a Regra de 
Cramer. 
Veja exemplos destes métodos no corpo do capítulo. 
 
 Também foi abordado neste capítulo, algumas importantíssimas 
aplicações deste tema, como são os casos da Interpolação Polinomial, 
dos Balanceamentos Químicos e Análise de Circuitos Elétricos Simples, 
dentre outras situações-problema. 
Veja exemplos destas aplicações no corpo do Capítulo. 
 
 
 
 
 
 
SUGESTÕES DE LEITURAS 
 
 Você pode, ainda, visitar alguns sites para aumentar seus conhecimentos 
sobre os conceitos de sistemas lineares. Vale a pena ressaltar que o primeiro 
link necessita de um prévio cadastro para acesso ao material disponível. Sugiro 
que faça o cadastro no mesmo, pois este pode ser também um grande auxiliar 
em seus estudos posteriores de matemática: 
http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php. Acesso em 05 
de janeiro de 2010 às 15:55 hs. 
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm#sist0
1 Acesso em 05 de janeiro de 2010 às 16:00 hs. 
 
 POOLE, David. Sistemas de Equações Lineares. In:_____. Álgebra 
Linear, São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. cap. 2. p. 55-
124. 
 
Este livro, bem como o capítulo 3 mencionado, trata de forma clara, 
aprofundada e objetiva, os sistemas de equações lineares, sempre utilizando 
http://www.somatematica.com.br/emedio/sistemas/sistemas.php
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm#sist01
http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/matrizes/sistemas.htm#sist01
vários exercícios e exemplos. O autor do mesmo destina uma boa parte do 
referente capítulo às aplicações, mais precisamente ao final do mesmo, em que 
você terá oportunidade de visualizar o quanto abrangente é o campo de 
aplicação de sistemas lineares. 
 
 
 IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, 
Roberto. Sistemas Lineares. In: ______. Matemática: volume único. 
São Paulo: Atual, 2002. cap. 21. p. 337-355. 
 
Este livro, bem como o capítulo mencionado, tratam de forma clara, rápida e 
introdutória os conceitos da teoria dos sistemas de equações lineares com 
alguns métodos de resolubilidade, bem como alguns exercícios de aplicação. 
 
 
 IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Sistemas Lineares In: ______. 
Fundamentos de matemática elementar: sequências, matrizes, 
determinantes, sistemas. 6. ed. São Paulo: Atual, 1995. cap. 6, v. 
4.p.127-176. 
 
Neste capítulo, os autores, tratam o conceito de sistemas lineares de forma 
direta e objetiva. Você terá oportunidade de estudar neste capítulo, outros 
tópicos relacionados ao tema desta unidade. Além disso, há exemplos 
resolvidos e mais exercícios para você aprofundar os seus conhecimentos. 
 
 
REFERÊNCIAS 
KOLMAN, Bernard; HILL, David R. Equações lineares e sistemas. In:_____. 
Introdução á álgebra linear com aplicações, 8ª edição. Rio de Janeiro: LTC, 
2006.cap. 1. 
 
POOLE, David. Sistemas de Equações Lineares. In:____. Álgebra linear, São 
Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2004. cap. 2. 
 
IEZZI, Gelson; HAZZAN, Samuel. Sistemas lineares. In:_____. Fundamentos 
de matemática elementar: sequências, matrizes, determinantes, sistemas. 6. 
ed. São Paulo: Atual, 1995. cap. 6, v. 4.